高三一轮复习讲义（标准版）数学第三章进阶篇不等式证明方法进阶1指对放缩_第1页
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进阶篇不等式证明方法进阶1指对放缩切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切线放缩可以深入理解数学的本质.题型一指对切线放缩常见的指对切线放缩例1证明不等式：exln(x+2)>0.思维升华指对同时出现时，一般求导难以解决，常见的方法有隐零点、同构、放缩等.跟踪训练1当x>0时，证明：ex2xlnx<xex+1e题型二指对增强放缩1.与ex相关的增强放缩(1)ex≥x+1ex≥1+x+x22(x≥0)ex=1+x1！+x22！+x33！+…+xn(2)ex≥exex≥ex+(x1)2(x≥0).(3)通过变换得到的其他不等式把ex≥x+1中的x换成lnx，可得lnx≤x1.把ex≥x+1中的x换成x1，可得ex≥ex.把ex≥x+1中的x换成x，可得ex≥x+1，取倒数后可得ex≤11-x(x把ex≥x+1中的x换成x+lnx，可得ex+lnx=xex≥x+lnx+1(朗博同构).2.与lnx相关的增强放缩(1)lnx≤x1ln(x+1)≤xlnx≥11xln(x+1)=xx22+x33x44+…+(1)nxn+1n+1+o(2)lnx≤xe(3)飘带不等式：2(x-1)x+1≤lnx≤12(4)通过变换得到的其他不等式把lnx≤x1中的x换成ex，可得ex≥x+1.把lnx≤x1中的x换成xe，可得lnx≤x把lnx≤x1中的x换成x+1，可得ln(x+1)≤x.把ln(x+1)≤x中的x换成1n，可得ln(n+1)lnn<1把ln(x+1)≤x中的x换成1n+1，可得ln(n+1)lnn>例2证明：ex+1x≥2lnx+x2+(e2)思维升华在利用ex≥x+1或ex≥ex进行切线放缩时，不等号右侧的增长速度比左侧的快，显然不成立，此时选用增强版的曲线放缩.跟踪训练2证明：对任意x>0，不等式ex+x2(e+1)x+ex>2成立答案精析例1证明要证exln(x+2)>0，即证ex>ln(x+2)，又ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立，令t=x+2，则ln(x+2)=lnt≤t1=x+1，即ln(x+2)≤x+1，当且仅当x=1时等号成立，故ex≥x+1≥ln(x+2)，等号成立的条件不一致，则ex>ln(x+2)，结论得证.跟踪训练1证明要证当x>0时，ex2xlnx<xex+1e只需证exlnx<ex+1e下证lnx≤1e即证ln1x≤1令t=1x，即证lnt≤1显然成立，且等号成立的条件是t=e，即x=1e又ex≤ex，当且仅当x=1时等号成立，由不等式的基本性质及等号成立的条件不一致得原不等式成立.例2证明由题意知x>0，因为ex≥ex+(x1)2，所以要证ex+1x≥2lnx+x2+(e2)x只需证ex+(x1)2+1x≥2lnx+x2+(e2)x即证ln1x≤1x令t=1x，即证lnt≤t1，显然成立结论得证.跟踪训练2证明因为ex≥ex，所以只需证ex+x2(e+1)x+ex>2即证x2x+ex>2即证x22x+1

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