2023-2025年中考数学复习分类汇编：二次函数综合压轴题（21题）解析版

专题05二次函数综合压轴题（21题）

」©090，•

1.（2025•江西・中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在刍变量与=5时，其对应的函数值%=，〃，

那么我们称该函数为“不动点函数”，点（〃?/"）为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数/中，当工=1

时，y=i,则我们称函数丁=/为“不动点函数”，点（1/）为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣小组围

绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究.

探究1

（1）对一次函数＞,=履+人（攵/0）进行探究后，得出下列结论：

①y=x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点；

②y=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是（g,0）；

③?二大是“不动点函数”，且有无数个不动点.

以上结论中，你认为正确的是（填写正确结论的序号）.

（2）若一次函数丁=区+〃年工0）是“不动点函数”，请直接写出火,人应满足的条件；

探究2：

（3）对二次函数尸=口/+6+。（〃/0）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答.若抛物线

），=/一2"+。的顶点为该函数图象上的一个不动点，求从c满足的关系式.

探究3：

（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（12-力件，获得利润｝，元.请

写出），关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请

联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义.

【答案】（1）③；（2）当门1且AwO时，〃为任意实数；当％=1时，b=0；（3）b=c-bh（4）该函数是

‘‘不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售

单价相等.

【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点（〃?」〃），计算即可判断；

（2）根据“不动点函数”的定义，代入点（，几加），计算即可得解；

（3）先求得顶点坐标为伍,。-〃），根据“不动点函数，，的定义，即可得到人=°—从；

（4）根据题意得，J=（X-6）（12-X）=-X2+18A:-72,令工=一9+18x—72,解方程即可求解.

【详解】解：（1）①对于），=工+2,

由「〃7工〃7+2,

所以y=x+2不是“不动点函数”，原说法错误；

②对于y=-3x+2,代入点（以加），

得加=—3〃?+2,

解得用=2，

2

所以y=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是（；,；），原说法错误；

③y=x是"不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确.

故答案为：③；

（2）•・•一次函数y=是“不动点函数”，

工代入点（列〃。，

得m=mk+b,

整理得（1一女）〃=2〃，

当1一1工0即办1且办。时,b为任意实数;

当1一女=0即4=1时，匕=0；

（3）由抛物线丁=工2-2"+。=（二一6『+。一力2得，

顶点坐标为（瓦。-6）,

抛物线y=V-2辰+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，

:.b=c-b2;

（4）根据题意得，y=（x-6）（12-x）=-x2+18x-72,

・••令x=-x2+i8x-72,

整理得工2一17%+72=0，

解得$=8,X2=9,

・••该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总

利润与销售单价相等.

【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用.正确理解“不动点函数”的定义是解题的关

键.

2.（2024•江西•中考真题）如图，一小球从斜坡。点以一定的方向弹M球的飞行路线可以用二次函数

），二/+区（〃〈0）刻画，斜坡可以用一次函数y=刻画，小球飞行的水平距离r（米）与小球飞行的高

度F（米）的变化规律如下表：

②小球的落点是A,求点A的坐标.

（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间/（秒）满足关系），=-5/+w.

①小球飞行的最大高度为米;

②求n的值.

【答案】⑴①3,6；②

(2)①8,②咤4而

【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，

（1）①由抛物线的顶点坐标为（4,8）可建立过于小力的二元一次方程组，求出小人的值即可；②联立两函

数解析式求解，可求出交点A的坐标；

（2）①根据第一问可知最大高度为8米；

②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得公直.

【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物

线顶点坐标为（4,8）,

解得："二一2,

〃二4

・•・二次函数解析式为y=-1x2+4x,

W15.1，415

当y=一时，一一x~+4x=—,

-222

解得：x=3或工=5（舍去），

/./〃=3,

①-2=；

②当G=4。时，求正方形力叫F的面积.

【答案】（1）①3；②S=/+2

（2）S=/2-8r+18（2<r<8）,AB=6

⑶①4；②叫

【分析】（1）①先求出C〃=1,再利用勾股定理求出。0=6,最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照

（1）①先求出CP=Z,进而求出。尸=尸+2,贝|JS=D尸2=*+2;

（2）先由函数图象可得当点夕运动到B点时，S=DP?=6,由此求出当，=2时，5=6,可设S关于f的函

数解析式为S=a（f-4『+2,利用待定系数法求出S=『-8/+18,进而求出当S=『-8/+18=18时，求得

/的值即可得答案；

（3）①根据题意可得可知函数S=（f-4『+2可以看作是由函数S=/+2向右平移四个单位得到的，设

P（"7],〃），。（"七〃）（〃4>见）是函数s=『+2上的两点，贝I」（平+4,〃），（/%+4,〃）是函数S=（-4y+2

上的两点，由此可得叫+，巧=0，叫〈"Av，々+4v，%+4,则“+网+4=4,根据题意可以看作

4

4=网，『2=町+4，〃=叫+4,则％+，2=4；②由（3）①可得G=%+4,再由4=44,得至1"=],继而得

答案.

【详解】（1）解：•・•动点。以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C->4->A匀速运动，

・••当f=l时，点尸在8c上，H.CP=1,

VZC=90°,CZ）=夜，

**•DP7c产+c»=6,

尸=3，

故答案为：3；

②;动点夕以每秒1个单位的速度从。点出发，在6C匀速运动，

:・CP=t,

VZC=90°,CD=&，

DP2=CP2+CD2=t2+2,

，S=O尸=/+2：

⑵解：由图2可知当点尸运动到8点时，S=DP*=6,

••/2+2=6»

解得，=2,

，当f=2时，5=6,

由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为（4,2）,

••・可设S关J-r的函数解析式为S=a。—4f+2,

把（2,6）代入S=a（f—4『+2中得：6=«（2-4）2+2,

解得a=1，

・・・S关于f的函数解析式为5=〈-4）2+2="一&+18（24「48）,

在5=/一8/+18中，当S=『-&+18=18时，解得/=8或/=（）.

•••人8=8-2=6；

（3）解：①•・•点。在4c上运动时，S=『+2,点夕在A8上君动时S=（/—4>+2,

・••可知函数S=（f-41+2可以看作是由函数S=『+2向右平移四个单位得到的，

设P（〃4，〃），。（%（㈣〉明）是函数S=*+2上的两点,则（码+4,〃）,（，%+4,〃）是函数

S=（-4>+2上的两点，

:.呵+m2=0»叫<〃?2<+4〈吗+4,

:.用2++4=4,

•・•存在3个时刻4也出—<一）对应的正方形DPEF的面积均相等.

n

:.可以看作4="弓，t2=町+4,4=h+4,

:./[+，2=4,

故答案为：4；

②由⑶①可得4=4+4，

V/3=4/,,

/.4z,=r,+4,

•,_4

**1~3*

【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解

题意利用数形结合的思想求解是解题的关键.

4.（2022•江西•中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞吁和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路

线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基

准点K为匕行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标

准台的起跳台的高度04为66m,基准点K到起跳台的水平距离为75m,高度为（/?为定值）.设运动员

从起跳点A起跳后的高度义m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y=/+bx+c（a*0）.

（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时专力二卷，求基准点K的高度任

②若〃=-9时，运动员落地点要超过K点，则〃的取值范围为；

⑶若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,试判断他的落地点能否超过K点，并说明

理由.

【答案】（1）66

9

⑵①基准点K的高度。为216；②前；

（3）他的落地点能超过K点，理由见解析.

【分析】（1）根据起跳台的高度0A为66加，即可得c=66：

⑵①由a=,力=木，知产■立/+木+66,根据基准点K到起跳台的水平距离为75加，即得

基准点K的高度力为21M；

②运动员落地点要超过K点，即是x=75时，y>2\,故■专x752+754•66>21,即可解得答案；

(3)运动员飞行的水平距离为25m时,恰好达到最大高度76加，即是抛物线的顶点为(25,76),设抛物

2

线解析式为y=a(x-25)2+76,可得抛物线解析式为y=----(%-25)2+76,当x=75时，)，=36,从

125

而可知他的落地点能超过K点.

【详解】(1)解：:起跳台的高度0A为66机，

：.A(0,66),

把A(0,66)代入y=ax^+bx+c得：

c=66,

故答案为：66；

19

(2)解：①:“=-而'。=历，

/.y=--3-X2+—A+66,

5()10

丁基准点犬到起跳台的水平距离为75m,

19

.*.y=--X752+——x75+66=21,

5()10

，基准点K的高度力为21m；

.*.>=-4/+Z?x+66,

;运动员落地点要超过K点,

・••当x=75时，y>21,

即--X752+75/2+66>21,

5()

9

解得〃>而，

9

故答案为：/?>—；

(3)解：他的落地点能超过K点，理由如下：

•・•运动员飞行的水平距离为25机时，恰好达到最大高度76m,

・••抛物线的顶点为(25,76),

设抛物线解析式为y=a(x-25)2+76,

把(0,66)代入得：

66=〃(0-25)2+76,

2

解得〃=・自，

2

・•・抛物线解析式为)，=-—(x-25)2+76,

2

当1=75时，y=-x(75-25)2+76=36,

125

V36>21.

，他的落地点能超过K点.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题.

5.（2021•江西・中考真题）二次函数），=/-2〃次的图象交工轴于原点。及点人.

感知特例

（1）当机=1时，如图1,抛物线上：），=/一2工上的点。，。，C,A,。分别关于点A中心对称的点为3',

O1,C,A,ZX,如下表:

••・0(0,0)C(l.T)A(一,—)0(3,3)•・•

・・・"(5,-3)(7(4,0)C(3,l)4(2,0)£>>(1,-3)•••

①补全表格：

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为//.

形成概念

我们发现形如（1）中的图象U上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称〃是L的“孔像抛物线”.例

如,当/〃——2时，图2中的抛物线〃是抛物线L的“孔像抛物线”.

探究问题

（2）①当〃?=-1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”7/的函数值都随着x的增大而减小，则）的取值范围

为;

②在同一平面直角坐标系中，当“取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y2〃”•的所

有“孔像抛物线’1',都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是.（填"），=苏+法+c”或>=/+A，，

或“y=ax2+C”或“y=av2"，其中abo工0）；

③若二次函数y=f—2m'•及它的“孔像抛物线”与直线y=〃?有且只有三个交点，求〃的值.

【答案】（1）①2,0；②见解析；（2）①一34x4-1;②）=“；@/〃-±1.

【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；

（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根

据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为*〃?，-〃『），则图象的顶点为尸，⑶心病），再根据题意即可

求解.

【详解】（1）•・•点解-1,3）与点秒（5,・3）关于点A中心对称,

二点八的坐标为（言至，三史），即42,0）,

故答案为：2,0：

②描点，连线，得到的图象如图所示：

⑵①当初=-1时，抛物线L为y=./+2x,对称轴为/=一1,

它仔广孔像抛物线”〃的解析式为y=-（工+2）（工+4）,对称轴为x=-守=-3,

画出草图如图所示：

・••抛物线L与它的“孔像抛物线'七的函数值都随着x的增大而减小,

则I的取值范围为：—34x4—1；

②画出草图，

由图象知，这条抛物线的解析式只能是y=

故答案为：y="2：

222

③，：y=x-2fnx=（x-m）-m,设顶点为尸（〃?，一/叫，过点?作PM_Lx轴于点M,“孔像抛物线”//的顶

点为P,过点P作〃轴于点M,

得“（3加,0）,所以P（3〃?，〃/），

•・•抛物线心及“孔像抛物线"'与直线尸〃有且只有三个交点,

-nr=mBJCm2=ni,

解得〃尸土1或0,

当片0时，y=f与y=-/只有一个交点，不合题意，工去.

；・”?=±1.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次

函数的相关性质是解题的关键.

0000

6.（2025•江西吉安•一模）某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中

点3为棚顶外沿，为斜拉杆.棚顶的竖直高度M单位：m）与距离停车棚支柱40的水平距离x（单位：

m）近似满足函数关系y=a（.r-8）2+亿其图象如图2所示，且点以7,3.26）和点N（6,3.2）在图象上.

图1图2

⑴求二次函数的表达式；

⑵某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长CD=5.5m,

高DE=2.8m的矩形.通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由；

（3）小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点?与顶棚的竖直距离至

少为0.5m,现需要将顶棚整体沿支柱AO（支柱可加长）向上至少提升/?m,求〃的值.

【答案】（l）y=-O.O2（x-8）?+3.28

（2）不能，理由见解析

（3）/?=0.865米

【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到求函数表达式，理解题意，将题目中的数据和函数表达

式对应是解题的关键.

（1）由待定系数法即可求解；

（2）由题意得，点F的横坐标为7-5.5=1.5,当x=1.5时，y=-O.（）2（x-8）2+3.28=2.44<2.8,即可求解；

（3）设提高也米，则新抛物线的表达式为y=-0.02（x-8）2+3.28+。，由题意得，车最左上端（对应（2）

中F）的横坐标为x=L5,当x=L5时，y>2.8+0.5,则符合要求，即可求解.

【详解】⑴解:把点8（7,3.26）和点。（6,3.2）代入产。（1-8）2+2得,

3.26=。（7-8『+左

3.2=a（6-8『+k

仅=3.28

解得《“熊，

=-0.02

则抛物线的表达式为：y=-0.02（x-8）2+3.28；

（2）解：不能，理由：

由题意得，点F的横坐标为7-55=1.5,

当x=1.5时，y=-0.02（x—8y+3.28=2.435<2.8.

故校车不能完全停到车棚内；

（3）解：根据题意得：新抛物线的表达式为：y=-0.02（x-8）2+3.28+6

由题意得，车最左上端（对应（2）中/）的横坐标为工二1.5,

当h=1.5时，y=-0.02（x—8『+3,28+〃=2.435+〃22.8+0.5,

则人0.865,

故力=0.865米，

7.（2025•江西宜春•二模）如图（1）,在YABC中，44=30。，点P从点A出发以2cm/s的速度沿路线AfCf4

运动，点Q从点A出发以Icm/slK速度沿43运动.P,Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同

时停止运动.以4。，PQ为边在八8的上方作平行四边形AOP。，设运动时间为ZS,平行四边形ADPQ的面

积为Scnf（当点八，P,。重合或在一条直线上时，不妨设S=D）.探究S与，的关系.

初步感知

（1）当点P由点A运动到点C时，

①若f=1,S=：

②S关于，的函数解析式为.

深入探究

（2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于，的函数解析式为S=“r+4（44/410）,其图象如

图（2）所示.

①用的值为;

②求S关于，的函数解析式.

延伸探究

（3）当点2在AC上运动时记为匕，运动时间记为"，平行四边形的面枳记为S：当点P在8C上

运动时记为2,运动时间记为4,平行四边形A。。。的面积记为S?,PR〃AB.

①求。与的数量关系；

②当4+弓=9时，y-色的值为.

220

【答案】（I）①1;②5=/；⑵①]6；©5=--r+yr（4</<10）；（3）©2/2+3r,=20；@10

【分析】本题考查动点的函数图象，含30度角的直角三角形，待定系数法求函数解析式，正确的求出函数

解析式，是解题的关键：

（1）①作庄_LA8广点E,求出PE的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可；②同①法计算即可；

（2）①把f=4代入（1）①中的解析式，计算即可；②待定系数法求出函数解析式即可;

（3）①根据6鸟〃4B时，SACAB,列出比例式进行求解即可;②联立①的等式和%+/=9,求出他，

进而求出S「S2,即可.

【详解】解：（1）①当，=1时，AP=2,AQ=lf

作PELAB于点E,

'：ZC4B=30°,

JPE=-AP=\t

2

・•・平行四边形ADPQ的面积为AQPE=\；

②由题意，得：AP=2t,AQ=t,

・•・PE=-AP=t

2t

：.S=AQPE=t2i

（2）①由图象可知，当，=4时，此时点尸恰好运动到点C,由（1）②可知：S=/2=42=16,

故〃?=16；

②由图象和①可知,抛物线过（416）,（10,0）,代入S=〃+初,

0=100〃+10人

得

16=16。I4b

2

a=—

解得J

/?=—

3

7on

・・・S关于/的函数解析式为S=-；产+11（4W10）

（3）①由题图（2）可知，点夕与点C重合时，/=4,点P与点以重合时，r=10.

・•・AC=2x4=8,£?C=2x（10-4）=12,

由题意可知AR=2小。6=2〃-3,

AC^=8-2r,

当时，贝lj：△""△CAB,

.父=空

.8-2r,_2r2-8

812

:.2/2+3/1=20

2/I3/,=20解得，

②联立2

乙+一

A5.=22=4,S=--x72+—x7=14,

'2233

.・.3-4=10.

8.（2025•江西赣州•二模）已知抛物线C|：丁二9+法+《X之0）与），轴交于点切.其中自变量X与函数值），

的部分对应值如下表；

X・・・12345・・・

y••・0m038•••

（1）①抛物线G的对称轴为直线X=，点M的坐标:

②求抛物线G的解析式及m的值.

⑵如图，将抛物线C1绕点M旋转180。后，得到抛物线G.

②记抛物线C，G组合得到的新图象为S,图象S与过点M的直线>，=履+〃（々¥0）有且仅有一个交点，请

求出火的取值范围.

【答案】⑴①2；M（0,3）；②m=T,y=x2-4x+3；

（2）<5）y=-（x+2）2+7（x<0）；®k<-4.

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求函数解析式等知识，掌

握相关知识是解题的关键.

（I）①根据对称轴的求法即可求出对称轴，利用利用待定系数法求出抛物线C1的解析式，即可求点”的

坐标；

②由①可得出抛物线的解析式，把点（2,加）代入即可求出用：

（2）①设G的顶点为。，G的顶点为E，由题意可知点。与点E关于点用对称，抛物线的开口方向相反,

利用中点坐标公式求出点E的坐标，即可求解；

②直线旷=丘+〃经过点加（0,3）,即直线为了=履+3,当过点例的直线），=七+〃与G、G有且仅有一个

交点时，解得女=Y,当々〈Y时，直线y="+〃无限靠近y轴，与图象S有且仅有一个交点，即可得出答

案.

【详解】（1）解：①由题意可知，当）=（）时，x=l或3,

，对称轴为4二与°=2，

把（1,0）,（3,0）代入），=/+法+°,得：

\~b+c=0

9+3h+c=0

/?=-4

解得：《。，

c=3

••・抛物线C1的解析式为y=/—4x+3,

当x=O时，尸3,

故答案为:2,（0,3）;

②由①可知，抛物线G的解析式为y=f-4x+3,

把（2,"。代入y=x?-4x+3,得:4-4x2+3=〃?，

解得：tn=-1；

（2）解.：①如图：设G的顶点为。，G的顶点为石，

当“2时，y=4-4x2+3=-l,

将抛物线。绕点M旋转180。后，得到抛物线G，

点。与点E关于点M对称，抛物线的开口方向相反,

・・・M（0,3）,

X

/.xE=2XMXD=202=2,=2=2X3-（-1）=7,

••・抛物线C2的解析式为y=-（％+2f+7（xW0）；

②•・•直线y=履+〃经过点M（0,3）,

/i=3,即直线为丁=米+3,

当过点M的直线y=匕+〃与C|有且仅有•个交点时，

令/_4%+3=公+3，即幺一（4+4）4=0,

二.A=[-（4+&）丁-4x1x0=0,

解得：k=-4,

当过点M的直线），=kx+n与Q有且仅有一个交点时，

令-（1+2『+7=日+3,即八（4+少=0,

.­.A=（4+A）2-4xlx0=0,

解得：k=-4,

•.•当&<-4时，直线丁=履+〃无限靠近y轴，与图象S有且仅有一个交点，

故图象S与过点M的直线y=-+n有且仅有一个交点时，k的取值范围是&<-4.

9.（2025•江西九江•二模）已知二次函数y=/一44r2k-l.

（1）求证：该二次函数的图象与x轴始终有两个交点；

⑵若该二次函数图象的顶点坐标为P.

①当女取不同值时，发现点P均在一个函数图象上，求这个函数图象的解析式；

②若①中函数图象上的点M在直线产-x-l的上方，写出点M的横坐标〃，的取值范围，并求点M到直线

），=7-1的最大距离.

【答案】（1）见解析

（2）©y=-x2+x-l；@0<w<2,y

【分析】（1）根据题意，列出判别式，得出4=16&2-4（2&-1）=（必-1）2+3之3,即可作答.

（2）①先整理原式，得次函数图象的顶点坐标为尸（2A,T^+2k-l）.再设/=2上故&=；,则

TM+2&-1=T2+，_],即这个函数图象的解析式为②先运算出函数），=-/+大一1的图象

与直线产-％-1的交点的横坐标为0,2.再证明VAOB是等腰直角三角形，过点M作MN〃y轴，交直线

)，=7-1于点N,过点用作A/〃_LA3，整理得=+结合一IvO,当〃7=1时，的值最

大为1，满足0v，〃v2,最后在RtAMN"中，则cosNMAT?—丝■，代入数值计算，即可作答.

MN

【详解】(1)证明：•・,二次函数y=d-4fcc+2J,

AA=16^2-4(2A:-l)=16A:2-8)l+4=(4^-l)2+3>3>0

二•该二次函数的图象与x轴始终有两个交点；

(2)解：①•・•二次函数丫二/一4履+2/:-1,

-4k

•二对称轴为X=-------=2k,

2x1

把x=2〃代入y=W-4履+2&-1,

得/=(2%)2-40(2&)+21=-4公+21

・•・二次函数图象的顶点坐标为422,-4公+22一1).

设1=2人

2

/.-4jt2+2)l-l=-4xf->|+2xf-)-l=-r2+/-l.

「•这个函数图象的解析式为y=-丁+工一1.

②;①中函数图象上的点M在直线产-xT的上方，

:■发—X24-X-1=-X—1，

整理得犬_2工=伞―2)=0

解得X=0,-马=2.

函数y=*+x-\的图象与直线产-x-l的交点的横坐标为0,2.

记直线产7-1与x轴，)‘轴的交点坐标分别为民A点，

令？=0时，则0=—%一1,

X=-1,

即。3=1,

令5=0时，则)，=_()_1=_1,

RJ0A=1,

ZAOB=90°

・•・VA08是等腰直角三角形，

・•・ZBAO=45°

•••抛物线y=-』+x—i的开口向下,

点M的横坐标机的取值范围为。〈机v2.

过点M作MV〃），轴，交直线y=-x-l于点N,过点M作

MN=-nr+m-\-（-m-1）=-m2+2m=-（〃?？-2〃?）=-（/??-1）~+1.

V-l<0

・・・当加=1时，MN的值最大为1,满足0<机<2,

轴，

.•・NMNB=NBAO=45。,

*/MH上AB,

・••在Rtz^MV〃中,贝iJcosNA1N“=^^,

MN

：•BM=MNcos45°=—MN

2

当肠V最大时，就有最大值，

•••当〃?=1时，MN的值最大为1,

2

••点M到该直线的最大距离为正.

2

【点睛】本题考杳了二次函数的图象性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与坐标轴的交点问

题，解直角三角形的相关性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

10.（2025•江西吉安•一模）抛物线尸”-4仆-5（〃>0）的顶点坐标为点尸，与x轴交于A、R两点（点A

在点3的左侧）.

（1）若抛物线经过点（1,-8）,

①。的值为;点。的坐标为.

®AB=.

（2）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到的抛物线恰好经过点/）,求”的值.

⑶若点M（〃?+l,y）,N（m—1,必）在该抛物线上.

①当y=%时，求加的值：

②在①的条件下，是否存在实数。，使得△“可?为等边三角形，若存在，请求出〃的值；若不存在，请说

明理由.

③当必时，请直接写出，〃的取值范围.

【答案】⑴①1，（2,-9）；②6

（2）2

（3）02；②存在,5@m>2

【分析】（I）①把（一8）代入），=加-4办—5（〃>0）求得。，则〉，=/一43—5=（工一2）2-9,即可得出顶点

坐标；

②令y=0,则f-4x-5=0,解得：X,=-1,X2=5,则4（T,0）,B（5,0）,即可求解;

（2）由），=双2一今a―5=。（“一2）2-4。—5求得顶点坐标为P（2,3-5）,再根据抛物线平移规律得出平移

后解析式为），=尔-4。-13,把顶点尸（2,4一5）代人求解即可；

（3）①根据》=%，则对称轴为直线工="上粤」=，〃，又根据对称轴为直线=2,即可求解;

22a

②由〃=?2,则加（3,-3〃-5）,N（l,-3a-5）,所以MN=2,不规则根据顶点，的坐标为（2,4.5）,则点/，

到MN的距离为。,然后根据等边三角形的性质得4MNP=&）。，PM=PN=MN=2,所以sin600=@=正，

22

即可求解；

③根据)1>乃,则〃("z+1)~一4〃(/〃-1)-5,即

a(/M+l)2-4a(m+l)>a(/n-l)"-4t?(/w-l),再根据a>0,则-求解即

可.

【详解】(1)解：①把(I,—8)代入>=加一4翻一5(。>0),得：

〃一4。-5=8,

解得：。=1,

Ay=x2-4x-5=(x-2)2-9,

工顶点坐标为点P的坐标为(2,-9),

②令丁=。，则f_4x—5=0,

解得：百=-1,〜=5,

AA(-1,O),8(5,0),

JAB=|-1-5|=6.

故答案为：①1;(2,-9)；②6.

(2)解：Vy=ax2-4av-5=«(x-2)2-4a-5,

，顶点坐标为P(2,4/-5),

又1•将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度，

平移后解析式为y=ax2-4a-\3,

把P(2,-4〃-5)代入)，=♦-4。-13,得：

-4<7—5=4^-467-13,

.,.a=2.

(3)解:①•・』=%，

・••对称轴为直线X=〃广，1=M，

又•••对称轴为直线1=-学=2,

2a

ni=2.

②存在，理由如下：

m=2>

.•.M(3,-3〃-5),N(H),

...MN=2,

又••・顶点P的坐标为(2,Ta-5),

「•点。到MN的距离为“,

又・.FMNP为等边三角形,

・・・/MNP=60°,PM=PN=MN=2,

：.sin60°=—=—,

22

/.«=V3：

③；y>%，

a(tn+\y-46/(/??+1)—5>-4a(〃z—1)-5,

即a(m+\y-4a(m+\)>,

Vtf>0,

(/?/+1)--4(/7/+1)>(///-1)'—4(w—1),

解得：〃?>2.

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数图象平移，等边三角形的

性质，解直角三角形，此题属二次函数综合题目，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程、

不等式的关系是解题的关键.

11.(2025•江西,一模)已知抛物线。：y=-i+6x+/〃的顶点为点P,抛物线。关于直线/：y=〃对称的抛

物线记为4,点。为抛物线为4的顶点，改变〃的值，点Q的位置会发生变化，在变化过程中，发现当〃=2

时，点。恰好落在九轴上.

,，•••・••・

_O

*

备用图

(。则点/^的坐标为二加二二

(2)求抛物线4的解析式；

⑶如果抛物线。与右相交于点A(%,y),6(%％)，且％<&.

①直接写出〃的取值范围：」

②求四边形的面积s(用含〃的式了表示)；

③当四边形Q4QB为正方形时，求〃的值.

【答案】⑴(3,4),-5；

(2)y=x2-6A+2/2+5

(3)(ijn<4；②S-(8-〃:③〃=3

【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、正方形的判定等知识点，理解二次函数的性质

以及数形结合思想成为解题的关键.

(1)先将抛物线中y=-丁+6x+〃?化成顶点式确定顶点「(3,9+利)，再根据对称性求得。(3,2〃-9一〃。,

然后根据当〃=2时，点。恰好落在％轴上，列方程求得〃7=-5,进而确定点尸的坐标；

(2)先根据对称性求得。(3,2〃-4),再根据抛物线乙、心的开口大小相同，开口方向相反，直接写出函数

解析式即可；

(3)①先说明点4(%,y),在直线丁=〃上，再根据函数图象即可解答；②如图：连接P。交直线/

于点M,则PM=4—％贝ljPQ=2PM=8-2〃；^--x2+6x-5=/z»即一x2+6x-5—〃=0,易得

王+勺=6,工-2=〃+5,进而得到48=2/^,用根据轴对称的性质可得四边形是菱形，最后根据

菱彩的面积公式即可解答；③先说明当PQ=4A时，四边形外。8是正方形，即PQ2=442,进而得到关于

〃的一元二次方程求解即可.

【详解】(1)解：<:y=-/+6x+〃z=-(x-3)~+9+〃?，

••・顶点尸(3,9+加)，

•・•抛物线。关于直线/：，=〃对称的抛物线记为4,点。为抛物线为右的顶点，

・••点。与点夕关于直线/：y=〃对称，

,9+〃？+%一,

一〃'

()(3,2n-9-m),

•••当〃=2时，点。恰好落在X轴上，

•••2x2-9—〃?=0,解得：加=-5,

・•・时4).

故答案为：(3,4),-5.

(2)解：由(I)可知抛物线4：y=-x2+6x-5=-(x-3f+4,尸(3,4),

•••点。与点。关于直线/：丁=〃对称，

・•・。(3,2〃-4),

•・•抛物线。关于直线/：3'=〃对称的抛物线记为右，点。为抛物线为右的顶点，

・•・抛物线%的开口大小相同，开口方向相反,

・♦.抛物线L：y=（x-3）~+2〃-4=工2_6X+2〃+5.

（3）解：①;抛物线4与/相交丁点A（N，），J,8（巧,必），

・•.点A（x“J,8（%,%）在直线产“上，

•・•抛物线A的顶点坐标为尸（3,4）,

・•・当〃<4时，抛物线乙与人有两个不同的交点，即人（方,〃），8（修,〃）.

②如图：连接夕。交直线/于点M,则PM=4-〃，

•••抛物线。与&相交于点A（x,y）,3（心丹），

令-42+6%-5=〃，即一W+6x-5-〃=0,

:.通+工2=6,X]•42=〃+5,

—

**•AI3=A2|=《（X[十xj-4%•3=#6-4（〃+5）=2yl4-n，

由对称性可得：PQ±MP=MQ.MA=MB,

，四边形PAQ3是菱形，

,S=；PQ.A8=g（8-2〃）・2x/^=（8-2"）＞/J^.

③二•四边形尸AQ6是菱形，

・•.当PQ=AB时，四边形尸AQ5是正方形，

APQ2=AB~,即（8-2〃y=4（4-〃），

***/I2—7/1+12=0,解得:“1=3,%=4,

/.〃=3.

12.（2025.江西抚州•模拟预测）综合与实践

AECACE43-2-1I1234*

图1图2图4

特例感知

(1)如图1,在等腰直角VAAC中，。为斜边44的中点，P是斜边43上一动点，过点P分另!作AC与BC

的垂线，垂足分别为E,F,连接。E,DF,则OE,。尸的关系是.

类比迁移

(2)如图2,在等腰直角VA8C中，。为斜边A8的中点，尸是斜边4B延长线上一动点，过点P分别AC与

BC的垂线，垂足分别为EF,连接。石，DF,EF.求证：山所是等腰直角三角形.

拓展应用

(3)如图3,在平面直角坐标系上0y中，点A,8的坐标分别为(-2,0),(0,2),C是A8的中点，尸是射线

AB上一动点,过点尸分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为R。，连接。C,FC,DF,点E与点C关

于。尸对称，连接OE,EF.

①当点P在线段4/3上运动时，请判断点E是否在一条直线上运动.若在，请直接写出这条直线的解析式;

若不在，请说明理由.

②设点尸的横坐标为x,四边形COE5的面积为「求)，与X的函数解析式，并在如图4所示的平面直角坐

标系中画出该函数的图象.

【答案】(1)DE=DF,DEIDF^证明见解析；(2)证明见解析；(3)①E在直线'=”上，理由见详

解；②y=(x+l『+l,画图见解析

【分析】(1)如图，连接CO,证明四边形户比户是矩形，BF=PF,可得P”=CE,PE=CF,CE=BF,

再证明△。"B,进一步可得结论；

(2)如图，连接CO,证明四边形PEC才是矩形，BF=PF,亘得PF=CE,PE=CF,可得CE=BF,证

明QEGADFB,可得。£=。P，NH。/=NQ)K，证明OE_LOF；可得△QEF是等腰直角三角形；

(3)①如图，连接OC,过C,E分别作x轴的垂线，垂足分别为G.〃，证明C(-l/)，△A4O为等腰直角

三角形，同理可得：CF=CD,CF1CD,NCDF=NCFD=45。,结合点El与点。关于。尸对称，可得四

边形CFE。是正方形，证明ACG产乡△H7E,“『得CG=/77=1,GF=EH,求解直线AB为：y=x+2t

设尸(x.O),P(x.x+2),可得七(1+AJ+X),可得E在直线y=x上：

②由①得：当。在线段A8上，P(x,x+2),则/(乂0),E(l+x,l+x),如图，当.在直线A8上，同理可得:

E(l+x,l+x),而尸(匹0),四边形CDE尸的面积为y=£1产=(1+XT)2+(1+X)2=(1+4+1,再画图即可.

【详解】解：(I)DE=DF,DE1DF：理由如下:

如图，连接CO,

•••在等腰直角VAAC中，CA=CB,NACB=90。，。为斜边相的中点,

：,CD=AD=BD,CDLAB,Z4=ZB=45°=ZACD=ZBCD,

•・•过点尸分别作AC与BC的垂线，垂足分别为E,F,

APFC=APEC=9()°=ZACB,ZBPF=ZB=45°,

・•・四边形尸比户是矩形，BF=PF,

:,PF=CE,PE=CF,

:.CE=BF,

:•么DEg^DFB，

DE=DF,NBDF=NCDE,

工乙EDF=ZEDC+ZCDF=NCDF+ZBDF=ACDB=90°,

：・DE工DF;

(2)如图，连接CO,

•・•在等腰直角VA3C中，CA=CB,ZACB=90°,。为斜边A8的中点,

：,CD=AD=BD,CDLAB,ZA=ZABC=45°=ZACD=ZI3CD,

：.ZFSP=45°,

丁过点P分另“乍AC与5c的垂线，

工4PFC=/PEC=舒=ZACB=/FCE,/BPF=/PBF=45。,

，四边形户比才是矩形，BF=PF,

:・PF=CE,PE=CF,

:・CE=BF,

:MDEC^DFB,

DE=DF,NBDF=NCDE,

/.4EDF=4EDB+4BDF=/EDB+NCDE=4CDB=舒,

:・DEtDF；

所是等腰直角三角形；

(3)①如图，连接OC,过C,E分别作x轴的垂线，垂足分别为G,H,

AV

•••点A,8的坐标分别为(—2,0),(0,2),C是AB的中点,

Ac(-u),△人40为等腰直角三角形，

同理可得：CF=CD,CF1CD,ZCDF=ZCFD=45°,

丁点E与点C关于OE对称，

:・CD=ED,CF=EF,N