2024-2025学年吉林省长春市某中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

20242025学年吉林省长春市慧泽高中高一（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设向量G=（k,2）,b=（1,-2）,若Q〃九则实数k的值是（）

A.2B.-2C.1D.-1

2.复数三的共规复:数是（）

A.l+2iB.l-2iC.-l+2iD.-l-2i

3.若闷=4,|方|=8且（Q+WlZ则d与族的夹角是（）

A次-C-D.?

儿6B-33

4.已知圆台的上底面面积为9〃，卜底面周长为16几，母线长为6,则圆台的侧面枳为（）

A.997TB.427rC.547rD.667r

5.某班成立了小B两个数学兴趣小组，4组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测

试中，A组平均成绩为130分，方差115,/?组平均成绩为110分，方差为215,则在这次测试中，全班学生

的平均成绩和方差为（）

A.115分，105B.115分，265C.120分，105D.120分，265

6.设a,0是两个平面，m,1是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若a±B,m//a,〃//?,贝Um-LI

B.若？nua,Icp,m//l,贝亚〃/?

C.若an/?=m,〃/a,Z///?,则加〃！

口.若机1%I1p,tn//l,则aL0

7.如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为45。，朝山顶沿坡度为15。的斜坡向上走4km到点8处，此时测得山

顶P的仰角为75。，则山高为（）km.底

/BW/[w..

C.2/6D.3（C）\...h.........

4

8.如图，已知正四面体力BCD的棱长为1,M、N分别是BC与4"内中点，则异面直线4M和CN所成角的余弦

值为（）乂

::?小

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合C

题目要求。

9.下列说法正确的是（）

A.数据1,3,5,7,9,11,13的第60百分位数为7

B.若样本/,不，,•,，今的平均数和方差分别为2和3,则3勺+2,3&+2,•••3$+2的平均数和方差分

别为8和27

C.一组样本数据为7,12,13,17,18,20,32,若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据

的平均数不可能相等

D.数据1,2,4,6,7的方差为当

10.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示

事件”第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两

次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，贝iJ（）

A.乙发生的概率为JB.丙发生的概率为qC.甲与丁相互独立D.丙与丁互为对立事件

11.已知P是棱长为6的正方体表面.匕一个动点，Q为棱CG的中点，则下列说法中正确的是（）

A.过点4B,Q的截面是一个直角梯形

B.若P在4当上,则POi141c

C.若P在上，则存在某个P点，使得PGlBiC

D.若三棱锥力-当。/的体积为18,则P点轨迹的长度为27标

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数z满足|z|=1,则|z-4+3i|的最小值是

13.已知S,A,B,C是球。表面上的点，S41平面ABC,AB1BC,AB=1,BC=

V"!若球。的体积为半，则S4=______.

14.如图，在等腰△ABC中，底边BC=1,D,E是腰?1C上的两个动点，目前十

BE=xBA+yBC^则当:+；取得最小值时，打.(而+而)的值为.

4y

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分

成五组：第一组［45,55),第二组［55,65),第三组［65,75),第四组［75,85),第五组［85,95］,绘制成如图所

示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同.

(1)求Q、b的值，并估计这100名侯选者面试成绩的平均数及中位数(保留一位小数);

(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自不

同组的概率.

频率

16.(本小题15分)

已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且儿os4-*as)B=0.

⑴求4

(2)若b=4,c=6,设AD为△ABC的角平分线，求力D的长;

(3)若Q=2C,且△4BC面积为｛3,求的周长.

AfC

参考答案

\.D

2.B

3.B

4.0

5.B

6.C

7.C

S.A

9.BD

10.ACD

11.”。

12.4

13./13

14-

,3

15.(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7,因此(0.045+0.020+a)x10=0.7,

解得a=0.005,又因(2a+0+0.045+0.020)x10=1,解得b=0.025.

x=0.05x50+0.25x60+0.45x70+0.2x80+0.05x90=69.5；

因前2组的频率之和为0.05+0.25=0.3<0.5,前3组的频率之和为0.05+0.254-0.45=0.75>0.5,

因此中位数在第3组，设为0.05+0.25+(m-65)x0.045=0.5,解得7九七69.4；

(2)根据题目第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，因此按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4,

分别设为a,b,c,d,

第五组志愿者人数为1,设为e,从这5人中选出2人，所有情况有ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,

ce,de共10种,

其中选出的两个来自不同组的情况有ae,be,ce,de共4种，因此P=白="

16.(1)由bcosA+^-asinB=。得，sinBcosA+^-sinAsinB=0,

因为sinB>0,所以cos/=-^-sinA,

J

故得力=-y/~3,

又因0</1<兀，则

1

+X5•n江

(2)设AD=x,则S&A8C=；x6x4sin|x6xsing2-I-

4ALO3

解得工=些即40=些

(3)0SA/lfiC=^bcsinA=^-bc=V-3,解得be=4,

由余弦定理a~=b“十c?—2bccosA可得Z?2+c2+be=12,

即(b+c)2=12+儿=16,故b+c=4,△48。的周长为4+2，1

17.⑴设事件乱=”甲第i局都获胜"，i=l,2,3,4,5,6,7,

则P(4)=tP(4)=P*="=123,4,5,6,7),

只需进行四局比赛包含两种情况：

@)中能胜四局:4142/3,4；&)乙连胜四局:

设事件M="只需进行四局比赛”，则

4

尸(M)=人&4公公)+P^A2A3A^=P(4)P(42)P(43)P(4)+=(1)+

⑥，=

(2)设事件N="前两局比赛甲均告负，甲最终能逆转获得冠军”，

由于前两局比赛甲均告负，所以接下来的比赛甲最多可以负一局，包含两种情况：

①平接下来连胜四局：4444；

②接下来五局比赛中甲4胜1负(负的一局为第3〜6局中某一局)：

A2A^A^A^A-j,心力/5力647，4人心久公，»

所以P(N)=P(i4s^4^S^6+4344As，647++^3^4^5^6^7)

二2(43力4力5力6)+。(力344力546力7)+^(^3^4^5^6^7)+^(^3^4^5^6^7)+^(^3^4^5^6^7)=(|尸+4X

器

18.(1)证明：连接&C,交BG于点E,连接OE,

因为三棱柱/BC—4BG是直三棱柱，

所以四边形8&GC是矩形，则E为aC的中点，

因为。为线段8为的中点，所以0E〃4C,

因为OEu平面4CU平面S0G，

所以平面BOQ.

(2)取BBi中点F,连接。凡GF,W1DF//AB,

因为三棱柱48C-48Q是直三棱柱，

所以四边形488送1是矩形,则4618反，

因为4818C,BCCBB[=B,8Cu平面8B£C,BB】u平面BB]C】C,

所以力81平面BBiG。，则OF_L平面BBiG。，

所以直线。G与平面8名。传所成角即为N。。/,

因为人力1=AB=BC=2,所以OF=1,C]F=<5，

在RC△OFG中，

MtanzDCxF=篇='=黑

1C/V55

19.(1)在线段40上截取4E=CM,

由4D〃CM,得四边形力MCE为平行四边形，

所以CE〃力M,

又CEU平面AMu平面6ZM,所以CE〃平面8'AM,

因为CN〃平面B'AM,且CNnCE=C,所以平面CEN〃平面夕4M,

因为ENu平面CEN,所以EN〃平面B\4M,

乂〃为棱夕。的中点，所以E为4。的中点，

所以CMOBC即黑二L

=20=1Z,MC

(2)在RtzxABM中，=J,AB=1,所以BM==婴,CM=绰,

过B'作夕。1平面AM。。于点。，过。作OP_L4M于点P,连接B'P,

由三垂线定理的逆定理知，8'Pl/lM,

所以NB'PO为二面角B'—AM—/)的平面角，即，夕P。=60。，

翻折后B'M,4M=缪，夕力=1,

由等面积法知，夕。=