2023年中考数学高频考点突破：一次函数与动态几何问题

2023年中考数学高频考点突破一次函数与动态几何问题

一'综合题

1.如图，在4ABe中，BC=16,高AD=10.动点M由点C沿CB向点B移动(不与

点B重合)，设CM的长为%，AABM的面积为S

(1)写出S与久之间的函数关系式，并指出自变量%的取值范围

(2)当支取10时，计算出相应的S的值

(3)当S为60时，计算出相应的x的值

2.如图，直线y=|久+4与x轴、y轴分别交于点A和点3,点C在线段A3上，点。在y轴的

负半轴上，C、。两点到x轴的距离均为2.

(1)点C的坐标为，点D的坐标为

(2)点P为线段OA上的一动点，当PC+P。最小时，求点P的坐标.

3.在平面直角坐标系中，直线y--3%+2与y轴交于点C,直线y=x+b(bH0)与y轴

交于点A，与直线y=-3x+2交于点B,设点8的横坐标为2.

(1)求点B的坐标及b的值；

(2)根据图象直接写出不等式-3x+2>x+b的解集;

(3)点P为久轴上一点，当\PA-PB\最大时，求点P的坐标.

4.如图，直线I与%轴交于点A,与y轴交于点B(0,2).已知点C(-l,3)在直线I上,

连接OC.

(2)尸为无轴上一动点，若AACP的面积是ABOC的面积的2倍，求点P的坐标.

5.如图，直线、=—+6与久轴、轴分别交于点E、F,点、E的坐标为(—8,0),点A

的坐标为(-6,0).

(1)求k的值.

(2)若点P(x,y)是第二象限内的直线y=k£+6上的一个动点，在点P的运动过程中，试

写出KOPA的面积S与久的函数关系式，并写出自变量%的取值范围.

6.如图，直线1的解析式为y=-久+4,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点.平行于直线1的直

线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于

M、N两点，设运动时间为秒(0<t<4).

(1)求A、B两点的坐标；

(2)用含t的代数式表示AMON的面积Si.

(3)以MN为对角线作矩形。MPN,记AMPN和△AB。重合部分的面积为52.

①当2Vt44时，试探究52与t之间的函数关系式.

②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为AAB。面积的表？

7.如图，在平面直角坐标系中，过点A(8,6)作ABLy轴，垂足为B；动点P从原点O出发，

以每秒3个单位长度的速度沿x轴正方向运动；动点Q从点A同时出发，以每秒2个单位长度的速

度沿AB向终点B运动，连接PQ.设运动的时间为ts.

(1)当t为何值时，PQ取得最小值；

(2)当PQ=2VIU时，求t的值；

(3)在备用图中，连接OA交PQ于点C,试问：随着两个动点P、Q的运动，点C的位置是否

变化？若不变化，请求出点C的坐标；若变化，请说明理由.

8.在平面直角坐标系xOy中，直线I*y^kx+b与直线y=3x平行，且过点4(2,7).

(1)求直线h的表达式；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点.直线12与直线h关于y轴对称，直线y=m与直

线h，12围成的区域W内(不包含边界)恰有6个整点，求m的取值范围.

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线h经过原点，且与直线l2：y=-久+3交于点

A(m,2),直线b与x轴交于点B.

（1）求直线h的函数解析式;

（2）点P（n,0）在久轴上，过点P作平行于y轴的直线，分别与直线h,12交于点

M,N.若MN=OB,求n的值.

10.小昊家与文具超市相距1080米，小昊从家出发，沿笔直的公路匀速步行12分钟来到文具超市

买笔记本，买完以后，便沿着原路匀速跑步6分钟返回家中，小吴离家距离y（米）与离家时间x

（分钟）的关系如图所示：

（1）根据图象回答，小昊在文具超市停留了几分钟？

（2）求小昊从文具超市返回家中的速度比从家去文具超市的速度快多少？

（3）请直接写出小昊从家出发后多少分钟离家距离为810米？

11.如图1,已知△ABC中，BC=6,AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运

动，连接AP,在这个变化过程中设BP=x,且把x看成自变量，设AAPC的面积为S,图2刻画的

是S随x变化而变化的图象，根据图象回答以下问题：

（1）△ABC的高AF的长为.

（2）写出S与x的关系式.

（3）设AABP的面积为y,写出y与x的关系式，并求当x为何值时，△APC的面积与△ABP

的面积相等？

12.如图所示，点A的坐标为（0,3）,点B的坐标为（6,|）,点P是x轴上一点，且PA+PB的值

最小.

A4"

Bs

OOX

着用图

(1)求点p的坐标.

(2)在x轴上有一点M,点M,A,P恰好为等腰三角形APM的三个顶点.

①若AP为AAPM的腰，直接写出点M的坐标；

②若PA为△APM的底边，求点M的坐标.

13.如图，直线y=kx+6(k/))与x轴，y轴分别交于点E,F,点E的坐标为(8,0),点A的坐标为

(6,0),点P(x,y)是线段EF上的一个动点

(2)求点P在运动过程中4OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)当AOPA的面积为9时，求点P的坐标.

14.如图1,在△ABC中，/C=90。，点D在AC上，且CD>DA,DA=2,点P,Q同时从点D出

发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR,使QR=PQ,连接

PR,当点Q到达点A时，点P,Q同时停止运动.设PQ=x,△PQR与△ABC重叠部分的面积为

S,S关于x的函数图象如图2所示(其中0<x9,?<xWm时，函数的解析式不同).

(1)填空：n的值为—；

(2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

15.如图，4(0,1),M(3,2),N(4,4)，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位

长的速度向正方向移动，过点P的直线I：y^-x+b也随之移动，设移动时间为t秒.

(1)若直线I与线段MN有交点，确定t的取值范围；

(2)设直线I与%轴交点为Q,若QM+QN取得最小值，求此时直线1的函数解析式.

16.如图，直线人经过点A(0,2)和C(6,-2),点3的坐标为(4,2),点P是线段上的动

点(点尸不与点A重合)，直线为：y=kx+2k(^0)经过点尸，并与人交于点AL

(2)若点M坐标为(1,1),求SAAPM；

(3)无论左取何值，直线/2恒经过点，在P的移动过程中，上的取值范围

是

答案解析部分

L【答案】(1)解：•.•BC=16,CM的长为x,

；.BM=BCCM=16x,

•••点M由点C沿CB向点B移动(不与点B重合)，

0<x<16,

△ABM的面积=|BM«AD,

；.S=1BM«AD=1x(16x)xlO=5x+8O,

；.S与x之间的函数关系式为：S=5x+80,自变量x的取值范围为：0Wx<16

(2)解：当x=10时,S=5x10+80=30

(3)解：当S=60时，60=5x+80,

解得：x=4

【知识点】一次函数动态几何问题

【解析】【分析】(1)求出BM=BCCM=16x,由点M由点C沿CB向点B移动(不与点B重合)，

得出叱x<16,由△ABM的面积=；BM・AD,即可得出结果；(2)将x=10代入S与x之间的函数

关系式即可得出结果；(3)将S=60代入S与x之间的函数关系式即可得出结果.

2.【答案】(1)(3,2)；(0,2)

(2)解：如图，连接CD,求出直线CD与x轴的交点即为P点.

设直线CD的解析式为y=kx+b,

把(3,2),(0,2)代入得L-

4

k-

得

解-3

b

-2

4

2

-X

3

令y=0,解得x=-

：.P(—趣，0)

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数动态几何问题

【解析】【解答】解：(1)令y=2,解得x=3,.•.点C的坐标为(3,2)

令y=2,解得x=0,.•.点D的坐标为(0,2)

【分析】(1)根据直线丫=|久+4与。、。两点到x轴的距离均为2即可求出C,D的坐标；(2)

连接CD,求出直线CD与x轴的交点即为P点.

3.【答案】(1)解：•.・点B的横坐标为2,点B在直线y=-3x+2上，

y=-3X(—2)+2=8,

•••B(—2,8)，

又点B在直线y=x+b上，

***8——2+b,

解得&=10,

.・・y=%+10；

(2)解：根据函数图象可知，B的横坐标为-2,直线y=-3x+2在直线y^x+b的上方

部分的自变量的取值范围为：%<-2,

故不等式一3%+2>x+b的解集为x<—2

(3)解：PA-PB<AB,

•••当P,4B三点共线时，\PA-PB\取得最大值，

直线y=久+10与%轴的交点为P，

令y=0,解得x=-10,

•••P(-10,0).

【知识点】一次函数与不等式(组)的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数动态几何问

题

【解析】【分析】(1)对于y=-3尤+2,计算自变量为2时的函数值可得出B点坐标，再把点B的

坐标代入y=x+b即可得出b的值；

(2)观察函数图象，写出直线y=-3久+2在直线y=x+b的上方部分的自变量的取值范围即

可；

(3)得出当P,4,B三点共线时，\PA-PB\取得最大值，令y=0,解得%=-10，由此

得出点P的坐标。

4.【答案】(1)解：设直线I的解析式为y=kx+b•・•点8(0,2)、C(—l,3)在直线I上,

(b=2解得｛b=2

t—k+b=3k=-l

・,・直线l的解析式为y=-％+2

(2)解：把y=0代入方程y=—X+2得x=2

・,・点力(2,0)

1.1

SABOC~2\xc\'OB=7x1x21

设P(a,0)，则AP=\a-2\

^ACP△ACP的面积是：|x3X|cz-2|

令^AACP=2SABOC

即；x3x|a—2|=2解得a=学或a=称

点的坐标数是(学,0)或(|,0)

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数动态几何问题

【解析】【分析】(1)设直线I的解析式为y=kx+b,将B、C两点的坐标代入即可得出结论；

(2)先求出ABOC的面积，设P(a,0),再根据三角形的面积公式和AACP的面积是ABOC的

面积的2倍，列出方程即可

5.【答案】(1)解：*.*y=/ex+6过E(—8/0)，/.—8k+6=0,

13

k=4•

(2)解：k=j，Ay=+6，

:p在直线上，

•3x―6

--yP=4+)

19

:・S=OA•yp=2X6•(4%+6)=彳1+18，

VP在第二象限，且点E的坐标为(8,0),

-8<%<0.

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数动态几何问题

【解析】【分析】⑴因为直线过点E(-8,0),所以-8k+6=0,解得kf

(2)由⑴得，y=?x+6,因为P在直线上，所以P(x,1x+6),则△OPA的面积S=%DA.

44Z

y=|x6-(1x+6)=^x+18；已知点P(x,y)在第二象限内,且点E的坐标为(8,0),所以x的取

pZ44

值范围是-8<x<0o

6.【答案】(1)解：当％=0时，y=4；

当y=0时，％=4.

・••力(4,0),5(0,4).

(2)解：,・,直线1平行于直线m,

：.0M=0N=t,

ASi=^OM-ON=^t2.

(3)解：①当2<t<4时，

易知点P在AAB。的外面，则点P的坐标为(t,t),

F点的坐标满足，/4，

(y__二十q

即F(34-t),

同理E(4—3t),

贝l」PF=PE=|t—(4—t)|=2t—4,

52=SAMPN-S&PEF=SAOMN—SAPEF，

11

=尹2一1PE.pF,

11

=]/——(2t—4)(2t—4).

=-|t2+8t-8.

②当Ovt42时，52=*产=含x*x4x4=

解得11=一遮<0,与=通>2两个都不合题意，舍去;

当2<t44时,

35

S?=—9+8t—8=],

解得七3=3,0=(，

综上得，当t=(或t=3时，52为AAB。的面积的能

【知识点】一次函数动态几何问题

【解析】【分析】(1)分别令y=0、x=0,代入直线1的解析式可求得点A、B的坐标；

(2)根据直线1平行于直线m可得OM=ON=t,AMON是直角三角形，根据△MON的面积Si

(3)①当2＜tW4时，易知点P在小ABO的外面，则点P的坐标为(t,t),结合已知可得F(t,

4t),E(4t,t),则PF=PE可用含t的代数式表示出来，由图形的构成S2=SAMPNSAPEF=SAOMNSAPEF可

求解；

②由题意分0＜饪2和2＜区4两种情况解答即可.

7.【答案】(1)解：由题意知：A(8,6),B(0,6),

OP=3t,AQ=2t,

・・.BQ=82t；

当QPLAB时，QP取得最小值，

此时OP=BQ,即3t=823

解得：t](s)；

.♦.当t为m时，PQ取得最小值；

(2)解：由(1)得：P(330),Q(8236),

根据题意得：PQ=J(8-2t-3t)2+62=2V10-

整理得：5t216t+12=0,

解得：t]或2；

；.t的值为得或2；

(3)解：设直线PQ的解析式为y=kx+b,

•(3tk+b=0解彳曰fk一8—5t

•.卜8—2t)k+b=6'用牛付：=18t，

...直线PQ的解析式为y=Q^x-玛，

同理可得直线OA的解析式为y=1x,

联"侍：4%=炉百％一炉里’

整理得：24xl5tx=24x72t,

解得：x咚，

把*=曾代入y~x,得y=?

...点C的坐标为(曾，学)，即点C的位置不变化.

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数动态几何问题；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【分析】(1)根据题意可知A(8,6),B(0,6),OP=3t,AQ=2t,则BQ=82t,根据两条平

行线之间垂线段最短可知当QPLAB时，QP取得最小值，可得3t=823解之求出t即可；

(2)根据P、Q坐标，两点距离公式可得PQ=J(812t^30rD=2VIU,解之求出t即可；

(3)利用待定系数法求出直线PQ和直线0A的解析式，联立方程组求出x,再将x代入直线0A

的解析式为y=^x求出y,即可求出点C的坐标。

8.【答案】(1)解：\•直线I。y=kx+b与直线y=3%平行

/.直线lr：y=3x+b

又・・,直线h过点A(2,7)

.*.7=3x2+b,即b=1

・,•直线的解析式为y=3%+1

(2)解：・・,直线IVy=3x+l

二直线h与X轴的交点为(一/，0),与y轴的交点为(0,1)

设直线12的解析式为y=k1x+比

・・,直线12与直线h关于y轴对称

.♦•直线h与X轴的交点为(｝，0)，与y轴的交点为(0,1)

°=#1+比解得收=二

1=/(比=1

故可画出如下图所示的函数图象

当血＜0,由图像可知m值越小所围的区域越大

当m=—4时，整点有(0,0)、(0,1)、(0,2)、(0,3)、(1,3)、(1,3)恰好6个整点

当m=—3时，只有(0,0)、(0,1)、(0,2)三个整点，(0,3)、(1,3)、(1,3)这三个点正

好在边界上

故一4<小<一3时恰好有6个整点

故由对称性可知当5<m<6,所围成的区域也恰好有6个整点

综上所述：—4Wm<-3或5<m<6.

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数动态几何问题；定义新运算

【解析】【分析】(1)根据题意直线y=kx+b中k=3,把A(2,7)代入即可求得b,从而求得

直线"的函数表达式；

(2)分两种情况，根据图象即可得出结论。

9.【答案】(1)解：：似加，2)在直线l2：y=—X+3上，

/.2=—m+3,

解得m=1,

・••力(L2)，

设I4y=kx将力(1,2)代入h：y=kx9得：

2=k,

・・・直线/i的函数解析式为y=2%；

(2)解：・・•直线｝与x轴交于点B,

・••当y=0时，x=3,

・••点B的坐标为(3,0),

：.OB=3,

•・•过点P作平行于y轴的直线，分别与直线h,12交于点M,N,

・••当x=n时，M(n,2n)，N(n,—n+3)，

：.MN=\2n-(-n+3)|=|3n-3|,

■:MN=OB,

A|3n-3|=3,

解得n=2或ri=0.

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数动态几何问题

【解析】【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式即可；

(2)先求出OB=3,再求出|3n-3|=3,最后计算求解即可。

10.【答案】（1）解：根据图象可知，小昊在文具超市停留的时间为：1512=3（分钟）；

（2）解：小昊从文具超市返回家中的速度为：1080+（2115）=180（米/分钟），从家去文具超市的

速度为：1080^12=90（米/分钟），18090=90（米/分钟），

答：小昊从文具超市返回家中的速度比从家去文具超市的速度快90米/分钟

（3）解：8104-90=9（分钟），15+（1080810）+180=16.5（分钟），

小昊从家出发后9分钟或16.5分钟离家距离为810米.

【知识点】一次函数动态几何问题

【解析】【分析】（1）根据图形可得：12~15分钟处于停留，据此计算；

（2）利用路程除以时间可求出速度，据此解答；

（3）根据路程除以速度等于时间进行计算.

11.【答案】（1）4

（2）S=12-2x

11

（3）解：y=-AF-BP=X4%=2%,即y=2%；

12—2久=2%,解得：x=3；

当久=3时，△APC的面积与^ABP的面积相等.

【知识点】一次函数动态几何问题

【解析】【解答】解：（1）解：由题意可知，S=^AF-PC=^AF-C6-X）,

由图2可知，当久=0时，S=12,代入S=杯止（6-久）得，AF=4,

（2）由（1）知S=±AF-（6—x）,AF=4,

S与x的关系式为S=12—2%；

【分析】（1）当点P在点B的位置时，三角形APC面积最大为12,则直接计算出AF长；

（2）由于PB是关于PB的一次函数，且高AF是定值，则S是关于x的一次函数；

（3）由于三角形APB面积是关于x的一次函数，由题意联立一元一次方程即可。

12.【答案】（1）解：作点C与点A关于x轴对称，则点C的坐标为（0,3）.

连接BC交x轴于点P,此时PA+PB最小.

设直线BC的函数表达式为y=kx+b,则有6k+b=|,b=3,

解得k=1.所以直线BC的函数表达式为丫=1x3.令y=0,

则|x3=0,解得x=4,所以点P的坐标为（4,0）.

（2）解：①在R3AOP中，OA=3,OP=4,所以AP=5.,

因为AP为AAPM的腰，所以点M的坐标为(9,0)或(1,0)或(4,0).

②作AP的垂直平分线交AP于点N,交x轴于点M.

因为MA=MP,设OM=x,则AM=PM=4x.

在RtAAOM中，因为AM2=OA2+OM2,所以32+X2=(4X)2,解得x=g,

所以点M的坐标为(I,0)

【知识点】轴对称的应用最短距离问题；一次函数动态几何问题

【解析】【分析】(1)先求出6k+b=1,再求出直线BC的函数表达式为丫=|x3,最后求点的坐

标即可；

(2)①先求出AP=5,再求点的坐标即可；

②先求出AM=PM=4x,再利用勾股定理求出x=Z,最后求点的坐标即可。

13.【答案】(1)解：VE(8,0)在丫=夕+6上,

8k+6=0,

解得：k=|,

(2)解：VA(6,0),

・・・AO=6,

VP(x,y)在y=,x+6上，

.1

SAopA=2，|OA|,yp,

i?

fx6x(彳x+6),

yx+18(8<x<0),

4

(3)解：由⑵知SAOPA冬x+18,

***SAOPA=9,

9

・〉x+18=9,

解得：x=4,

：.P(4,3).

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数动态几何问题

【解析】【分析】(1)将E点坐标代入y=kx+6即可求得k值.

(2)由点A坐标可得AO=6,再由三角形面积公式S^oPA=/|OA|.yp即可求得S与x的函数关系式.

(3)由(2)知S^OPA1x+18=9,解之即可得x=4,将x=4代入y=*+6即可求得点P坐标.

14.【答案】(1)解：如图1,

B

图1

当x=凯寸，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积,

VPQ=1,QR=PQ,

；.QRg

.。1.8、21^6432

•-n=S=2sXz(7)^=2X49=49-

(2)解：如图2,

根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况:

当OVx,时，

S=|xPQxRQ=1x2,

当点Q点运动到点A时,

x=2AD=4,

/.m=4.

当S<xW4时，

S-SAAPF-SAAQE=|AP«FG-iAQ«EQ,

AP=2+J,AQ=2-5,

VAAQE-AAQiRi,怒=

/.QE=1(2-J),

设FG=PG=a,

•••△AGFS^AQM就=廉，

；.AG=2+5-a,

2+寺一a

乙

10

~T

S=SAAPF-SAAQE

=1AP«FG-|AQ«EQ

=|(2+表片(2+分+(2.)-J(2-J)

=一各+那一胃

综上，可得

qjJ/,0〈久用

|22I56328,7，

(一砺X+45%-45?7<x-4

【知识点】一次函数动态几何问题；二次函数动态几何问题

【解析】【解答】(1)当x=?时，APQR与△ABC重叠部分的面积就是APQR的面积，然后根据

PQ=，QR=PQ,求出n的值是多少即可.

(2)首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0<x^时，

S=|xPQxRQ=1x2,判断出当点Q点运动到点A时，x=2AD=4,据此求出m=4；然后求出当

时，S关于x的函数关系式即可.

【分析】此题考查了与一次函数，二次函数有关的动态几何问题，涉及知识点有分割法求图形面积

问题，注意分情况讨论问题.

15.【答案】(1)解：当直线y=x+b过点M(3,2)时，

2=3+b,解得：b=5,

5=l+t,解得t=4.

当直线y=x+b过点N(4,4)时，

4=4+b,解得：b=8,

8=l+t,解得t=7.

故若直线l与线段MN有交点，t的取值范围是：4<t<7；

（2）解：作点N关于x轴的对称点N，，连接MN，，与x轴交于点Q,

此时QM+QN最小，

在y=一久+b中，令y=0,则x=b,

.••点Q的坐标为（b,0）,

VN（4,4）,

.•.N，（4,4）,又M（3,2）,

设直线MN，的表达式为y=mx+n,

则｛?=4〈+九，解得：尸=肃，

12=3m+nI九=20

・・・直线MN，的表达式为y=6x+20,

令y=0,则x=学，

.•.点Q坐标为（学，0）,代入y=—x+b,

解得：b=学,

直线1的解析式为y——x+学.

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数动态几何问题

【解析】【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，分别求出当直线1过点M、N