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文档简介
上海南洋模范2025年数学高三上期末复习检测试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列,,,…,是首项为8,公比为得等比数列,则等于()A.64 B.32 C.2 D.42.已知复数满足,则()A. B.2 C.4 D.33.半径为2的球内有一个内接正三棱柱,则正三棱柱的侧面积的最大值为()A. B. C. D.4.设,是方程的两个不等实数根,记().下列两个命题()①数列的任意一项都是正整数;②数列存在某一项是5的倍数.A.①正确,②错误 B.①错误,②正确C.①②都正确 D.①②都错误5.设i为数单位,为z的共轭复数,若,则()A. B. C. D.6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm37.在空间直角坐标系中,四面体各顶点坐标分别为:.假设蚂蚁窝在点,一只蚂蚁从点出发,需要在,上分别任意选择一点留下信息,然后再返回点.那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是()A. B. C. D.8.用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A.k2+1C.k2+19.设函数,则使得成立的的取值范围是().A. B.C. D.10.存在点在椭圆上,且点M在第一象限,使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点,则椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D.11.数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为()A. B. C. D.12.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为11,则图中的判断条件可以为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知定义在的函数满足,且当时,,则的解集为__________________.14.在平面直角坐标系xOy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,其中A(0,1)为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为,则实数a的值为_____.15.已知函数恰好有3个不同的零点,则实数的取值范围为____16.已知,若,则a的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图所示,在四棱锥中,底面是棱长为2的正方形,侧面为正三角形,且面面,分别为棱的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正切值.18.(12分)在平面直角坐标系中,为直线上动点,过点作抛物线:的两条切线,,切点分别为,,为的中点.(1)证明:轴;(2)直线是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.19.(12分)已知数列满足:对一切成立.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.20.(12分)在平面直角坐标系中,曲线(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的普通方程;(2)若P,Q分别为曲线,上的动点,求的最大值.21.(12分)已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)当时,证明:.22.(10分)某工厂,两条相互独立的生产线生产同款产品,在产量一样的情况下通过日常监控得知,生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.(1)从,生产线上各抽检一件产品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品,以(1)中确定的作为的值.①已知,生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元.若从两条生产线上各随机抽检件产品,以挽回损失的平均数为判断依据,估计哪条生产线挽回的损失较多?②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后,每件分别获利元、元、元,现从,生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测,结果统计如下图;用样本的频率分布估计总体分布,记该工厂生产一件产品的利润为,求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知:,,故,,.故选:.本题考查了数列值的计算,意在考查学生的计算能力.2.A【解析】
由复数除法求出,再由模的定义计算出模.【详解】.故选:A.本题考查复数的除法法则,考查复数模的运算,属于基础题.3.B【解析】
设正三棱柱上下底面的中心分别为,底面边长与高分别为,利用,可得,进一步得到侧面积,再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为,底面边长与高分别为,则,在中,,化为,,,当且仅当时取等号,此时.故选:B.本题考查正三棱柱与球的切接问题,涉及到基本不等式求最值,考查学生的计算能力,是一道中档题.4.A【解析】
利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.【详解】因为,是方程的两个不等实数根,所以,,因为,所以,即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,又,,所以,,,以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,由,,依次计算可知,数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;故选:A.本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.5.A【解析】
由复数的除法求出,然后计算.【详解】,∴.故选:A.本题考查复数的乘除法运算,考查共轭复数的概念,掌握复数的运算法则是解题关键.6.B【解析】试题分析:该几何体上面是长方体,下面是四棱柱;长方体的体积,四棱柱的底面是梯形,体积为,因此总的体积.考点:三视图和几何体的体积.7.C【解析】
将四面体沿着劈开,展开后最短路径就是的边,在中,利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体沿着劈开,展开后如下图所示:最短路径就是的边.易求得,由,知,由余弦定理知其中,∴故选:C本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理的内容,考查了学生的空间想象能力,属于中档题.8.C【解析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4【详解】当n=k时,等式左端=1+1+…+k1,当n=k+1时,等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了项(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.故选:C.本题主要考查数学归纳法,属于中档题./9.B【解析】
由奇偶性定义可判断出为偶函数,由单调性的性质可知在上单调递增,由此知在上单调递减,从而将所求不等式化为,解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知:定义域为,,为偶函数,当时,,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,则在上单调递减,由得:,解得:或,的取值范围为.故选:.本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题;奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性,单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,进而化简不等式.10.D【解析】
根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.【详解】因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,由,解得,即,所以,所以.故选:D本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.11.D【解析】
利用等差数列通项公式推导出λ,由d∈[1,2],能求出实数λ取最大值.【详解】∵数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是减函数,∴d=1时,实数λ取最大值为λ.故选D.本题考查实数值的最大值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.12.B【解析】
根据程序框图知当时,循环终止,此时,即可得答案.【详解】,.运行第一次,,不成立,运行第二次,,不成立,运行第三次,,不成立,运行第四次,,不成立,运行第五次,,成立,输出i的值为11,结束.故选:B.本题考查补充程序框图判断框的条件,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由已知得出函数是偶函数,再得出函数的单调性,得出所解不等式的等价的不等式,可得解集.【详解】因为定义在的函数满足,所以函数是偶函数,又当时,,得时,,所以函数在上单调递减,所以函数在上单调递减,函数在上单调递增,所以不等式等价于,即或,解得或,所以不等式的解集为:.故答案为:.本题考查抽象函数的不等式的求解,关键得出函数的奇偶性,单调性,属于中档题.14.3【解析】
设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程可设为yx+1,(k≠0),联立方程得到B(,),故S,令t,得S,利用均值不等式得到答案.【详解】设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程可设为yx+1,(k≠0)由消去y,得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,所以x=0或x∵A的坐标(0,1),∴B的坐标为(,k•1),即B(,),因此AB•,同理可得:AC•.∴Rt△ABC的面积为SAB•AC•令t,得S.∵t2,∴S△ABC.当且仅当,即t时,△ABC的面积S有最大值为.解之得a=3或a.∵a时,t2不符合题意,∴a=3.故答案为:3.本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.15.【解析】
恰好有3个不同的零点恰有三个根,然后转化成求函数值域即可.【详解】解:恰好有3个不同的零点恰有三个根,令,,在递增;,递减,递增,时,在有一个零点,在有2个零点;故答案为:.已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点,这类题一般用分离参数的方法,中档题.16.【解析】
函数等价为,由二次函数的单调性可得在R上递增,即为,可得a的不等式,解不等式即可得到所求范围.【详解】,等价为,且时,递增,时,递增,且,在处函数连续,可得在R上递增,即为,可得,解得,即a的取值范围是.故答案为:.本题考查分段函数的单调性的判断和运用:解不等式,考查转化思想和运算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见证明;(2)【解析】
(1)取PD中点G,可证EFGA是平行四边形,从而,得证线面平行;(2)取AD中点O,连结PO,可得面,连交于,可证是二面角的平面角,再在中求解即得.【详解】(1)证明:取PD中点G,连结为的中位线,且,又且,且,∴EFGA是平行四边形,则,又面,面,面;(2)解:取AD中点O,连结PO,∵面面,为正三角形,面,且,连交于,可得,,则,即.连,又,可得平面,则,即是二面角的平面角,在中,∴,即二面角的正切值为.本题考查线面平行证明,考查求二面角.求二面角的步骤是一作二证三计算.即先作出二面角的平面角,然后证明此角是要求的二面角的平面角,最后在三角形中计算.18.(1)见解析(2)直线过定点.【解析】
(1)设出两点的坐标,利用导数求得切线的方程,设出点坐标并代入切线的方程,同理将点坐标代入切线的方程,利用韦达定理求得线段中点的横坐标,由此判断出轴.(2)求得点的纵坐标,由此求得点坐标,求得直线的斜率,由此求得直线的方程,化简后可得直线过定点.【详解】(1)设切点,,,∴切线的斜率为,切线:,设,则有,化简得,同理可的.∴,是方程的两根,∴,,,∴轴.(2)∵,∴.∵,∴直线:,即,∴直线过定点.本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查直线过定点问题,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.19.(1);(2)【解析】
(1)先通过求得,再由得,和条件中的式子作差可得答案;(2)变形可得,通过裂项求和法可得答案.【详解】(1)①,当时,,,当时,②,①②得:,,适合,故;(2),.本题考查法求数列的通项公式,考查裂项求和,是基础题.20.(1),;(2)【解析】试题分析:(1)由消去参数,可得的普通方程,由可得的普通方程;(2)设为曲线上一点,点到曲线的圆心的距离,结合可得最值,的最大值为,从而得解.试题解析:(1)的普通方程为.∵曲线的极坐标方程为,∴曲线的普通方程为,即.(2)设为曲线上一点,则点到曲线的圆心的距离.∵,∴当时,d有最大值.又∵P,Q分别为曲线,曲线上动点,∴的最大值为.21.(1)见解析;(2)见解析【解析】
(1)求导得,分类讨论和,利用导数研究含参数的函数单调性;(2)根据(1)中求得的的单调性,得出在处取得最大值为,构造函数,利用导数
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