2025年体育单招高考数学强化训练卷及答案

2025年体育单招高考数学强化训练卷及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2-ax+a-1=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(2\)或\(3\)D.\(1\)或\(2\)或\(3\)解析：先求解集合\(A\)，由\(x^2-3x+2=0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。对于集合\(B\)，由\(x^2-ax+a-1=0\)，因式分解得\((x-1)[x-(a-1)]=0\)，解得\(x=1\)或\(x=a-1\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(a-1=1\)时，\(a=2\)，此时\(B=\{1\}\)，满足\(B\subseteqA\)；当\(a-1=2\)时，\(a=3\)，此时\(B=\{1,2\}\)，满足\(B\subseteqA\)。所以实数\(a\)的值为\(2\)或\(3\)，答案选C。2.函数\(y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-4x+3)\)的单调递增区间是（）A.\((-\infty,1)\)B.\((-\infty,2)\)C.\((2,+\infty)\)D.\((3,+\infty)\)解析：首先，要使函数\(y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-4x+3)\)有意义，则\(x^2-4x+3>0\)，因式分解得\((x-1)(x-3)>0\)，解得\(x<1\)或\(x>3\)。令\(t=x^2-4x+3=(x-2)^2-1\)，函数\(y=\log_{\frac{1}{2}}t\)在\((0,+\infty)\)上是减函数。对于二次函数\(t=(x-2)^2-1\)，其对称轴为\(x=2\)，在\((-\infty,2)\)上单调递减，在\((2,+\infty)\)上单调递增。根据复合函数“同增异减”的原则，求\(y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-4x+3)\)的单调递增区间，即求\(t=x^2-4x+3\)在定义域\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\)上的单调递减区间，所以单调递增区间是\((-\infty,1)\)，答案选A。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,1)\)，若\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)与\(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)平行，则\(x\)的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(\frac{3}{2}\)D.\(2\)解析：已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,1)\)，则\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(1+2x,2+2\times1)=(1+2x,4)\)，\(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(2\times1-x,2\times2-1)=(2-x,3)\)。因为\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)与\(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)平行，所以\(3(1+2x)-4(2-x)=0\)。展开得\(3+6x-8+4x=0\)，合并同类项得\(10x-5=0\)，移项得\(10x=5\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)，答案选A。4.若\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，且\(0<\alpha<\pi\)，则\(\tan\alpha\)的值为（）A.\(-\frac{4}{3}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{3}{4}\)解析：已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，两边平方得\((\sin\alpha+\cos\alpha)^2=(\frac{1}{5})^2\)，即\(\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=\frac{1}{25}\)。因为\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，所以\(1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{25}\)，则\(2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{24}{25}<0\)。因为\(0<\alpha<\pi\)，\(\sin\alpha\cos\alpha<0\)，所以\(\sin\alpha>0\)，\(\cos\alpha<0\)。\((\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1-(-\frac{24}{25})=\frac{49}{25}\)，则\(\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{7}{5}\)（因为\(\sin\alpha>0\)，\(\cos\alpha<0\)）。联立\(\begin{cases}\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\\\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{7}{5}\end{cases}\)，两式相加得\(2\sin\alpha=\frac{8}{5}\)，解得\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)；两式相减得\(2\cos\alpha=-\frac{6}{5}\)，解得\(\cos\alpha=-\frac{3}{5}\)。所以\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}\)，答案选A。5.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_4+a_5=12\)，则\(S_7\)的值为（）A.\(28\)B.\(36\)C.\(42\)D.\(48\)解析：因为\(\{a_n\}\)是等差数列，根据等差数列的性质：若\(m+n=p+q\)，则\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。所以\(a_3+a_5=2a_4\)，已知\(a_3+a_4+a_5=12\)，即\(3a_4=12\)，解得\(a_4=4\)。等差数列的前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，则\(S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}\)。又因为\(a_1+a_7=2a_4\)，所以\(S_7=\frac{7\times2a_4}{2}=7a_4=7\times4=28\)，答案选A。6.已知直线\(l_1:ax+2y+6=0\)与直线\(l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0\)平行，则\(a\)的值为（）A.\(-1\)B.\(2\)C.\(-1\)或\(2\)D.\(1\)或\(-2\)解析：若两直线\(A_1x+B_1y+C_1=0\)与\(A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，则\(A_1B_2-A_2B_1=0\)且\(A_1C_2-A_2C_1\neq0\)。对于直线\(l_1:ax+2y+6=0\)与直线\(l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0\)，由\(A_1B_2-A_2B_1=0\)得\(a(a-1)-1\times2=0\)，即\(a^2-a-2=0\)，因式分解得\((a-2)(a+1)=0\)，解得\(a=2\)或\(a=-1\)。当\(a=2\)时，\(l_1:2x+2y+6=0\)即\(x+y+3=0\)，\(l_2:x+(2-1)y+2^2-1=0\)即\(x+y+3=0\)，两直线重合，不符合要求。当\(a=-1\)时，\(l_1:-x+2y+6=0\)，\(l_2:x+(-1-1)y+(-1)^2-1=0\)即\(x-2y=0\)，两直线平行，符合要求。所以\(a=-1\)，答案选A。7.已知抛物线\(y^2=2px(p>0)\)的焦点为\(F\)，点\(M(3,m)\)在抛物线上，且\(|MF|=5\)，则\(p\)的值为（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)解析：抛物线\(y^2=2px(p>0)\)的准线方程为\(x=-\frac{p}{2}\)。根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。已知点\(M(3,m)\)在抛物线上，且\(|MF|=5\)，则\(3+\frac{p}{2}=5\)，移项得\(\frac{p}{2}=2\)，解得\(p=4\)，答案选B。8.从\(5\)名男生和\(3\)名女生中选出\(3\)人参加某项活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选法种数为（）A.\(45\)B.\(56\)C.\(60\)D.\(112\)解析：“至少有一名女生参加”的对立事件是“没有女生参加”。从\(8\)人中选\(3\)人的选法种数为\(C_{8}^{3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)种。从\(5\)名男生中选\(3\)人的选法种数为\(C_{5}^{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)种。所以至少有一名女生参加的选法种数为\(C_{8}^{3}-C_{5}^{3}=56-10=45\)种，答案选A。9.若\((x+\frac{1}{x})^n\)的展开式中第\(3\)项与第\(7\)项的二项式系数相等，则该展开式中\(\frac{1}{x^2}\)的系数为（）A.\(21\)B.\(42\)C.\(56\)D.\(84\)解析：二项式\((a+b)^n\)的展开式的通项公式为\(T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}\)，二项式系数为\(C_{n}^{r}\)。已知\((x+\frac{1}{x})^n\)的展开式中第\(3\)项与第\(7\)项的二项式系数相等，即\(C_{n}^{2}=C_{n}^{6}\)，根据二项式系数的性质\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)，可得\(n=2+6=8\)。则\((x+\frac{1}{x})^8\)的展开式的通项公式\(T_{r+1}=C_{8}^{r}x^{8-r}(\frac{1}{x})^{r}=C_{8}^{r}x^{8-2r}\)。令\(8-2r=-2\)，移项得\(2r=10\)，解得\(r=5\)。所以\(\frac{1}{x^2}\)的系数为\(C_{8}^{5}=C_{8}^{3}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)，答案选C。10.已知函数\(f(x)=x^3-3x+m\)在区间\([-3,0]\)上的最大值为\(2\)，则\(m\)的值为（）A.\(2\)B.\(1\)C.\(0\)D.\(-1\)解析：对函数\(f(x)=x^3-3x+m\)求导得\(f^\prime(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3(x+1)(x-1)=0\)，解得\(x=-1\)或\(x=1\)。当\(x\in[-3,-1)\)时，\(f^\prime(x)>0\)，函数\(f(x)\)单调递增；当\(x\in(-1,0]\)时，\(f^\prime(x)<0\)，函数\(f(x)\)单调递减。所以\(f(x)\)在\(x=-1\)处取得极大值，也是区间\([-3,0]\)上的最大值。\(f(-1)=(-1)^3-3\times(-1)+m=-1+3+m=m+2\)。已知\(f(x)\)在区间\([-3,0]\)上的最大值为\(2\)，即\(m+2=2\)，解得\(m=0\)，答案选C。二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）11.已知\(\log_3x=2\)，则\(x\)的值为______。解析：根据对数的定义，若\(\log_aN=b\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)，\(N>0\)），则\(N=a^b\)。已知\(\log_3x=2\)，所以\(x=3^2=9\)。12.已知角\(\alpha\)终边上一点\(P(-4,3)\)，则\(\cos\alpha\)的值为______。解析：已知角\(\alpha\)终边上一点\(P(x,y)=(-4,3)\)，则\(r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5\)。根据三角函数的定义\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)，所以\(\cos\alpha=\frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}\)。13.已知等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，则公比\(q\)的值为______。解析：等比数列的通项公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，则\(a_5=a_2q^{5-2}\)，已知\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，所以\(16=2q^3\)，即\(q^3=8\)，解得\(q=2\)。14.已知圆\(x^2+y^2-2x-4y+m=0\)与直线\(x+2y-4=0\)相交于\(M\)，\(N\)两点，且\(OM\perpON\)（\(O\)为坐标原点），则\(m\)的值为______。解析：将圆的方程\(x^2+y^2-2x-4y+m=0\)化为标准方程\((x-1)^2+(y-2)^2=5-m\)，圆心坐标为\((1,2)\)，半径\(r=\sqrt{5-m}(m<5)\)。设\(M(x_1,y_1)\)，\(N(x_2,y_2)\)，由\(\begin{cases}x+2y-4=0\\x^2+y^2-2x-4y+m=0\end{cases}\)，将\(x=4-2y\)代入圆的方程得：\((4-2y)^2+y^2-2(4-2y)-4y+m=0\)，\(16-16y+4y^2+y^2-8+4y-4y+m=0\)，\(5y^2-16y+m+8=0\)。根据韦达定理\(y_1+y_2=\frac{16}{5}\)，\(y_1y_2=\frac{m+8}{5}\)。则\(x_1x_2=(4-2y_1)(4-2y_2)=16-8(y_1+y_2)+4y_1y_2=16-8\times\frac{16}{5}+4\times\frac{m+8}{5}\)。因为\(OM\perpON\)，所以\(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=x_1x_2+y_1y_2=0\)，即\(16-8\times\frac{16}{5}+4\times\frac{m+8}{5}+\frac{m+8}{5}=0\)，\(80-128+4(m+8)+(m+8)=0\)，\(80-128+4m+32+m+8=0\)，\(5m-8=0\)，解得\(m=\frac{8}{5}\)。15.已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)满足\(|\overrightarrow{a}|=1\)，\(|\overrightarrow{b}|=2\)，\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)，则\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\)的值为______。解析：\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2}=\sqrt{\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2}\)。因为\(\overrightarrow{a}^2=|\overrightarrow{a}|^2=1\)，\(\overrightarrow{b}^2=|\overrightarrow{b}|^2=4\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos60^{\circ}=1\times2\times\frac{1}{2}=1\)。所以\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{1-2\times1+4}=\sqrt{3}\)。16.函数\(y=\sin2x+\sqrt{3}\cos2x\)的最小正周期为______。解析：\(y=\sin2x+\sqrt{3}\cos2x=2(\frac{1}{2}\sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x)=2(\sin2x\cos\frac{\pi}{3}+\cos2x\sin\frac{\pi}{3})=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)。根据正弦函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，这里\(\omega=2\)，所以最小正周期\(T=\pi\)。三、解答题（本大题共3小题，共54分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分18分）已知函数\(f(x)=2\sin^2x+2\sqrt{3}\sinx\cosx-1\)。（1）求函数\(f(x)\)的最小正周期；（2）求函数\(f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值和最小值。解析：（1）首先对函数\(f(x)\)进行化简：\(f(x)=2\sin^2x+2\sqrt{3}\sinx\cosx-1\)根据二倍角公式\(\cos2x=1-2\sin^2x\)，则\(2\sin^2x=1-\cos2x\)；根据二倍角公式\(\sin2x=2\sinx\cosx\)。\(f(x)=1-\cos2x+\sqrt{3}\sin2x-1=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x\)\(=2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x-\frac{1}{2}\cos2x)=2(\sin2x\cos\frac{\pi}{6}-\cos2x\sin\frac{\pi}{6})=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)。根据正弦函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，这里\(\omega=2\)，所以函数\(f(x)\)的最小正周期\(T=\pi\)。（2）已知\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，则\(2x\in[0,\pi]\)，\(2x-\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]\)。当\(2x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\)，即\(2x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}\)，\(x=\frac{\pi}{3}\)时，\(\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)取得最大值\(1\)，此时\(f(x)_{max}=2\times1=2\)。当\(2x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}\)，即\(x=0\)时，\(\sin(2x-\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}\)，此时\(f(x)=2\times(-\frac{1}{2})=-1\)；当\(2x-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\)，即\(2x=\pi\)，\(x=\frac{\pi}{2}\)时，\(\sin(2x-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\)，此时\(f(x)=2\times\frac{1}{2}=1\)。所以\(f(x)_{min}=-1\)。18.（本题满分18分）已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且过点\((1,\frac{\sqrt{3}}{2})\)。（1）求椭圆\(C\)的方程；（2）设直线\(l:y=kx+m\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，若\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)，求\(\frac{m^2}{k^2+1}\)的值。解析：（1）椭圆的离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，即\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)，又因为\(c^2=a^2-b^2\)，所以\((\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2=a^2-b^2\)，化简得\(b^2=\frac{1}{4}a^2\)。椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)过点\((1,\frac{\sqrt{3}}{2})\)，则\(\frac{1}{a^2}+\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{b^2}=1\)。将\(b^2=\frac{1}{4}a^2\)代入\(\frac{1}{a^2}+\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{b^2}=1\)得：\(\frac{1}{a^2}+\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}a^2}=1\)，即\(\frac{1}{a^2}+\frac{3}{a^2}=1\)，\(\frac{4}{a^2}=1\)，解得\(a^2=4\)，则\(b^2=1\)。所以椭圆\(C\)的方程为\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)。（2）设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，由\(\begin{cases}y=kx+m\\\frac{x^2}{4}+y^2=1\end{cases}\)，将\(y=kx+m\)代入\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)得：\(\frac{x^2}{4}+(kx+m)^2=1\)，\(\frac{x^2}{4}+k^2x^2+2kmx+m^2-1=0\)，\((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0\)。根据韦达定理\(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2}\)，\(x_1x_2=\frac{4m^2-4}{1+4k^2}\)。\(y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2\)\(=k^2\times\frac{4m^2-4}{1+4k^2}+km\times(-\frac{8km}{1