《垂径定理（2）》参考课件1

3.3垂径定理(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.C●ABDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.条件①CD为直径②CD⊥AB⑤CD平分弧ADB③CD平分弦AB④CD平分弧ACB结论温故知新∵①直径CD⊥AB②直径CD平分弦AB③直径CD平分弧ACB和弧ADB∴探索任务2:以上三个条件能不能已知任意一个的条件下推出另外两个作为结论呢？垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.题设结论1结论2探索进行时探索任务1:将此命题改成如果……那么……的形式.题设结论在CD为圆直径的大前提条件下直径①直径垂直于弦②直径平分弦③直径平分弦所对的弧●OABCDM└逆命题1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.逆命题2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.●OABCDM└①

②

③

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.①逆命题必须通过证明正确才能成为定理在CD为圆直径的大前提条件下②③②

①

③

①②

③探索进行时●OABCDM└在CD为圆直径的大前提条件下②

CD平分弦AB③

CD平分弧ACB和弧ADB

求证已知①

CD⊥AB②

CD平分弦AB③

CD平分弧ACB和弧ADB求证已知①

CD⊥弦AB逆命题1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.逆命题2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.定理2：平分弧的直径垂直平分于弧所对的弦.

如图，在⊙O中，直径CD交弦AB（不是直径）于点E.(1)若CD⊥AB，则有

、

、

；

(2)若AE=EB，则有

、

、

；

(3)若AC=BC，则有

、

、

.趁热打铁

如图，AB是半圆⊙O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D．已知BC=8cm,DE=2cm，则求AB的长？练一练Orda2

如图，AB是半圆⊙O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D．已知OE=8cm,DE=2cm，则求BC的长？BE的长？变式1小结：在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据

定理及推论结合勾股定理求出第三个量.垂径

如图，AB是半圆⊙O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D．已知OD=4cm，则求AC的长？变式2节前语所示的我国隋朝的赵春建造的赵州桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.02m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).例3解:如图,用AB表示桥拱,设圆心为O,C为AB的中点.ABOC连接半径OC,交AB于点DD则OC垂直平分AB,CD就是拱高连接OB,设圆O的半径为R(m)在Rt⊿OBD中,OB2=BD2+OD2∴R2=18.512+(R-7.23)2解这个方程,得R≈27.3答:桥拱的半径约为27.3m基础训练1.在一个圆中任意引圆的两条直径,顺次连接它们的四个端点,组成一个四边形,则这个四边形一定是()A.菱形B.等腰梯形C.正方形D.矩形D2.如图,在半径为5cm的圆中,圆心O到弦AB的距离为4cm,则弦AB的长为()A.4cmB.6cmC.8cmD.10cmB3.已知:如图,AB,CD是⊙O直径,D是弧AE中点,AE与CD交于F,OF=3,则BE=

.4.如图,DE⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则CD=

,OC=

.5.已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16,则弦AB与CD的距离为

.6942cm或14cmFODCABE6、已知：如图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN=4cm．（1）求圆心O到弦MN的距离；（2）猜想OM和AB的位置关系，并说明理由；（3）求∠ACM的度数．一公路隧道的形状如图,半圆拱的圆心距离地面2m,半径为1.5m,一辆高3m,宽2.3m的集装箱车能通过这个隧道吗?F1.15解:取CD=1.15m,作DE⊥CD交圆O于点E连接OE,过O作OF⊥ED于F,由题意可得OE=1.5,OF=CD=1.15FD=OC=2由勾股定理得:≈0.96∴DE=EF+DF=2.96＜3∴高3m,宽2.3m的集装箱车不能通过这个隧道DE1.51.152

如果要使高度不超过4m,宽为2.3m的货车能通过这个隧道,且不改变圆心到地面的距离,半圆拱的半径至少为多少m?探究活动课堂小结1.垂径定理的两个逆定理：逆定理：