2024-2025学年云南省普洱市某中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

20242025学年云南省普洱市景谷一中高一(下)期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4=>1},则(CM)CN・=()

A.{1}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}

2.作用于原点的两个力瓦=(1,1),72=。3),为使它们平衡，需加力73等于()

A.(3,4)B.(1,2)C.(-3,-4)D.(2,3)

3.函数f(x)=2x的值域是()

A.(-co,0)B.(0,4-oo)C.(1,+co)D.(-co,+oo)

4.等比数列｛%J的前n项积为"，[=512,则。3+劭的最小值是()

A.2B.2/2C.4D.4心

.在△力中，/-BAC=。在边上，LDAC=AB=AC=则力

5BC3BC62V3,D=()

A.浮B.1C.2D.73

6.在平行四边形力BCD中，近=2前，则访=()

A.；而+薄B.源+粹C.那一薄D.^BE-^CE

7.ZM8C中，a=2/3,b=2,则。=()

o

A3B2

8.设sin。-cosO=冬则sin2J=()

A]B.i

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知随机变量X服从正态分布N[0,2),定义函数/(乃为X取值入超过无的概率，即/(%)=P(X<x),则下

列说法正确的有()

A.f(0)=1B./(l)+/(-l)=l

C./(%)在(一8,+8)上是增函数D.3xERf使得f(2x)=2f(x)

10.如图，在四边形4BCD中，AB+AD=AC^\AD\=2\AB\=2，AB-AD

F

AD=1，E为CD的中点，与DB相交于尸，则下列说法一定正确的是()E

A.AF=^AB+IADB.而在同上的投影向量为6产------------^c

C.AF-AB=1D.若a=；4Z)EF,则£cma=?

II.假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型

记智力曲线为/,情绪曲线为从体力曲线为P，且三条曲线的起点位十坐标系的同一点处、均为可向右延

伸，则()

A.智力曲线/的最小正周期是三个曲线中最大的

B.在出生起180天内，体力共有7次达高峰值

C.第94天时，情绪值小于15

D.第62天时，智力曲线/和情绪Itt线E均处于上升期

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设命题p：Bx0ER,诏+以。+。W0.若p为假命题，则实数a的取值范围是____.

13.若G为△48C的重心,BG1CG,则cos力的最小值为

14.设向量苍=(3,x),b=(y,9),且五〃石,则xy=____.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知力、B、C分别为△4BC的三边a、b>c所对的角，向量沆=(si?L4,si九B),五=(cosB,cos4),且沆•

n=sin2c.

(1)求角C的大小：

(2)若sim4,sinC,sinB成等差数列,且石5♦(彳？—而)=18,求边c的长.

16.(本小题15分)

△的内角4B,C所对的边长分别为a,b,c,sin2^-sin2C=sinA(sinA-sinC).

(1)求8；

(2)设BD是AC边上的面，且8。=2,求AABC面积的最小值.

17.(本小题15分)

己知某函数/'(%)=(m2-5m+5枕巾-2的图像关于点(o,o)对称.

(1)求该累函数f(%)的解析式；

(2)设函数g(x)=|/(x)|,在如图的坐标系中作出函数g(x)的图像;

(3)直接写出函数g(x)>1的解集.

18.(本小题17分)

已知向量五=(1,%),b=(2,3).

(1)若3方JL0-W，求—百；

(2)若寸=(—3,—4),b//(a+c),求3方+衣与五的夹角的余弦值.

19.(本小题17分)

已知函数/'(x)=yfbsinxcosx->J_2s\n2x+与,

(1)求/(x)的单调递减区间：

(2)若工£[-外刍，关于％的不等式时G+5+f(x+勺24合恒成立，求实数机的取值范围.

【解析】解：如图：因为="=^BAC=ln,乙。“屋,

所以乙84。=*

在Rt/MBD中，AD=ABtan^=2y/lx^-=2.

65

故选：C.

由题意可得△/180为宜角三角形，在三角形中可得力。的大小.

本题考查三角形的运算性质的应用，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：画出图形，如图所示：

vAB=-CD，

：.CD=CE-1~CD+^BE,

.'.^CD=CE+^BE,

•・・・・・♦/―“•・•1・・・・・

：.CD=^CE+^BE.

故选：A.

根据向量的线性运算法则求解.

本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：因为。=20.B=£h=2,

O

所以由正弦定理得：急=焉

所以$出力=竺臀=半=?,

b22

因为a>b,所以万>4>8,所以4=2或与，

所以C=n—A—B=］或也

故选:c.

由正弦定理可求得sEA,从而求得人再由三角形的内角和定理即可求得.

本题考查正弦定理的应用，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解:sincos

由。-。=学•J,

平方可得(sin。—cosO)2=sin26+cos'8—2sin6cos0=1—sin20=

解得sE26=

故选:A.

根据题意，利用三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解.

本题考查同角函数关系，二倍角公式，属于基础题.

9.【答案】ARCD

【解析】解：因为随机变量X服从正态分布N(0,2),则该曲线的对称轴为〃=0,

则/a)=p(xwo)=J,故人正确；

又/(I)=P(X<1),/(-I)=P(X<-1)=P(X>1),

则/(1)+/(-1)=1，故8正确；

根据正态分布曲线的性质，当x增大时.，f(x)也在增大，则“幻在R上为增函数，故C正确;

f(2x)=P(X<2x)<1,

2/(%)=2P(X<x),

当x<0时,/(%)=P(X<x)<i,则2/(%)<1,

故我€/?,使得/(2%)=2/(%),故。正确.

故选：ABCD.

根据正态分布曲线的性质可解.

本题考查正态分布曲线的相关性质，属于中档题.

1().【答案】ABC

【解析［解：在四边形力BCD中，因为方+而=而，所以四边形力8CD为平行四边形.

又|而|=2|四|=2,AB-AD=1,所以48Ao=60°.

对于4AE=AD+~DE=AD+

设不=XAE=A(AD+^AB)=AAD+^AB,

因为B,F,。三点共线，所以4+1=1,解得2=弓,

所以而另而+,而，故选项4正确；

对干B,设静与荏的夹角为6,因为丽=而一宿,

^VXBD2=(ADAB)2=3,所以BD=|前|=V3,

在AA80中，因为48=1,AD=2,BD=G

所以402=482+8。2,所以80JLA8,即6=90。，

所以前在而上的投影向量为|而|cos。­=0x^=0,故选项B正确;

对于(，由题意，

_,_,]__,2—.—,

AF-AB=(5荏+c而)♦荏

OJ

1——.22——-----

="xAB+^ABaAD

oo

=；+,xl=l,故选项C正确;

oo

对于0,I而|=向/+《同同同=子,

/而_

则cos4F8/l=1_/21

\AF\\AB\一享一〒

若正"。=苧，则a=30°,又因为a=：匕。£尸=J4R4B=30。,

所以乙凡48=2a=60。，不满足cossz＞凡48=故选项。不正确.

故选:ABC.

首先判断/BCD为平行四边形，两邻边及其夹角可以确定，在此基础上，利用平面向量数量积的性质及其

运算，分别判断选项的正误即可.

本题考查平面向量的线性运算及数量积的性质，属中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,智力曲线/的最小正周期为33天，智力曲线/的最小正周期是三个曲线中最大的，故A正确;

对于B,体力曲线P的最小正周期为23天，7.5〈翳＜8,所以在出生起180天内，体力共有7次达高峰

值，故B正确;

对于C,情绪曲线E的最小正周期为28天，所以第84天情绪值为10,第91天情绪值为20,而94-91=3V

3.5,所以第94天情绪值大于15,故C错误；

对于。，智力曲线/的最小正周期为33天，而1.75〈冒V2,则第62天，智力曲线/处于上升期，2<^<

Zo

2.25,所以第62天，情绪曲线E处于上升期，故。正确.

故选:ABD.

根据图像及正弦曲线的性质即可得出结论.

本题考查函数图象的分析，注意函数的周期性，属于基础题.

12.【答案】（0,4）

【解析】解:因为命题p：3x0GRf瑶+QXo+Q40为假命题，

则VxER,x2ax+a>0为真畲题，

所以a?-4a<0»

解得0<a<4,

故答案为:（0,4）.

由题意得VxER,%2+。％+。>0为真命题，然后结合二次函数的性质可求.

本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属「•基础题.

13.【答案】1

【解析】解：如图：令萧二五,沅=方，且它们的模长分别为a,从夹

角为90。，

则通=彩+旗=2话+前=21+方，同理而=2方+1，

所以|彳月|=］（2々+万）=八次+炉,|玄|=V4b2+。2,AB，AC=

(2a+b)-(a+2b)=2a2+2Z)2>

.ABAC2a2+2/2(a2+b2)2z-x

,.cosA=,——•.=,=।,=...⑴

或伊网仍C|J(4a2+b2)(4b2+a2)J4(a2+b2)2+9a2b2J们(产彳会，

、24

因为。2+〃22帅，所以(a?+〃)224a2b2,当且仅当Q=b时取等号，故①式之扃=M，

即cos4的最小值为之

故答案为：卷.

令丽=五，瓦=石，且它们的模长分别为a，b,夹角为90。，以此为基底向量，表示出cosA的值，然后借

助于基本不等式求解.

本题考查数量积的运算以及基本不等式求最值，属于中档题.

14.【答案】27

【解析】解：因为向量2=(3,x),b=(y,9),且五〃

所以3x9—％y=0,

即xy=27.

故答案为：27.

根据平行向量的坐标关系求解.

本题主要考查了平行向量的坐标关系，属于基础题.

15.［答案】解：(I)沆♦4=sinA-cosB+sinB-cosA=sin(/I+B)

在AABC中,由于sin(A+8)=si，C,•••沅•亢=siziC.

又••沅•元=sin2C,:.sin2C=sinC,2sinCcosC=sinC

又sin。H0,所以cosC=；,而0VCVTT,因此C=g.

(II)由sim4,sinC,sinB成等差数列，得2sinC=sim4+sinB,

由正弦定理得2c=a+h.

•••CA-(AB-AC)=18,-.CA-CB=18,

即abcosC=18,由(I)知cosC=；,所以ab=36.

由余弦弦定理得=a2+b2-2abcosC=(a+b)2—3ab,

•••c2=4c2-3x36,

•••c2=36,

•••c=6.

【解析】(【)根据万和否表示出据访•元求得沅-n=s出。.进而根据已知可推断出sin。=sin2C,进而根据二

倍角公式求得cos。的值进而求得C

(H)由sinC,成等差数列，可推断出2sinC=sinA+s出B,进而利用正弦定理把角转化为边的

问题，进而根据石5•(南一元)=18求得abcosC=18,最后由余弦定理求得C.

本题主要考查了余弦余弦定理，平面向量积的运算.考查了学生综合分析问题和运算能力.

16.【答案】解：(1)因为siMB—siM。=sin4(sin4一sinC),

所以由正弦定理得从-c2=a(a-c),

可得a?+c2—b2=ac,

由余弦定理得cos8=———=

因为BG(0,兀)，

所以8=看

(2)由已知得SM8c="x2=|acsin^,

即&—苧ac,

4

由(1)知坟=a2+c2—ac>

因此2c2=a2+c2—ac,

lo

而/+。2-ac岂QC,当且仅当Q=C时取等号，

则4a2c2>aCt

lo

于是QC>苧，

+4/3

故hSc-8C=~ac

所以△ABC面积的最小值为手.

J

【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式在解三角形中的综合应用，

属于中档题.

22

(1)由正弦定理化简已知等式可得Q2+c-b=ac,由余弦定理得COS"的值，结合9G(0,7T),即可求解9

的值.

(2)由已知利用三角形的面积公式可求得匕=^QC,由(1)及基本不等式可求acN与，进而利用三角形的面

积公式即可求解.

17.【答案】/(x)=%T=3.

图像见解答；

(-1,0)U(0,1).

【解析】(1)因为f(x)=(m2-5m+5口相-2是幕函数，

所以zn?—57n+5=1,解得m=1或m=4,

当ri=1时，函数/(X)=:定义域是(一8,0)u(0,4-co),

易得/'(X)是奇函数，图像关于原点对称，则m=l满足题意；

当m=4时，函数/(x)=/是R上的偶函数，图像关于y轴对称，关于原点不对称;

综上：/(x)=X-1=

(2)因为函数g(x)=向，定义域为(-8,0)u(0,+oo),

且9(一幻=占=七=9(%)，

所以g(x)是(一8,0)U(0,+8)上的偶函数，

当”>0时，g(x)=g在(0,+8)上单调递减，

作出函数9(%)在第一象限的图像，再将其关于y翻折即可得g(%)在定义域上的图像，如图,

(3)观察(2)中图像可得，

g。)>1的解集为(-1,0)U(0,1).

(1)根据第函数的定义与性质分析求解；

(2)根据题意可得g(x)=七，分析g(x)的奇偶性和单调性，进而作图；

(3)根据图象解不等式即可.

本题主要考查了寻函数定义及性质的应用，属于基础题.

18.【答案】解：(l)F113b1(a-b),得3九(五一月)=0,整理得：ab-b=0,

因为五•8=2+3%,b=22+32=13,所以2+3%-13=0,解得％=4，

所以五=(1片)，a-b=(-l,|),

所以|五一6|=Jl+(|)2=空;

(2)由题知,a+c=(-2,x-4),

因为3〃0+初，所以一2x3—20-4)=0,解得x=1.所以日=(1,1),

又+下=(3,5),所以cos<3b+c,a>=吸+?；=与;，

\3b+c\\a\1/

所以35+5与Q的夹角的余弦值为书.

【解析】(1)根据向量垂直的坐标运算求出，再根据向量模的坐标运算可得结果；

(2)根据向量平行的坐标运算求出x,再根据向量夹角的坐标运算可得结果.

本题考查平面向量平行于垂直的坐标表示，数量积于夹角，属于中档题.

19.【答案】解：(l)f(x)=y/~6sinxcosx—V^sin2x4-苧

今收一房号^+苧

=:sin2x+苧cos2'=\/-2(^sin2x+|cos2x)=V^sin(2x+1),

令+2kn<2x+YW当