2024-2025学年山东省济南市市中区七年级（下）期末数学试卷

2024-2025学年山东省济南市市中区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.）

1.（4分）未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考!下列表示计算机视觉交互应月的图

标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A.眼控B.声控

C.人脸识别D.多点触控

2.（4分）2025年，中国科学家研发的新型纳米防水材料厚度仅为0.000000025米（25纳米），该材料可

应用于航天器表面防护.根据《国家纳米技术发展规划》（）米

877

A.0.25X10'B.2.5X10-C.2.5X10-D.25XW

3.（4分）如图四个图形中，N1=N2一定成立的是（）

4.（4分）下列运算正确的是（）

A.2。-a=2B.a3*a2=a6C.(/)3=/D.a6^a2=a45

5.（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）

A.太阳从东方升起

B.抛掷1枚质地均匀的硬币10次，有5次正面朝上

C.打开电视机在播放《新闻联播》

第1页（共25页）

D.在只装有2个红球和3个白球的袋子里，摸出一个黑球

6.（4分）如图是折叠凳及其侧面上半部分三角形的示意图.若48=4C=19C〃I,则折叠凳的宽8C可能

A.45c/nB.40cmC.38cmD.27cm

7.（4分）将一副三角尺按如图摆放，点尸在力C边上，旦AB"DF（）

A.95°B.100'C.1（）5°D.110°

8.（4分）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图,

用螺丝钉将两根小棒力。，只要测得C,。之间的距离，判断△405gZX。。。的依据是（）

A.SASB.SSSC.ASAD.AAS

9.（4分）如图，在△月5c中，AB=5,在月6和4C上分别截取4W,AN,分另4以点点N为圆心工睚!

2

的长为半径作弧，两弧相交于点P,过点。作。£_14。于£若DE=2,则△48C面积为（）

第2页（共25页）

A.10B.9C.8D.7

10.（4分）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”.将

22

它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：aan=5-3*

a=72.52…12=96；②，“+。2+…+。8是8的倍数；③〃3〃为正整数,若（w+7）（〃？-7）+n2-2mn

是"和谐数"，则m-〃=7；④〃?，且〃若9?-（/〃-/;）2和〃?+〃-1都是“和谐数"，则力〃-5〃

-3也是“和谐数”.则上述结论正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.填空题请直接填写答案.）

11.（4分）计算：（x+2）（x-I）=.

12.（4分）如图，在△力8C中，AB=AC,点Q为BC的中点,则/。。=°.

13.（4分）转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图，若指针固定不动，当转盘停止后，指针落

在红色区域的概率是_____________________.

14.（4分）如图1,一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度匀速往水槽中注水，水槽内水

面的高度1（厘米）与注水时间x（秒），又经过秒恰好将水槽注满.

13武秒）

15.（4分）如图，在△川心？中，ZC=90°,且CO=1,DB=4,使得力ZBAE=2ZCAD,DE,

则DE=.

第3页（共25页）

G

D

20.（8分）如图所示，在8X8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,△力8c的三个顶点都在格点

上.

（1）请在图中画出△/14C关于直线/对称的图形△/「夕。；

（2）ZX/IA。的面积为；

（3）如图，点股是〃。的中点，请在直线/上确定一点N

A

21.（9分）一个不透明袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下

颜色，重复这样的试验1000次，记录结果如表:

实验次数n2003004005006007008001000

摸到红球次数144214276352425491559702

摸到红球频率典0.720.710.690.700.710.700.70a

n

（1）表格中a=;（精确到0.01）

（2）估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为;（精确到0.1）

（3）若袋子中共有10个球，则除了红球，估计还有个其他颜色的球；

（4）在（3）的条件下，往袋子中再放入4个白球，摸到红球小明胜，摸到其他颜色的球小亮胜

22.（10分）如图，在△/BC中，边的垂直平分线OE分别交力8、4C边于点。和点/+。尸=/E2.

(1)连接AE,求证：ZC=90°:

第5页（共25页）

(2)若4c=4,BC=2,求CE的长.

（I）根据表中数据的规律，表格中〃=,b=；

（2）设有x个盆栽，护栏总长度为y米，则y与X之间的关系式是；

（3）要在一条长度为144米的道路两旁加装花卉盆栽，请问共需要加装多少个花卉盆栽？

24.（12分）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法.借助这种方法可将抽象的数学知识变得直

观起来.我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.

（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形（下面各图形均满足推导各

公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①：（〃+力）（.c+d）=ac+ad+bc+bd：

第6页（共25页）

公式②：（a+b+c）d=ad+bd+cd；

公式③：（a+b）2=a2+2tf6+Z?z；

公式④：（a-b）2=a2-2ab-^b2.

图1对应公式；

图2对应公式；

图3对应公式；

图4对应公式；

（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知加+〃=5,m2+n2=20,求〃?〃和（机-/?）2的值;

（3）两块完全相同的特制直角三角板（ZAOB=ZCOD=9r）,如图5所示放置，其中4O,BD,

若Sjoc+S△庾w=74,求一块特制直角三角板的面积.

图5

25.（12分）【材料阅读】在数学探究课程《玩转学具》中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂.同

学们踊跃参与，尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在△力8C中，NC4B=90°,AB=AC；在ADEF

中，/FDE=90°,/FED=30°）,请你帮他们完成作答.

【发现】（1）如图1,将两个三角板互不重叠地摆放在一起，过点。作CG_L£F,垂足为点G,垂足为

点〃.

①请在图1中找出一对全等三角形，并在横线上填出推理所得的结论：

'：ZCAB=W,

：.ZCAG+ZBAH=90°,

：・NCGA=N4HB=90°,

VCG1EF,BHLEF,

第7页（共25页）

：.ZCAG+ZACG=90°，

/.NACG=/BAH,

在△CG/l和△4/8中，

rZCGA=ZAHB

<NACG=NBAH，

AC=AB

:.XCGAm.

②若CG=2,BH=3,贝i」G"=；

【类比】（2）如图2,将两个三角板叠放在一起，过点8作8M_LZ）E,垂足为点M,MD,QC之间的

数量关系；

【拓展】（3）如图3,将两个三角板叠放在一起，若/。=5,。。=12,求△8C。的面积.

图1E图2图3

第8页（共25页）

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参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案AC.CDADCABB

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.）

1.（4分）未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考!下列表示计算机视觉交互应月的图

【解答】解•：选项4、C、。均不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合,

选项力能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形，

故选：A.

2.（4分）2025年，中国科学家研发的新型纳米防水材料厚度仅为0.000000025米（25纳米），该材料可

应用于航天器表面防护.根据《国家纳米技术发展规划》（）米

A.0.25X10-8B.2.5X10'7C.2.5X10'8D.25X10-7

【解答】解:0.000000025=2.7X10

故选：C.

3.（4分）如图四个图形中，N1=N2一定成立的是（）

第9页（共25页）

【解答】解：A,N1与N2是邻补角N3+N2=180°,故4不符合题意；

B、Z2>Z4；

。、N1与N2是对顶角，故C符合题意；

D、N3与N2不一定相等.

故选：C.

4.（4分）下列运算正确的是（）

A.la-a=2B.a3*a2=aeC.（a3）3=a6D.a6-i-a2=a4

【解答】解：力、2a-a=a；

B.a^a3=a5,故此选项不符合题意；

C、（a3）2=a\故此选项不符合题意；

。、a6^a2=a\故此选项符合题意：

故选：D.

5.（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）

A.太阳从东方升起

B.抛掷1枚质地均匀的硬币10次，有5次正面朝上

C.打开电视机在播放《新闻联播》

D.在只装有2个红球和3个白球的袋子里，摸出一个黑球

【解答】解：A.太阳从东方升起，符合题意；

尻抛掷1枚质地均匀的硬币1（）次，是随机事件；

C、打开电视机在播放《新闻联播》，不符合题意；

。、在只装有2个红球和7个白球的袋子里，是不可能事件；

故选：A.

6.（4分）如图是折叠凳及其侧面上半部分三角形的示意图.若AB=AC=T9cm,则折叠凳的宽8c可能

为（）

第10页（共25页）

B

JA

A.45cmB.40cmC.38c，〃D.21cm

【解答】解：由三角形三边关系定理得到：AB-ACVBCVAB+AC,

/.19-19<i5C<19+19,

・・・0V4C<38,

・•・折叠凳的宽8C可能为27cm.

故选：O.

7.（4分）将一副三角尺按如图摆放，点尸在4C边上，且AB；/DF（）

A.95°B.1003C.105°D.110°

【解答】解：•・•将一副三角尺按如图摆放，点/在力C边上，

AZA=30°,/DFE=45°,

AZAFD=ZA=30a,

VZAFD+ZDFE+ZCFE=\^°,

AZCFE=1800-30°-45°=105°,

故选：C.

8.（4分）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图,

用螺丝钉将两根小棒40,只要测得C,。之间的距离，判断△4。8且4。0。的依据是（）

第11页（共25页）

A.SASB.SSSC.ASAD.AAS

【解答】解：・・・。是4），8C的中点，

:,AO=OD,BO=OC,

又：ZAOB=ZCOD,

：.^AOB^^DOC（.SAS）,

:,AB=CD,

故选：A.

9.（4分）如图，在△/BC中，/B=5,在48和/C上分别截取/历，AN,分别以点点N为圆心

2

的长为半径作弧，两弧相交于点P，过点。作。七_1力。于£若DE=2,则△/8C面积为（）

【解答】解：如图，过点。作J_4?于点足

：.DE=DF=2,

AABC的面积=工・/3•。尸+1^X5X7+2.

2222

故选：B.

10,（4分）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”.将

它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：-32^2,2,2,

akan乙=53

2

aQ=72-52…12=96；②4[+02+…+。8是8的倍数；③"，"为正整数，若（〃[+7）Cm-7）-n-2mn

2

是“和谐数"，贝I]"L〃=7；④加，且m>n,若9-（〃？・八）2和/fj+n-1都是“和谐数”，则7机・5〃

第12页（共25页）

・3也是“和谐数”.则上述结论正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①观察"和谐数列”可知，设下标为〃，减数的底数为2〃-1,

即(7〃+1)2-(3〃・1)2,・・・。12=(7X12+1)2-(6X127)2=96

故①正确；②根据①找出的规律知：(2n+l)2-(7K-1)2=4”，

，ai+42+~+45=8X1+6X2+…+8X2

=8X(1+3+-+8)=8X36：・・・〃3+。2+・“。8是6的倍数：故②正确；

③(m+1)(m-1)+〃4-2mn=nr-49+/76-2mn

=(〃?-〃)2-49

=(〃?-〃)2-72

由“和谐数”的定义得〃l〃可为3,故③错误：

(4)V92-(〃L〃)5是“和谐数”,

可设92-(m-n)3=8%,

得(〃？-〃)2=81-6k,

可取k=10,得in-n=\,

则96-(w-〃)2=80=2M-符合“和谐数”的定义，

假设〃?=5,〃=4,

.•.7切-5〃-3不是“和谐数”故④错误.

故选反

二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分.填空题请直接填写答案.)

11.(4分)计算：(x+2)(x-I)=x2+x-2.

【解答】解：原式=f+2x-x-8

=f+x-2.

故答案为：/+x-2.

12.(4分)如图，在△49C中，4B=4C,点D为BC的中点,则NC/O=550

【解答】解：・・・/3=力(7,

・・・NC=N4=35°,

第13页(共25页)

•・•点。为8c的中点,

：・AD工BC,

AZADC=90°,

.,.ZC/fD=90°-ZC=55°.

故答案为：55.

13.（4分）转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图，若指针固定不动，当转盘停止后，指针落

【解答】解：由题意得，红色区域有2份,

・•・蓝色区域占转盘总面积的2A工，

33

故答案为：—.

3

14.（4分）如图1,一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度匀速往水槽中注水，水槽内水

面的高度y（厘米）与注水时间x（秒），又经过3秒恰好将水槽注满.

图1图2

【解答】解：由图形可知,

圆柱体的高是16口〃，正方体铁块的高是8cm,

故如果将正方体铁块取出，又经过8-5=3（秒）恰好将水槽注满，

故答案为：3.

15.（4分）如图，在中，ZC=90°,且CQ=1,DB=4,使得力上二%从NBAE=2NCAD,DE,

则DE=6.

第14页（共25页）

E

A

CDB

【解答】解：如图，延长8C至G,设4c与DE交于点M,

VZACB=90°,

C.ACLGB,

・・・力。垂直平分GD,

：,AG=AD,NGAC=NCAD,

；./GAD=2/CAD,

ZBAE=2ZCAD,

：.ZGAD=ZBAE,

/.NGAD+NBAD=/BAE+NBAD,

：.ZGAB=ZDAE,

在.△G/iB与AD/E中,

AG=AD

'NGAB=NDAE，

AB=AE

:.AGAB*ADAE(SAS),

:,BG=DE,

/.BG=BD\GD=BD\6CD,

VCD=\,DB=4,

••・OE=8+2=6,

故答案为：8.

三、解答题（本大题共10个小题，共90分.解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.（7分）计算：

第15页（共25页）

(1)(2025-兀)°-停)-2+|-2卜

(2)3a3力・(-4b2)-r(.lab)2.

【解答】解：（1）（2025-兀）°-4严+|-2|

=6-9+2

=-4；

(2)3a3扭(-2b2)+(lab)

=-12a3b3^6a2b2

=-8ab.

17.(7分)先化简，再求值：［(2x+y)(2x-y)+y(y-2x),其中x=l,y=-2.

【解答】解：［(2x+y)(Zv-j)+y(y-5x)］^x

—(4X2-y6+y2-2xy)-rx

=(5/-2A)，)4-X

=3x-2y,

当x=1,y=-3时，

原式=4X1-6X(-2)=8.

18.(7分)如图，点C,F在线段8"上，BE=CF,NACB=NDEF.求证：AC=DE.

:.NB=NF,

•；BE=CF,

：.BE+CE=CF+CE,

即BC=FE,

在。和△。在中，

rZB=ZF

<BC=FE，

ZACB=ZDEF

:•△ABgADFE(ASA),

第16页（共25页）

：.AC=DE.

19.（8分）请把下面证明过程补充完整：如图，在△48C中，点E,AC1.,ZFFC+ZC=180°,4。平

分NC力G,/D=/DEF.求证：/B=NC.

证明：VZEFC4-ZC=180°（已知），

：.EF//BC（同旁内角互补，两直线平行）,

•:/D=/DEF（已知），

AAD//EF（内错角相等，两直线平行）,

：,AD//BC（平行公理推论）,

：,ZGAD=ZB（两直线平行，同位角相等）,

ZCAD=ZC（两直线平行，内错角相等）,

•••力。平分NC4G（已知），

:・NG4D=NCAD,

・・.N8=NC（等量代换）.

【解答】证明：VZEFC+ZC=180°（已知）,

・・・E/〃8c（同旁内角互补，西直线平行），

VZ£>=ADEF（己知），

・・・40〃所（内错角相等,两直线平行），

C.AD//BC（平行公理推论），

・・・NQ4O=/8（两直线平行，同位角相等），

NC4O=NC（两直线平行，内错角相等），

「力。平分NOG（已知），

：.ZGAD=ZCAD,

：,ZB=ZC（等量代换）.

故答案为：BC；同旁内角互补；

力。；内错角相等；

第17页（共25页）

平行公理推论；

两直线平行，同位角相等:

两直线平行，内错角相等;

ACAD.

20.(8分)如图所示，在8X8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,△/BC的三个顶点都在格点

上.

(1)请在图中画出△48c关于直线/对称的图形△48。；

(2)△力8c的面积为小；

(3)如图，点M是8C的中点，请在直线/上确定一点N

【解答】解：(1)如图，即为所求.

(2)。的面积为工义(8+3)X4—X3X7--X4X3=8---=5.

22223

故答案为：5.

(3)如图，连接M9交直线/于点N,

此时NB+NM=NB-NM=MB',为最小值,

则点N即为所求.

第18页(共25页)

21.（9分）一个不透明袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下

颜色，重复这样的试验1000次，记录结果如表:

实验次数〃2003004005006007008001000

摸到红球次数，〃144214276352425491559702

摸到红球频率典0.720.710.690.700.710.700.70a

n

（1）表格中0.70；（精确到0.01）

（2）估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为」；（精确到0.1）

（3）若袋子中共有10个球，则除了红球，估计还有3个其他颜色的球；

（4）在（3）的条件下，往袋子中再放入4个白球，摸到红球小明胜，摸到其他颜色的球小亮胜

【解答】解：（1）〃=上空入0.70：

1000

故答案为:0.70：

（2）估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为4.7：

故答案为：0.5：

（3）•・•摸出一个球恰好是红球的概率为0.7,

・•・袋子中有红球10X5.7=7（个），

・••估计还有2个其他颜色的球；

故答案为：3；

（4）游戏对两人公平，

理由：因为摸到红球的概率为一L-=L,

10+72

摸到其他颜色的球的概率为

10+42

第19页（共25页）

所以游戏对两人公平.

22.（10分）如图，在△48。中，力5边的垂直平分线。E分别交48、4c边于点D和点E2+CE2=4E2.

（1）连接求证：NC=900:

（2）若4C=4,BC=2,求CE的长.

【解答】（1）证明：・・・48边上的垂直平分线为OE,

：.AE=BE,

BC2+CE2=AE},

:.BC2+CE2=BE5,

AZC=90°；

（2）解：设CE=x,MAE=BE,

在RtABCF中，BE2-CE2=BCS,

・••（4-x）2-3=22,

解得：X=L,

2

・•・底的长为3.

7

23.（10分）综合与实践：

实践主题：我是城市建筑师

生活情境我市在创设全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示

意图如图所示，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不

计）.

第20页（共25页）

3米

数学数据对该隔离护栏的长度进行测量，得到了如表数据:

盆栽个数23456•••

护栏总长度5.4a13.818b•••

（米）

根据上述的素材，解决以下问题:

（1）根据表中数据的规律，表格中。=9.6,b=22.2；

<2）设有「个盆栽，护栏总K度为y米，则y与乂之间的关系式是—3；

（3）要在一条长度为144米的道路两旁加装花卉盆栽，请问共需要加装多少个花卉盆栽？

【解答】解：（1）根据题意得：

当盆栽个数为3时，护栏总长度为L8X3+3X3=9.6；

当盆栽个数为4时,护栏总长度为1.2X6+3X5=22.2；

故答案为：9.6,22.5；

（2）根据题意得：

y与x之间的关系式为y=1.2^8（x-1）=4.2J-3；

故答案为：y=4.6x・3；

（3）当y=144时，144=4.7x・3,

解得x=35,

答：共需要加装35个花卉盆栽.

24.（12分）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法.借助这种方法可将抽象的数学知识变得直

观起来.我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.

（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形（下面各图形均满足推导各

公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①：（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd：

公式②：（a+b+c）d=ad+bd+cd：

第21页（共25页）

公式③：(a+b)2=a2+2ab+b^；

公式④：(a-b)2=a2-2ab^b2.

图1对应公式⑵；

图2对应公式式；

图3对应公式⑶；

图4对应公式⑷；

(2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：已知小+〃=5,〃/+〃2=20,求〃皿和(m-n)?的值;

(3)两块完全相同的特制直角三角板(N4O8=/COO=9D°),如图5所示放置，其中4O,BD,

若40=16,Syo计5y(加=74,求一块特制直角三角板的面积.

图5

【解答】解：(1)图1对应公式②;

图2对应公式①；

图7对应公式③；

图4对应公式④；

故答案为：②；①：③；④；

(2)•・•〃什〃=5,〃?6+〃2=20,

(m+n)2=25,即m6+2mn^n2=25,

•.•6"〃?—5»nin——5

3

(〃?-〃)2=m2-7mn+n2=20-5=15；

(3)根据题意可知力。=8c=16,ADLBC,S”o计SABOD=74,

fcj5oc=—XAD-0C?--XAE-OB=-^/)e=-^-l-XI6X16=128.

2