2021-2025年高考数学试题分类汇编：平面向量9种常见考法归类解析版

专题09平面向量9种常见考法归类

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01平面向量的坐标运算

2025•全国一卷

知识1平面向

量的基本定理考点（）2平面向量基本定理的应用

与坐标表示2025•天津2022•新高考全国I卷2022•天津

（5年4考）

考点03平面向量的共线问题

2024•上海2021•全国乙卷

考点04平面向量的数量积

2024•北京2023•全国乙卷2023•上海2022•上海

2022-全国甲卷2022-全国乙卷2021•浙江

1.平面向量的线性运算一般考查基

新高考全国卷北京

2021H2021础的三角形法则，属于简单题目。

考点05平面向量数量积的最值问题对于此类题目可以转化成坐标运

2024•天津2023•天津2023•全国乙卷2022•北京算

考点06平面向量的垂直问题2.平面向最数显积运算是高考数学

知识2平面向2024•新课标I卷2024•全国甲卷高频考点，一般考查向量的平行垂

量的数量积2023•新课标I卷2022•全国甲卷2021•全国甲卷直以及夹角问题，容易与充要条件

相结合，考杳比较简单，但是属于

（5年5考）2021•全国乙卷

易错点。

考点07平面向量的模长问题

2025•上海2025•北京2025•全国二卷2024•新课

标H卷2023•新课标H卷2023•北京

2022•全国乙卷2021•全国甲卷

2021•新高考全国I卷

考点08平面向量的夹角问题

2023•全国甲卷2022•新高考全国II卷

知识3向量与

考点09平面向量的最值问题

几何最值

2022•浙江2021•浙江

（5年2考）

分考点•精准练

考点01平面向量的坐标运算

1.（2025•全国一卷•高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航

海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船

行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对

应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向

量的大小相同)，单位(m/s),则真风为()

等级风速大小m/s名称

21.6-33轻风

33.4~5.4微风

45.5~7.9和风

58.0-10.7劲风

A.轻风B.微风C.和风D.劲风

【答案】A

【分析】结合题目条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量,

得出真风风速的大小，即可由图1得出结论.

【详解】由题意及图得，

视风风速对应的向量为：7=(0,2)-(3,3)=(-3,-1),

视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，

船速方向和船行风速的向量方向相反，

设真风风速对应的向量为E，船行风速对应的向量为元，

・・・〃=1+%,船行风速：^=-[(3,3)-(2,0)]=(-1,-3),

叫=n—n2=(—3,—1)—(—1,-3)=(—2,2),

初卜《(-2丫+2?=272®2.828,

・••由表得，真风风速为轻风，

故选：A.

考点02平面向量基本定理的应用

2.12022•新高考仝国I卷•高考真题)在V48。中，点。在边上，BD=IDA.记9=而无=行，则在

)

A.3m-2nB.-2m+3nC.3册+2万D.2所+3”

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边力4上，BD=2DA,所以丽=2次，即历一赤=2（B-丽），

所以而=3而-20=312而=-2而+3万.

故选:B.

3.（2025・天津•高考真题）V"C中，D为AB边中点、,屈=；而，万=瓦祝=5,则族=（用I,

5表示），若|荏|=5,AE1CB,则荏.丽=

1一2-

【答案】—«+—/）；-15

63

【分析】根据向量的线性运算求解即可空」应用数量积运算律计算求解空二.

【详解】如图，

因为屈=;而，所以万一就=;（而一就卜所以存=：力+1就.

因为Q为线段48的中点，所以方=，而+］就=!）+］九

6363

(\2-V=^-a2+-a-b+-b2=25,

又因为|赤卜5,力七_LC4,所以下2=-a+-b

163J3699

酢・丽=；示+；小5一,庐二°，所以丁+3〉月二布2

\V?DJ。/，

“」以a+4。♦3=180，

所以荏•丽万+之6］・2

163八+黑卜步+$"亨=\『+钎）

=-^(a2+2ab-2d2-6ab)=-^^-a2-4a^)=-15

I_2_

故答案为：—«+—/)：-15.

63

4.（2022・天津•高考真题）在V力6c中，点。为力C的中点，点石满足。=2乐.记匕5=比无=6，用痴

圆，当且仅当C与。仞相切时，最大，此时sinC=三二3二!，NC=£.

CM426

3—1-TT

故答案为：-b--a；—.

226

考点03平面向量的共线问题

5.（2024・上海•高考真题）己知攵£艮1=（2,5）方=（6,女），且,//石，则攵的值为.

【答案】15

【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】•.•值〃5，,•・27=5x6,解得左=15.

故答案为：15.

6.（2021•全国乙卷•高考真题）已知向量3=（2,5）［=（人4）,若:加，则4=.

【答案】|

【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于％的方程，解方程即可求得熨数2的值.

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4-4x5=0,

解方程可得：2=^.

故答案为：

考点04平面向量的数量积

7.（2021浙江•高考真题）已知非零向量£五入则“£二=小＞是"W的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】

如图所示，况=2砺=3,反=*瓦3=万一6,当力8_LOC时，方与2垂直，（:一3）:=0,所以

成立，此时一工5,

=不是5=5的充分条件，

/rrxrrr

当）=6时，d—b=6»=0・c=0,.，・〃y=.成AL,

•*a*c-h4c是d=B的必要条件,

综上，=U是"£=*的必要不充分条件

8.(2023•上海•高考具题)已知值=(-2,3)力=(1,2),求ab=

【答案】4

【分析】

由平面向量数量积的坐标运算求解.

【详解】由题意得5-^=-2xl+3x2=4.

故答案为：4

9.(2021♦新高考全国II卷•高考真题)已知向量)+否+%，口=1,W=k|=2，ab+bc^c-a=.

【答案】《9

【分析】由已知可得R+B+3、。，展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得(a+5+c)=a'+b~+c~+2(ci-b+b-c+c-aj=9+2^-b+b-c+c-a:0,

——一—9

因此，ab+h-c+ca=——.

2

9

故答案为:---

10.(2021・北京•高考真题)已知向量2反1在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为

1，则

———

(a-i-b)'C=;a-b=•

【答案】03

【分析】根据坐标求山M+B，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：

则）=（2/）3=（2,-1）忑=（0,1）,

.•.5+B=（4,0）,（万+5）1=4x0+0x1=0,

/.a-5=2x2+1x（-1）=3.

故答案为：0；3.

11.（2022•全国乙卷•高考真题）已知向量23满足|£|=1"|=百,|1-2加=3,则£石=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：・・・伍一2行?=|即2一457+4|42,

又・・・|2|=1,南|=6,团一2613,

・・・9=1-4万•B+4X3=13-42-B，

:.ab=\

故选：C.

12.（2024•北京•高考真题）设a-B是向量，则“（不+砒。-彼）=。"是""=一5或£=5"的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量数量积分析可知M+B）・（G-B）=O等价于同=何，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为（，+$）•（万一5）=＞一户=0,可得/=已即同=w，

可知R+孙伍工）=°等价于同=跖

若三族或H，可得BI=W，即（a+B）•伍-6）=0,可知必要性成立：

若（1+q•伍U）=o,即同=恸，无法得出£或2=1，

例如万二（1,0卜方=（0』），满足同=忖，但且£工-几可知充分性不成立；

综上所述，“（"孙伍-5）=。〃是5=-B或W的必要不充分条件.

故选：B.

13.(2023•全国乙卷・高考真题)E方形48co的边长是2,E是的中点，则反1.丽=()

A.75B.3C.275D.5

【答案】B

【分析】方法一：以｛而，而｝为基底向量表示及，潴，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cosNDEC,进而根据数量积的定义运算求解.

_______uur.uinr.uiuruinr

【详解】方法一：以｛月8,月。｝为基底向量，可知"8=b4=2,转月。=0,

uiiruuruuriuun'uuwuuuruuruuiriuuruuur

则EC=EB+BC=-4B+4D,ED=E4+4D=一一AB+AD,

22

uuruur(iuurUUITA(iuuruuir\iuurUUIF

所以EC.£Z)=(548+40J1+40=—AB+AD=4H4=3；

4

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

ULUUUU

则3(1,0),“2,2),。(0,2),可得£。=(1,2),£。=(—1,2),

uiuuuur

所以石。・石。=-1+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC;区CD=2,

DE2+CE2-DC25+5-43

在ACDE中,由余弦定理可得cos/O£C=

2DECE2x石x石5

uiuruuruiiT||Uiira

所以EC-£Z)=£CcosZZ)£C=V5xV5x-=3.

14.(2022•上海•高考真题)若|.|=|B|=|乙|=尤，且满足万石=0，/？=2,BN=1,则2=.

【答案】＜/5/5j

【分析】设卜,。=6,利用数量积定义求事cosO=管，即可求出心

【详解】因为。石=0,所以不力，设依分=。.

a-c=2阿同cos8=2

由1-可得：（RILIJ）

b-c=\|6|-|c|cos^—-<9j=1

两式相除得：tan0=；.

又cos二夕+sin?8=1,且8w[0,司

解得：cos。=2后,sin8=•

55

因为5七=2,所以同.同cosJ=以2•3£•=2，解得:2=\/5.

5

故答案为：</5.

15.（2022•全国甲卷•高考真题）设向量5,5的夹角的余弦值为:，且同=1,问=3,则仅"+叶3=.

【答案】11

【分析】设在与5的夹角为。，依题意可得8S6=：,再根据数量税的定义求出£石，最后根据数量积的运

算律计算可得.

【详解】解：设万与5的夹角为6,因为1与5的夹角的余弦值为:，即cos0=g,

又M=l,网=3,所以4.否=.].卜卜050=lx3xg=1,

所以仅Z+=++=2x1+32=11.

故答案为：11.

考点05平面向量数量积的最值问题

16.（2023•全国乙卷•高考真题）已知。。的半径为1,直线以与OO相切于点儿直线产〃与0。交于以

C两点，。为8c的中点，若|?。|=0,则苏.丽的最大值为（）

.1+V2D1+2及

22

C.1+V2D.2+V2

【答案】A

【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得苏.而=；-4sin卜

或莎•而=:+*sin（2a+f1然后结合三角函数的性质即可确定⑸.而的最大值.

2214；

【详解】如图所示，|。4|=1,|。4=拒，则由题意可知:乙”。=；,

由勾股定理可得附1=Jop2-Ol：=1

当点4。位于直线尸。异侧时或PB为直径时,设NOPC=a,04a<乙,

4

则：苏・丽=1莎|・|历|cos(a+2：

=lx\/2cosacosa+—

5fV2及.)

=v2cosa12ccs"----2--sina}

=cos2a-sinacosa

1+cos2a1.c

=----------------sin2a

22

=---sinf2a--l

22{4)

0<a<—,IjiiJ--<2a--<—

4444

・•.当A+-*,万质有最大值L

一

TV

当点4。位于直线PO同侧时，设NOPCa,()<a<—,

4

则：前而=PAPDcos?-a)

=1x72cosacosI--a

\4

=\^2coscr|—costz+—sina

122J

=cos2a+sinacosa

1+cos2a1.八

=-------------+—sin2a

22

1%/2.吟

22I4）

c兀mn乃/c乃3%

0<a<—,则一«2a+一〈—

4444

.•.当2a+f=g时，莎・所有最大值L业.

422

综上可得，刀.所的最大值为匚YL

2

故选：A.

【点睛】本题的核心在干能够正确作出示意图,然后将数量积的问题转化为二角函数求最值的问题,考杳

了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.

17.（2022・北京•高考真题）在V力8c中，力。=3,8C=4,NC=90。.尸为VABC所在平面内的动点，且PC=1,

则而/耳的取值范围是（）

A.[—5,3]B.[—3,5]C.[—6,4]D.4,6]

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P（cos0,sin。），表示山苏，PB，根据数量积的坐标表示、辅助

角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系,则。（0,0）,力（3,0）,8（0,4）,

因为尸C=l,所以尸在以C为圆心，1为半径的圆上运动，

设P（cos6,sine）,。€[0,2句，

所以04=（3—cos。,一sin。），P8=（—cos〃4一sin。），

所以苏•RA=（-cos6）x（3-cos<9）+（4-sin6）x（-sin。）

=cos20-3cos0-4sinO+siif0

=1一3cos。一4sin。

34

=l-5sin（^+（p）,其中sinp=g,cos0=g,

因为一14sin（e+e）W1,所以一441-5sin（O+0）46,g|JPA-PBG[-A,6]；

故选：D

18.（2024•天津•高考真题）已知E方形力4c。的边长为1,DE=2EC,^BE=ABA+,其中大，M为实

数，则2+〃=;设/是线段4E上的动点，G为线段力b的中点，则万•丽的最小值为.

45

【答案]——■

318

（、UUUIuuiuumUUU

【分析】解法一：以｛BA,BC｝为基底向量,根据向量的线性运算求乐，即可得大+4，设BF=kBE，求AF,DG，

结合数量枳的运算律求万•丽的最小值：解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求而，即可得2+〃，

/、「11ULMUUU_________

设Fe，-3“）MW--,0,求"；OG，结合数量积的坐标运算求正.加的最小值.

I_1一uuruuruuriuuruur

【详解】解法一：因为。七二一。七，即CE=-A4,则BE=BC+CE=-B4+BC,

233

I4

可得2=§，〃=1,所以4+〃=?：

由题意可知：|万斗=|瓦i|=L而•前=0,

因为尸为线段的上的动点，设由=屈=；旧+诙,ke[0,1],

l)HiAF=AB+BF=AB+kBE=、.-,

+(5-快，

又因为〃«0』，可知：当k=1时，而•丽取到最小值-工；

1O

解法二：以8为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

则4(-1,0)向0,0),。(0,1),打-1,1),4一,1),

可得BA=(-1,0),SC=(0,1),砺='；，”，

因为屉=/1加+〃元=(-2,〃)，则一_/_=_~31,所以％+〃=；；

〃=13

因为点〃在线段5E:)，=-3x,xt-1,0上，设/(牝-3。),。七-1,0

且G为/尸中点，则G(F，d

nJ得AF=(a+\,-3a),DG=j,

则O/7.QG=（"；"+（一勿）卜十-1）=54+q一高，

且所以当a=J时,万•丽取到最小值为一：；

_3J31o

45

故答案为：—;.

19.（2023•天津•高考真题）在V/4C中，BC=l,乙4=6。'，AD=^7B,CE=^CD,记赤=无工=5,

；若酢=；数，则下.箫的最大值为.

用表示近

1一1-13

【答案】"人

24

【分析】空L根据向量的线性运算，结合£为。。的中点进行求解；空2：用万万表示出方，结合上一空

答案，于是荏.箫可由①B表示，然后根据数量枳的运算和基本不等式求解.

AE+ED=AD

【详解】空1：因为£为。。的中点，则£D+EC=0,可得

AE+EC=AC

两式相加，可得到2荏=而十%，

BP2AE=—a+b,则力£=+,力；

242

,_1____AFFCAC

空2：因为3"=74C,则2依+"。=0，可得｛[_+—=_

3AF+FB=AB

彳导到万十元+2（万十万）一就+2方，

____—2-1-

即34尸=2a+1,BPAF=—a+—b.

JJ

于是通.而=8+别d）*（而45%及2方）

记,48=x,AC=y,

则亚•乔二5（27+51万+2片）=《（2/+5町cos600+2y2）=]'gx2+5汽

在VZ8c中，根据余弦定理：BC2=x2+y2-2x）cos605=x2+yz-xy=\,

于是在N*（2中+争+2卜款争2）,

由V+/一,口=i和基本不等式，x2+y2-xy=\>2xy-xy=xy,

故号41,当且仅当x=J，=l取得等号，

则*=N=1时，而万有最大值号.

1-1-13

故答案为：—4?+—/?；—.

考点06平面向量的垂直问题

20.(2024•新课标I卷•高考真题)已知向量万=(0,1)/=(2,x),若51(方-4G),则』=(

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.

【详解】因为方_L0—4)，所以研B—砌=0,

所以7-415=0即4+/-4》=0,故K=2，

故选:D.

21.(2021•全国乙卷高考真题)已知向量£=(1,3)[=(3,4),若则有一

【答案】|3

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】因为[林=(1,3)-/3,4)=(1—343-4孙所以由(Z叫_1各可得，

3(1-32)+4(3-42)=0,解得2=|.

故答案为：|.

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设"二(苞/)[=(々,歹2)，

albab=0xix2+yiy2=0,注意与平面向量平行的坐标衣示区分.

22.(2024•全国甲卷•高考真题)设向量。=(x+l,x)出=(苍2),则()

A."工=-3"是5_LB"的必要条件B."工=1+百"是"£/区”的必要条件

C.。=0〃是“力5”的充分条件D.年=-1+6”是“£///的充分条件

【答案】C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当)点时,则75=0，

所以x("1)T2x=0,解得x=O或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时、a=(l,O),6=(O,2),故7B=o，

所以7_LB，即充分性成立，故C正确：

对B,当时，则2(x+l)=/,解得x=l±6，即必要性不成立，故B错误：

对D,当x=-l+6时，不满足2(x+l)=x2,所以大区不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

23.(2023・新课标I卷滴考真题)已知向量7=(1,1)3=。,一1),若R+闷_L@+m),则(

A.Z+/z=lB.A+//=-1

C.%〃=1D.沏=一1

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出「+4九£+痴，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为0=(1,1)3=0,T),所以a+2坂+,Q+〃B=(1+〃/_4)，

由(4+丸族)(〃+可得，++〃B)=0,

即(1+2)(1+〃)+(1-2)(1-〃)=0,整理得：^=-\,

故选：D.

24.(2022•全国甲卷•高考真题)已知向量方=(/儿3))=(1,m+1).若。15,则小二

3

【答案】-/-0.75

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】由题意知：a。5=/〃+3(m+l)=0,解得加=一°.

4

故答案为：-

4

25.(2021•全国甲卷•高考真题)已知向量£=(3/)]=(1,0),"=£+无.若则a=

…41°

【答案】一可.

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量乙的坐标，利用向量的数量积为零求得人”的值

【详解】♦.七=(3,1)3=(1,0),「1=。+左6=(3+%/)，

•.•a±c,.\«c=3(3+^)+lxl=0,解得4=-与，

故答案为：-与.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量

万=(%,乂)修=(吃，为)垂直的充分必要条件是其数最积中2+必必二0.

考点07平面向量的模长问题

26.(2025•全国二卷•高考真题)已知平面向量5=(x,l),B=(xT2x),若5"六与，则|，|=

【答案】V2

【分析】根据向量坐标化运算得Z-B=(l,l-2x),再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.

［详解］a-b=(\,\-2x),因为力则心(£-5)=0,

贝iJx+l-2x=0,4隼得x=l.

则■=(1/)，则|划=夜.

故答案为：-J2-

27.(2023・新课标H卷•高考真题)已知向量万，B满足,—可=5卜+可=忸—可，则同=.

【答案】G

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令；=5-不，结合数量积的运算律

运算求解.

【详解】法一：因为B+B卜忸-同，即,+盯=3一可，

,,rrrrrrrr上―一2___

n则a2+2a-b+b2=4a2-4ab+b2»人理彳J。-2a•6=0，

又因为=即伍一盯=3,

则:一2；力+9」2=3,所以5二百.

rrrrrrrrr

法二：'^.c=a-b»贝||卜卜行,。十6=。十26,2。-6=2<:+/?,

r2rrr2r2rrr2

由题意可得:(；+以=*：j,则c+4c-b+4b=4c+4cb+b，

rr

则

整

得

理b=-

la

故答案为：声.

28.(2022・全国乙卷•高考真题)已知向量)=(2,1)石=(-2,4),则卜-同=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

rr

【分析】先求得A-然后求得卜-可.

【详解】因为，-1=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以以目="+(—3)2=5.

故选：D

29.(2025•北京・高考真题)在平面直角坐标系xOy中，|如|=|丽六近，|布|=2.设C(3,4),则|2。+/8|

的取值范围是()

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

【答案】D

【分析】先根据而=历-宓，求出〈5,赤〉，进而可以用向量次，砺表示出2刀+方，即可解出.

【详解】因为|04|=|08|=五，|9|=2,

由而=9-近平方可得，弧丽=0，所以京函g

2CA+7B=2(OA-OC)+OB-OA=OA+OB-2OC,|困-6+个-5,

所以，历+可=加+砺?+4宓-4"+砺)灰

=2+2+4x25-4(dJ+d^)-5c=104^4俘)灰，

又||：宓+砺)灰卜"+砺|区卜5xJ2+2=10,BP-1()<(04+08)-OC<10,

所以|2文+画、[64,144]，即|2或+1*[8,12],

故选：D.

30.(2024•新课标II卷•高考真题)己知向量蓊满足同=1巾+2+2,且他-2刁力，则恸=()

A.7B.—C.3D.1

222

【答案】B

【分析】由0—2£)jJ得广=2工石，结合忖=1干+2耳=2,得1+4石+4戌=|+6^=4,由比即可得解.

【详解】因为4所以0-2可④=0,即弁=22万，

又因为同=卡+2+2,

所以1+47否+4片=1+6石2=4，

从而B卜日.

故选：B.

31.(2023•北京•高考真题)已知向量5,5满足次+吕=(2,3),方_%=(_2,1),则|词2_向2=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量数量枳的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【详解】向量期B满足1+5=(2,3"-5=(-2,1),

所以⑸2_|B|2=0+B).0_B)=2x(_2)+3xl=_l.

故选：B

1,x>0

32.(2025・上海•高考真题)已知/(%)=<0,x=0,大尻^是平面内三个不同的单位向量.若

-1,x<0

f(ab)+f(bc)+f(c^a)=0，则旧+5+谓的取值范围是______.

【答案】(1,75)

【分析】利用分段函数值分类讨论，可得｛/(屋肛/件3，/")卜｛-i，°，i｝，再根据数量积关系设出m

坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.

【详解】若/(。石)=/(鼠。)=/6。)=0，则=%=

乂三个向量均为平面内的单位向量，故向量£35两两垂直，显然不成立；

故｛/(〃，),/(="/")卜｛T，。」｝.

小可=[

不妨设，/(/)句=0,则〃•月〉0,3.。=0,<?・4<0.

/倍y)=—1

不妨设坂=(1,0),"=(0,1),=(cos0,sin0),0G[0,2n),

ah=cos。>0,则06d,2兀，

则

cd=sin0VoIZ/

则:/+h+c|=|(1+cos0,1+sin^)|=7(1+cos^)2+(1+sin^)2=，3+2cose+2sin6

=j3+2V2sin(<9+-),

\4

由9w《3加2兀>71兀

24

则sin@+；)e一条用，2而n(0+：)e(-2,2)

故a+B+4e(1,⑹.

故答案为：(L石).

33.(2021•全国甲卷•高考真题)若向量满足"=3,小一.=5,aj=1,则恸=.

【答案】3&

【分析】根据题目条件，利用。-5模的平方可以得出答案

【详解】,・平45

邛-邛=a+对-273=9+甲_2=25

・•・5=3及.

故答案为：3VL

34.（2021・新高考全国I卷•高考真题）已知。为坐标原点，点，（cosa,sina）,/>（cos/7-sin^）,

A(cos(a+4),sin(a+/?)),A(j,0),贝lj（）

A.|匹卜函B.四=|词

c.OAOP,=OPXOP2D.OAOP^OP.OP.

【答案】AC

____uumuuu

【分析】A、B写出。勺，。优、APy,彳打的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐

标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：OP{=（coscr,sina）,0g=（cos八一sin/?）,所以||=Jcos?a+sin2n=1，

|Og|=J(cos/『+(_sin/)2=1，故|西|=|砸I，正确；

B：APX=(cosa-l,sina),AP2=(cos/7-l,-sin/7),所以

|Af\\=7(cosa-l)2+sin2a=\lcos2a-2cosa+1+sin2a=J2(l-cosa)=J4sin2—=21sin—|,同理

|AF\|=7(cos/?-1)2+sin2/?=21sin^|,故|而.|,|彳目|不一定相等，错误;

C：由题意得:OA-OPy=lxcos(a+/?)+Oxsin(a+^)=cos(a+^),

OP、OP2=cosacos夕+sina•(—sin夕)=cos(a+£),正确;

D：由题意得:OA-OP}=1xcos«+0xsincr=cosa,0P2•0Py=cosxcos(a+fl)+(-sinP)xsin(a4-p)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般来说万・西工恒•就故错误;

故选：AC

考点08平面向量的夹角问题

35.（2023•全国甲卷•高考真题）已知向量1=(3,1),7=(2,2),则cos«+1,H)=()

1x/5

A.一RD4.7----c

17175

【答案】B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得卜；+可小-4（。+坂）•（〃-/；），从而利用平面向量余弦

的运算公式即可得解.

【详解】因为a=(3,l),3=(2,2),所以〃+]=(5,3),a-否=(1,一1),

则k+=y/s2+32=\/34,|a-/)|=+1=5/2,(a+♦)•(〃-坂)=5x1+3x(—1)=2,

所以cosg刈闽=(：4(力)=2V17

z+丽_q一5mF，

故选：B.

36.(2023•全国甲卷•高考真题)已知向量aB忑满足|G|=W=