2025年体育单招试卷数学模拟试卷及答案

2025年体育单招数学模拟及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2-ax+a-1=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(2\)或\(3\)D.\(1\)或\(2\)或\(3\)2.函数\(y=\log_{0.5}(x^2-4x+3)\)的单调递减区间是（）A.\((-\infty,1)\)B.\((3,+\infty)\)C.\((-\infty,2)\)D.\((2,+\infty)\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,3)\)，若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，则\(x\)的值为（）A.\(6\)B.\(-6\)C.\(\frac{3}{2}\)D.\(-\frac{3}{2}\)4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，则\(\tan\alpha\)的值为（）A.\(\frac{3}{4}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(-\frac{4}{3}\)5.若等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_3=9\)，则\(S_{10}\)的值为（）A.\(100\)B.\(110\)C.\(120\)D.\(130\)6.已知直线\(l_1:2x+(m+1)y+4=0\)与直线\(l_2:mx+3y-2=0\)平行，则\(m\)的值为（）A.\(2\)或\(-3\)B.\(-2\)或\(3\)C.\(2\)D.\(-3\)7.椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)上一点\(P\)到左焦点\(F_1\)的距离为\(6\)，则点\(P\)到右焦点\(F_2\)的距离为（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)8.从\(5\)名男生和\(3\)名女生中任选\(3\)人参加某项活动，则所选\(3\)人中至少有\(1\)名女生的概率为（）A.\(\frac{11}{28}\)B.\(\frac{15}{28}\)C.\(\frac{17}{28}\)D.\(\frac{23}{28}\)9.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的图象的一个对称中心是（）A.\((\frac{\pi}{12},0)\)B.\((-\frac{\pi}{12},0)\)C.\((\frac{\pi}{6},0)\)D.\((-\frac{\pi}{6},0)\)10.在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，异面直线\(A_1B\)与\(AD_1\)所成角的大小为（）A.\(30^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(60^{\circ}\)D.\(90^{\circ}\)二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。11.已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leqslant0\\\log_2x,x>0\end{cases}\)，则\(f(f(-1))=\)______。12.若\((x+\frac{1}{x})^n\)的展开式中第\(3\)项与第\(7\)项的二项式系数相等，则该展开式中\(x^2\)的系数为______。13.已知\(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=2\)，则\(\tan\alpha\)的值为______。14.已知圆\(C:x^2+y^2-4x+2y=0\)，则圆心\(C\)的坐标为______，半径\(r=\)______。15.已知等比数列\(\{a_n\}\)的公比\(q=2\)，\(a_3=8\)，则\(a_5\)的值为______。16.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,-1)\)，若\(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)垂直，则\(k\)的值为______。三、解答题：本大题共3小题，共54分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本题满分18分）已知函数\(f(x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)。（1）求函数\(f(x)\)的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数\(f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值和最小值。18.（本题满分18分）已知数列\(\{a_n\}\)是等差数列，\(a_1=2\)，\(a_3+a_4=14\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）设\(b_n=2^{a_n}\)，求数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)。19.（本题满分18分）已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且过点\((1,\frac{\sqrt{3}}{2})\)。（1）求椭圆\(C\)的方程；（2）设直线\(l:y=kx+m\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，若\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)，求\(\frac{m^2}{1+k^2}\)的值。答案一、选择题1.先求解集合\(A\)：-对于方程\(x^2-3x+2=0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。-对于方程\(x^2-ax+a-1=0\)，因式分解得\((x-1)[x-(a-1)]=0\)，解得\(x=1\)或\(x=a-1\)，所以\(B=\{1,a-1\}\)。-因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)，则\(a-1=1\)或\(a-1=2\)，解得\(a=2\)或\(a=3\)。答案选C。2.先求函数的定义域：-由\(x^2-4x+3>0\)，因式分解得\((x-1)(x-3)>0\)，解得\(x<1\)或\(x>3\)。-令\(t=x^2-4x+3=(x-2)^2-1\)，函数\(y=\log_{0.5}t\)在\((0,+\infty)\)上单调递减。-根据复合函数“同增异减”原则，求\(t=x^2-4x+3\)的单调递增区间，\(t\)的对称轴为\(x=2\)，其单调递增区间为\((3,+\infty)\)。所以函数\(y=\log_{0.5}(x^2-4x+3)\)的单调递减区间是\((3,+\infty)\)。答案选B。3.因为\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，根据向量垂直的性质\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)。-已知\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,3)\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\timesx+(-2)\times3=0\)，即\(x-6=0\)，解得\(x=6\)。答案选A。4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，根据\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)。-则\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\)。答案选B。5.设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)。-已知\(a_3=5\)，\(S_3=9\)，\(S_3=a_1+a_2+a_3=3a_2=9\)，则\(a_2=3\)。-所以\(d=a_3-a_2=5-3=2\)，\(a_1=a_2-d=3-2=1\)。-根据等差数列前\(n\)项和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，可得\(S_{10}=10\times1+\frac{10\times9}{2}\times2=10+90=100\)。答案选A。6.若两直线\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)，\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，则\(A_1B_2-A_2B_1=0\)且\(A_1C_2-A_2C_1\neq0\)。-对于直线\(l_1:2x+(m+1)y+4=0\)与直线\(l_2:mx+3y-2=0\)，有\(2\times3-m(m+1)=0\)，即\(m^2+m-6=0\)，因式分解得\((m+3)(m-2)=0\)，解得\(m=2\)或\(m=-3\)。-当\(m=2\)时，\(l_1:2x+3y+4=0\)，\(l_2:2x+3y-2=0\)，满足平行条件；当\(m=-3\)时，\(l_1:2x-2y+4=0\)，\(l_2:-3x+3y-2=0\)，也满足平行条件。答案选A。7.根据椭圆的定义：平面内与两个定点\(F_1,F_2\)的距离之和等于常数（大于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做椭圆，\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)。-由椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)，可得\(a=5\)。-已知\(|PF_1|=6\)，则\(|PF_2|=2a-|PF_1|=10-6=4\)。答案选B。8.“所选\(3\)人中至少有\(1\)名女生”的对立事件是“所选\(3\)人都是男生”。-从\(8\)人中选\(3\)人的选法有\(C_{8}^3=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)种。-从\(5\)名男生中选\(3\)人的选法有\(C_{5}^3=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)种。-所以“所选\(3\)人都是男生”的概率为\(\frac{C_{5}^3}{C_{8}^3}=\frac{10}{56}=\frac{5}{28}\)。-则“所选\(3\)人中至少有\(1\)名女生”的概率为\(1-\frac{5}{28}=\frac{23}{28}\)。答案选D。9.对于函数\(y=\sinx\)，其对称中心为\((k\pi,0),k\inZ\)。-令\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi,k\inZ\)，解得\(x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6},k\inZ\)。-当\(k=0\)时，\(x=-\frac{\pi}{6}\)，所以函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的图象的一个对称中心是\((-\frac{\pi}{6},0)\)。答案选D。10.连接\(BC_1\)，\(A_1C_1\)。-因为\(AD_1\parallelBC_1\)，所以\(\angleA_1BC_1\)就是异面直线\(A_1B\)与\(AD_1\)所成的角。-又因为\(A_1B=BC_1=A_1C_1\)（正方体面对角线相等），所以\(\triangleA_1BC_1\)是等边三角形，则\(\angleA_1BC_1=60^{\circ}\)。答案选C。二、填空题11.先求\(f(-1)\)：-因为\(-1\leqslant0\)，所以\(f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2}\)。-再求\(f(f(-1))\)，即\(f(\frac{1}{2})\)，因为\(\frac{1}{2}>0\)，所以\(f(\frac{1}{2})=\log_2\frac{1}{2}=-1\)。12.因为\((x+\frac{1}{x})^n\)的展开式中第\(3\)项与第\(7\)项的二项式系数相等，根据二项式系数的性质\(C_{n}^m=C_{n}^{n-m}\)，可得\(C_{n}^2=C_{n}^6\)，则\(n=2+6=8\)。-二项式\((x+\frac{1}{x})^8\)的通项公式为\(T_{r+1}=C_{8}^rx^{8-r}(\frac{1}{x})^r=C_{8}^rx^{8-2r}\)。-令\(8-2r=2\)，解得\(r=3\)。-所以\(x^2\)的系数为\(C_{8}^3=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)。13.根据\(\tan(A+B)=\frac{\tanA+\tanB}{1-\tanA\tanB}\)，已知\(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=2\)，则\(\frac{\tan\alpha+\tan\frac{\pi}{4}}{1-\tan\alpha\tan\frac{\pi}{4}}=2\)，即\(\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}=2\)。-解方程\(\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}=2\)，\(\tan\alpha+1=2-2\tan\alpha\)，\(3\tan\alpha=1\)，解得\(\tan\alpha=\frac{1}{3}\)。14.将圆\(C:x^2+y^2-4x+2y=0\)化为标准方程：-\(x^2-4x+4+y^2+2y+1=4+1\)，即\((x-2)^2+(y+1)^2=5\)。-所以圆心\(C\)的坐标为\((2,-1)\)，半径\(r=\sqrt{5}\)。15.根据等比数列的通项公式\(a_n=a_mq^{n-m}\)，已知公比\(q=2\)，\(a_3=8\)，则\(a_5=a_3q^{5-3}=8\times2^2=32\)。16.已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,-1)\)，则\(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=k(1,2)+(2,-1)=(k+2,2k-1)\)，\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(1-2,2+1)=(-1,3)\)。-因为\(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)垂直，所以\((k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=0\)。-即\(-(k+2)+3(2k-1)=0\)，\(-k-2+6k-3=0\)，\(5k=5\)，解得\(k=1\)。三、解答题17.（1）-对于函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，所以函数\(f(x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。-由\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x-\frac{\pi}{3}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，解不等式：-先对不等式进行移项：\(2k\pi-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\leqslant2x\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\)，即\(2k\pi-\frac{\pi}{6}\leqslant2x\leqslant2k\pi+\frac{5\pi}{6}\)。-再除以\(2\)得：\(k\pi-\frac{\pi}{12}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{5\pi}{12},k\inZ\)。-所以函数\(f(x)\)的单调递增区间为\([k\pi-\frac{\pi}{12},k\pi+\frac{5\pi}{12}],k\inZ\)。（2）-已知\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，则\(2x-\frac{\pi}{3}\in[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]\)。-当\(2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\)，即\(x=\frac{5\pi}{12}\)时，\(f(x)\)取得最大值\(f(\frac{5\pi}{12})=2\sin\frac{\pi}{2}=2\)。-当\(2x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}\)，即\(x=0\)时，\(f(x)=2\sin(-\frac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\)；当\(2x-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)，即\(x=\frac{\pi}{2}\)时，\(f(x)=2\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt{3}\)，所以\(f(x)\)的最小值为\(-\sqrt{3}\)。18.（1）-设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)。-已知\(a_1=2\)，\(a_3+a_4=14\)，\(a_3=a_1+2d=2+2d\)，\(a_4=a_1+3d=2+3d\)。-则\((2+2d)+(2+3d)=14\)，\(4+5d=14\)，解得\(d=2\)。-根据等差数列的通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(a_n=2+(n-1)\times2=2n\)。（2）-由（1）知\(a_n=2n\)，则\(b_n=2^{a_n}=2^{2n}=4^n\)。-因为\(\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{4^{n+1}}{4^n}=4\)，\(b_1=4^1=4\)，所以数列\(\{b_n\}\)是以\(4\)为首项，\(4\)为公比的等比数列。-根据等比数列的前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)，可得\(S_n=\frac{4(1-4^n)}{1-4}=\frac{4^{n+1}-4}{3}\)。19.（1）-已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，即\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)。-又\(c^2=a^2-b^2\)，所以\((\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2=a^2-b^2\)，化简得\(b^2=\frac{1}{4}a^2\)，则椭圆方程可化为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1\)。-因为椭圆过点\((1,\frac{\sqrt{3}}{2})\)，代入椭圆方程得\(\frac{1}{a^2}+\frac{4\t