2024-2025学年福建省泉州某中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年福建省泉州五中高二(下)期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知正项等比数列｛a"的前n项和为％,若S3=2S?-S]+6,a1=1,则=()

2

2.已知函数/(%)=x(x+bx+c)的图象如图所示,则％1■%2=(

!/2X

3.已知由样本数据。"%)。=1,2,3,...,10)组成的一个样本，得到回归直线方程为y=2%-0.4,且1=2,

去除两个样本点(-2,1)和(2,-1)后，得到新的回归直线的斜率为3,则在新的经验回归方程下，样本

(4,8.9)的残差为()

A.-0.2B.-0.1

4.若随机变量X〜N(〃,3，随机变量丫〜B(3,p),且P(X>1)=1,E(X)=E(Y),贝肝(丫<1)=()

5.为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，学校安排4,B,C,。4名学生去甲、

乙、丙三个社区宣讲，每个学生去且只去一个社区，每个社区至少有1名学生，其中学生4不能去甲社区,

则不同安排方式的总数是()

6.某仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器，第一、二车间生产电器的产品比例为2：3,

已知第一车间的电器次品率为3%,第二车间的电器次品率为8%.今有一客户从电器仓库中随机提一台产

品，设此产品是次品的概率为pi；若此产品是次品，则此次品来自第一车间的概率为P2,那么()

7.已知(1+2久,=劭+%_%+a2/+…+K％则下列选项中错误的是()

A.a2=144

B.az(i=0,1,2,…,8,9)的最大值为生

C.%+Q3+即+6X9=CLQ+g+。4+。6+。8=2®

D.墨+学+袋+袋=255

8.若不等式岸+2%标Z2+%对任意式C[1,+8)恒成立，则正实数t的最大值是()

2

A.|B.eC.yD.e2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知空间四点4(一1,1,0),9(2,2,1),9(1,1,1),D(0,2,3),则下列四个结论中正确的是()

A.AB1CD

B.向量近共线的单位向量为(-苧，-苧,0)

C.向量而在向量而上的投影向量为©,0,-今

D.点2到直线BC的距离为「

10.已知函数/(%)=—3%,则()

A"(3)—"1)>21(2)

B.曲线y=/(%)在点(1,一2)处的切线方程为y=2

C.若方程/(%)+m=0有两个相异实根%1，久2，且%1+%2V。，则实数能的值等于-2

D.已知函数g(x)=无最小值，贝帽的取值范围是(1,+何)

11.甲乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷，下列选项中正确的是()

A.“甲乙两人各掷一次，所掷点数的差不超过3”的概率为，

B.“在甲掷出6点后，乙下一次掷骰子掷出6点”的概率为之

C.“首次连续2次出现6点时需掷骰子的次数”的期望为36

D.“甲先掷出6点”的概率为白

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在6-$5的展开式中:的系数等于.

13.两个不同小球随机投入4B,C三个不同空箱中，贝储箱的小球数f的方差D(f)=

14.已知椭圆和双曲线有相同的焦点6，F2,它们的离心率分别为02，点P为它们的一个交点，且

乙F1PF2=y,贝/+赍的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

2025年春节档一部国产动画电影微B吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截至3月20日,

该电影已进入全球票房榜前五.经权威电影机构调查，得到其前5周的票房数据如表:

周次第1周第2周第3周第4周第5周

周次代码X12345

票房总额〃亿元403525377

(1)求y关于X的线性回归方程y=bX+a；

(2)该电影机构为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了90名观影人员，得到表格:

是否喜欢

是否成年合计

不喜欢喜欢

未成年人4050

成年人1040

合计90

依据小概率值a=0.1的独立性检验，能否认为喜欢电影濯卜吒之魔童闹海)和是否成年有关?

附：①£之1%％=368,2L呼=55,在利用最小二乘法求得的线性回归方程y=6久+a中，b-

第xy

7-'a=y一族；②f=（a+b消鼠?：（b+d），其中"=a+b+c+d.

^i=lXi~nX

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

16.(本小题15分)

如图，在四棱台4BCD中，。心1平面4BCD,底面力BCD为菱形，4B=2&B「点E为BC的中

点，ABAD=60°,连接AC、BD,设交点为0,连接当0.

(1)求证：DiE〃平面2BB1公；

(2)若4B=4,且二面角/-48-C大小为60。，求三棱锥％-ABO外接球的表面积.

17.(本小题15分)

已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=?,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的

周长为4隗，F为E的右焦点，P为E上一点，PF1久轴，。尸的半径为PF.

(1)求椭圆E和OF的方程；

(2)若直线八y=k(x—C)(k>0)与OF交于4B两点，与E交于C,。两点，其中4,C在第一象限，是

否存在k使|4C|=|BD|?若存在，求I的方程；若不存在，说明理由.

18.(本小题17分)

近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能(力rtificiaZ/nte山gence,简称4)已然成为科技变革的核心

驱动力.有媒体称DeepSeek开启了我国4/新纪元.我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与4/知识有关

的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手

不放弃任何一次答题机会.已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不

一定相等.

(1)若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为p,

①设p=g,记甲同学答完前三道题得分为X,求随机变量X的分布列和数学期望；

②若甲同学答完前四道题得8分的概率为白，求甲同学答完前四题时至少答对三题的概率的最小值；

ol

(2)若甲同学答对每道题的概率均为主因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲

同学答题累计得分为2,记甲答题累计得分为n的概率为七，

①求证：回+1-匕｝是等比数列；

(苴)求分的最大值.

19.(本小题17分)

已知函数/(%)=sinx.

1

(1)求函数g(%)=/(%)--%+1的单调区间；

(2)求证：对任意实数久1，%2，1/(%2)41%2-％11；

v2

(3)是否存在实数租，使得f'(%)>mx3+万+2%-2ex+3恒成立？若存在，求租的取值集合，若不存在，

说明理由.

答案解析

1.【答案】c

【解析】解：正项等比数列｛即｝的前n项和为%,S3=2s2-S1+6,at=1,

设正项等比数列｛a"的公比为q,q>0,

由S3=2s2—S1+6,a1=1,得1+q+q2=2(1+q)-1+6,

整理得q2—q—6—0,解得q=3,

3

•••a4=q=27.

故选：C.

根据给定条件，求出等比数列的公比即可求得a*

本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由/(x)=双比2+bx+C)的图象知，0,1,2是函数/O)的3个零点,

故/'(x)=%(%—1)(%—2)=%3—3久2+2%,

f'(x)—3%2—6尤+2,

又%1，右是函数/(%)的两个极值点，即为函数((X)的两个变号零点，

且/=(-6)2-4x3X2>0,

所以%%2=

故选：D.

根据给定函数及图象，求出解析式，利用导数求出其极值点即可.

本题考查利用导数研究函数的极值，属于中档题.

3.【答案】B

【解析】解：因为回归直线方程y=2x—0.4必过点G3),

所以亍=2%-0.4=4-0.4=3.6,

所以去掉两个样本点(一2,1)和(2,—1)后，

得到新的样本数据的平均数为：9

J=10X2『一2=1=10X3.6-1-C-1)=

oZoZ

因为新的回归直线的斜率为3,且必过点(|,今，

所以新的回归直线为：y-1=3(x-f),

即y=3x—3,

所以在新的经验回归方程下，样本（4,8.9）的残差为8.9—（3x4-3）=-0.1.

故选：B.

利用线性回归方程必过样本中心点&J）这个性质来求解，结合残差为实际值减去预测值，即可作出判断.

本题主要考查了回归直线方程的性质，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：由丫〜8（3,p）,E（y）=E（X）=L得3P=1,解得p=g,

由X〜N（噫,P（X>1）=得E（X）=〃=1,

所以P（y<I）=P（Y=o）+P（y=l）=（|）3+3x|x（|）2=3

故选：D.

利用正态分布的对称性，结合已知求出E（y）,进而求出p及p（yw1）的值.

本题主要考查二项分布、正态分布的定义，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解:学校安排4B,C,D4名学生去甲、乙、丙三个社区宣讲，

每个学生去且只去一个社区，每个社区至少有1名学生，且学生4不能去甲社区，

■.-A,B,C,。4名学生去甲、乙、丙三个社区，每个社区至少有1名学生，

・•・可将4人分为1,1,2三组，共有&g=华=6种分法.

短2

总分法为绡^•累=6x6=36；

令学生4必须去甲社区，则有两种分法：

三人去乙、丙两个社区废鹿或三人去甲、乙、丙社区北，

则共有：盘房+题=3x2+6=12,

.♦.学生2不能去甲社区的不同安排方式为：36-12=24.

故选：B.

由题意可知将4人分为1,1,2三组共计笔种分法，分好的组去三个社区，总共笔•4I种分法；假设4必

须去甲社区，则有两种分法：①三人去乙、丙两个社区玛掰或②三人去甲、乙、丙社区发；所以总的安

11

排方式为：,Al-（C3-Al+Al）.

A2

本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：依题意，由全概率公式可得此产品是次品的概率为:

23,383

P1=2+3X100+2+3X100=50(

若此产品是次品，则此次品来自第一车间的概率为：

故选：D.

根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算判断.

本题考查条件概率公式与全概率公式，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解:(1+2久/展开式的通项公式为彩+1=C$(2x)『=2rC；xr,reN,r<9.

2

对于4,a2—2Cg=144,故A正确；

对于8,当i6N,"8时，―="卑=隆答21,解得iW/

所以当时，43<1,即有劭V<…V。5<。6〉。7>。8>。9，

因此心的最大值为。6，故3正确；

对于C,当％分别取±1时，有『0+%+口2$…+口9139

(a。-6Z]+0,2+…一的二—1

o9_1

两式相加可得劭+的+。4+。6+。8=—2一'故C错误；

aa

++2++92

ao£12-----

2229

对于0,当x分别取±次寸,aa

£12+2+9O

ao-------

2229

两式相加可得劭+袋+券+袋+||=28,而劭=1,

因此受+学+竽+袋=255,故。正确.

故选：C.

求出二项式展开式的通项公式，求出a2,号1分析判断48；赋值计算判断CD.

本题考查二项式定理的应用，采用赋值法是判断C,D选项的关键，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：因为t〉0,Vx6[1,+8),不等式号+2x->2+x<=>(ex—2t)(ex—tx)>0<=>(t—

pXpx

令人久)=9,久N1,则((久)=竺肥NO,当且仅当x=l取等号，f(x)在[1,+8)上单调递增,

当X=2时，y=f=y,(t—\)(t—1)20恒成立,则t>0;

当iwx<2时，y<1,由(t—斗(t—9)20,得tW或t2此时tw湃降冬

当x>2时，y>^,由(t—5)(t—920恒成立，y=/取值集合为(。+8),

x22

则此时tw读，又>0,所以t的取值范围是0<tw|或t=],

°2

所以t的最大值为次

故选：C.

由已知不等式变形得出("5-$)20,分x=2、l<x<2,x>2三种情况讨论，解不等式(t—

>0,结合恒成立可求出t的取值范围.

本题主要考查不等式恒成立问题，导数的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

9【答案】AC

【解析】解:4选项,因为西=(3,1,1),CD=(-1,1,2),

所以南・丽=—3+1+2=0,所以481CD,所以4选项正确；

B选项，因为比=(一1,-1,0)，

?

所以|瓦|二J(-1尸+(-1)2+02=72,

单位向量为：(一盍，—盍，0)=(一苧，一年，0)或(专，4，0)=(苧，年，0),所以8选项错误；

C选项，因为前=(2,0,1),BD=(-2,0,2),

所以前•RD=2-(-2)+0-0+1-2=-2,|BD|2=(-2)2+02+22=8,

所以需?•丽=卷•(-2,0,2)=所以C选项正确；

。选项，|cos屈，前I=।喘,温=箸,可得sin屈，前=J1-cos2通，就=J7=篝,

所以点2到BC的距离为|话|-sin屈，元=展，所以。选项错误.

故选：AC.

根据数量积为零判断向量垂直，判断选项人根据向量除以模长求单位向量，判断选项脱根据投影向量

八__ii,AC,BD

公式：W•前判断选项C；根据向量夹角公式I屈I•sin同，比，计算点2到直线BC的距离，判断选项

D.

本题考查空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离，属于中档题.

10.【答案】AD

【解析】解:由题意，f(x)的定义域为R,/'Q)=3/-3=3(x-l)(x+1),

对于4,/(3)—"1)=18—(—2)=20,2r(2)=18,f(3)=/⑴>2尸(2),故A正确；

对于B,r(1)=0,/(1)=—2,曲线y=/(%)在点(1,—2)处的切线方程为y=—2,故8错误；

对于C,当x<-1或x>l时，/\%)>0；当一1<久<1时，f'(x)<0,

函数f(x)在上递增，函数值集合为(—8,2］,在［-1,1］上递减，函数值集合为［—2,2］,

在［1,+8)上递增，函数值集合为［一2,+8),方程/(x)+m=0<=>f(x)=-m,

当一爪=±2,即m=±2时，直线y=-爪与曲线y=/(x)有两个交点，即方程/(x)+m=0有两个根,

32

当m=—2口寸，%—3%—2=(x+l)(x—2)=0,解得x1=-1,x2-2,x1+x2>0,不符合题意,

32

当m=2时，x-3%+2=(%—l)(x+2)=0,解得/=1,x2=—2,x1+x2<0>则m=2,

因此方程/(x)+m=0有两个相异实根*2，且%1+%2<。，则实数小的值等于2,故C错误；

对于D,作出函数y=/一3久的图象与直线y=-2刀，

由图知，当。<-2时，函数/(%)有最小值f(a)；

当一2WaWl时，函数〃久)有最小值f(l)=一2,

当a>l时，函数〃久)没有最小值，因此a的取值范围是(1,+8),故。正确.

故选：AD.

求出导数计算判断4求出切线方程判断B；结合三次函数性质求出方程有2个根时的小，再验证判断C；作

出函数f(x)图象及直线y=-2乂，数形结合判断D.

本题主要考查利用导数研究函数的最值，导数的几何意义，函数的最值问题，考查运算求解能力，属于中

档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：由题易知甲乙两人的投掷结果共有36个，

其中(5,1),(1,5),(6,1),(1,6),(6,2),(2,6)不满足要求,

因此满足要求的概率为1-£=葭A正确；

3。o

由题易知，甲乙投掷骰子是相互独立的，所以乙掷出6点的概率为士8正确；

设首次连续两次出现6点的期望次数为E,若第一次没有掷出6点，则需重新开始，

期望次数为E+1；若第一次掷出6点，第二次没有掷出6点，则需重新开始，

期望次数为E+2；若第一次、第二次都掷出6点，则期望次数为2,

则E=，（E+1）+H（E+2）+2X2,解得E=42,C错误；

66636

设甲第n次首次掷出6点，且在甲第n次掷骰子前两人都没有掷出6点，

1x5>.2n

设其概率为即，则an=332n-2,誓1=席我=||,

6W

则数列5｝是首项为的=3,公比为If的等比数列，

数列｛时｝的前几项和为无=杷胃力=—（||中，

当九一+8时，Sn-S即“甲先掷出6点”的概率为白，。正确.

〃1111

故选：ABD.

利用古典概率，结合对立事件的概率公式计算判断48;

设首次连续两次出现6点的期望次数为E,结合题意分析得出关于E的方程，求解判断C；

求出“甲第n次首次掷出6点，且在甲第九次掷骰子前两人都没有掷出6点”的概率，结合等比数列的求和公

式判断D.

本题主要考查事件的概率以及离散型随机变量的期望，属于中档题.

12.【答案】—20

【解析】解:6-勺5展开式的通项图+]=（-1）『22「-5。枭5-2『

令5-2r=-1得r=3

故展开式中;的系数等于-2/=-20.

故答案为;-20.

利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为-1得到系数.

本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题.

13.【答案】[

【解析】解：每个小球放入4箱的概率为手且两个小球的投放相互独立,

因此月箱中小球数f服从二项分布f〜B（2,1）,

所以。（口=2'*（1一》=[.

故答案为：I

根据4箱中小球数毛服从二项分布，即可求解.

本题考查二项分布的方差，属于中档题.

14.【答案】（2,+8）

【解析】解：设点P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，如图,

则|P&|+\PF2\=2%,\PF1\-\PF2\=2a2,

解得|PF1|=+。2，一。2，

在aFiPF2中，根据余弦定理可得：

2

内尸2产=IPF/2+\PF2\-2%|•|%1・cosf,

4c2=3a1+al,即.+%=4,

3i

设=t2=则有0<LV1<七，"+1=%

1.34tj—3‘1、（3y

.Z=4—三=〒，•"2=不>1，

所以号+黄=h+t2=h+已=需苧，

设a=4tl-3>贝!Jt】=：，且0<a<1,

4

•••田+―?=加+》+1,

又易知y=%+|在（0,1）上单调递减，

3

u+->4,ef+>2.

故答案为：（2,+8）.

根据椭圆与双曲线的定义求出|P6|,仍尸21用的，a2表示，在A&PF2中，根据余弦定理可得|&尸2『=

时『+上尸2|2-2伊&]¥？2|・3争戈到（11，a2,C的关系，然后整理成离心率解决.

本题考查椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，余弦定理的应用，函数思想的应用，化归转化思想，属中

档题.

15.【答案】y=—6.4%+48；

表格见解析，不能.

【解析】(1)由前5周的票房，可得

—11

久屋(1+2+3+4+5)=3,y屋(40+35+25+37+7)=28.8,

又2乙/%=368,Yi=ixi=55,

所以6=双1出「号=368—5x3x28.8

=-6.4,

55-5x3?

^=1x?-5x

则a=亍一版=28.8-(-6.4)x3=48,

故所求的线性回归方程为y=-6.4X+48.

(2)可得2X2列联表如下:

是否喜欢

是否成年合计

不喜欢喜欢

未成年人104050

成年人103040

合计207090

2

n(ad-bc)90x(10x30-40>10)

所以％2=-X0.321<2.706

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x40x20x70

故依据小概率值a=0」的独立性检验，不能认为喜欢电影微B吒之魔童闹海》和是否成年有关.

(1)由前5周的票房数据，分别求得三。利用回归系数的公式和样本点的坐标，求得6,a,即可得到所求的

线性回归方程;

(2)根据题意，得出2x2列联表，利用公式求得公，结合附表，即可得到结论.

本题考查一元线性回归模型，属于中档题.

16.【答案】证明见解析；25兀.

【解析】(1)证明：由题可知BiDJ/DO,B]Di=DO,

故四边形为平行四边形，

所以。必/当。，又叫_L平面ABCD,

故/。_L平面A8CD.

以菱形中心。为原点，色?为工轴正向，而为y轴负向，z轴垂直于底面,

设力B=a,结合四棱台的性质，上底面为边长为5的菱形,

则下底面：4(穿,0,0)，S(0,f,0),D(0,-10),E(-苧,%0)，

上底面：设高度为九，贝3式0,一*似，BM0,0,h),4(?a,—|无)，

则庠=(一手洋,—。布=(一早年,一八)，

得庠〃硕.

因为4/U平面4BB14,AEC平面4BB14,

故。把〃平面2BB1公；

(2)因为AB=4,故。4=2门，OB=2,

△4B。为直角三角形，二面角占一48-C是平面4BB1&与底面4BCD的夹角,

设=h,底面4BCD的法向量可取五=(0,0,1)>

设平面4BB1&法向量五=(%,y,z),

XX(2<3,0,0),B(0,2,0),Bi(0,0,h),

贝1J丽=(-273,2,0)，AB[=(-2C,0,h)，

所以|乐■而=-2/3x+2y-0

--2y/~3x+hz=0

令x=h,则无=

“OI近显I2/3/31

所以C°s60=I阮丽I=I2L2r-2=TT==2，

111121J/I2+(<3/I)2+(2<3)2JM+3

因为九>0,

<31

解方程丁丁==2，

得fl=3,

由长方体的性质可知三棱锥a-AB。外接球直径就是以04OB,。名为三条棱的长方体的体对角线,

故三棱锥Bi-2B0外接球直径长为J22+(2门)2+32=5，

所以三棱锥Bi-48。外接球的表面积为S=257r.

(1)以菱形中心。为原点，示为％轴正向，质为y轴负向，z轴垂直于底面，设4B=a,列出各点坐标，得

出庠〃硬，进一步证明。送〃平面4BB14；

(2)设AD=h,根据法向量夹角余弦求出h,然后根据长方体的性质可得所求外接球的直径进而可得表面

积.

本题考查线面平行的判定，以及向量法的应用，属于难题.

17.【答案】椭圆E的方程为9+V=i,。尸的方程为0一门产+/=点

不存在，理由见解析.

【解析】(1)因为椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，

设椭圆E的方程为《+4=l(a>b>0),

因为椭圆E的离心率e=?，

所以Ja2f2=6,

a2

因为以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为44，

所以Ua2+炉=店,

解得a=2,b=1,

2

则椭圆E的方程为菅=1，右焦点尸(C,。)，

因为PFlx轴，

所以P(/^,土》，

则。F的方程为(x--/3)2+y2-7；

(2)因为4B在圆上，

所以MF|=\BF\=\PF\=(

设D(x2,y2)>

因为点C在椭圆上，

所以=1——>

八4

贝！11CF|=J(%!-<3)2+yl=J4_2Cxi+河=2一亨

同理得|DF|=2—^*2，

若|2C|=\BD\,

此时|2C|+\BC\=\BD\+\BC\,

即|CD|=\AB\=1,

所以4—苧(久i+x2)=1，

2_1

联立，％+y一，消去y并整理得(4/+1)%2一8，^2^+12卜2—4=0,

y=k(x-O

止匕时/=(-8>A3fc2)2-4(41+1)(121-4)=16(fc2+1)>0-

由韦达定理得+x2=~r~>

所以4一名匕=1,

4kz+l

BP12fc2=12k2+3,无解.

则不存在k使MC|=\BD\.

叫

(1)根据给定条件，列出方程组求出a,b得椭圆E的方程，再求出OF的方程；

(2)设出C、。的坐标，求出|CF|、|。F|,根据条件得到|AB|=|CD|=1,利用韦达定理代入即可得到结

论.

本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题.

18.【答案】①随机变量X的分布列见解析，期望E(X)=5；②卷

(i)证明见解析；(助，

【解析】(1)①由题易知答错概率q=1—p=：,

用k表示答对的题数鼠则随机变量X=k+3,

由题易知X的所有取值可能为3,4,5,6,

P(X=3)=呜3=$p(x=4)=CK|)(|)2=捺=I，

P(X=5)=2(|)2&=If=芯P(X=6)=废(|)3=捺,

限额X的分布列如下所示:

X3456

1248

P

279927

24

+5X+6X5

将表格数据代入期望公式可得E(X)9-9-

②由题易知p4=3,得p另,

olJ

所以至少答对3题的概率为P=C错尸.(|)+酸0)4=言+2="；

(2)(回)当n>2时可知：

最后一题答错(概率|):之前得几-1分，故匕含|Pn_i；

最后一题答对(概率》：之前得九―2分，故分含(Pn_2.

得到4=衿_1+沔_2(心3),

整理得到当+1—4=14+(p71T—4=——PQ

2

并且B=|,P2=|+(|)=^所以P2—PI=J

故可以得到｛Pn+1-4｝是一个以2为首项，-(为公比的等比数列；

(ii)对数列｛P“+1-6｝运用累加法可以得到：

1(lx71-1

6=A+a=2(外一%)=|+^=A9V尸，

偶数项5=2,4,6,…)：(一3九-1为负，4=正数，且随着"增大，正数减小，故P2为最大值；

奇数项5=1,35…)：(-为正，4=,-正数，随着几增大，正数减小，趋近于0,故最大值趋近于

3

4,

综上，P2为最大值，计算22=3即匕最大值为最

(1)①已知答对概率p=|,那么答错概率为%设答对题数为匕得分X=k+3,依次计算出k=0,1,

2,3时的概率，得出随机变量X的分布列，并计算出期望E(X)；

②己知甲得8分(连对4题)概率白，得出答对每题的概率为，进一步计算出至少答对3题的概率.；

7-11

(2)(助对nN2,得分71进行递推，得出分=9Pn_i+*Pn_2(>N3),计算乙+1-分，得出｛Pn+1-4｝是以B

为首项，-：为公比的等比数列；

(ii)由差数列累加求和得：6=,-白(-9尸-1，判断奇数项和偶数项的单调性，推出B的最大值为P2.

本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望以及等比数列的证明和数列的最值问题，属于中档题.

19.【答案】递增区间为[苫+2卜兀(+2时(卜€2),

递减区间为弓+2/OT,—+2/c7r](fceZ)；

证明见解析；

存在，皮.

1

【解析】(1)函数g(%)=s讥％-]%+1的定义域为R,

“(%)=COSX—p

由“(%)<0,得与+2kn<%<:+2kn,kWZ,

由g'(%)>0,得——+2/CTT<久<§+2/CTT,kCZ,

所以g(%)的递减区间为色+2k7T,+2fc7r](fcEZ),

递增区间为[—5+2kn,^+2/CTT](fc6Z)；

(2)证明：令函数0(%)=s讥%—%,%>0,则d(X)=cos%—140,

函数9(%)在[0,+8)上单调递减，则租(%)<0(0)=0,BPsinx<x,

当%一>2时，|/(%2)-/(%i)|=\sinx2—sinx1\<2<\x2—xr\,

"xxx

当|%2i\<2时，|/(%2)=\sinx2-sinx1\=2\cos^±£isin2-i।

<2|sin^|=2sMi中|<2|詈|=%一久11，

所以对任意实数%1，%2，l/(%2)-4\X2一％11；

(3)设九(%)=/'(%)—mx3-y—2x—3

2

=2ex+cosx—mx3——x—2x—3(xGR),

则A'(%)=2ex—sinx—3mx2—x—2,

设"(％)=h'(%)=2ex—sinx—3mx2—x—2,

”'(％)=2ex—cosx—6mx—1,

设G