2024-2025学年上海高二数学试题分类汇编：圆锥曲线（六大题型+提升题）解析版

圆锥曲线（六大题型+优选提升题）

,题型1:求圆锥曲线的有关概念

根据圆锥曲线的定义化简，求参数范围、最值

直线与圆推曲线的关系综合

圆锥曲线内三角形或四边形问题

平面向量与圆推曲线

圆锥曲线解答题综合

题型1:求圆锥曲线的有关概念

1.（23-24高二上•上海•期末）已知椭圆的焦点坐标为（26,0）,短轴长为4,则椭圆的标准方程

为.

【答案】总

【分析】

根据题意，结合椭圆的几何性质，求得的值，即可求得椭圆的标准方程.

【解析】由椭圆的焦点坐标为（25,0）,可得c=2百,

又由椭圆的短轴长为4,可得26=4,即8=2,则°2=〃+。2=16，

所以椭圆的标准方程为二+己=1.

164

故答案为：-+4=i-

164

2.（23-24高三上•上海松江•期末）双曲线,-/=1的右焦点坐标是

【答案】（2,0）

【分析】

根据双曲线的定义求解.

第1页共41页

【解析】因为。2=/+从=4,所以C=2,

且焦点在x轴上，所以右焦点为（2,0）.

故答案为：（2,0）.

3.（23-24高三上,上海普陀•期末）抛物线y=3/的准线到焦点的距离为

【答案】7

6

【分析】根据题意，化为抛物线的标准方程，求得〃的值，即可得到答案.

【解析】由题意，抛物线y=3/可化为,可得p=!，

36

所以抛物线y=3/的准线到焦点的距离为;

6

故答案为：7-

O

4.（21-22高一下•上海青浦•期末）已知双曲线二-亡=1的左右两个焦点分别是不行，双曲线上一

1648

点"满足|P用=1。则|%|=.

【答案】18

【分析】首先根据仍用可判断点户只能在左支上，再根据双曲线的定义即可得结果.

【解析】在双曲线标一太=1中，a=4,/>=4A/3,c=8,因为|P用=10<a+c=12,

所以点P只能在左支则以图-归周=2%得以图—18,

故答案为：18

5.（22-23高二下•上海青浦・期末）若双曲线/-与=1（〃>0）的一条渐近线与直线y=2x-l平行，则

b~

b=.

【答案】2

【分析】

2

根据双曲线一一与=1（6>0）的渐近线为片土瓜求解即可.

b-

【解析】双曲线一一工=16>0）的渐近线为片±&，

b-

又因为双曲线/—5=1（/;>0）的一条渐近线与直线歹=2x-1平行，

b-

所以b=2.

故答案为：2.

第2页共41页

6.（23-24高二上•上海•期末）已知抛物线C:/=16x的焦点为F,在。上有一点Q满足|尸石=：3,

则点P到V轴的距离为.

【答案】9

【分析】求出抛物线的准线方程，再利用抛物线定义求出点P的横坐标即得.

【解析】抛物线C:/=16x的准线方程为：x=-4,设点PQp,外），

由抛物线的定义知：|?耳=马+4=13,解得以=9,

所以点P到V轴的距离为9.

故答案为：9

7.（23-24高二上•上海•期末）等轴（实轴长等于虚轴长）双曲线C与椭圆±+片=1有公共的焦点,

106

则双曲线C的方程为.

【答案】X2-/=2

【分析】先由椭圆方程求出半焦距，判断出焦点位置，再设出双曲线方程，利用题设列出方程求解

即得.

【解析】由4+。=1可得其半焦距C=x/i苍=2,且椭圆焦点在X轴上，故可设与之有公共焦点的

106

等轴双曲线C的方程为W

依题意，/+/=4,解得〃=正，故双曲线C的方程为/一丁=2.

故答案为：X2-/=2.

22

8.（22-23高二下・上海松江•期末）已知a>b>0,双曲线与=1的两个焦点为耳，F”若椭

a~h~

圆£+E=l的两个焦点是线段五6的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为_____.

a~b~

【答案】y=+^-x.

-5

【分析】由已知条件求出。与6的关系，即可得双曲线的渐近线方程.

【解析】由题意可知，双曲线的焦距是椭圆焦距的3倍，

则有Jf+Zr1=3x1a，一b，,化简得4/=5〃，则有2=日=二^,

aV55

所以该双曲线的渐近线方程为y=±芷X.

第3页共41页

^―+二一1

曲线C：1+1表示焦点在X轴上的椭恻,故C正确；

2-mw+1

_Z_JL_

对于选项D：若曲线C为等轴双曲线，且方程可整理为工+工

2-mM+1

11113

可得^—=——T，则3-+F=~~7=0»无解，

2-m加+12-/nw+1(7W+一1)(=2-/H)

所以不存在，〃仁R，使得曲线。为等轴双曲线，故D错误；

故选：C.

11.(22-23高二上,上海嘉定•期末)方程必_2)2+/+J(x+2"y2=]2,化简的结果是()

A.—+^-=1B.2+4=1C.—+^-=1D.匕+三=1

364363236163616

【答案】B

【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程，即得.

【解析】由J(x—2)2+_/+J(x+2f+y2=i2,可得点M(x,y)到定点片(2,0),6(-2,0)的距离之

和等于12,

即|明|+必玛|=12＞附用|=4,

所以动点"(")的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，设其方程为。£=1(。＞〃＞0),

则2。=12,c=2,

所以。=6,b=45/2，

故方程为刍+£=1.

3051

故选：B.

12.(23-24高三上•陕西•阶段练习)已知点力(0,1),3(1,0),点。为椭圆C：《+£=l上的动点,

43

则|24|+|P到的最小值为()

A.4+V2B.4-6C.2+及D.2-72

【答案】B

【分析】

利用椭圆的定义，得到|阿+|尸理24一|力尸|,从而得解.

【解析】

第5页共41页

因为椭圆C――+--=1♦则。=2,c=1,

43

所以4(1,0)为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为凡则爪-1,0),

由椭圆的定义得，阳|十|盟=附|+2"|所|=4+附|一|尸尸|之4-|"|,

必

B/x

所以尸为射线刈与椭圆交点时，|"|+|P8|取最小值，

此时\PA\+|PB|=4-|JF|=4-^.

故选：B

13.(21-22高二下•上海松江•期末)已知耳、尼分别是双曲线(？:今-/=1的左、右焦点，动点/＞在

双曲线的左支上，点。为圆G：f+(y+2)2=l上一动点，则|"?|+|P玛I的最小值为.

【答案】6

【分析】结合双曲线的定义以及圆的几何性质求得正确答案.

【解析】双曲线C:?—炉=1，a=2,b=l,c=&£(-后,0),乙(©0),

圆G：W+&+2)2=1的圆心为G(0,-2),半径厂=1,

尸在双曲线的左支上，|可卜俨6|=%=4,朋|=4+阳|,

所以|P0|+|P段=|「。|+|冏|+4,

根据圆的几何性质可知，|尸。|+|两|的最小值是|G用一一V^Z-1=2,

所以|"?|+|叫|的最小值是2+4=6.

故答案为：6

14.(22-23高三上•上海浦东新•期末)若实数x,y满足等式。产=1,则也的取值范围为

【答案】［-而,而］

【分析】应用三角换元有工=385。)=$足6,将目标式化为x+y=Ji6sin(8+8)且tan®=3,即可

第6页共41页

得范围.

【解析】由题设，令》=385。/=5M1。,。6[0,28），则x+j，=3cose+sin®=\A6sin（e+e）,且

tan°=3,

结合三角形函数的性质知：x4-y€[-Vi（j,Vio].

故答案为：[-而,而]

15.（22-23高二上•上海浦东新•期末）某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，

底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆（如图所示）若该同

学所画的椭圆的离心率为赵，则“切面”所在平面与底面所成的角为（）

【答案】D

【分析】根据已知条件做出截面图，根据二面角的平面角的定义及锐角三角函数，结合椭圆的离心

率公式及三角函数的特殊值对应的特殊角的即可求解.

【解析】设椭圆与圆柱的轴截面如图所示，

DE1BC,则NC0E为"切面"与所在平面与底面所成的角，设NCQE=4O<6<]

设圆柱的直径为力♦，则C3为椭圆的长轴2a,短轴为。£=2/，则

椭圆的长轴长为2。=|。0=三,cos。；：，短轴为OE=2b=2r,

第7页共41页

2_c。

所以椭圆的离心率为'=工"=7=噂=卜=sin

cos20

所以

故选：D.

题型3：直线与圆锥曲线的关系综合

16.（23-24高二上•上海•期末）已知直线/i=2..4与抛物线产=必（〃?＞。）交于48两点，且

。4_1。4（0为原点），则抛物线方程为.

【答案】/=2x

【分析】根据给定条件，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合向量垂直的坐标表示求解即得.

【解析】由Iy="2x~~,4消去X并整理得：.nt尸加=。，设场加，配M，

则为+必=；，乂刈=一2加，显然再X?="管）=4,

2'm'

由。40A-OB=x(x2+y[y2=0,R|Jx{x2+y[y2=4-2m=0,解得〃？=2,

所以抛物线方程为「=2x.

故答案为：y2=2x

17.（23-24高二上•上海・期末）斜率为1的直线/被椭圆工+/=i截得的弦长为勺2,则直线/的

4-5

方程为.

【答案】歹=》±2

【分析】设直线，：y=x+〃?，联立方程，利用韦达定理结合弦长公式运算求解.

【解析】设直线/：'=x+〃?，直线/与椭圆的交点为川外,必），Ww，%），

y=x-¥m

联立方程x,,，消去y得5/+Snix+4/7/2-4=0»

1+),，=1

则A=64〃/-20(4川-4)>0,解得-石<〃?<指,

可得丫+丫=_邈工》=4（"T

J3人］十人255

第8页共41页

由题意可得:I如府依J»牛）等g考,

解得m=±2,

所以直线/的方程为y=x±2.

故答案为：尸x±2.

18.（23-24高二上•上海•期末）己知力eR,若关于丫的方程不-x+b有两个不相等的实根，

则方的取值范围是,

【答案】

【分析】方程JjTM=x+Z,有两个不相等的实根等价于y=与V=x+b有两个交点，利用

数形结合即可求.

【解析】由题意,ynJTW7表示交点在N轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为

y=x+力表示斜率为1的一组平行线,

得3，+2反+从-1=0,

所以A=4〃-4x3x（/—l）=。，解得b=4（负根舍去）,

当两图象有两个交点时，根据图象,

纵截距方的取值范围为:

故答案为:

19.（22-23高二上•上海浦东新•期末）已知直线/经过抛物线f=32y的焦点凡交抛物线于M,N

两点，若在j，轴负半轴上存在一点r（0,/）,使得“M77V为钝角，贝h的取值范围为（）

第9页共41页

A.（-8,0）B.（-00,-8）

C.（-4,0）D.（-=o,-4）

【答案】A

【分析】求出点尸坐标并设出直线/的方程，联立直线/与抛物线方程，利用韦达定理结合向量数

量积的坐标表示求解作答.

【解析】抛物线-=32y的焦点尸（0、8）,显然直线/的斜率存在.设其方程为沙=履+8.

由门消去y得：X2-32AA-256=0,设，"（再,必）”（马,力），贝什丙=一256,

%；2=含兴=64,凹+为=$1**22］演马卜16，当且仅当|为|=|工21=16且中2<0时取等号，

TM=（Xpj^-0,77V=（x2,y2-t）,f<0,则力W*77V=%毛+（另T）（乃一f）=%毛+乂%一/（/+必）+彳

2

-r,/（>，i4.^）-192>/-16/-192,而存在一点7（0"）,使得NA/7W为钝角，

即存在一点7（0"）,使得丽.丽<0,因此“_|6一192<0，贝！。+8）（/-24）<0,即有-8</<0,

所以/的取值范围为（-&0）.

故选：A

20.（23-24高二上•上海•期末）已知中心在原点，离心率为3的椭圆的一个焦点为圆C：

%2+产-4x+2=0的圆心，点P是椭圆上第三象限内的一点，过点P作两条斜率之积为!的直线都

与圆相切时，点尸的坐标是.

【答案】（-2,-3）

【分析】先依据题意求出椭圆的标准方程，设尸点坐标为（%,%）,再设切线的斜率为勺、右，则点

斜率式写出直线方程，利用圆心到切线距离•等于圆半径分别得出关于人、心的方程，从而得到解分

别为与、心的方程，由韦达定理得结合〃/2=g，可得P点横纵坐标的关系，从而口J解出P点

坐标.

cI

【解析】圆的标准方程为（x-2>+/=2,圆心为（2,0）,所以c=2,又e=—=二,a=4,

a2

b2=a2-c2=\2,故其方程为《一亡=1,

1612

设PR）。），・%<0、儿<。，得4：4-4=，（4-1）,/2：»-1=1（工一40），

第10页共41页

柩2=；,依题意C（2,0）到4的距离为

整理得［（2-%）2-2根+2（27。）），油+只-2=0,

同理［（2-%）2-2卜+2（2-/）"2+苏-2=0,

・••不2是方程［（270『一2卜2+2（2-%）%女+火-2=0的两实根,

由％<0,故（2-一2Ho恒成立，有8［（2-％）-+*-2>0,

"-2腐-

且桃2=即火4.%+6

（2-%）~-222

代入江+红=1,有正+，亡4也+6=］,即5X：—8%—36=（）,

16121624

1V

即（5.%-18）（%+2）=。，故/=-2或%=不（舍去），

则其=豆三包=生箸=9,故%=—3或4=3（舍去）,

故P的坐标是（-2,-3）.

故答案为：（-2,-3）.

【点睛】关键点睛：本题关键在于利用圆心到切线距离等于圆半径分别得出关于尢、内的方程，从

而得到解分别为勺、&的方程，曰韦达定理得女色，结合％此=；，可得尸点横纵坐标的关系.

题型4：圆锥曲线内三角形或四边形问题

21.（23-24高二上•上海•期末）已知椭圆工+仁=1的左、右焦点分别为片、入.若P为椭圆上一点,

167

且|P用忖用=14,则”的面积为.

【答案】7

【分析】根据椭圆定义确定|尸制十|尸鸟|=8,结合条件|尸制・|尸图二14,利用余弦定理求出

N£柩二90。，进而利用面积公式求出△耳”的面积.

【解析】

第11页共41页

c=3,因为点P在椭圆上，所以有

|附|+|尸周=8,|历|.|P周=14,

在△尸46中，由余弦定理有

|可『+席『中反J（|明十斤»一2附卜明|一*『

cosZ^P/\=

21M.i叫2附卜花I

82-2x14-36

cosZ/^PF,==0,所以“牝=90。，所以△月笔的面积为:

2x14

；附冲周=7

故答案为：7

22.（23-24高二上•上海•期末）已知抛物线Uy?=2》的焦点为产，准线为/,经过点/且斜率为百

的直线与抛物线交于点M（M在工轴上方），过M作垂足为N,则M到直线Nb的距离

为.

【答案】S

【分析】分析可知AMN尸是等边三角形，求出该三角形的边长，即可求解.

【解析】设直线/交x轴于点A,因为直线〃户的斜率为石，则该直线的倾斜角为T，

由抛物线的定义可得|“可=|四|,易知WN//x轴，则==,|』/|二1，

J

所以r是等边三角形，

第12页共41页

,\AF\_

=2

则==巴，所以用"=-nf

3cos—

因此，点M到直线N厂的距离为2xsin^=6.

故答案为：出

23.（23-24高二上•上海•期末）已知点尸为双曲线土-5=1右支上一点，片，鸟分别为双曲线的左、

109

右焦点，/为△尸片用的内心，若=S△*&+/5例乃成立，则义的值为.

4

【答案】-/0.8

【分析】由条件结合内心的定义及三角形面积公式可得;二再根据双曲线的

乙乙

定义化简可求人

【解析】设△尸耳入的内切圆半径为小

由双曲线的定义得归制-|「周二2区|"周二2。

S〃PF'=；|PE”，S‘%=3""，5"再=；・2c・/="

由题意得5尸片"=；|尸工卜〃+3,

|尸周一|?用。

故2=

22

2。c,Ja+b

又双曲线巳-4=1的a=4,b=3,

169

4

代人上式得：A=1,

4

故答案为：

24.（23-24高二上•上海青浦•期末）已知双曲线二-与=1e＞。＞0）的左、右焦点分别为月、区,

ab

过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点儿若△力EE的内切圆半径为《，则双曲线的离

第13页共41页

心率为.

【答案】1/1.5

【分析】设的内切圆圆心为/,结合双曲线定义可求得〃为双曲线的右顶点，设做M=B,

则N/1用A/=2。，利用二倍角正切公式可构造关于a，c的齐次方程，解方程即可求得离心率e.

【解析】设A/K6的内切圆圆心为/，且与三边相切于点O，M,N,

山内M=|6M，

由双曲线定义知：|，6|T力5|二加，

胡卜卜玛|=|耳OIT/MT耳MT玛”1=2%又|耳时|+内M=2c,

「.|KM=a+c,后M=c-a,为双曲线的右顶点，即/的横坐标为“，

又△"；鸟的内切圆半径为

设N/M=6>,则乙4gM=2。，

b

\IM\5b

tan0=7——-^―=------>

|MF,|C-a5c-5a

因为力乃与双曲线渐近线平行，且双曲线渐近线方程为y=±-x

at

所以tan26=_tan（乃一20）=-kAF>=—,

2b

b2tan。5c-5a

:222

,-fi-i-tan6>h，整理可得：2c-5ac+3a=0,

25（c-a）'

33

2e2-5e+3=0,解得：e=l或e=u，又e>l,/.6=7.

22

YM

Pi]0F<

M2

3

故答案为：

2

25.（23-24高二上.上海•期末）已知抛物线「：/-8》的焦点为F,经过F的直线/与抛物线r交于

第14页共41页

48两点，设点"在抛物线的准线上，若△,，以8是等腰直角三角形，则|力却=.

【答案】，25或8

【分析】根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，分别对直角顶点进行分类讨论，利用三角形相

25

似以及焦点弦公式列方程即可解得的取值为:或8.

【解析】如下图所示：

易知抛物线「:/=8x的焦点为F|2,0）,准线方程为x=-2,

设直线/的方程为x=/〃y+2,4（6,乂）,占（工242），2（-21）,设44的中点为N（X。,%）；

联立直线与抛物线方程可得-8殁-16=0,显然A>0,

则弘+8=8〃?,乂必=T6,则为=M=勘?,7=恤+2=砺J+2；

2

可得|=.¥）+x2+4=〃?（必+%）+8=8w+8,

因为△M48是等腰直角三角形，当点A为直角顶点时，

过点A作x轴的垂线"蜴，过点〃作比$_1.」%用，垂足为过点“作垂足为反，

如下图所示：

易知|48|=|M4|,NMMiA=NBB]A=90\4MM=90°-NM4%=/8叫,

所以—BAB1,

可得MM|=|明|=归一句,\MM\=\AB\=\yx-y^t可得一2+必一y2=x,；

]6,

又y；=8$，yl+y2=^n,yiy2=-\6,所以-2+必+—

乂8

即左包=2£誓，解得乂=8,可得必二-2,加=:,

M84

第15页共41页

所以|力司=8加2+8='；

75

同理可得当点8为直角顶点时，|力盟=亍：

当点M为直角顶点时，点M在以为直径的圆上.，如下图所示:

易知线段AB的中点为N（4〃J+2,4时,

可得以|力用为直径的圆的方程为1-4/-2『+（j，-4/〃『=（4〃/+4丫，

当工=-2时，解得y=4〃？；

即以（-2,4〃?），此时MV与x轴平行，

又是等腰直角三角形，所以即直线/与工轴垂直，

显然此时机=0,N（2,0）,|MN|=4，Ma=8满足题意：

故答案为：，25或8

【点睛】方法点睛：求抛物线中弦长问题时往往利用焦点弦公式，利用韦达定理以及等腰直角三角

形性质，根据圆周角性质列方程可得结果.

26.（22-23高二上•上海浦东新•期末）已知点P是椭圆片+《=1上一点，点耳、鸟是椭圆上、下

459

焦点，△片尸乃有一个内角为与，则△£/>&的面积为（）

A.36或9nB.6/或96

C.96或;（而+G）D.9/或：（而一6）

【答案】D

【分析】分/£勿>牛、=NP/W会三种情况讨论，利用余弦定理、椭圆的定义

以及三角形的面积公式可求得鸟的面积.

第16页共41页

【解析】在椭圆匕+上=1中，a=3也，6=3,贝曙=5方=6，

459

设1,用="［，1'用=〃，则机+〃=/=6，^,

由余弦定理可得cos/用岑=心〃、（左建伽+〃）2-皑一勿〃「上L

2mn2mn2mn

36।18］、18,18,3

=--------1=-------1>-------------1=1=—―

2ninmn（〃？+〃）-455,

当且仅当〃?=〃=3石时，等号成立，即当点尸为椭圆短轴的端点时，以”取最大值，

口/ZTDf且-U/±-UT2兀a”/CDC-TI、I而2加

且坨F九的最大值大于彳，所以，4”可以取7，

当/月尸£=」时，cosZ^P/^=可得阳〃=36,此时=-〃?〃sin'二96；

3'mn21'23

当/小E—4时，由余弦定理可得cs/叼工=叫粤巾£=巴以"曰一_L,

3-2|尸/讣何2/nxl22

因为〃?>0,解得〃「士丝），此时%呜=如殖耳廓=可一一网；

4234

当NP66=多时，同理可得£=呸竺二£1.

3△户1明彳

综1_所述，sj（岳一⑴或96

4

故选：D.

22

27.（22-23高二上•上海浦东新•期末）已知椭圆C：=+4=1（〃>6>0）的左、右焦点分别为耳、6，

ab

过钙的直线与椭圆交于M、N两点，若△MW'K的周长为16,离心率e=g,则面积的最大值

为（）

A.12B.2百C.473D.86

【答案】A

【分析】根据给定的离心率及三角形周长，求出椭圆方程，再设出直线的方程，与椭圆方程联

立求解三角形面积即可.

【解析】依题意，△例"周长|"6l+|MN|+|NE|=|ME|+|MG+|N£|+|NE|=4a=16,解得

a=4,

第17页共41页

而椭圆的离心率e=；,贝lj其半焦距c=%=2,因此从=/—c2=i2,

椭圆C—+^-=1,£（-2,0）,显然直线A/N不垂直于y轴，设其方程为*=夕-2,

1612

x=ty-2,,

由、2二2,。消去x得：（3r2+4）/-12（y-36=0,设%*方）,可（七,外），

3x~+4y=48

me.⑵36

则有必+%=仃叩2=一='

r------r-；----II44/2144-24717+124

Ii1=心+必）--4"2=后不尸仃=亍工十二匚，

令〃=7?7T21，函数3〃+，在［L+8）上单调递增，因此当，=0时，3"i+7『取得最小值4,

uVC+1

即1%-为1mL6,AMNE的面积尸尸2川月-为区34乂6=12，当且仅当MN_Lx时取等

号，

所以面积的最大值为12.

故选：A

题型5：平面向量与圆锥曲线

28.（22-23高二上•上海长宁・期末）已知直线x二a与双曲线］一£=1的两条渐近线分别交于M,

crb~

N两点，P为该双曲线上的任意一点，设。为原点，而=〃?而+〃丽，〃?，〃为实数，则——的

〃"？

值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】求出双曲线渐近线方程，得到M,N点坐标，进而得到。（〃以+，以，，汕-泌），代入双曲线

方程，即可得出结果.

【解析】由已知可得，双曲线的渐近线方程为夕=±。.丫，

a

代入x=。可得歹=幼，不妨设N（a,-b）.

由丽=mOM+nON=〃?（。，b）+n（a,-b）=（ma+na,mb-nb）t

可得P（ma+na9mb-nb）.

第18页共41页

因为，点尸在双曲线上，有（〃空Ml"叱*,

a1b2

即+-=1,所以4m〃=l,所以=4.

mn

故选：D.

29.（22-23高三上•上海浦东新•期末）已知/为抛物线/=4工的焦点，A.B、。为抛物线上三点，

当成+而+定=0时，则在点力、B、C中横坐标大于2的有（）

A.3个B.2个C.1D.0个

【答案】D

【分析】首先判断出点尸是△川5C的重心，根据重心坐标公式可得占+&=3-X，必+月=-必，结合

基本不等式，可得出尸02（4+炉），结合抛物线的定义化简得出22,同理可得

可得答案.

【解析】设力（％,乂）,8（工2，8），。（工3，%），先证x142,

由成+而+方=。，则点Q是一灰?的重心，

由户（1,0）,>+；+♦,1,乂+'+乃=0,则％+5=3-$,必+%=一乂，

（%+%『=W+%2+2y必W2（4+W）,当且仅当％=当时等号成立，

・'•J；W2（%2+为2），则•'”号_42（号-+号,即X]42（々+》3）,

由了2+七=3一芭，则再工2（3—玉），•'•王工2,

同理可得工242,巧42.

故选：D.

30.（22-23高二下・上海松江•期末）已知?是抛物线。:/=》的焦点，A,4是抛物线。上的两点，

O为坐标原点，则下列说法：①若直线/出过点R则|力同的最小值为1：②若88'垂直。的准线

于点4',且网=2|四，则四边形。加周长为21③若方•砺=-；则直线”恒过定点佶,o]

44\2）

其中正确命题的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

第19页共41页

【分析】当48/X轴时M却最小可判断①：根据抛物线的定义可知|即|=|劭1=；,设8*与y轴的

交点为。，求出四边形。心"的周长可判断②；联立直线48与抛物线方程，利用韦达定理代入

______1-

彳可得/,可得直线48恒过定点可判断③.

【解析】对于选项①，若直线过点尸，则当轴时，|力用最小，且最小值为1,①正确；

对干②，由题意知|"1=；，

因为忸*|=2］。同=；,所以忸用=|班又BB'HEF,BBUEK,所以四边形8方所是矩形,

设阴与V轴的交点为。，易知|。。|=|阴=|网=；，忸年；，

故I网=协而手

所以四边形"方"的周长为!」冲，②错误;

对于③，设直线力4：元=〃沙+，,力■，必）,8（5必），

联立直线月4与抛物线方程得/-mj，T=0,则乂%=一匕所以方丙=%*=/，

由万・丽二'可得中2+J仍=—，即5解得，=!，

4442

故直线48的方程为》=〃9+；,即直线48怛过定点③止确.

故选：C.

题型6：圆锥曲线解答题综合

31.（23-24高二上•上海•期末）已知双曲线。:二-/=］，。为双曲线。上的任意点.

4

⑴求双曲线C的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小：

（2）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.

第20页共41页

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【分析】

（1）利用双曲线的性质，结合向量夹角公式或直线的夹角公式计算即可;

（2）利用点到直线的距离结合点在双曲线上化简即可.

【解析】（1）双曲线的渐近线方程为卜=±3%工+2卜=0和x-2j，=0,

法一：在两渐近线.上分别取点（2,-1）,（2/），

|2x(-2)+lxl|

=|，，渐近线的夹角为arccos^；

则COS°=-r=T一尸彳=:

V22+l2x7(-2)2+l2J3

2x—[4

法二：1an"/==，，夹角为arctan?；

「力3

（2）设尸（演,乂）是双曲线上任意一点，由（1）及点到直线的距离公式可知:

该点到两条渐近线的距离分别是丘沙和邑咨，

V5V5

♦••尸&，乂）为双曲线C上的点，，点P的坐标需要符合双曲线。的方程，

即：d-4"4,

...它们的乘积是号53M=江等=]

，5\J555

点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是•个常数.

32.（23-24高二上•上海青浦•期末）已知点M（用,4）在抛物线「：犬=2勿（〃>0）上，点尸为「的焦

点，且|M?|=5.过点尸的直线/与「及圆/+（y_i『=i依次相交于点儿B,C,D,如图.

第21页共41页

⑴求抛物线「的方程及点M的坐标；

（2）证明:|4叶忸。|为定值；

【答案"1）炉=4y，“（4,4）或〃（-4,4）

（2）证明过程见解析

【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式结合条件即得；

（2）求出抛物线「的焦点坐标，设直线/夕的方程为y=&+l,与抛物线方程联立，用一元二次方

程根与系数的关系，结合抛物线定义可证明忸以为定值.

【解析】（1）因为点加（见4）在抛物线「：一=2Q（〃>0）上，点尸为抛物线的焦点，且|加E|=5,

所以：4+y=5=>p=2.

所以抛物线「的方程为：工2=4户

由阳2=4x4=16=/〃=±4,

故M点坐标为：（4,4）或（-4,4）.

（2）由（1）知：尸（0』），显然直线/的斜率存在，所以设直线方程为：j，=h+l,

\y=kx+\

由<2/=/-4米一4=0,

=4y

设N（x”必），8（孙必）,

贝I」石+x2=4〃，Xj-x,=-4

由抛物线的定义得：|4尸|=必+1,忸尸上必+1,

所以：|佝忸*（|仍-1乂网-1）==噂=上"=1，

1616

即|何加为定值1.

第22页共41页

33.（23-24高二上•上海•期末）在平面直角坐标系x。，中，已知点尸（0,1）,直线/：>=.P是平面

上的动点，过Q作直线/的垂线，垂足为。，且满足炉•炉=而屈.

⑴求点P的轨迹方程；

⑵记点P的轨迹为曲线C,过点「作直线机，与曲线C交于48两点，求证：宓•丽为定值.

【答案】⑴/="

⑵-3

【分析】（1）设&“，），根据行•5=所•忌，代入P（x,y）化简求解轨迹方程即可；

12=4”

（2）设直线，〃的方程为丁二息+1,设力（不必）,以居,必），联立方程组M,得到韦达定理形

y=kx+l

式，最后表达出8.丽，求解即可.

【解析】（1）设尸（xj）,则。3-1）,且F（0,l）,

因为切•/=而方，所以0（-幻+2（y+1）二y一2Q-1）,即W=4y,

所以点尸的轨迹方程为：』=4y,