2024-2025学年陕西省西安市某中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年陕西省西安市高新唐南中学高二(下)期末

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.对于数据1,2,4,6,6,11,下列说法错误的是()

A.平均数为5B.众数为6C.极差为10D.中位数为6

2.已知复数Z=—i,则12°25—z2°26|=()

A.2B.72C.1D.0

3.已知集合A={x\y=V10-x2},则集合AnN中的子集个数为()

A.8B.16C.32D.64

4设集合A={x]爰WO},B={x|log2(x+1)<2},则力nB=()

A.[-2,2]B.[-2,2)C.(-1,2]D.(-1,2)

5.在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且sMA：sinB：sinC=2：3：4,则cos4=()

6.已知点F为抛物线C：V=2p%(p>0)的焦点，点2在C的准线2上，点8在C上，若NAFB=90。，且出口=

2\AF\=10,贝历=()

A.1B.2C.3D.4

噜=()

7.已知等比数列{册}的前71项和为Sn,若由工。2,且4a3,3a4,2a5成等差数列，D

2s3254

A号B号C.85D.86

8.已知a,S为锐角，tan(cr—^?)=^,sinasinp=则sin竽=()

AR-c2"D・雪

A.-5B.5U.5

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知公差为1的等差数列{“}满足的，a3,成等比数列，则()

A.%=2B.{an}的前几项和为专2

C.的前8项和为:D.{(-1厂&}的前50项和为—25

anan+l

10.已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，当％>0时，以x)=e-x•(%-1),则()

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A.当x<0时，/(%)――ex-(x+1)

B.VXeR,都有/(x)e(-1,1)

C./(x)>0的解集为［-1,0)U［1,+8)

D"(x)的单调递增区间是(-2,0),(0,2)

11.已知双曲线C；I—。=1的左、右焦点分别为%,尸2,点P在C的右支上，过点P的直线I与C的两条渐

近线分别交于点M,N,则下列说法正确的是()

A.|P尸i|+|P&I的最小值为4

B,与C仅有公共点P的直线共有三条

C.若P(4,3),且P为线段MN的中点，贝〃的方程为y=x—1

D.若/与C相切于点PQo，-1)，则M,N的纵坐标之积为一4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量5=(科2m-1),刃=(1,-2),若力/石,则闽+2引=.

13.已知函数/'(x)=x(x+c)2在x=1处有极大值，贝！|c=.

14.某半球形容器如图⑦所示，底面圆的半径为2/其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相

切，也与底面相切，其俯视图如图②所示，则小球的表面积等于.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

设<p)(-7T<(p<0),y-/(%)图象的一条对称轴是直线％=

/(x)=sin(2%+O

(1)求9，并求函数y=f(x)的对称中心；

(2)求函数y=/(久)的单调递增区间；

(3)求函数/(尤)在区间［0句上的值域.

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16.(本小题12分)

设椭圆务评1(。〉b>。)的左右顶点分别为&，左右焦点%，心已知M抵1=3,也砧=L

(1)求椭圆方程；

(2)若斜率为1的直线/交椭圆于4B两点，与以％,七为直径的圆交于C。两点.若|4即=警£。|,求

直线/的方程.

17.(本小题12分)

如图1,在四边形48。。中，力。//8。,力。=2.AB=2BC=2。。，£1是力。的中点，将448£1沿8£'折起至44/BE

的位置，使得二面角4，—BE—C的大小为120。(如图2),M,N分别是力BC的中点.

(1)证明：MN〃平面力,BE;

(2)求二面角力，一BD—C的余弦值.

18.(本小题12分)

设函数/(%)=%+alnx,曲线y=/(%)在点(1,/(1))处的切线方程为y=2%-1.

(1)求实数。的值；

(2)若函数y=f(%)-2%+771有两个不同的零点％1，冷，且％1<%2，

①求实数血的取值范围；

②试比较受1与3的大小关系，并说明理由.

XiX2

19.(本小题12分)

已知甲盒子中装有1个白球和2个黑球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取1个球交

换放入对方的盒中，重复几次(71£N*)这样的操作.记此时甲盒中白球的个数为Xn，甲盒中恰有2个白球的概

率为an,恰有1个白球的概率为

b］和a2，力2；

(2)证明：｛an+2%-卷｝为等比数列；

(3)求治的数学期望(用n表示).

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答案解析

1.【答案】D

【解析】解：数据1，2,4,6,6,11,

所以平均数为1+2+4：6+6+11=5,众数为6,极差为11-1=10,中位数为竽=5.

故选：D.

根据平均数、众数、极差和中位数的定义求解.

本题主要考查了平均数、众数、极差和中位数的定义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：z=-i,

则Z2025=（_Q2024•（_=_j,z2026=（_Q2024.（_Q2=_1；

故,2025_z2026|—_j|—J]_2+（_1）2-^/~21

故选：B.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：集合A=（x\y=V10-x2]=（x\-VTo<x<V^O]

则集合aCN中共有0,1,2,3四个元素，子集个数为24=16个.

故选：B.

化简集合4利用集合交集的运算以及子集个数的定义求解.

本题考查集合的应用，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解:不等式log2（久+1）<2等价于log2（x+1）<log24,

1<x<3,F={%|-1<%<3},

I久+1<411'

不等式生|<0等价于产+2）（；-2）W0,解得_2<x<2,

%-2—2。0

A={x\—2<x<2]；

•••i4AB={%|-1<%<2}.

故选：D.

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分别解出集合力中的分式不等式和集合B中的对数不等式，再利用集合的交集运算即可求解.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：根据正弦定理得a：b：c-sinA：sinB：sinC-2：3：4,

设a=2k,b=3k,c-4fc(fc>0),由余弦定理得cos力=

。""二：：?/,"""='

ZXO/CXT/CO

故选:B.

根据正弦定理角化边，结合余弦定理进行求解，可得cosA的大小.

本题主要考查正弦定理与余弦定理等知识，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：己知点F为抛物线C：y2=2px(p〉0)的焦点，点力在C的准线/上，点B在C上,

又乙4FB=90°,且|BF|=2\AF\=10,

如图，过B作BBilZ于当，

由抛物线的定义知=\BF\=10,

又乙4FB=90°,

贝=RtAABiB,

设NFB4=a,

则为a4=a,

因为田F|=2\AF\=10,

贝1J|4B|二V\BF\2+\AF\2=5<5,

所以s讥。=需=亲・

由于3当〃%轴，

所以乙5取=血8尸=2a,

则cosZ-BFx—cos2a=1—2sinza—1,

则用cosZ_BF%=6,

所以p+6=\BB^\=10,

则p=4.

故选：D.

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10.

设乙FB/=a,贝!=a,可得s讥a=内，则cos/BF%=cos2a=耳，进而p+6=|BBi|,即可求得.

本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题.

7.【答案】C

【解析】解：等比数列｛%｝中,若的±。2,且4a3,3a4,2a5成等差数列,

则6a4=4a3+2a5，

2

即6qa3=4a3+2qa3,

即6q=4+2q2,

解得q=2或q=l(舍)，

晦=春=芸=85・

故选：C.

结合等差数列的性质及等比数列的通项公式求出q,然后结合等比数列的求和公式即可求解.

本题主要考查了等差数列的性质及等比数列的通项公式求出q,然后结合等比数列的求和公式的应用，属于

基础题.

8.【答案】D

【解析】解：因为a,£为锐角，所以a—/?€(―，工)，a+0C(0,E(。,]),

又tan(a—/3)=^=襄>:,所以cos(cr—£)=/=cosacosp+sinasin0,

而sinas讥S=p所以cosacosS=磊，

所以cos(a+夕)=cosacosfi—sinasinp=^—|=—"=1—2sin2(^1^),

因此如竽=J|=要

故选：D.

借助三角恒等变换、同角三角函数的基本关系计算即可得.

本题考查两角和与差的三角函数，属于中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：因为@1，的，即成等比数列，所以。"7=城，

即01(%+6)=(%+2>,解得。1=2,故/正确；

等差数列｛%｝的前几项和为2n+或井x1=岑2，故2正确；

V,1111

Im大I/>!----------=-----------------=-----------------,

"由1a„+1(n+l)(n+2)n+1n+2

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所以｛---｝的前8项和为,一+…白=2—白='|，故C错误；

J

'anan+123349102105

因为(—1)51%=(-+1),所以｛(一1)-1%｝的前50项和为2-3+4—5+…+50—51=-25,

故。正确.

故选：ABD.

由已知结合等比数列的性质列式求解首项判定4求出等差数列的前几项和判断B；利用裂项相消法求和判断

C；利用拆项求和判断D.

本题考查等差数列的通项公式及前n项和，考查等比数列的性质，训练了裂项相消法求和，是中档题.

10.【答案】BD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于力，当x<0时，-X>0,则/(一久)=e1-x-1),则/(x)=-/(一久)=eYx+1),/错误；

对于8,函数/(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0,

当x〉0时，f(x)=e-\x-1),其导数f'(x)=—e-x(x-1)+e-x=e-x(2一x)=签，

1

在区间(0,2)上，/(x)递增，在区间(2,+8)上，/(%)递减且/(%)>0,而“2)=潦，

1

综合可得：在区间(0,+8)上，有—1</(%)<7；

1

又由/(X)为奇函数，则在区间(一8,0)上，有一葭</(久)<1;

综合可得：/(%)6(—1,1),2正确；

对于C,由A、B的结论，f(x)—■nx=Q,若/'(x)>0,必有1ex~°或％=0或『(久；,)？°,

，、0'-x<0

Ux(%+l),x<05>u

解可得一1WxW。或乂21,

即/Q)>0的解集为[-1,0]U[1,+8)

C错误；

对于D,由B的结论，在区间(0,2)上，/(x)递增，在区间(2,+8)上，AX)递减，

又由/(x)为奇函数，则在区间(一2,0)上，/(%)递增，在区间(一8,-2)上,/(x)递减，

综合可得：〃>)的单调递增区间是(-2,0),(0,2),D正确；

故选：BD.

根据题意，对于4利用奇函数的性质求出久<0时.f(x)的解析式，可得“错误，对于B,求出函数的导

数,分析可得f(x)的单调性以及最值,综合可得B正确，对于C,求出函数的解析式，结合解析式分析/(“)>0

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的解集，可得c错误，对于D,利用函数的奇偶性以及B的结论，可得。正确，综合可得答案.

本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数导数与单调性的关系，属于基础题.

11.【答案】BC

双曲线—4_=1,可得a=2,b=，$，因此c=，加+按=,

43

因此焦点尸1（一，7,0）,尸2（犷,。），且仍尸11-伊&1=2a=4,

设P（&，yo），因此与22,双曲线C的两条渐近线的方程为y=±苧X，

4选项：由伊尸1|一仍尸21=4,|P尸212c一2,因此|P%|+仍尸21>4,故/选项错误;

B选项：过点P作双曲线的一条切线，和两条平行于渐近线的直线，

这3条直线与双曲线仅有公共点P,故8选项正确；

C选项：设”（刈,月），可（久2，为），直线泊勺方程为y-3=-4）,因此％1+町=8,Vi+y2=6,

比

比

一o

4-3-

两式相减得鱼坟鱼包=（月+刃）（月-刃）,

必g

一-O

4-3一

即2(以一7)=2(y1-y2),

因此卜=汽y=1,因此直线/的方程为y-3=%—4,即y=K—1,故C选项正确;

人1人2

。选项：设直线/的方程为％=my+n,

ex—my+n

联立方程组卜2_y2_,整理得（3租2_4）y2+6mny+3n2—12=0,

（彳一至一

若直线，与双曲线C相切,因此4=367n2*_4（3m2—4）（3*—12）=0,

整理得n2=4—3m2，

（X=my+n

联立方程组］"苧…解得"乎n,为=尹n,

rx=my+几_

联立方程组］"一苧”解得"干n,为=事

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71—TI—3(4-3TH2)

因此点M,N的纵坐标之积为y/2=运一,行一=4-3租2=-3,故。选项错误.

—^――m-^―+m+31,L

故选：BC.

设P(%o，yo)，结合双曲线的定义即可判定力；过P作双曲线的切线和平行于渐近线的直线即可判定B；利用点

差法和中点的坐标公式求出直线1的斜率即可判断C；设直线I方程为尤=rny+小联立方程组，结合/=0,

得到n2=4-3m2,在化简为>2=-3,即可判定D.

本题考查直线与双曲线的综合，属于中档题.

12.【答案】3m

【解析】解：・・・力/瓦

•••—2m—(2m-1)=0,解得m=J,

4

4a+2b=(1,—2)+(2,-4)=(3,-6),

.­•14a+2b|=V9+36=3/5.

故答案为：3g

根据力万即可得出小的值，然后即可求出向量43+21的坐标，进而可求出|4方+2目的值.

本题考查了平行向量的坐标关系，向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考

查了计算能力，属于基础题.

13.【答案】—3

【解析】解：导函数/'(x)=(x+c)2+2x(x+c)=(x+c)(3x+c),

因为函数f(x)在久=1处取得极大值，所以f'(1)=0,即(1+c)(3+c)=0,解得c=-1或c=-3,

当c=一1时，导函数/'(久)=(久一l)(3x-1),

令f'(无)<0,得:<x<1,令/'，(x)>0,得x<、或x>1,

因此函数/'(%)在(-8,1)上是增函数，在(1,+8)上是增函数，在(1,1)上是减函数，

因此函数/(%)在久=1处取得极小值，故C=-1不满足题意，舍去，

当c=-3时，f7(%)=(%—3)(3%—3),令//(%)<0,得1Vx<3,令//(%)>0,得久VI或久>3,

因此函数/(%)在(-8,1)上是增函数，在(3,+8)上是增函数，在(1,3)上是减函数，

•••/(%)在％=1处取得极大值，符合题意.

综上所述，c=-3.

故答案为：-3.

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求导得f'(X)=(X+C)(3支+C),根据/''(1)=0求得c=一1或c=一3,再分别检验即可.

本题考查导数的综合应用，属于中档题.

14.【答案】(16-86)兀

【解析】【分析】

本题考查半球的内切球问题，化归转化思想，属中档题.

作出图形，设半球形容器的球心为。，四个小球的球心分别为。1，02,03,。曲设。1，。2，。3，。4在底面

圆。内的射影分别为。/,。2'，。3'，。4'，且小球的半径为小则易知四边形。/。2'。3'。4'是以2r

为边长的正方形，从而可得。。J=<2r,00x=0P-01P=2-r,在Rta。。,」中，根据勾股定理

建立方程，即可求解.

【解答】

解：如图，设半球形容器的球心为。，四个小球的球心分别为。1，。2，。3，。4，

图1图2

设01，02,。3，。4在底面圆。内的射影分别为01，，。2’，。3’，。4’，且小球的半径为八

如图1,易知四边形。/。2'。3'。4'是以2r为边长的正方形，

如图2,可知0。/=<2r,00x=OP-0xP=2-r,

・•・在RtZXOOi。/中，根据勾股定理可得：

(2—r)2=(-\Z-2r)2+r2,解得r=V-3—1>

•••小球的表面积等于4a2=(16-873)71.

故答案为：(16-8T3)7T.

15.【答案】<p=—半，/(%)的对称中心为(母+在,0)(kez)；

4Zo

递增区间为际+1而+方,k&z；

OO

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【解析】(1)由题意，2x—•+(/?=k.7i+—>fc6Z,

oz

•••(p=kTi+7TkEZ,

丫4

又•・,一兀V@<0,

37r

」•0=一彳，

令2%——=fcyr,kEZ,

4

i2

则％=5k.7i+—7TfkE.Z,

Zo

.•9=—)，〃>)的对称中心为(年+卷,0),kez；

4Lo

(2)—J+2/C7T<2%—当<J+2/CTT,kEZ,

L4L

解得J+k兀4％£等+kmkeZ,

oo

・••/(%)递增区间为［/C7T+/C7T+等］,kEZ;

oo

(3)：xe［0,当,

••2—与e［—牛布，

•''sin(2久-%e［-1,苧］,

.••/■(%)在［0岁上值域为［-1,苧］.

(1)结合正弦函数的对称性即可求解仍进而可求函数的对称中心；

(2)结合正弦函数的单调性即可求解；

(3)结合正弦函数的值域即可求解.

本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题.

16.【答案】解：(1)由题意由椭圆性质有，=3=a+c,\AF\=l=a-c,

\AXF2\22

解得Q=2,c=1,所以/=a2—c2=3,

所以椭圆方程为1+4=1.

43

(2)设直线/为y=%+zn,4(%i，yi)，8(%2，丫2)，

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由题意有，以鼻92为直径的圆的方程为/+必=1,

则圆心到直线2的距离d=翳<1,即机2<2,

所以|CD|=2V1-d2=2J1—（瞿尸=xV2-m2;

ry=x+m

联立V_消去y并整理得7必+Qmx+4m2—12=0,

（彳+至=1

/=64m2—28(4m2—12)>0,解得<7,又62<2,所以<2,

8m4m2-12

则％1+X2=一-f%1%2=-y-

22

\AB\=V1+k\xr—x2\=V1+/cxJ（%】+冷/—4%]%2

_/1.2I64nl216m2-48_4V_6x77—m2

=V1+/Cy-497=7'

又因为=与2|。叫，

所以"=工2x形x，力滔，解得爪2=1,

77

又小2<2,所以m=±l,

所以直线/的方程为：y=x+l或y=x-l.

【解析】（1）根据椭圆的几何性质列式计算得a,b,c,得解；

（2）设直线为、=久+小，由圆心到直线/的距离小于半径得出租的范围，由圆的性质求出弦CD的长，将直线I

的方程与椭圆方程联立得出韦达定理，求出弦48的长，由条件得出方程，可得答案.

本题考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想，属于中档题.

17.【答案】（1）证明：如图，取ED的中点P,连接MP,NP,

因为E是2。的中点，AD=2BC,所以ED=BC,

又AD]IBC,所以四边形BCDE是平行四边形，

因为M是a'。的中点，所以MP〃4'E,MP，平面4'BE,AzEu平面A/BE,

所以MP//平面4'BE

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又N是8c的中点.NP//BE,

NP，平面力'BE,BEu平面A'BE,NP//平面4/BE,

因为MPCINP=P,MP,NPu平面MNP

所以平面MNP//平面4/BE,

又MNu平面MNP,所以MN//平面力/BE.

(2)解：取BE的中点0,连接力'0,CO,CE,

在图1中，因为4。=24B=2BC=2CD,所以△ABE与△BCE是等边三角形,

所以在图2中，A'01BE,CO1BE,所以NA/0C=120。，

以。为原点，射线。8为x轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,

设BC=2,则B(1,O,O),C(O,60),D(—2,60),夕(0,-苧,|)，

A78=(1亨一|),丽=(_3,丹0)，

设平面力'BD的法向量为记=(%,y,z),

'4%_3=n

则."2y2Z,令久=1,则y=C,z=£,即访=(1,

-3%+<3y=0

由题可知，平面BCD的一个法向量为五=(0,0,1),cos(m,n)-

由图可知，二面角4，一BD—C为钝角，故二面角力，—BD—C的余弦值为—造L

61

【解析】本题主要考查线面平行的证明，空间向量的应用，二面角的余弦值的计算等知识，属于中等题.

(1)取ED的中点P,连接MP,NP,由已知可证得四边形BCDE是平行四边形，由三角形中位线定理可得MP〃

A'E,NP〃2E,然后由线面平行的判定定理可得MP//平面4'BE,NP//平面A，BE,从而可得平面

MNP//平面力，BE,再由面面平行的性质定理可得结论.

(2)取BE的中点0,连接力,。，CO,CE,以。为原点，射线。8为久轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标

系。-久yz,利用空间向量求解即可.

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18.【答案】a=l.

①(L+8);

②电>蛰二，理由见解析.

第2

【解析】(1)函数/(%)=%+alnx,求导得f/(%)=1+7,

由曲线y=/(%)在(1/(1))处的切线方程为y=2%—l,得//(1)=1+。=2,解得。=1,

经验证，。=1符合题意，所以Q=1.

(2)函数y=/(%)—2x+m=Inx—%+m有两个不同的零点％Ux2»

等价于方程d％—x+m=O<=^m=x—仇%有两个不同的根久1，到，

等价于函数的图象h(%)=%-m%与直线y=机有两个不同的交点，

无/(%)=1—：=三，当0<%Vl时，ft7(x)<0；当]>1时，/iz(%)>0,

函数五(%)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,h(x)min=h(l)=1,

而当％从大于0的方向趋近于0时，%(%)7+8在，当％一+8时，％(%)~+8,

所以根的取值范围为(L+00).

②不妨令0v%i<%2，Xi+—>x+~(x2-xi)(l----)<0«0<

%]%2,4%]%2X12x2%]%2

X±X2<1,

由(D^\，勺—lnx=x-lnx，即1=>,而0<%%<1<=>0<Jxx<1,

±22LTIX2—2九％112v12

只需证明，布〈节尹，即证In董(骞||=ff-住，令1=件>1,

In寸xiV第i%2\X1\x25JXI

令〃(t)=2lnt—t+pt>1,求导得〃/(t)=-|-1—=—(1—：)2<0,

函数〃(t)在(0,+8)上单调递减，u(t)<u(l)=0,即仇产Vt-：述>1,

因此也会<户—巧，所以至1>至1.

(1)求出函数的导数，利用导数的几何意义求出a.

(2)磔巴问题转化为直线与函数图象交点问题，结合导数求解；

笏U断大小，作差等价转化，利用导数证明产莅<1即可.

本题考查导数的综合应用，属于中档题.

19.【答案】解：(1)若甲盒取黑球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，

乙盒中的球变为1白1黑，概率为的=2

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若甲盒中取白球，乙盒中取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中仍为2白，概率

研究2次交换球的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下：

⑦当甲盒中的球为2白1黑.乙盒中的球为1白1黑时，对应的概率为由=|,

此时，若甲盒取黑球，乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，

乙盒中的球仍为1白1黑，

概率为x—x-=—a1；

若甲盒取黑球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为的x/x二仙；

若甲盒中取白球，乙盒中取黑球，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为aix|x；=gai；

若甲盒中取白球，乙盒中取白球,则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑,概率为的x|x1=

1

当

②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为九=寺，

此时，若甲盒取黑球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，

乙盒中的球变为1白1黑，概率为九乂,=,打，

若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为bixg=gbi，

1125111

a+=a=

综上，a2=-<21+3l3^1=3l+3^13"

(2)证明：依题意，经过几次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为时,

恰有1个白球的概率为"，则甲盒中恰有3个白球的概率为1-册-bn,

研究第n+1次交换球时的概率，根据第n次交换球的结果讨论如下：

①当甲盒中的球为2白1黑时，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为许，

此时，若甲盒中取黑球，乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，

乙盒中的球仍为1白1黑，概率为anX,x'=3；

若甲盒中取黑球，乙盒取白球，互换，

则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2