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文档简介
辽宁大连市普兰店区第二中学2025年数学高三第一学期期末经典模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.△ABC中,AB=3,,AC=4,则△ABC的面积是()A. B. C.3 D.2.若干年前,某教师刚退休的月退休金为6000元,月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼,目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元,则目前该教师的月退休金为().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元3.已知命题若,则,则下列说法正确的是()A.命题是真命题B.命题的逆命题是真命题C.命题的否命题是“若,则”D.命题的逆否命题是“若,则”4.已知函数,则下列结论错误的是()A.函数的最小正周期为πB.函数的图象关于点对称C.函数在上单调递增D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到5.已知六棱锥各顶点都在同一个球(记为球)的球面上,且底面为正六边形,顶点在底面上的射影是正六边形的中心,若,,则球的表面积为()A. B. C. D.6.已知实数、满足不等式组,则的最大值为()A. B. C. D.7.已知复数,其中,,是虚数单位,则()A. B. C. D.8.已知抛物线的焦点为,对称轴与准线的交点为,为上任意一点,若,则()A.30° B.45° C.60° D.75°9.已知F为抛物线y2=4x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.410.“是函数在区间内单调递增”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛马羊,要求赔偿五斗粮,三畜户主愿赔偿,牛马羊吃得异样.马吃了牛的一半,羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少?它的大意是放牧人放牧时粗心大意,牛、马、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗=10升),三畜的主人同意赔偿,但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?()A. B. C. D.12.若实数满足不等式组则的最小值等于()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知过点的直线与函数的图象交于、两点,点在线段上,过作轴的平行线交函数的图象于点,当∥轴,点的横坐标是14.设为数列的前项和,若,则____15.如图是一个算法流程图,若输出的实数的值为,则输入的实数的值为______________.16.某种圆柱形的如罐的容积为个立方单位,当它的底面半径和高的比值为______.时,可使得所用材料最省.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)有最大值,且最大值大于.(1)求的取值范围;(2)当时,有两个零点,证明:.(参考数据:)18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设点在曲线上,点在曲线上,且为正三角形.(1)求点,的极坐标;(2)若点为曲线上的动点,为线段的中点,求的最大值.19.(12分)已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-,0)、F2(,0).点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(m≠3).过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点,设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3,若k1+k3=2k2,试求m,n满足的关系式.20.(12分)已知椭圆的左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为,,为其右焦点,,且该椭圆的离心率为;(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点,交直线于点,直线与椭圆的另一个交点为,直线与直线交于点.若,求取值范围.21.(12分)在中,内角的边长分别为,且.(1)若,,求的值;(2)若,且的面积,求和的值.22.(10分)设数阵,其中、、、.设,其中,且.定义变换为“对于数阵的每一行,若其中有或,则将这一行中每个数都乘以;若其中没有且没有,则这一行中所有数均保持不变”(、、、).表示“将经过变换得到,再将经过变换得到、,以此类推,最后将经过变换得到”,记数阵中四个数的和为.(1)若,写出经过变换后得到的数阵;(2)若,,求的值;(3)对任意确定的一个数阵,证明:的所有可能取值的和不超过.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面积公式计算即可.【详解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面积.故选:A本题主要考查了余弦定理的应用,三角形的面积公式,考查了学生的运算求解能力.2.D【解析】
设目前该教师的退休金为x元,利用条形图和折线图列出方程,求出结果即可.【详解】设目前该教师的退休金为x元,则由题意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故选D.本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题,属于基础题.3.B【解析】
解不等式,可判断A选项的正误;写出原命题的逆命题并判断其真假,可判断B选项的正误;利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式,解得,则命题为假命题,A选项错误;命题的逆命题是“若,则”,该命题为真命题,B选项正确;命题的否命题是“若,则”,C选项错误;命题的逆否命题是“若,则”,D选项错误.故选:B.本题考查四种命题的关系,考查推理能力,属于基础题.4.D【解析】
由可判断选项A;当时,可判断选项B;利用整体换元法可判断选项C;可判断选项D.【详解】由题知,最小正周期,所以A正确;当时,,所以B正确;当时,,所以C正确;由的图象向左平移个单位,得,所以D错误.故选:D.本题考查余弦型函数的性质,涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识,是一道中档题.5.D【解析】
由题意,得出六棱锥为正六棱锥,求得,再结合球的性质,求得球的半径,利用表面积公式,即可求解.【详解】由题意,六棱锥底面为正六边形,顶点在底面上的射影是正六边形的中心,可得此六棱锥为正六棱锥,又由,所以,在直角中,因为,所以,设外接球的半径为,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面积为.故选:D.本题主要考查了正棱锥的几何结构特征,以及外接球的表面积的计算,其中解答中熟记几何体的结构特征,熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力,以及推理与计算能力,属于中档试题.6.A【解析】
画出不等式组所表示的平面区域,结合图形确定目标函数的最优解,代入即可求解,得到答案.【详解】画出不等式组所表示平面区域,如图所示,由目标函数,化为直线,当直线过点A时,此时直线在y轴上的截距最大,目标函数取得最大值,又由,解得,所以目标函数的最大值为,故选A.本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力,属于基础题.7.D【解析】试题分析:由,得,则,故选D.考点:1、复数的运算;2、复数的模.8.C【解析】
如图所示:作垂直于准线交准线于,则,故,得到答案.【详解】如图所示:作垂直于准线交准线于,则,在中,,故,即.故选:.本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.9.C【解析】
将直线方程代入抛物线方程,根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值.【详解】F(1,0),故直线AB的方程为y=x﹣1,联立方程组,可得x2﹣6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可知x1+x2=6,x1x2=1.由抛物线的定义可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故选C.本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,属于中档题.10.C【解析】,令解得当,的图像如下图当,的图像如下图由上两图可知,是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念,以及函数图像的画法.11.D【解析】
设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,.故选:D.本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.12.A【解析】
首先画出可行域,利用目标函数的几何意义求的最小值.【详解】解:作出实数,满足不等式组表示的平面区域(如图示:阴影部分)由得,由得,平移,易知过点时直线在上截距最小,所以.故选:A.本题考查了简单线性规划问题,求目标函数的最值先画出可行域,利用几何意义求值,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
通过设出A点坐标,可得C点坐标,通过∥轴,可得B点坐标,于是再利用可得答案.【详解】根据题意,可设点,则,由于∥轴,故,代入,可得,即,由于在线段上,故,即,解得.14.【解析】
当时,由,解得,当时,,两式相减可得,即,可得数列是等比数列再求通项公式.【详解】当时,,即,当时,,两式相减可得,即,即,故数列是以为首项,为公比的等比数列,所以.故答案为:本题考查数列的前项和与通项公式的关系,还考查运算求解能力以及化归与转化思想,属于基础题.15.【解析】
根据程序框图得到程序功能,结合分段函数进行计算即可.【详解】解:程序的功能是计算,若输出的实数的值为,则当时,由得,当时,由,此时无解.故答案为:.本题主要考查程序框图的识别和判断,理解程序功能是解决本题的关键,属于基础题.16.【解析】
设圆柱的高为,底面半径为,根据容积为个立方单位可得,再列出该圆柱的表面积,利用导数求出最值,从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值.【详解】设圆柱的高为,底面半径为.∵该圆柱形的如罐的容积为个立方单位∴,即.∴该圆柱形的表面积为.令,则.令,得;令,得.∴在上单调递减,在上单调递增.∴当时,取得最小值,即材料最省,此时.故答案为:.本题考查函数的应用,解答本题的关键是写出表面积的表示式,再利用导数求函数的最值,属中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)证明见解析.【解析】
(1)求出函数的定义域为,,分和两种情况讨论,分析函数的单调性,求出函数的最大值,即可得出关于实数的不等式,进而可求得实数的取值范围;(2)利用导数分析出函数在上递增,在上递减,可得出,由,构造函数,证明出,进而得出,再由函数在区间上的单调性可证得结论.【详解】(1)函数的定义域为,且.当时,对任意的,,此时函数在上为增函数,函数为最大值;当时,令,得.当时,,此时函数单调递增;当时,,此时函数单调递减.所以,函数在处取得极大值,亦即最大值,即,解得.综上所述,实数的取值范围是;(2)当时,,定义域为,,当时,;当时,.所以,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.由于函数有两个零点、且,,,构造函数,其中,,令,,当时,,所以,函数在区间上单调递减,则,则.所以,函数在区间上单调递减,,,即,即,,且,而函数在上为减函数,所以,,因此,.本题考查利用函数的最值求参数,同时也考查了利用导数证明函数不等式,利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于难题.18.(1),;(2).【解析】
(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式,即得解;(2)设点的直角坐标为,则点的直角坐标为.将此代入曲线的方程,可得点在以为圆心,为半径的圆上,所以的最大值为,即得解.【详解】(1)因为点在曲线上,为正三角形,所以点在曲线上.又因为点在曲线上,所以点的极坐标是,从而,点的极坐标是.(2)由(1)可知,点的直角坐标为,B的直角坐标为设点的直角坐标为,则点的直角坐标为.将此代入曲线的方程,有即点在以为圆心,为半径的圆上.,所以的最大值为.本题考查了极坐标和参数方程综合,考查了极坐标和直角坐标互化,参数方程的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.19.(1);(2)m-n-1=0【解析】试题分析:(1)利用M与短轴端点构成等腰直角三角形,可求得b的值,进而得到椭圆方程;(2)设出过M的直线l的方程,将l与椭圆C联立,得到两交点坐标关系,然后将k1+k3表示为直线l斜率的关系式,化简后得k1+k3=2,于是可得m,n的关系式.试题解析:(1)由题意,c=,b=1,所以a=故椭圆C的方程为(2)①当直线l的斜率不存在时,方程为x=1,代入椭圆得,y=±不妨设A(1,),B(1,-)因为k1+k3==2又k1+k3=2k2,所以k2=1所以m,n的关系式为=1,即m-n-1=0②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1)将y=k(x-1)代入,整理得:(3k2+1)x2-6k2x+3k2-3=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)所以k1+k3======2所以2k2=2,所以k2==1所以m,n的关系式为m-n-1=0综上所述,m,n的关系式为m-n-1=0.考点:椭圆标准方程,直线与椭圆位置关系,20.(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】
(Ⅰ)由题意可得,的坐标,结合椭圆离心率,及隐含条件列式求得,的值,则椭圆方程可求;(Ⅱ)设直线,求得的坐标,再设直线,求出点的坐标,写出的方程,联立与,可求出的坐标,由,可得关于的函数式,由单调性可得取值范围.【详解】(Ⅰ),,,,,由,得,又,,解得:,,.椭圆的标准方程为;(Ⅱ)设直线,则与直线的交点,又,设直线,联立,消可得.解得,,联立,得,,直线,联立,解得,,,,,,,,函数在上单调递增,,.本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查运算求解能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.(1);(2).【解析】
(1)先由余弦定理求得,再由正弦定理计算即可得到所求
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