2023年新高考统计概率解答题9大常考题型专项训练

2023年新高考统计概率解答题9大常考题型专题训练

【题型目录】

题型一：统计案例k2检验解答题

题型二：线性回归方程，相关系数有关解答题

题型三：条件概率的计算及应用

题型四：离散型随机变量分布列，期望及方差

题型五：二项分布解答题有关问题

题型六：统计概率中的中位数，百分位数，均值计算问题

题型七：正态分布在解答题中的应用

题型八：统计概率中与数列有关的解答题

题型九：统计概率中的最值范围问题

【题型总结】

题型一：统计案例公检验解答题

【例1】某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一

般”或“良好”，并得到如下列联表：

一般良好合计

男20100120

女305080

合计50150200

(1)通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？

(2)利用样本数据，在评价结果为“良好”的客户中，按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客户.若从这6名

客户中随机选择2名进行访谈，求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率.

附表及公式：

0.150.100.050.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

【答案】(1)有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系一；(2)：3

（2）先根据分层抽样计算出男、女客户并对男女生进行标记，列出“从6名学生中随机抽取2名”的所有基

本事件，分析满足“抽取的两名学生中至少有1名女性”的基本事件，根据基本事件数之比求解出对应概率.

有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系.

男生女生合计

了解10n

不了解5n

合计

求n的值;

0.050.0250.010

3.8415.0246.635

【分析】根据题目数据完成列联表，然后代入公式计算卡方值，对照表中的参考数据，解不等式即可确定

结果.

【详解】由已知，完成列联表，

男生女生合计

了解15n10n25rl

不了解5n10n15〃

合计20〃20几40〃

【例3】国际足联世界杯，简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与的，并具有最大知名度和影响力的

足球赛事，2022年世界杯于11月21日—12月18日在卡塔尔举行.某大学为了解本校学生对世界杯的关

注程度，从学生中随机抽取了200名学生进行调查（其中男生120名），根据样本的调查结果得到如下图所

示的等高规程条形图.

关注不关注合计

男生

女生

合计

不关注

口

IZZI

关注

0.5

0.25

0

男生女生

（2）从这200名学生里对世界杯关注的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8名学生

中随机选取3名参与学校足协活动.记参与学校足协活动的男生人数为X,求X的分布列与期望.

0.0500.0100.0050.001

403.8416.6357.87910.828

9

【答案】（1）表格见详解，有；（2）分布列见详解，期望为了

【分析】（1）等高规程条形图即可完成2x2列联表，再根据列联表数据可计算得到R2,再对比临界值表可

得结论；

（2）根据题意得到X的可能取值，然后求出对应的概率，进而得到求X的分布列与期望.

【详解】（1）有120名男生，则有80名女生，结合条形图，男生中关注的有60人，不关注的有60人，

女生中关注的有20人，不关注的有60人，则列联表如下:

关注不关注合计

男生6060120

女生206080

合计80120200

（2）由（1）可知，关注的学生中，男女比例为3:1,则抽出的8人中，男生有6人，女生有2人,

则X的分布列为

X123

3155

P

282814

喜爱不喜爱

男生

女生

附:

a0.10.0250.005

%2.7065.0247.879

【答案】（1）分布列见解析；期望为2；（2）①答案见解析；②76名

（2）①根据题中数据及所给公式计算K?,与参考数据比较即可得出结论；②根据基于小概率值。的检验规

则及K?的计算公式得到关于m的不等式，再根据m的取值范围以及实际意义即可得解.

由题意可知，J的可能取值为1,2,3.

4的分布列为

123

131

P一—

555

（2）①零假设为性别与是否喜爱冰雪运动独立，即性别与是否喜爱冰雪运动无关联.

【例5】九江市正在创建第七届全国文明城市，某中学为了增强学生对九江创文的了解和重视，组织全校高

三学生进行了“创文知多少，，知识竞赛（满分100）,现从中随机抽取了文科生、理科生各100名同学，统计

他们的知识竞赛成绩分布如下：

文科生116234416

理科生92427328

合计1040507624

（1）在得分小于80分的学生样本中，按文理科类分层抽样抽取5名学生.

①求抽取的5名学生中文科生、理科生各多少人；

②从这5名学生中随机抽取2名学生，求抽取的2名学生中至少有一名文科生的概率.

（2）如果得分大于等于80分可获“创文竞赛优秀奖”，能否有99.9%的把握认为获“创文竞赛优秀奖”与文理科

类有关？

参考数据：

0.100.050.010.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

7

【答案】⑴①文科生2人，理科生3人；②历；（2）没有99.9%的把握认为获"创文竞赛优秀奖”与文理科类

有关.

【分析】（1）求出抽取的5人中文科生2人，理科生3人，再利用列举法求出概率作答.

（2）先列联表，求出K?的观测值，再与临界值表比对作答.

【详解】（1）①得分小于80分的学生中，文科生与理科生人数分别为：40和60,比例为2:3,

所以抽取的5人中，文科生2人，理科生3人.

随机抽取两名同学2人包含的基本事件有：

（2）由题中数据可得如下联表：

创文竞赛优秀奖未获优秀奖合计

文科生6040100

理科生4060100

合计100100200

所以没有99.9%的把握认为获”创文竞赛优秀奖”与文理科类有关.

【题型专练】

L某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，

得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀

牙”的有50人.有2x2列联表：

有蛀牙无蛀牙总计

爱吃甜食

不爱吃甜食

总计

（1）根据已知条件完成如图所给的2x2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”

有关；

（2）若从“无蛀牙”的青少年中用分层抽样的方法随机抽取8人作进一步调查，再从这抽取的8人中随机抽取2

人去担任“爱牙宣传志愿者”，求抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率.

0.050.010.005

k3.8416.6357.879

【答案】（1）见解析；（2），

【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解；

（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解.

【详解】（1）由题意可知，2x2列联表：

有蛀牙无蛀牙总计

爱吃甜食9030120

不爱吃甜食305080

总计12080200

（2）若从“无蛀牙”的青少年中用分层抽样的方法随机抽取8人作进一步调查，则爱吃甜食占3人，设为

2.某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、

地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目.选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机

抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：

思想政治地理化学生物

物理类100120200180

历史类1201406080

生物学科选法

科类

选不选合计

物理类

历史类

合计

a0.10.050.0010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）存在；（2）16

【分析】（1）根据题意完善2x2列联表，根据表中数据求力2,并与临界值对比分析；

【详解】（1）由题意可得：选择物理类的总人数有600,其中选择生物学科的人数为180,不选择生物学科

的人数为420；选择历史类的总人数有400,其中选择生物学科的人数为80,不选择生物学科的人数为320；

据此完善2x2列联表

生物学科选法

科类

选不选合计

物理类180120300

历史类80120200

合计260240500

零假设两类学生对生物学科的选法没有差异，

（2）记“学生选择物理类”为事件M,“学生选择历史类”为事件N,“同时选择的地理和化学”为事件C,

3.新冠疫情过后，国内相继爆发了甲型H1N1流感病毒（甲流）和诺如病毒感染潮，为了了解感染病毒类

型与年龄的关系，某市疾控中心随机抽取了部分感染者进行调查.据统计，甲流患者数是诺如病毒感染者

人数的2倍，在诺如病毒感染者中60岁以上患者占：，在甲流患者中60岁以上的人数是其他人数的一半.

（1）若根据卡方检验，有超过99.5%的把握认为“感染病毒的类型与年龄有关”，则抽取的诺如病毒感染者至

少有多少人？

（2）研究发现，针对以上两种病毒比较有效的药物是奥司他韦和抗病毒口服液，并且发现奥司他韦治疗以上

两种病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍.现对两种药物进行临床试验，对抗病毒口服液共进行两轮试

验，每轮试验中若连续2次有效或试验3次时，本轮试验结束；对奥司他韦先进行3次试验，若至少2次

有效，则试验结束，否则再进行3次试验后方可结束，假定两种药物每次试验是否有效均互相独立，且两

种药物的每次试验费用相同.请结合以上针对两种药物的临床试验方案，估计哪种药物的试验费用较低？

0.100.050.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）27人；（2）奥司他韦试试验平均花费较低.

（2）分别求解抗病毒口服液试验总花费和奥司他韦试验总花费的数学期望，即可比较大小进行求解.

【详解】（1）设感染诺如病毒的患者为x人，则感染甲流的患者为2%人，

又因为x为整数，故抽取的诺如病毒感染者至少有27人.

（2）设抗病毒口服液治疗有效的概率为。，每次试验花费为加，

设抗病毒口服液试验总花费为X,X的可能取值为4m,5m,6m,

设奥司他韦试验总花费为匕丫的可能取值为3m,6m,

题型二：线性回归方程，相关系数有关解答题

【例1】据统计，某校高三打印室1-4月份购买的打印纸的箱数如表：

月份代号f1234

打印纸的数量y（箱）60657085

（2）建立y关于t的回归方程，并用其预测5月份该校高三打印室需购买的打印纸约为多少箱.

【分析】（1）利用相关系数公式结合条件即得；

所以预测5月份该校高三打印室需购买的打印纸约为90箱.

【例2】基础学科招生改革试点，也称强基计划，强基计划是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔

培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件、智能科技、

新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟

考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（尤）和物理成绩（y）,绘制成如图散

点图：

（1）若不剔除A,8两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为％.试判断％与厂

的大小关系（不必说明理由）；

（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）,并估计如果8考生加了这次物理考试（已知8考生的数

学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到0.1）

【分析】（1）根据已知条件，结合散点图，即可求解.

理由如下：由图可知，y与X成正相关关系，

①异常点A,3会降低变量之间的线性相关程度，

②52个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，

③50个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，

©50个数据点更贴近其回归直线/,

⑤52个数据点与其回归直线更离散.

所以估计2考生的物理成绩约为81.2分.

【例3】秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯

奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶

店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量（单位：杯）

如下:

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

日期代码X1234567

杯数y4152226293132

木杯数

50

40

30

20

10

O1234567日期代码

（2）建立y关于x的回归方程（结果保留1位小数），并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶

才能超过35杯？

（3）若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随

机变量X的分布列.

yUe2J

22.71.2759235.113.28.2

【分析】⑴根据散点图趋势即可判断;

(2)利用非线性回归方程转化为线性回归方程的方法求解;

(3)根据超几何分布求分布列.

50

40

30

【详解】（1）

20

10

O1234567日期代码

则随机变量X的分布列为

X0123

112184

P

35353535

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数

乘以地块数)；

(2)建立地块的植物覆盖面积x(单位：公顷)和这种野生动物的数量y的线性回归方程；

(3)经过进一步治理，如果每个地块的植物覆盖面积增加1公顷，预测该地区这种野生动物增加的数量.

【分析】(1)由样本数据估计总体野生动物数量即可.

(2)根据线性回归方程的公式求回归方程即可.

(3)根据(2)的回归方程计算即可.

(3)由(2)回归方程可知：每个地块的植物覆盖面积增加1公顷，则野生动物数量增加10,

【例5】移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底，我国移动物联网

连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.右图是20182022年移动物联网连

接数W与年份代码r的散点图，其中年份20182022对应的f分别为1-5.

必亿户八

25-・

20-.

15-

10-*

5-*

°012345r

（D根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数（精确到o.oi）,并推断它们的相关程度；

【详解】（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.

所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.

所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.

【题型专练】

1.温度作为环境因子，在种子的发芽过程中起着重要的作用.某研究性学习小组对某植物种子的发芽率y

与环境平均温度x（℃）之间的关系进行研究，他们经过5次独立实验，得到如下统计数据：

第〃次12345

环境平均温度x/℃1819202122

种子发芽率y62%69%71%72%76%

（2）若从这5次实验中任意抽取3次，设种子发芽率超过70%的次数为X,求X的分布列与数学期望.

【分析】（1）根据最小二乘法可得回归直线方程，进而即得.

（2）由题可知X的可能取值，求相应概率可得分布列及期望；

（2）由题可知X的可能取值为1,2,3,

所以4的分布列为：

123

P0.30.60.1

2.受社会对高素质人才不断扩大的需求和就业形势等多方面因素的影响，我国本科毕业生中考研人数在不

断攀升，2021年考研人数是377万人，2022年考研人数为457万人，比上年增加80万人，有关机构估计

2023年研究生报名人数将突破500万人.某省统计了该省五所大学2022年的本（专）科大学毕业生人数及

考研人数（单位：千人），得到如下表格：

A大学B大学C大学。大学£大学

2022年毕业人数无(千人)7.86.24.63.43

2022年考研人数y(千人)0.50.40.30.20.2

【分析】(1)根据回归方程的公式计算即可得答案；

(2)解：设小常、小郭两人中选择考研的人数为X,则X的可能值为0、1、2,

3.大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工程.为预测渗压值

和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为3S3的渗压计，随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位

监测数据：

样本号i12345678910总和

(1)估计该水库中3s3号渗压计管内平均水位与水库的平均水位；

【分析】(1)根据平均数的计算方法直接求解即可；

(2)根据表格数据计算得到相关系数公式中的各个数据，代入公式即可;

上座率

1

8

6

4

2

O100200300400500票初/元

(2)根据(1)所求的回归方程，预测票价为多少时，剧场的门票收入最多.

(2)预测票价为220元时，剧场的门票收入最多.

所以预测票价为220元时，剧场的门票收入最多.

5.为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y,收集数据如下：

天数X123456

繁殖个数

612254995190

y

,繁殖个

200--7

150-

100

50-4

【分析】(1)根据散点图，结合一次函数和指数型函数图象的特征进行判断即可；

(2)①根据对数与指数的互化公式进行求解即可；

②利用题中所给的数据和公式进行求解即可.

【详解】(1)作出散点图如图所示.

八繁殖个数r

200一厂-厂-,一1

150

100—t——\

50-4-4--；--；

°2468天数》

由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线的周围，

②由①知繁殖个数的对数z关于天数尤可以用线性回归方程来拟合.

题型三：条件概率的计算及应用

【例11已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均

有两个或三个正确选项.但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.这样,

小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项.

(1)如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测

的概率分别是?、在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确

答案的概率.

(2)假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为选择两个选项的

概率为!，选择三个选项的概率为:•已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的

44

正误，只好根据自己的经验随机选择.记X表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求：

（ii）X的分布列及数学期望.

1QC

【答案】（1）=；（2）分布列见解析；f

19o

【分析】（1）利用全概率公式求出题目答对的概率，再利用条件概率的计算公式即可求得答案；

（2）设事件A表示小明选择了，个选项，C表示选到的选项都是正确的，由此求出X的每个值对应的概率，

即得分布列，继而求得数学期望.

【详解】（1）设事件A为“题答对”，事件8为“知道正确答案”，

（ii）随机变量X的分布列为：

X025

17]_1

P

24424

疼痛指数

X

人数（人）10819

无症状感轻症感重症感

名称

染者染者染者

其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者.

的分布列为:

Y0123

1124864

P

125125125125

【例3】人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，

其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，

然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本

原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，

其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋

子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙

袋的概率均为3（先验概率）.

（1）求首次试验结束的概率；

（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.

①求选到的袋子为甲袋的概率，

②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中

摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.

【答案】（1）非；（2）①②方案二中取到红球的概率更大.

【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题；

（2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论.

【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件4,“取到乙袋”为事件4,“试验结果为红球”为事件耳，“试

验结果为白球”为事件与，

所以试验一次结果为红球的概率为，.

所以选到的袋子为甲袋的概率为:.

所以方案一中取到红球的概率为：

方案二中取到红球的概率为：

【例4】某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动.高三（1）班一组有男生

4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宜传员、文明监督

员三项可供选择.每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为每名男

生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为g.每人每参加1项活动可获得综

合评价10分，选择参加几项活动彼此互不彩响，求

（1）在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；

（2）记随机选取的两人得分之和为X,求X的期望.

o130

【答案】（1）］；（2）詈

【分析】（1）根据条件概率的计算公式即可求得答案;

（2）方法一：根据女生参加活动的人数确定变量的可能取值，计算每个取值对应的概率，可得变量的分布

列，即可求得期望；

【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件4“恰有一名女生参加活动”为事件8

所以X的分布列为

X2030405060

1£23I1

P

60660310

方法二：

所以y的分布列为

Y012

281

P

1515

【点睛】难点点睛：本题考查了条件概率的计算，比较基础，第二问考查随机变量的期望的求解，求解的

思路并不困难，但难点在于要根据变量的取值的可能情况，计算每种情况相应的概率，计算较复杂，计算

量较大，需要思维缜密，计算仔细。

【例5］一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两

类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调

查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【分析】⑴由所给数据结合公式求出K?的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患

该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；（2Xi）根据定义结合条件概率公式即可完成证明；（ii）根据

（i）结合已知数据求R.

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

(ii)

【题型专练】

1.为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛.规定：

先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后,将不能参加后面场次的比赛.在

3?

规则允许的情况下，甲队中球员M都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为《和不，且

每场比赛中犯规4次以上的概率为。.

(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；

(2)用X表示比赛结束时比赛场数，求X的期望；

(3)已知球员”在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率.

1124956

【答案】⑴.；⑵而⑶芮

【分析】(1)设4="第i场甲队获胜“，瓦=“球员”第i场上场比赛“，i=l,2,3.

根据对立事件的概率公式即可求解；

(2)由题意知X的可能取值为2,3,结合对立事件和独立事件的概率公式和数学期望的计算公式即可求解；

(3)根据对立事件、独立事件的概率公式和条件概率公式计算即可求解.

【详解】(1)设4="第，场甲队获胜”，耳="球员〃第i场上场比赛”，i=l,2,3.

(2)X的可能取值为2,3.

(1)求患者甲检查结果为阴性的概率；

(2)若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率(结果保留5位小数)；

(3)医院为每位参加该项检查的患者缴纳200元保险费，对于检测结果为阴性，但在1年内发展为恶性肿瘤

的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年缴纳保险费的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个

项目上的收益.

【答案】(1)0.8486；(2)0.00035；(3)答万元.

(3)设获得20万元赔付的有X人，利用二项分布求出EX,记保险公司每年在这个项目上的收益为y元,

求出即得解.

所以患者甲检查结果为阴性的概率为0.8486.

所以患者甲的检查结果为阴性，他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率为0.00035.

(3)记参加该项检查的1000位患者中，获得20万元赔付的有X人，

记保险公司每年在这个项目上的收益为y元，

所以保险公司每年在这个项目上的收益估计为13万元.

3.某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现

有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题,

比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放

回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.

（1）如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；

（2）若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支

部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.求第二支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率.

37

【答案】（1）］；（2）—

（2）设事件A为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件均为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，

事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件名为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填

空题”，再根据耳、与、外彼此互斥，结合条件概率和全概率公式即可得解.

由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：

（2）设事件A为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，

事件均为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，

事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，

事件鸟为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，

题型四：离散型随机变量分布列，期望及方差

竞赛成绩（单位：分）

人数（单位：人）6143074422311

（1）试估计该市竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第80百分位数（保留一

位小数）;

（2）以样本频率值作为概率的估计值，若从该市所有参与竞赛的学生中，随机抽取3名学生进行座谈，设抽

到60分及以上的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.

9

【答案】（1）平均分和第80百分位数分别约为67.3和78.6；（2）分布列见解析，-

【分析】（1）根据平均数以及百分位数的计算公式即可求解,

（2）根据二项分布即可求解概率，进而可求解分布列以及期望.

故第80百分位数位于第5组

则该市竞赛成绩的平均分和第80百分位数分别约为67.3和78.6.

所以X的分布列为：

X0123

192727

P

64646464

【例2】在节日里为了促销各大商场八仙过海各显神通，推出了花样繁多的促销活动，某大超市为了拉升节

日的喜庆气氛和提升销售业绩，举行了购物抽奖促销活动，购物满500元可获得一次抽奖机会，抽奖方法

如下：在盒子里放着除颜色外其他均相同的5个小球（红球和黑球各1个，白球3个），不放回地摸球，每

次摸1球，摸到黑球就停止摸奖，摸到红球奖励40元，摸到白球奖励10元，摸到黑球不奖励.

⑴求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；

（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列及数学期望.

【答案】（l）g;（2）分布列见解析，35

【分析】（1）1名顾客摸球3次停止摸奖的情况个数为A；,基本事件的个数为A.然后代入等可能事件的

概率公式即可；

（2）随机变量X的所有取值为0,10,20,30,40,50,60,70,利用排列组合计数，分别求出X取各个

值时的概率即可求解随机变量X的分布列及期望.

【详解】（1）1名顾客摸球3次停止摸奖的情况个数为A；,基本事件的个数为A）

故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为1.

（2）随机变量X的所有取值为0,10,20,30,40,50,60,70,

综上，随机变量X的分布列为：

X010203040506070

311113

P

52010202010205

【例3】为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不

透明的口袋中有3个红球,2个白球,这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，

将其中的红球个数记为该轮得分X,记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与完成第"轮游戏，

且其前"轮的累计得分恰好为2九时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3

轮后仍未过关，则游戏也结束.每位参与者只能参加一次游戏.

(1)求随机变量X的分布列及数学期望；

(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率.

【分析】(1)写出随机变量X的可能取值和取每个值所对应的概率，即可得到分布列，结合期望公式即可

得解；

(2)分别求出甲取球1次后，取球2次后，取球3次后可获得奖品的概率，求和即可得到答案.

【详解】(1)由题意得，随机变量X可取的值为1,2,3,

记“甲能够领取纪念品”为事件A,则

【例4】在某次现场招聘会上，某公司计划从甲和乙两位应聘人员中录用一位，规定从6个问题中随机抽取

3个问题作答.假设甲能答对的题目有4道，乙每道题目能答对的概率为1,

(1)求甲在第一次答错的情况下，第二次和第三次均答对的概率；

(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙谁被录用的可能性更大？

【答案】(1)];(2)甲自媒体平台公司竞标成功的可能性更大

【分析】(1)根据独立事件概率的乘法公式以及条件概率公式运算求解；

(2)根据题意结合超几何分布、二项分布求期望和方差，并对比分析说明.

故甲自媒体平台公司在第一次答错的的条件下，第二次和第三次均答对的概率为

则y的分布列为:

Y0123

1248

P

279927

【例5】针对我国老龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案.某机构进行了网上调查，所有参与调

查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示.

支持保留不支持

50岁以下800040002000

50岁以上(含50岁)100020003000

(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取〃个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求

n的值；

(2)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求

50岁以下人数4的分布列和期望.

【答案】⑴120；⑵分布列见解析，1.2

【分析】(1)根据题意求出参与调查的总人数，利用分层抽样的特征即可求解；

(2)抽取的10人中，50岁以下与50岁以上的人数分别为4人，6人，根据超几何分布列出分布列求得期

望.

4的分布列为：

0123

]_31

P

6~21030

【题型专练】

1.兔年春节期间，烟花“加特林”因燃放效果酷炫在网上走红，随之而来的身价暴涨也引发关注，甚至还有

买不到的网友用多支普通的手持燃放烟花自制“加特林”.据悉，有A,B,C三家工厂可以各自独立生产烟

花“加特林”，已知A工厂生产的烟花“加特林”是正品同时B工厂生产的烟花“加特林”也是正品的概率为1,

8工厂生产的烟花“加特林”是正品同时C工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为郎，C工厂生产的烟

9

花“加特林”是正品同时A工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为，.

(1)分别求A,B,C三家工厂各自独立生产出来的烟花“加特林”是正品的概率;

(2)A,B,C三家工厂各自独立生产一件烟花“加特林”，记随机变量2表示“三家工厂生产出来的正品的件

数”，求4的数学期望，它反映了什么实际意义？

【分析】(1)设A,B,C三家工厂各自独立生产出来的烟花“加特林”是正品分别为事件A,B,C,根据

相互独立事件及对立事件的概率公式得到方程组，解得即可.

(2)依题意随机变量彳的取值为0、1、2、3,求出所对应的概率，即可得到概率分布列，从而求出数学

期望，再根据数学期望的意义说明即可.

【详解】(1)设A,B,C三家工厂各自独立生产出来的烟花“加特林”是正品分别为事件A,B,C,

(2)依题意随机变量2的取值为0、1、2、3,

所以随机变量4的分布列为：

20123

12327

P

20025850

数学期望是随机变量最基本的数学特征之一，它反映了随机变量4平均取值的大小.

2.某校举行知识竞赛，最后一个名额要在人B两名同学中产生，测试方案如下：48两名学生各自从给定

的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，8能正确作答每个

问题的概率是=,48两名同学作答问题相互独立.

⑴求人8恰好答对2个问题的概率；

(2)设A答对的题数为X,B答对的题数为匕若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，说明理由？

【答案】(1)忌；(2)选择A同学，理由见解析

【分析】(I)利用超几何概率求A答对的题数X对应概率，利用二项分布概率公式求8答对的题数y对应

概率，进而求42恰好答对2个问题的概率即可；

(2)根据(1)所得各可能值对应概率分别求出x,y的期望、方差，比较大小即可下结论.

3.某商场在2023年元旦举办了一场有奖销售活动，并且设置了一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4

种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4

种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为g.

(1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率；

(2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为X,求随机变量X的分布

列和数学期望.

OQI

【答案】⑴白；⑵分布列见解析，京

1664

(2)依次求得离散型随机变量的分布列取值对应的概率，进而求解分布列与期望.

【详解】(1)设事件M为“甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样”,

因为每位消费者抽中三等奖的概率均为1,

(2)由题，X的所有可能取值为0,1,2,3,

由题知，4个人挑选了4种奖品，共有44种情况，

所以X的分布列为

X0123

39211

P

32166464

(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？

(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、

15万元、20万元.问实施哪种方案的平均利润更大？

【答案】(1)见解析

(2)实施方案二，两年后柑桔产量超过灾前的概率更大；

(3)实施方案一的平均利润最大.

【分析】(1)根据所给数据分别求出。、3的可能值，并算出对应的概率即可得分布列；

【详解】(1)依题意，刍的所有可能值:0.8,0,9,1.0,1,125,1.25,

于是得5的分布列为：

00.80.91.01.1251.25

P0.20.150.350.150.15

女的所有可能值：0.8,0.96,1.0,1,2,1.44,

于是得多的分布列为：

0.80.961.01.21.44

P0.30.20.180.240.08

（2）由（1）知，实施方案一，两年后柑桔产量超过灾前的概率为：

实施方案二，两年后柑桔产量超过灾前的概率为：

所以实施方案二，两年后柑桔产量超过灾前的概率更大；

所以实施方案一的平均利润最大.

题型五：二项分布解答题有关问题

【例1】为了“锤炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A每天自觉登录“学习强国APP”，参加各种学习

活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个

达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛,该局比赛结束.每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，

根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得

2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，

无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小A每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率

分别为:，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为:，|.

（1）设小A每天获得的得分为X,求X的分布列、数学期望和方差；

（2）若小A每天赛完30局，设小A在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为:，每局是否赢得

比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A赢得多少局的比赛概率最大？

【答案】（D分布列见解析，数学期望为:，方差为孑；（2）小A赢得10局的比赛概率最大

236

【例2】赌徒分金问题是概率论发展史上最著名的问题之一，1651年法国著名统计学家德・梅赫将它提请著

名数学家帕斯卡解决，后来大数学家费马和惠更斯也参与了讨论并给出一般性推广.以下是赌徒分金问题

的例子：

（1）甲乙两个选手实力相当（即每人每局胜的概率都是g）,约定谁先赢4局，就获胜，并赢得奖金10000元,

但在甲胜3局，乙胜2局时，比赛被迫中止，请计算甲最后获胜的概率和分到奖金的数学期望.

【答案】（1）甲获胜的概率为分到奖金的数学期望为7500；

4

【分析】（1）设事件甲第四局比赛获胜为A4，事件甲第五局比赛获胜为A，由此表示事件甲最后获胜，利

用概率加法和乘法公式求