上海南洋模范2025年数学高三上期末复习检测试题

上海南洋模范2025年数学高三上期末复习检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列，，，…，是首项为8，公比为得等比数列，则等于（）A．64 B．32 C．2 D．42．已知复数满足，则（）A． B．2 C．4 D．33．半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（）A． B． C． D．4．设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（）①数列的任意一项都是正整数；②数列存在某一项是5的倍数.A．①正确，②错误 B．①错误，②正确C．①②都正确 D．①②都错误5．设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（）A． B． C． D．6．若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．36cm3 B．48cm3 C．60cm3 D．72cm37．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为：．假设蚂蚁窝在点，一只蚂蚁从点出发，需要在，上分别任意选择一点留下信息，然后再返回点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（）A． B． C． D．8．用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A．k2+1C．k2+19．设函数，则使得成立的的取值范围是（）．A． B．C． D．10．存在点在椭圆上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．11．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为（）A． B． C． D．12．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知定义在的函数满足，且当时，，则的解集为__________________.14．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为_____．15．已知函数恰好有3个不同的零点，则实数的取值范围为____16．已知，若，则a的取值范围是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值．18．（12分）在平面直角坐标系中，为直线上动点，过点作抛物线:的两条切线，，切点分别为，，为的中点.（1）证明:轴；（2）直线是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.19．（12分）已知数列满足：对一切成立.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；（2）若P，Q分别为曲线，上的动点，求的最大值.21．（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.22．（10分）某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值.①已知，生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元．若从两条生产线上各随机抽检件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利元、元、元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知：，，故，，.故选：.本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.2．A【解析】

由复数除法求出，再由模的定义计算出模．【详解】．故选：A．本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题．3．B【解析】

设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，在中，，化为，，，当且仅当时取等号，此时.故选：B.本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.4．A【解析】

利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.【详解】因为,是方程的两个不等实数根,所以,,因为,所以,即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,又,,所以,,,以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,由,,依次计算可知,数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;故选:A.本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.5．A【解析】

由复数的除法求出，然后计算．【详解】，∴．故选：A.本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．6．B【解析】试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.考点：三视图和几何体的体积.7．C【解析】

将四面体沿着劈开，展开后最短路径就是的边，在中，利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体沿着劈开，展开后如下图所示：最短路径就是的边．易求得，由，知，由余弦定理知其中，∴故选：C本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.8．C【解析】

首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4【详解】当n=k时，等式左端=1+1+…+k1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故选：C．本题主要考查数学归纳法，属于中档题./9．B【解析】

由奇偶性定义可判断出为偶函数，由单调性的性质可知在上单调递增，由此知在上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：定义域为，，为偶函数，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递减，由得：，解得：或，的取值范围为.故选：.本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.10．D【解析】

根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.【详解】因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,由,解得,即,所以,所以.故选：D本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.11．D【解析】

利用等差数列通项公式推导出λ，由d∈[1，2]，能求出实数λ取最大值．【详解】∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是减函数，∴d＝1时，实数λ取最大值为λ．故选D．本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．B【解析】

根据程序框图知当时，循环终止，此时，即可得答案.【详解】，.运行第一次，，不成立，运行第二次，，不成立，运行第三次，，不成立，运行第四次，，不成立，运行第五次，，成立，输出i的值为11，结束.故选：B.本题考查补充程序框图判断框的条件，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由已知得出函数是偶函数，再得出函数的单调性，得出所解不等式的等价的不等式，可得解集.【详解】因为定义在的函数满足，所以函数是偶函数，又当时，，得时，，所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以不等式等价于，即或，解得或，所以不等式的解集为：.故答案为：.本题考查抽象函数的不等式的求解，关键得出函数的奇偶性，单调性，属于中档题.14．3【解析】

设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0），联立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【详解】设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐标（0，1），∴B的坐标为（，k•1），即B（，），因此AB•，同理可得：AC•.∴Rt△ABC的面积为SAB•AC•令t，得S.∵t2，∴S△ABC.当且仅当，即t时，△ABC的面积S有最大值为.解之得a＝3或a.∵a时，t2不符合题意，∴a＝3.故答案为：3.本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.15．【解析】

恰好有3个不同的零点恰有三个根，然后转化成求函数值域即可.【详解】解：恰好有3个不同的零点恰有三个根，令，，在递增；，递减，递增，时，在有一个零点，在有2个零点；故答案为：.已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点，这类题一般用分离参数的方法，中档题.16．【解析】

函数等价为，由二次函数的单调性可得在R上递增，即为，可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．【详解】，等价为，且时，递增，时，递增，且，在处函数连续，可得在R上递增，即为，可得，解得，即a的取值范围是．故答案为：．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(1)见证明；(2)【解析】

（1）取PD中点G，可证EFGA是平行四边形，从而，得证线面平行；（2）取AD中点O，连结PO，可得面，连交于，可证是二面角的平面角，再在中求解即得．【详解】（1）证明：取PD中点G，连结为的中位线，且，又且，且，∴EFGA是平行四边形，则，又面，面，面；（2）解：取AD中点O，连结PO，∵面面，为正三角形，面，且，连交于，可得，，则，即．连，又，可得平面，则，即是二面角的平面角，在中，∴，即二面角的正切值为．本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算．18．（1）见解析（2）直线过定点.【解析】

（1）设出两点的坐标，利用导数求得切线的方程，设出点坐标并代入切线的方程，同理将点坐标代入切线的方程，利用韦达定理求得线段中点的横坐标，由此判断出轴.（2）求得点的纵坐标，由此求得点坐标，求得直线的斜率，由此求得直线的方程，化简后可得直线过定点.【详解】（1）设切点，，，∴切线的斜率为，切线：，设，则有，化简得，同理可的.∴，是方程的两根，∴，，，∴轴.（2）∵，∴.∵，∴直线：，即，∴直线过定点.本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19．（1）；（2）【解析】

（1）先通过求得，再由得，和条件中的式子作差可得答案；（2）变形可得，通过裂项求和法可得答案.【详解】（1）①，当时，，，当时，②，①②得：，，适合，故；（2），.本题考查法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.20．（1），；（2）【解析】试题分析：（1）由消去参数，可得的普通方程，由可得的普通方程；（2）设为曲线上一点，点到曲线的圆心的距离，结合可得最值，的最大值为，从而得解.试题解析：（1）的普通方程为.∵曲线的极坐标方程为，∴曲线的普通方程为，即.（2）设为曲线上一点，则点到曲线的圆心的距离.∵，∴当时，d有最大值.又∵P，Q分别为曲线，曲线上动点，∴的最大值为.21．（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）求导得，分类讨论和，利用导数研究含参数的函数单调性；（2）根据（1）中求得的的单调性，得出在处取得最大值为，构造函数，利用导数