2025年人教A版新高一数学暑假专项提升：集合的基本运算（5个知识点+6个考点+过关测）

第03讲集合的基本运算

厮内容导航一预习三步曲

第一步：学

析教材学知识教材精讲精析、全方位预习

教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识6大核心考点精准练

第二步：记

思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

8析教材学知识

⑸知识点1并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：AUB读

作：“A并B”，即：AUB={x|xeA,或xeB};

AUB

性质：①AUA=A②AUO)=A(3)AUB=BUA

@AcAUB,BcAUB⑤AUB=BoAjB

®知识点2交集

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：AAB,读作:

“A交B"，即AAB={x|xeA,且xeB}；

交集的Venn图表示：

AABB

性质：①AAA=A②An«D=①③AnB=BCA

④AABqA,AABcB⑤AnB=AoA^B

®知识点3全集与补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常

记作U.

补集：对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于

全集U的补集(complementaryset),简称为集合A的补集，记作：G/“即回、e。且K右"｝；

补集的Venn图表示：

性质：①CuU=(D②CuO)=U③Cu(CuA)=A

④(CuA)nA=«D⑤(CuA)UA=U

@Cu(AnB)=(CuA)U(CuB)⑦Cu(AUB)=(CuA)n(CuB)

⑸知识点4容斥原理

把含有限个元素的集合A叫做有限集，用Card(A)来表示有限集合A中元素的个数。

一般的，对任意两个有限集合A,B有card(Au=card(A)+card(5)-card(Ac_B).

⑸知识点5区间及其相关概念

设a,b是两个函数，而且a<b,我们规定：

(1)满足不等式aWxWb的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］;

(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b);

(3)满足不等式aSx<b或a<xSb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为［a,b),(a,b］；

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。

实数集R可以用闭区间表示为(-co,+00),“00”读作“无穷大”，“-00”读作“负无穷大"“+00”读作“正无

穷大”。

满足xNa,x>a,x<b,x<b的实数x的集合,可以用区间分别表示为［a,+co),(a,+<»),(-8,b］,(-oo,b)。

解题方法

由A={x|x<。或x25},得

教材习题01

已知集合A={x|x<0或X、5},B=［X\X>2T^,则

由3={巾22兀},得

3KA与3KB的关系是_____.

%5={小<2兀}

所以\B.

［答案］\B

解题方法

教材习题02已知M=同%>1},N={x%<-”，

已知集合/={*卜21},N={x[x<-1},则

贝UMuN={巾<-1或%>11，

Q(MUN)=_____.

则％(MuN)={%—”％<1}.

【答案】•

解题方法

图形I表示的集合为AcBcC；

图形II表示的集合为

教材习题03Ac3c@C)；

如图，三个圆形区域分别表示集合A,B,C.请用集

图形in表示的集合为ancn@8)；

合U,A,B,C分别表示图中I,II,III,IV,V,

图形w表示的集合为3「。口(2人)；

vi,vn,VDI八个部分所表示的集合.

图形V表示的集合为

an(稠)n(〃c)；

图形VI表示的集合为

cn(枫)n(㈤；

cClL/VIII

图形vn表示的集合为

sn(^)n(yc)；

图形VDI表示的集合为e(AUBUC).

【答案】见解析

考点一交集的概念与运算

1.若集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+leA）,则（）

A.{1,3,4}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4,9}

【答案】C

【详解】依题意得，集合3中的元素x满足x+l=l,2,3,4,5,9,则x的可能取值为0,1,2,3,4,

8,即3={0,1,2,3,4,8},所以AcB={l,2,3,4}.

2.已知集合4={-2,1,2,3,4},B={0,l,2,4},则AcB的真子集个数是（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】C

【详解】因为集合4={-2,1,2,3,4},8={0,1,2,4},则人口3={1，2,4},则集合AcB的元素个数为3,

所以AcB的真子集个数是23-1=7,

故选：C.

考点二并集的概念与运算

1.已知集合4="|-1<彳<1},3="|04》42},则AU3=（）

A.{x|-l<x<2}B,{x|0<x<2}

C.{X|0<%<1}D.{x|-l<x<2}

【答案】D

【详解】由题意可得AUB={x[T<xW2},

故选：D

2.设集合A={-2,3},B={-3,-1,0,4},则AU3的元素个数是（）

A.9B.8C.7D.2

【答案】C

【详解】由题意可得4。3={-3,-2,-1,0,1,3,4},则AU3有7个元素.

故选：C.

3.已知集合4={》|一1<》<1},B={xlO<x<2],则AU3=（）

A.[x\-l<x<2}B.{x|-l<x<2}C.{x|0<A:<1}D.{x|0<x<2}

【答案】B

【详解】因为集合4={尤1-1<》<1},B={A|0<%<2},所以AU3={X[T<XW2}.

故选：B.

4.设集合4={尤|无2-5尤+6=0},8=卜卜-1厅+4尤一8=。},若AU3=A，则实数°的取值范围为.

【答案】“卜或"=11

a—IwO,1

【详解】A={2,3},且8为A的子集.当3=0时，]=42+32（°_1）<0'解得.当BN。时'若"一1=°'

即a=l,止匕时（。一1万2+4%-8=0的解为x=2,即3={2},符合题意.若a—I/O,即。片1,当

A=42+32（O-1）=0,即a=g时，此时+4x-8=0,即（x-4『=o,解得x=4,即3={4},不符合题

意；当A=4?+32（a—1）>0,即时，由此时集合3={2,3},^2+3=--,解得。=！，与矛

2Q—152

盾，不符合题意.综上所述，实数a的取值范围为或4=，.

考点三补集的概念与运算

1.设集合S={x|x为平行四边形},A={x|x为菱形},■Bulxlx为矩形},贝呵（人口8）=（）

A.{x|x为正方形}B.{x|x为菱形或矩形}

C.{x|x为不是正方形的平行四边形}D.{x|x为不是平行四边形的四边形}

【答案】C

【详解】An3={xix是正方形},。（4口8）={刈工为不是正方形的平行四边形}.

2.已知全集"={-3,-1,3,4},集合A满足加入={-3,4},则A=（）

A.{-1,3}B.{-3,—1）

C.{1,-3}D.{1,3}

【答案】A

【详解】Vt7={-3,-l,3,4},V={-3,4}.AA={-1,3}.

故选：A.

3.已知全集。="|工44},集合A={x[—2<x<3},B={x|-3<x<2},则用（Ac3）=,

【答案】{x|x<-2或2<尤<4}{x|x<2或3Wx<4}.

【详解】{x|x42或34x44}利用数轴，分别表示出全集U及集合A,B,如图：

产同I一

-3-2-101234%

贝”aA={x|x4-2或3VxM4}.又Ac8={x|-2<x42},所以a(4h3)={刈犬<一2或2<x44},

(dA)UB={x|x<2或34％44}.

考点四交并补的混合运算

1.已知全集。={1,3,5,7,9},尸={1,3,5},0={3,5,7},则(痛P)U(。Q)=—.

【答案】{1,7,9}

【详解】全集。={1,3,5,7,9},。={1,3,5},。={3,5,7},则游={7,9},园={1,9},

所以(铲)U(ye)={1,7,9).

故答案为：{1,7,9}

2.已知全集。={x|尤<4},集合4={x|-2cx<3},B={.r|-3<%<2},求Ac3,0A)u8.

【答案】ACB={X|-2<XW2},(gA)ug={x|x42或3WXW4}

【详解】因为集U={xb44},集合A={x|-2Vx<3},B={x|-3<x<2},

所以Ar\B={x\—2<x<2]

dbA={x\x^：-2^l3<x<4}

A)uB={x|x<23<x<4}

3.3知集合A={尤|-3vxv4},B={x\Aa<x<a+3],

⑴若。=-1,求AcB,Au&B)；

(2)若集合5是集合A的真子集，求实数。的取值范围.

【答案】(l)Ac3=(—3,2),他3)=(F，T5—3,E).

(2)一'|,+00].

【详解】(1)若a=—l,B=(T,2),\B=(-«,T]32,4W),

所以Ac3=(—3,2),AD(03)=(FT]3—3,E).

(2)♦"♦A,

①当3=0时，止匕时4a2a+3,即a21；

②当时，此时4a<a+3,即a<l,

f—344a3

则且两个不等式不能同时取等，解得

[a+3<44

综上，实数。的取值范围为一

4.已知。为实数，集合4={1,4—6/,“2一6},8={尤|(%—1)(尤一4)=0},全集U=Au3.

⑴若a=。,求(瘵4)口(*)；

(2)若3=3,求实数。的值.

【答案】⑴(枫)口(心)={0,4,-6}；

⑵oe{l,-2,2}.

【详解】(1)因为a=0,所以A={l,4,-6},3={l,0},U=AuB={0,l,4,-6},AcB={l},

所以(瘵4)°(a)=莅(Ac3)={0,4,-6}.

(2)当a=l时，A={1,3,—5},8={1},满足4与3=3,所以。=1成立；

当awl时，A={1,4—a,0r—6},B={l,a},可得4—aw/—6且4—a片1且—6,

得aw]±^/^,且。/3,且aw土币,

2

因为满足人。3=3,所以BuA,

所以a=4—a或。二片-6,得a=2或a=—2或a=3(舍去)，

所以a=2或。=-2；

综上，a=l或a=2或。=一2；

考点五容斥原理的应用

1.高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该

班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有()

A.16人B.18人C.20人D.24人

【答案】A

【详解】设集合A="高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为card(A)；

集合3="高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为card(3)；

则card(A)=12,card(B)=8,card(AP|B)=4,

贝Ijcard(AUB)=card(A)+card(B)-card(AQ-B)=12+8-4=16.

故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人.

故选：A.

2.某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14,10.若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是

20,则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是()

A.4B.5C.16D.15

【答案】C

【详解】设仅第一天开车人数为。，仅第二天开车人数为6,两天都开车人数为x,

周一周二

贝！J由图知=14+10,〃+/?+%=20,

两式相减得％=4,a+b=16.

故选：c.

3.为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业,

并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电

影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观

看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动

都参加的人数为.

【答案】17

【详解】设集合A=｛观看红色电影的学生｝,集合3=｛参观烈士陵园的学生｝,

集合C=｛参观红色教育基地的学生｝,

设三项活动都参加的人数为了,

则card（An3nC）=x,

则由题意可得card（AuBuC）=card（A）+card（3）+card（C）

-card（AP|B）-card（BnC）-card（AP|C）+card（AP|2?P|C）,

即100=52+43+49-24-17-20+x,

解得x=17.

故答案为：17

考点六利用Venn图求集合

1.设U为全集，M,N,尸都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（）

A.MC（NDP）B."n（gN）r|PC.（飒）n（uN）P|PD.（MI?/）U（MIP）

【答案】B

【详解】阴影在尸内，而不在N内，即在GN内，故阴影表示的集合是

2.如图，已知矩形U表示全集，43是U的两个子集，则阴影部分可表示为（）

c.xn(^B)D.Bc&A)

【答案】D

【详解】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且xeB,

所以阴影部分可表示为BC&A)或G(AcB)或如B(A).

故选：D.

3.设全集为U,则图中的阴影部分可以表示为()

A.心（AU8）B.（翔4）5胆）

C.6（AcB）D.AU（^B）

【答案】A

【详解】依题意，阴影部分不在集合A中，也不在集合B中，因此不在集合AU3中,

则阴影部分表示为期(AUB)=(°A)CQB),A正确，BCD错误.

故选：A

(多选题)4.下图中阴影部分用集合符号可以表示为()

A.Bn(AuC)B.(”)n(AUC)

C.Bu^(AnC)D.(AnB)u(BnC)

【答案】AD

【详解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为Bc(AuC)或者(Ac^S^cC).

故选：AD.

曰3知识导图记忆

自然吾言方"889并集.记作AUB.波作-A^B-

苻号吾言AuB={xUeA«xe^

拄1注灌害

E翁一修

并集

/\用*的质

王新有・于集合寅旦.于集合B的元素娼应无集合

目笊看看W力集含A与邺交案记作AHB景作A交丁

*5昌AAB={x1reAflreB)

/交集

■BSg

//二•二二三三三

-»果一个集合包含新不究we中沙及防百元

自然吾言素也心蟋？这个案含力全集通常记为L：

存号5者茗石匕左匚C3.职为全，

集合的基本运算茎会蚕育

若集合A是全M的一H，击全•时不A集合MS

目然叁言所有无素。成史宴含玄为集合AW于全集算

1全集与补集

将号兰育。，・卜卜"。且'・"1

,，一〜「

4场

衣吾育1」

扑集第迂HW反

德摩根律与容斥原理Q军唳定律

害日阻

TBXXBS表示

区间及相关概念

一我区可町表示

知识目标复核

1.并集

2.交集

3.全集与补集

4.容斥原理

5.区间及其相关概念

过关测稳提升

1.已知集合M={x|x>0},集合N={x|x21},则（）

A.OGMB.McN=M

C.NqMD.M\JN=R

【答案】c

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、判断两个集合的包含关系

【分析】根据集合中的元素确定集合“，N的关系，结合集合的运算性质，逐项判断即可得答案.

【详解】因为集合M={x|x>0},集合N={x|x21},

所以N=则McN=N,MuN=M,故A,B,D项错误，C项正确.

故选：C.

2.下列五个写法，其中簿集写法的个数为（）

@{0}e{0,2,3）；②00{0}；③{0,1,2}。{1,2,0}；④NeR；@010=0

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算

【分析】根据元素与集合之间的关系、集合与集合之间的关系进行逐一判断.

【详解】对于①，“e”是用于元素与集合的关系，①错，应该是{0}u{0,2,3}.

对于②，0是任意非空集合的真子集，②对.

对于③，集合是它本身的子集，③对.

对于④，“e”是用于元素与集合的关系，④错.

对于⑤，•••n是用于集合与集合的关系的，⑤错.

所以错误的写法有①④⑤，共3个.

故选：C.

3.已知集合A={1,2,3,4},B={x|-2<x<2,xeZ）,那么4口台=（）

A.{0,1}B.{1}C.{-2,-1,0,1}D.{-2-1,1}

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算

【分析】求出集合B,利用交集的定义可求得集合

【详解】因为集合A={1,2,3,4},8={x[2Mx<2,xeZ}={-2,T0,l},

因此,AnB={l}.

故选：B.

4.已知集合4={工卜2Vx<4},5=3-2cx<5},若aeA,且aeB,则4的取值范围是（）

A.1x|-2<x<41B.{H4Vx<5}

C.1x|4<x<51D.1x|4<x<51

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据补集运算确定集合或参数

【详解】若aeA,且〃£3,则〃iaA,即。£卜|4«%<5}.

5.设全集U=R,集合A={x|0vxv2},B={x\x<\],则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{x|xNl}B.{x\x<l}

C.{x|O<x<l}D.{x\l<x<2}

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】交并补混合运算

【分析】根据论""图可得阴影部分表示的集合为AC（68）,利用补集运算求出毛8,由交集运算求出

An（”）.

【详解】由地制图知所求阴影部分的集合为4c国可，

B={x\x<l},：.^jB={x\x>l},

y^A={x\0<x<2],

/.Ac@3）=1x|l<x<21.

故选：D.

6.已知集合4="|-2<%<6},B={x|x=2^-l,^eN},则4门8=（）

A.{-1,1}B.{-1.1.3}C.{1,3,5}D.{-1,1,3,5}

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算、常用数集或数集关系应用

【分析】先求出集合8,再结合交集的定义求解即可.

[详解]因为3={x|x=2^_l,ZeN}={-l,l,3,5,7,...},A={x\-2<x<6},

所以408={-1,1,3,5}.

故选：D.

9

7.对于集合M,N,定义=且x拓N},M㊉N=（M-N）U（N-M）,设A=x\x>——,%GR

4

B={X|X<O,XGR},则A㊉()

co

c.-CO、.Tu[o，+)D.U(0,+co)

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】并集的概念及运算、集合新定义

【分析】根据题设定义求出A-3和再求出A㊉3即可.

【详解】对于集合M,N,定义=且x拓N},M㊉N=（M—N）U（N—M）,

xx>—^,xeR>,B={x|x<0,xeR},

设A=

则A-3={x|x20},B-A=LL<-|

-00,--1ju[0,+oo).

所以人㊉台川.水之。}口

故选：C.

8.已知集合4=3-1<》<1},B={x|0<x<2},则（根）U（M）=（）

A.{x|xV-l或x22}B.{尤|x40或xNl}

C.{x|x4-l或x»0}D.{x|xWl或*22}

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】交并补混合运算

【分析】由（翻）U（R3）=U（AnB）求解即可.

【详解】因为A={x[—,B={x\0<x<2],所以Ar）5={x|0vxvl},

所以（翻）U（R3）=%（AnB）={x|x«0或X4},

故选：B.

9.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之,

剩三；七七数之,剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知A={无k=3〃+2,〃eN*},B=|x|x=5«+3,«eN*|,

C=[x\x=ln+2,n^],若％€（4口3口。），则下列选项中不符合题意的整数尤为（）

A.23B.38C.128D.233

【答案】B

【难度】065

【知识点】交集的概念及运算、集合新定义

【详解】解法1因为23=3x7+2=5x4+3=7x3+2,所以234402口。），故A符合；因为38=7x5+3,

所以38eC,故B不符合；因为128=3x42+2=5x25+3=7x18+2,所以128e（Ac3cC）,故C符合;

233=3x77+2=5x46+3=7x33+2,所以233©（4口8口。），故D符合.

解法2因为xe（An^riC），所以xeA且xeC,则x=3左+2且x=7〃?+2（Z,），所以x-2=3左=7"?,

即x-2=2k?（aeZ）,所以x=21a+2=2m+23仅eZ）.又xeB,所以x=5c+3=5d+23（c,rfeZ）,即

x-23=2仍=5d,即了-23=1056,€2）,所以％=1056+23.当6=0时，彳=23；当e=l时，x=128；当e=2

时，x—233.

（多选题）10.已知U为全集，集合M,N是。的子集，若McN=N,则下列判断错误的是（）

A.瘠MquNB.M6NC.用MRQND.M班乐N

【答案】ABD

【难度】0.65

【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算、判断两个集合的包含关系

【详解】根据题意画出Venn图，如图所示，由图可知屯A/aQN.

U

11.[多选题]已知集合4=卜产+。1+1=0},M={X\X>6\,若AfW=0，则实数P的可能取值为（）

A.-3B.-2C.0D.2

【答案】CD

【难度】0.65

【知识点】根据交集结果求集合或参数

【分析】解法一可先将°的值逐个代入集合A再化简集合求交集看是否符合条件；解法二对集合A进行分

类讨论，结合二次方程的判别式和韦达定理及题意计算出p的取值范围即可.

【详解】解法一：若。=-3,Y-3x+l=0因为A=3?-4xlxl=5>0,故方程有两个根，又因为两根之积

为1所以两根同号，且两根之和为3故方程有两个正根，故不满足AAM=0，A错误；

若p=-2,贝1]4=卜上2-2》+1=0}={1},不满足4口加=0，B错误；

若P=。，则A=0,满足An〃=。，C正确；

若p=2,贝|A={尤卜2+2X+I=O}={T},满足人口河=0,D正确.

解法二：当A=0时，A=p2-4<0,所以-2<p<2,满足A「M=0；

当Ar0时，此时pe(T»,—2]U[2,+oo),

若方程有两个相同实数根，则。=±2,

显然当P=-2时，方程根为x=l,此时不满足4口知=0，

当p=2时，方程根为x=—l,此时满足A「M=0,

若方程有两个不同实数根4，彳2，此时尤也>0,所以4，z同号，且Anv=0,所以X+±=-p<0且

A=p?-4>0,所以？>2.

综上可知，实数p的取值范围是{川。>-2}；故CD正确

故选：CD

12.已知集合4=卜|三+办+126=0}和8={x|d-办+6=0},满足&4)08={2},AH(^B)={4},则

实数“=.

【答案】g

【难度】0.85

【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数

「2?—2a+b=0,

【详解】由题知2eB,但2®A；4eA,但4g反将x=2和x=4分别代入集合3,A中，得…八

[不+4。+126=0,

8

a

4—2(7+Z?=0,75

即4+,+36=。解得

_12

b=

-T,

13.已知A={x[x<-1或X>3},B={x\m-2<x<m+2},若@A)cBw0,则根的取值范围是.

【答案】{训-3<7篦<5}

【难度】0.65

【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数

【分析】求出率A,由&A)c8w0建立不等式即可得解.

【详解】由人={尤|x<T或x>3},可得4A=[T,3],

因为［A)c8w0,B=1x|m—2<x<m+21,

所以32加一2且一14根+2,

解得-3<m<5,

故答案为：{刈-3工机45}

14.已知集合出={-1,0,1}0=卜»=/},则MAN=.

【答案】{0,1}

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算

【详解】因为"={小=寸={引”0},所以McN={0J.

15.已知集合M={x[—3<x<4},N={x|—x2-2尤+3>0},P={x[a