2024-2025学年山东省泰安市宁阳县高一年级下册期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省泰安市宁阳县高一下学期期末考试

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在复平面内复数z=老对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.某校高一年级有男生500人，女生700人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生

中抽出一个容量为360的样本.如果样本按比例分配，那么男生，女生应分别抽取的人数为（）

A.180；180B.150；210C.210；150D.200；160

3.设机，n是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，下列选项正确的是（）

A.若m〃a,m//p,贝!Ja〃£B.若an°=a,m//a,则m〃a

C.若zn1a,m1p,贝!]a〃°口.若。18，m1a,则

4.已知向量出另不共线，且向量,+4方与（4+1）方+63共线，则实数4的值为（）

A.-2或—3B.一2或3C.-3或2D.2

5.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为8,圆台的侧面积为96m则圆台较小底面

的半径为（）

A.3B.5C.6D.7

6.在团4BC中，~BE=^BA,~CD=则砺=（）

A.^AB-IACBiZB+iXCC.-|xC

Z3Z36363

7.甲，乙两人练习射击，击中目标的概率分别为p和q,若甲，乙两人各射击一次，则目标恰好被击中一次

的概率为（）

A.pqB.p+q

C.p+q—2pqD.l-(l-p)(l-q)

8.如图，正方体ABC。—AiBiGDi中，E,F,G,H,M,N分别为棱力。，

AB,BC,CD,BiQ,久&的中点，K为AN的中点，连接NG,HM,对于空

间任意两点P,Q,若线段PQ上不存在线段NG与上的点，则称P,Q两点

“可透视”，则与点G“可透视”的是()

A.点KB.点2

C.点、FD.点E

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列选项正确的是()

A.从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑

球”互斥

B.用简单随机抽样方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为50的样本，个体ni被抽到的概率是0.5

C.数据与，久2，冷，…，久兀的平均数为元=2,方差S2=4,则数据3与+1,3X2+1,3冷+1…，3%„+1

的标准差为2

D.若事件a与事件B是相互独立事件，则P(anB)=0

10.已知向量优b,c,则下列选项正确的是()

A.若五〃3,b//c,贝嗫〃下

B.若同＞|同，则石)〉0

c.若向量a与3的夹角为钝角，则五不＜0

D.若R=(3,4),b=(0,1),则向量N在向量3方向上的投影向量为(0,4)

11.三棱锥P—ABC中，M为P2中点，PA=AC^BC=1,PB=＜3,PALAC,AC1BC,则下列选项正

确的是()

A.PA1BC

B.直线CM与平面P28所成角的正弦值为|

C.直线BM与PC所成角为3

4

D.过M的平面与三棱锥P-ABC的外接球的截面面积最小值为T

4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知4(2,5),B(5,2),C(10,7),贝lj荏•芯=

13.如图，圆锥P。的底面直径和高均为6,过P。的中点。'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个

圆柱，则剩下几何体的表面积为.

14.在团ABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,S为回4BC的面积，。为AC的中点，且瓦？・瓦=

2735,b=2,贝加。的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

为倡导文明健康生活方式，2024年12月，国家卫健委发布了自本重管理指导原则》，指导医疗卫生人员开

展体重管理工作，当地卫生管理部门对某校全体高一男生进行了体重调查，将数据统计成如下频率分布表

及频率分布直方图.

分组频数频率

[30,40]300.05

a

[40,50]?

[50,60]1200.2

[60,70]?0.3

b

[70,80]150

[80,90]600.1

合计n?

(1)求ri,a,b,x,y的值；

(2)估计高一男生体重的第75百分位数;

(3)估计高一男生体重的平均数.

16.(本小题12分)

袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球.

(1)若这5个球分别标有数字1,2,3,4,5,现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两

次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率；

(2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.

17.(本小题12分)

已知12ABe中，内角力，B,C所对的边为a,b,c,其中c=20，B=会回4BC的面积为3+

--------二--------

(1)求角c的大小；

(2)如图，点。在边BC的延长线上，若CD=DE=^EA,求CE的长.

18.(本小题12分)

复向量是指元素为复数的向量，即把有序复数对(Zi，Z2)(Z】,Z26C)看作一个向量，记作3=(Z],Z2).我们把

两复向量2,3的数量积记作位,石〉.对于1=(Z],Z2),b-(z3,z4),Z1；Z2,Z3,Z4eC,满足如下运算法

则：

(l)a±b=(z1±z3,z2±z4)@Aa=(Az1,Az2),A£R

@(a,b)=z^+z2z；④复向量2的模I初=J位，中

已知i为虚数单位，tER,a=(1+i,2-3i),b=(—i,3+3i),m=(1+i,2-i),n=(i,t).

(1)求复向量N+B,a-B的模；

(2)证明:若另=4落AeR,则位，力6R；

(3)对两个复向量2与孔若|〈乙3)|=|初5I，则称2与B平行.是否存在t6R,使沆与元平行，若存在，求

出t的值；若不存在，请说明理由.

19.(本小题12分)

在团ABC中，Z.BAC=45°,AB=472,AC=4,F是边BC上的动点(不与B,C重合)，过点尸作4C的平行

线交4B于点E,将回BEF沿EF折起，点8折起后的位置记为P,得到四棱锥P-4CFE,如图所示.

(1)证明：AC〃平面PEF；

(2)若尸为BC中点，且平面PEF1平面4CFE,求二面角P-EC-F的余弦值；

(3)若。为4C中点，是否存在点F,P,使得P014E,若存在，求CF的取值范围；若不存在，请说明理

由.

参考答案

1.B

2.5

3.C

4.C

5.4

6.D

7.C

8.D

9.AB

10.BCD

U.ACD

12.18

13.187T+

14.2+/3/<3+2

15.【详解】(1)几==600,b=摆=0.25,V=4=0.025,

又0.05+10%+0.2+0.3+0.25+0.1=1,

・•・x=0.01,

a=600X0.1=60.

(2)因为前4组的频率之和为10X(0.005+0.01+0.02+0.03)=0.65<0.75,

前5组的频率之和为10X(0.005+0.01+0.02+0.03+0,025)=0,9>0.75,

所以第75百分位数me[70,80),则0.65+卷W乂0.25=0.75,解得m=74.

oU—/U

(3)由频率分布直方图得，某校高一男生体重的平均数为：

35X0.05+45X0.1+55X0.2+65X0.3+75x0.25+85x0.1=64.

16.【详解】(1)不放回连续取两次的样本空间。i={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),

(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),

(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)}

=20

记”两数之和为3的倍数”为事件力，则事件4={(1,2),(1,5),(2,4),(4,5),(2,1),

(5,1),(4,2),(5,4)}

n(X)=8

82

=20=5

（2）设5个球记为的,a2,瓦，b2,比，则有放回地取出两个的样本空间

。2=｛（。1，%），（。1，。2），（的，瓦）,。），（。1，匕3），（。2,%），（。2,。2），（%瓦）

（。2，力2），（。2,匕3），（瓦,％,），（瓦，。2），（瓦,瓦）,（瓦，》2），（瓦，匕3），（力2,。1），

（821。2）（82,瓦），（力2162），（历，力3），（力31。1），（63,。2），电也）,（力3也），（坛也）｝

•••九（。2）=25

记“两球颜色恰好不同的概率”为事件8,则8=｛（的,瓦）,（4,历），（的，①），

（。21瓦），（。2也），（。2，力3）（瓦,。1），（瓦，。2），（82,（3。2），（83,。2）｝

12

・・・九⑻=12,・・.P（B）=芸

17.【详解】(1)•也4BC面积S=jacsinS=3+6,即xaX2门义苧=3+四,

•••a=y/~6+y[~2,

在团ABC中，由余弦定理得人2=a2+c2-2accosB=(76+A<2)2+(2\<3)2-2(/6+V^)x273x^=

8,

•••b=2V-2,

由正弦定理—"=c・•・sinC=2卬泰咛

sinC，

a=V-6+V_2>c=2V~3,••A>C,C=

(2)由(1),AACD=7T-1=y,

~DE=^EA,：.~CE=~CD+DE=~CD+|D7=CO+1(CX-CD)=|C0+1cl,

乙DDDD

•••CA2=8,CD2=32,~CA-~CD2A<1x4<2cosy=-8,

-->24>24>>1>2441104

**•CE=—CD+—CA,CD+—CA=—x32+—x(—8)+—x8

~9~

"“二丁2/26

18.【详解】⑴-■-a=(l+i,2—3i),b=(—i,3+3i),

.,.为+b=(1,5),S—b=(1+2i,—1—6i)

(a+b,ab)=1x1+5x5=26,

<a-K,a-K>=(l+2i)(l-2i)+(-1-6i)(-l+6i)=42,

|a+b|=V~26，|a-K|=V-42.

(2)设Zi=+yj,z2=%2+yzi*X],&，丫2eR；设五=Qi?).

vb=Aa,AGR

**,b—

••・<~&,b>=zr(Az^)+z2(Az^)

=+Z2^2)

2

=A(%1+yj+%22+%2)eR

<a,b>ER.

(3)vm=(1+12-i),n=(i,t),

..<m,m>=(1+i)(l—i)+(2—i)(2+i)=2+5=7,

<n,n>=i(—i)+t2=t2+1,

<m,n>=(1+i)(—i)+(2—i)t=2t4-1—(t+l)i

|m|=^J~7,|n|=Vt2+1,|<m,n>\—J(2t+l)2+(t2

1)2=A/5t+6t+2.

假设万与元平行，

则|〈沆，记)|=|沆||记I，即，5#+61+2=V7X，/+1,

两端平方得：5/+61+2=7严+7,即2t2-61+5=0,

』=(-6)2-4x2x5=-4<0,

・・・方程2严—61+5=0无解，

故不存在实数如使得而与元平行.

19.【详解】⑴由题意知EF〃&C,又EFu平面PEF,2Cu平面PEF

所以4C〃平面PEF

(2)在团4BC中，由余弦定理

BC2=AB2+AC2-2ABxACcosz.BAC

=32+16-2X4/2X4x—

=16

•••BC=4,•••AC2+BC2=AB2,

AC1BC,^ABC=45°

,•,在翻折过程中，EF1PF,EF1CF

NPFC为二面角P—EF—C的平面角

•平面PEF_L平面4CFE,

.­•乙PFC=90°,PF1FC

又PF1EF,且EF,FCu平面ACTE,EFC\FC=F

：.PF1平面力CFE

•••F为BC中点，CF=PF=2

法1：作F。！EC于。，连接。P

则。P在平面4CFE的射影为。F

CEu平面ACFE,•••PF1CE

且F。，PFC5FSPOF,PFCFO=0

•••CE1平面POF

•••OP,OFu平面POF,CELO