2024-2025学年江西省萍乡市某中学高一（下）期中数学试卷（A卷）含解析

2024-2025学年江西省萍乡市芦溪中学高一(下)期中数学试卷(A卷)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.tan2250-cos(-480°)^{g^J()

3113

A-2C.--D,--

2.设扇形的弧长为18,圆心角为微则该扇形的面积为()

A.108B.18兀C.180D.108兀

3.若复数(&2-3£1+2)+(£12-4(1+3》是纯虚数，则实数a的值为()

A.1或3B.1或2C.1D.2

4.在△ABC中，|瓦？一南|一|瓦？+南|=0,则△ABC的形状是()

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.已知在“斜二测”画法下，△ABC的直观图是一个边长为4的正三角形，则△A8C的面积为()

A.<6B.8/6C.16/6D.473

6.已知复数Zi=1+23Z2=a+4i(aeR,i为虚数单位)，则"a=2"是"|zi+Z2I=|z/+|z2|”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知a,b,c分别为△力BC三个内角4,B,C的对边，且(sinA+sinB)：(sinA+sinC)：QsinB+sinC)—6：

7：9,则cosC=()

371353

A-而B.元C.--D,--

8.如图，已知平面内并列的八个全等的正方形，贝!U04E+NOBE+NOCE+NODE=()

DrRA

A-6432

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知向量万=(—4,3),5=(7,1),下列说法正确的是()

A.|a-fa|=V~5|a+b\B.(a+6)1a

C.N,石的夹角为多D.向量方在向量工上的投影向量为共

4Z

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10.数学上，高斯符号(Gaussmark)是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域.定义在数学特别

是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分研究小数部

分，因而引入高斯符号.设xeR,用因表示不超过％的最大整数.比如：

口]=1,血=0,[―1]=—1,[―1.2]=—2,=1…，已知函数/(%)=可(%>0),则下列说法不正

确的是()

A./(久)的值域为[0,1)B./(X)在(1,+8)为减函数

C.方程/(X)=，无实根D.方程/'(久)=看仅有一个实根

11.如图，在△4BC中，AB1AC,^ABC=30°,AC=1,。是BC的中点，E是以B为圆心，BD为半径的圆

上任意一点，则同•荏的值可能为()c

D.3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知角6的终边经过点P(m,-10),且1即。=则zn=.

13.函数y=sinx+cosx—\sinx-cos%|的值域是.

14.已知复数Zi=m+(4-血2"(血R),Z2=2cos6+(4+3si7i6)i(a,8ER),并且Zi=Z2，则4的取值范

围.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知同=1,网=2.

⑴若旗万〉=60。，求|2+向；

(2)若方一方与工垂直，求当々为何值时，(/ca-h)1(a+26)?

16.(本小题15分)

已知复数一3+，玉是关于%的方程/+。％+人=0(见beR)的一个复数根.

(1)求a,b的值；

(2)若果与+1m2—3mi(meR)为纯虚数，求？n的值.

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17.(本小题15分)

在△ABC中，a,b,c为角4B,C对应的边，S为△力BC的面积,且abs讥B—a2sind=2S(1.

(1)求4

(2)若a=2,求△ABC内切圆半径的最大值.

18.(本小题17分)

对任意复数z—x+yi(x,y6R),定义＜p(z)=2x(cosy+isiny).

(1)若W(z)=8,求相应的复数z；

(2)证明：招=p(Zi—Z2);

(3)若2=a+bi(a,beR)中的a为常数,令火z)=/(b),对任意6,是否一定有常数t(t片0)使得/'(b+t)=

f(b)?若有，这样的t是否唯一？说明理由.

19.(本小题17分)

设平面内两个非零向量记，元的夹角为仇定义一种运算"凶"：记G)元=|词同s讥仇试求解下列问题：

⑴已知向量1满足同=历I=3,(a-b)1b,求五G)1的值；

(2)若向量,，方满足N=Qq,yi)(W+)4K0),1=02，乃)(始+犬大。)，求证：a0b=\xxy2-x2yi|；

(3)已知向量3=—,」),b=(3,-----),a€(0,弓)，求方因b的最小值.

''v3cosasina，vsinacosay'2，

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答案解析

1.【答案】A

,1Q

【解析】解：tan225°—cos(—480°)=Can45°—cosl200=1+-=

故选：A.

结合诱导公式进行化简即可求解.

本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：扇形的弧长为18,圆心角为卷

可得]=18,a=-,由/=w解得丁=12,

故扇形的面积S==1x18x12=108.

故选：A.

利用弧长公式计算可得扇形半径为厂=12,再由扇形面积公式计算可得结果.

本题主要考查扇形的面积，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：•・・(次—3a+2)+(a2-4a+3)i是纯虚数，

fa2-3a-b2=(a-l)(a-2)=0

[a2-4a+3=(a-l)(a-3)H0'

故选：D.

根据纯虚数的概念有上:一?0+:=?,求解即可得.

本题考查复数的基本概念，是基础题.

4.【答案】C

【解析】解：△ABC中，I瓦5-前I-I瓦？+而I=0,

所以以瓦?，就为邻边的平行四边形对角线相等，即为矩形，

所以N8=90°.

故选：C.

结合向量加法及减法的四边形法则即可求解.

本题主要考查了向量加法及减法的四边形法则在三角形形状判断中的应用，属于基础题.

5.【答案】B

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【解析】【分析】

本题考查了斜二测画法中原图形与直观图面积之间的关系，属于中档题.

根据直观图为正三角形，求出原三角形的高和底，即可求出△ABC的面积.

【解答】

解：若轴，y，轴在直观图中的位置如图所示，

过4，作AzF，//y，轴交x，轴于F"

■,-AAzB，L的边长为4,

A'B'C'的高为力'E=273.

•••乙4/尸'E=45°,

：.A,F,=2<6,

对应△A8C的高AF=24'F'=4<6,底BC=B'L=4,

力BC的面积S=|x4x4<6=8/6.

故选反

6.【答案】C

【解析】解：因为复数zi=l+2i,Z2=a+4i(aeR,i为虚数单位)，

则Zi+z2=a+1+61,

故怙1+Z2I=氏|+啰「可得，(a+1)2+62=，I2+22+，42+42,

两边平方整理得：a+8=V5a2+80,解得a=2.

故“a=2”是“|zi+z2|=|zi|+㈤”的充要条件.

故选：C.

根据|zi+Z2I=%|+Ol，求得a的值,进而求解结论.

本题主要考查复数的模长，考查计算能力，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：因为(sinA+sinB)：QsinA+sinC')：(s讥B+sinC)=6：7：9,

所以由正弦定理可得：(a+6)：(a+c)：(b+c)=6：7：9,

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不妨设a+b=6k,a+c=7k,b+c=9k(/c>0),解得。=2k,b=4fc,c=5fc,

4k2+16放2-25/25

由余弦定理得：cosC=

"：2x2kx4k16

故选：c.

由条件及正弦定理可得a=2k,b=4k,c=5k,再由余弦定理即可求得.

本题考查利用正、余弦定理解解三角形，属于基础题.

8.【答案】B

―11

【解析】解：由图知，可得tan/OAE=石，tan4OBE=亍，

O/

11

tanZ.OCE=tanZ-ODE=

i.i

可得tan(N04E+4BE)=言凝:腐=*=盘<匕

,87

1.1

/.八cl、tanzOCE+tanzOPEq+q4」.

tan(zOCE+乙ODE)=----------——=-Mr=-<1,

,)1—tanzOCE-tanzODEi_1.±7

153

设S4E+z_08E=a,乙OCE+乙ODE=B，且ae(0,£),06(0,9),

44

c3.4

所以tan(N(ME+乙OBE+乙OCE+乙ODE)=::器缁=三^=1,

-ana-an/j1一五厅

可得NOZE+乙OBE+乙OCE+乙ODE=:

4

故选：B.

由题意可得tanNOAE,tanZ.OBE,tanzOCF,tanNODE的值，再tan(z•。4E+NOBE)和tan(NOCE+NODE)

的正切值，再求出tan(N(ME+NOBE+NOCE+NODE)的值，可得所求的角的大小.

本题考查两角和的正切公式的应用，属于中档题.

9.【答案】ABC

【解析】解：对于4因为社=(一4,3),b=(7,l)s所以N+了=(3,4),a-b=(-11,2),

所以W+厨=、32+42=5,[a-b\=V(-II)2+22=5<5,

所以口—』=百叵+可，所以/正确；

对于B,因为彼=(一4,3),方+石=(3,4),所以(3+5)•方=一12+12=0,所以@+刃)，五，所以8正确；

对于C,由已知，COS位]〉=-^=-=-28+3------=一?，

⑼网J2

(_4)2+32X/W12

因为@E〉e[0,呼所以位后=苧，所以C正确;

对于D,向量方在向量方上的投影向量为萼福=/河=-与，所以。错误.

\b\\b\4V+1Z

故选：ABC.

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对于4先计算方-b和N+6的坐标，再分别是计算它们的模进行判断，对于B,计算0+尤)•五进行判断,

对于C,利用向量的夹角公式分析判断，对于。，利用投影向量的定义计算判断.

本题主要考查平面向量的模、用数量积求平面向量的夹角、平面向量的投影向量，属于中档题.

10.【答案】AB

【解析】解：由高斯函数的定义可得：当0<x<l时，印=0,则/。)=4=0,

当1Wx<2时，团=1，则/⑶=v=r

:

当2Wx<3时，团=2,则/⑴=v=|

当3Wx<4时，[%]=3,则/⑶=v=|

当4Wx<5时，[x]=4,则/（%）=§=*

绘制函数图象如图所示:

力

1

1■

5

1

对于力，由图可知，/(久)在(0,+8)上的值域为弓,1]U{0},不正确；

对于B,当x21时，的每段函数都是单调递减，但是f(x)在(1,+8)不是减函数，不正确;

对于C,由选项4知，/(%)在(0,+8)上的值域为弓,1]u{0},

所以方程f(%)=|•无实根，正确；

对于。，当14%V2时，f(%)=即4=解得第=E[1,2),

12x1Z7

当2Wx<3时，f(x)=3,即2=£，解得久=?£[2,3),

12x127

结合函数图象知，方程/(X)=卷仅有一个实根争故正确.

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故选:AB.

先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象逐项判断即可.

本题属于新概念题，考查了分段函数的性质、反比例函数的性质及数形结合思想，作出图象是关键，属于

中档题.

11.【答案】ABC

【解析】解：以4点为原点，4B所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，

建立平面直角坐标系，

根据题意有：力(0,0),B(73,0),

圆B的方程为(久—V-3)2+y2-1>

所以可设点E的坐标为+cosa,sina),aG[0,2TT),

则有同=(学AE=(V-3+cosa,sina),

贝!I而-AE=|+^-cosa+^sina

-|+sin/+a)G冷I】，

故4,B,C选项符合题意.

故选：ABC.

建立平面直角坐标系，利用向量的数量积运算求得丽•版的取值范围，即可得出结论.

本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题.

12.【答案】-24

【解析】解：由三角函数的定义知，tan。=二竺=,，解得爪=-24.

m12

故答案为：-24.

根据任意角的三角函数定义得到a的方程，即可求解.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

13.【答案】[-2,77]

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【解析】【分析】

本题考查了正弦函数和余弦函数的性质及函数的值域，属于中档题.

去掉绝对值，写成分段函数的形式，结合正弦函数和余弦函数的性质即可得出答案.

【解答】

解：y=sinx+cosx—\sinx—cosx\

_r2sinx,sinx<cosx,

一tZcosx,sinx>cosx

3TTn

2sinx,xE(2fc7r——2k7i+-r),

-{(-kEZ,

n571

2cosx,xE[2fc7T+—,2kn+

当％6[2/CTT+J,2/C7T+孚]时，yC]—2,V-2];

当久G(2/CTT—半，2fc7i+J)时，y€[—2,

44

综上可得，yE[-2,72],

即函数y=sinx+cosx—\sinx—cos%|的值域是[—2,V-2].

故答案为：[一2,丁1].

14.【答案】[一:,7]

【解析】解：依题意，m=2cos9,且4一根2=a+3sizi。，

即2=4-4cos2。—3sin9=4sinzd—3sin0=4(sin9—f)2—之

o16

v—1<sin0<1,

.•.当s讥8=9时,Amin=-^；

当sin。=-1时，Xmax=7；

・•.4的取值范围是[一卷,7].

故答案为：[一卷7].

利用复数相等的概念，整理可得4=4-4cos2。-3sMe=4(sin8-|)2-2，利用正弦函数的单调性与最

o16

值即可求得答案.

本题考查复数相等的充要条件，着重考查配方法的应用及正弦函数的单调性与最值，属于中档题.

15.【答案】解：(l)a-b=向•历卜cos(a5)=1,叵+方|=I(a+b)2=J\a\2+2-a-b+\b\2=/7,

所以W+M=C；

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(2)因为方一石与N垂直，

所以0—E)N=O,即@2一方=0,

解得方•万=1,

当(旗―石)1.0+2石)时，(kN—石)•0+2尤)=0,

即k同2+(2k—1)•五不一2的2=o,

解得k=3,

所以当k=3时，(ka-b)1(a+2b).

【解析】(1)根据向量模长公式即可求出结果；

(2)根据万一了与，垂直可以求出方•石=1,根据(阳一石)•@+2尤)=0即可求出k的值.

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题.

16.【答案】a=6,b=12；m=-3.

【解析】(1)由题意，(-3+/Ii)2+a(-3+V^)+b=0,即6—3。+b+(V3a—6V3)i=0,

则6—3a+b=0,y/~3a—6V-3=0,解得a=6,b=12；

pL.日甫•zfe>6+12i12o(6+12i)(l+i)17o122OIrnO、•

(2)由感思，+3加=(j)(i+,)+/2-3加=-m-3+(9-3何i,

贝畤/-3=0且9-3m中0,解得m=-3.

(1)将方程的根代入方程，利用待定系数法求解；

(2)利用复数的运算以及纯虚数的定义求解.

本题考查复数的运算，属于中档题.

17.【答案】解：(1)在△ABC中，因为abs讥B—a2s讥4=2S(1-舞)，

可得abs讥8—c^sinA—2x^-acsinB(l—反空)，整理可得bsinB—asinA—csinB—csinC,

由正弦定理可得川+c2—a2=be,

由余弦定理可得cosA="黑卫=票=3,

2bc2bc2

因为力e(0,兀),

所以力与；

(2)因为a=2,

所以由(1)及余弦定理可得a?=b2+c2-2bccosA,即4=按+c?-be,

所以(b+c)2=4+3bc,

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又beW(等)2,当且仅当b=c时等号成立，

所以(6+c)244+3(警/，解得b+cW4,当且仅当b=c时等号成立，

又b+c>a,

所以2<b+c<4,当且仅当b=c时等号成立，

因为△4BC内切圆半径丁，

所以SAZBC=1(a+h+c)r=^besinA,即(2+b+c)r=号be,

2

在i、i/3de<3|[(^+C)-4]<3rz,一「仆

所以r==-x五H=~5-><3-=—(fo+c-2)G(0,—].

22+D+C22+b+c6'yv3J

所以△ABC内切圆半径r的最大值为苧.

【解析】(1)由题意利用正弦定理，余弦定理化简已知等式可得cos4的值，结合4的范围即可求解A的值；

(2)由余弦定理可得4-b2+c2-be,结合基本不等式有2<b+cW4,又S/^BC=+b+c)r-^besinA,

贝忏=噂x+c—2),从而即可求解△ABC内切圆半径r的最大值・

zZ+D+C6

本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式在解三角形中的应用，考查了三角

形中的最值问题等知识，属于中等题.

18.【答案】3+2km,

证明见解答；

有，不唯一，理由见解答.

【解析】解；(1)因为火z)=8,

所以由题中新定义得：(p(z)—2x(cosy+isiny)=2xcosy+(2xsiny~)i=8,

所以由复数相等的概念可得：q：cosy=[

[2xsiny=0

由2%>0,得s讥y=0,从而cosy=1,2X=8,解得久=3,此时y=2/CTT,/CGZ；

所以z=%+yi=3+2krci,kEZ.

(2)证明：设21=%1+为〃Z2=%2+丫2»(%"1，%2，力ER)，

所以"Qi)_2"i(cosyi+is出力)_2%1_X2(cosyi+i)(cosy2-is出y2)

0(Z2)2,2(cosy2+isiny2)(.cosy2+isiny2)(.cosy2—isiny2)

X1X2

=2~[(<cosy1cosy2+siny^siny£)+i(siny1cosy2—cosy^iny^]

=2"1T21cos(yi-y2)+isin(yi-y2)]

又因为Zi-z2=3-#2)+(yi-72)i>

X1-X2

所以9(Zi—z2)=2[cos(y1-y2)+is讥(为一y2)b

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所以怒=S(Z1—Z2).

(3)证明：因为2=a+儿(兄。6夫)中的(1为常数，令0(z)=/(b),

所以/'(b)=<p(z)=2a(cosb+isinb),

因为COS(2/OT+b)=cosb,sin(2fc7r+6)=sinb,kEZ,

所以/'(2/OT+b)=2a[cos(2kn+b)+isin(2kn+b')]=2a(cosb+isinb)=f(b),

所以令t=2Er,