2025年人教版八年级数学上册专项复习：《三角形》全章复习与巩固（培优篇）含解析

专题1L29《三角形》全章复习与巩固（培优篇）

（专项练习）

一、单选题

1.如图，点E分别是△ABC边AC,AC上一点，BD=2CD,AE=CE,连接AO,

BE交于点F,若△ABC的面积为18,则△尸与的面积之差/・SAAE/等于

（）

2.如图，直线A3〃MN,点C为直线MN上一点，连接AC、BC,NC44=40。，ZACB

=90°,N8AC的角平分线交MN于点D,点E是射线A。上的一个动点，连接CE、BE,ZCED

的角平分线交MN于点F.当NBEF=70。时，令4ECM=a,用含。的式子表示/EEC为

A.-aB.10°-aC.\0°--aD.

222

3.如图，在△ABC中，ZA=90°,BE,CO分别平分NA8C和NACB,且相交于F,

EG//BC,CG_LEG于点G,则下列结论①/CEG=2NDCA；②CA平分N3CG；③NAQC

=ZGCD：®ZDFB=^A；⑤/。产E=135。，其中正确的结论是（）

A.①②③B.①③④C.@@©⑤1）.©©③④

4.如图，在第1个△人小。中，N8=30。，A/B=CB；在边4山上任取一点。，延长

C4到A2,使4M2=4,得到第2个△4加。;在边4。上任取一点E,延长4也到A?,

使A2AS=A2E,得到第3个^A2A£…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以上必

A.（3）2。2。・75。B.（3）2。2。・65。

C.4）2021.75D.）202i・65。

5.如图，AI3A.AF,/B、NC、ND、NE、Nb的关系为（）

A.Z5+ZC+ZD+ZE+ZF=270°B.ZB+ZC-ZD+ZE+ZF=270°

C.Zfi+ZC+ZD+ZE+ZF=360°D.N8+/C-/D+/E+〃=360°

6.如图，AD//BC,/D=ZABC,点£是边。。上一点，连接AE交5C的延长线于点

H，点F是边AB上一点,使得NFBE=NFEB,作/尸身/的角平分线EG交4〃于点G.若

NBEG=40°,则NOE”的度数为（）

A.50°B.75°C.100°D.125°

7.如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用

的是正三角形和正六边形.如果整个镶嵌图△A8C的面枳为75,则图中阴影部分的面枳是

)

A.25B.26C.30D.39

8.如图，在中，AE平分以AC,AO_L8C于点。.NA8D的角平分线环所在

直线与射线人石相交于点G,若ZA8C=3NC,且NG=20。，则NOFB的度数为（）

9.如图，在锐角△A3C中，ZBAC>ZC,BD,8E分别是的高和角平分线，点

〃在C4的延长线上，尸〃_L8E交ZM,BD,BC于点7,G,H,下列结论：

①ZDBE=ZF；②2/BEF=NBAF+/C；®ZF=1（ZBAC-ZC）；④

/BGH=Z/W）+NE8〃淇中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①©④D.®®®@

10.如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH1BE,

交BD于点G,交BC于点H.下列结论：①NDBE=/F；②2NBEF=NBAF+/C；

A

14.如图，在中，点Q,点七分别是AC和"上的点，且满足4£=23E,6=34),

过点A的直线/平行3C,射线4。交C£于点0,交直线/于点凡若△0/邛的面积为12,则

四边形AEO。的面积为

15.如图，在用“AC中，ZABC=90。，在AC边上取点O,使得AO=A3,连接8D.点

E、F分别为AD、8。边上的点，H.ZDEF=48°,将△£)£下沿直线£7：翻折，使点。落在

边上的点G处,若GF//BC,则NC的度数为.

16.若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和

谐三角形例如,三个内角分别为120。,40°,20。的三角形是“和谐三角形”,如图,直角

三角形A8C中，ZC4B=90°,Z4BC=60°,。是边CB上一动点.当△AOC是“和谐三角

形”时，ND44的度数是

17.如图，在aABC中，ZF=16°,BD、CQ分别平分乙48C、NAC8,M、N、。分

别在03、DC.BC的延长线上，BE.CE分别平分/MAC、/BCN,BF、C尸分别平分

/EBC、ZECQ,贝iJZ4=.

18.如图，AA。尸中，点8,。分别在AZ),版上，DC与BF交于点、E,若DE:CE=2:l,

S^DEF=6,S^DBE=4,则△AfiC的面积=

19.如图，跳:是△ABC的中线，点F在BE上,延长〃'交8C于点。.若BF=3FE,

20.如图，在正六边形ABCDEF内放入2008个点，若这2008个点连同正六边形的六

个顶点无三点共线，则该正六边形被这些点分成互不重合的三角形共个.

AF

BE

D

21.设三角形三个内角的度数分别为x,y,z,如果其中一个角的度数是另一个角的度

数的2倍,那么我们称数对(y,z)(yWz)是x的和谐数对.例：当x=150。时，对应的和谐数

对有一个，它为(10,20)；当x=66时，对应的和谐数对有二个,它们为(33,81),(38,76).当

对应的和谐数对(y,z)有三个时，此时x的取值范围是.

三、解答题

22.在8c中，A8=2,8C=4,CO_LA3于。.

(1)如图①，已知于£求证：CD=2AE

(2)如图②，。是线段AC上任意一点(。不与A、C重合)，过。作PEJ.4C于E,

外'_L人用于F,求证：2PE+PF=CD

(3)在图②中，若P是AC延长线.匕任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写

出PE、PF、CO之间的关系.

图①

23.阅读下列材料：

阳阳同学遇到这样一个问题：如图1,在AA8C中A3=AC,是A48C的高，q是8c

边上一点，PM、PN分别与直线AB,AC垂直，垂足分别为点M、N.

求证：BD=PM+PN.

阳阳发现，连接"，有S"BC=S^BP+SSCP，即;AC•BQ=4AB・PM+gAC•7W.由

乙JJ

AB=AC,可得BD=PM+PN.

他又画出了当点尸在CA的延长线上，旦上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所

示，他猜想此时8。、PM、PV之间的数量关系是：BD=PN—PM.

请回答：

（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；

证明：连接用,.SMBC=Sgpc-，

：.-ACBD=-AC---AB-

22-------------2-------------

vAI3=AC,BD=PN-PM.

（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：

在AA8C中，AB=AC=BC,BO是AMC的高.P是AA8C所在平面上一点，PM、PN、

PQ分别与直线AB、AC、BC垂直，垂足分别为点“、N、Q.

①如图3,若点。在AA8C的内部，猜想BD、PM、PN、PQ之间的数量关系并写出

推理过程.

②若点P在如图4所示的位置，利用图4探究得此时80、PM、PN、PQ之间的数量

关系是：.（直接写出结论即可）

24.阅读理解：如图I,MBC中，沿NBAC的平分线人与折叠，剪掉重复部分:

将余下部分沿NB/C的平分线入与折叠，剪掉重复部分；L将余下部分沿“纥A”。

的平分线4纥+1折叠，点4与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次折叠恰好重

合，ZBAC就被称为是△A8C的好角.探究发现：小丽和小品展示了确定ZBAC是

△AHC的好角的两种情形.小丽展示的如图2,沿等腰二角形ABC顶角的平

分线AD折叠，点B与点C重合；小亮展示的如区3,沿ZBAC的平分线44折

叠，剪掉重复部分；将余下部分沿々AC的平分线A,B2折置，此时点B,与点C重

合.

关系为.

（2）小丽又经过三次折叠发现了ZBAC是.ABC的好角，请探究NB与/C（不

妨设NB>NC）之间的等量关系为.根据以上内容猜想：若经过〃次折叠

ZBAC是“IBC的好角，则NB与NC（不妨设之间的等量关系为

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15。,60,105。，发现6。和1051的两

个角都是此三角形的好角.如果以60为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠，

如果以10S为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠.

（4）应用提升：如果一个三角形的最小角是4、若使该三角形的三个角均是此三角

形的好角，则三角形另外两个角的度数是多少？请以（,）的形式写出所有

可能的结果；

25.已知：在中，AE平分々AC,BF平分ZABC,AE.BF交于点G.

(I)如图I：若NC=d：r,求N4G8的度数；

(2)如图2：点。是AE延长线上一点，连接A。、CD,ZADC=ZABG+ZBAG,求证:

CD//BF^

(3)如图3：在(2)的条件下，过点G作GK〃A8,交8。于点K,点M在线段0C的

延长线上，连接MV7,若ZAC8=N8D4,ZABC+/BAE=2/DKM,ZM=16°,求N8AC

的度数.

26.如图，AB1CD,垂足为。，点P、Q分别在射线OC、0A上运动(点P、Q都

不与点。重合)，QE是NAQP的平分线.

图2

⑴如图1,在点P、Q的运动过程中，若直线QE交NDPQ的平分线于点H.

①当NPQ8=60。时，/PHE=

②随着点P、Q分别在OC、0A的运动，NPHE的大小是否是定值？如果是定值,

请求出的度数；如果不是定值，请说明理由;

(2)如图2,若QE所在直线交NQPC的平分线于点E时，将△EFG沿FG折叠：使

点七落在四边形PFG。内点厅的位置，猜测NP尸厅与NQGE之间的数量关系，并说明

理由.

27.在△ABC中，8。平分NA8C交AC于点。，点E是射线AC上的动点(不与点。

重合)，过点£作£尸〃8c交直线80于点凡NCE”的角平分线所在育线与射线8。交于

(1)如图1,点七在线段AO上运动.

①若NABC=40°,ZC=60°,则N8GE=°；

②若乙4=70°,则/8GE=；

③探究N8GE与NA之间的数量关系，并说明理由；

(2)若点E在射线QC上运动时，N8GE与NA之间的数量关系与(1)③中的数量关系

是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由.

28.已知点尸在直线AB、CD之间，连接APCP.

如图1,过P作PQ〃AB,

/.ZA+Z1=°

VAB//CD（已知）

PQ//CD

/.ZC+Z2=180°（）

ZA+ZC+ZAPC=°；

（2）解决问题:

①如图2,延长PC至点EAF.b分别平分/PA&NECD,AF交CD于点、Q,试判

断NP与Nb存在怎样的数量关系，并说明理由；

②如图3,若N4PC=1（X）。，分别作BN〃AP、DN〃PC,AM、DM分别平分

/PAB/CDN,求的度数（直接写记结果）.

参考答案

1.A

【分析】

由△AAC的面积为18,根据三角形的面积公式和等积代换即可求得.

解：也0=18，

••・S&A8c=；(BD+CD).%=g(AE+CE)•%=18,

,**4E=CE=]AC,5小谢=-AE-hAC,S^gCE=—EC-hAC,

•*,S^AER=S&CFB=~^AABC=/X18=9,

••S博EF+S&8F=9①,

同理，VHD=2CD,BD+CD=I3C.

BD=—BC,S^ABD—-BD-hBC,

22

**-5AABD=-5A^C=-XI8=I2,

S^BDF+S&M=12②,

=

由①-②得：的;尸

s—SAAE(S&fw+S^AB/,)—(SAEE+51AAB/.)=12—9=3.

故选：A.

【点拨】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换.

2.D

【分析】

先求出NA8C,再延长CE,交A8于点G,结合平行线的性质表示出NBCE,然后根据

三角形内角和定理表示NCE。，再根据角平分线得定义表示出/CE8,最后根据三角形内角

和定理得出答案.

解：在△AbC中，ZG4fi-40n,Z>4Cfi-90n,

・・・ZABC=50°.

延长CE,交A8于点G,

VMN//BA,

・•・Z.EGB=a,Z4CA/=ZBAC=40°,

・•・NACE=a-40°,

••・NHC£=9(T-(a-4(T)=13。"-。.

,?ZCEA=180°-ZCAE-ZACE,

・・・/CEO=180°-/CEA=NC4E+NACF=20°+(a-40。)=«-20°.

•・・石/平分/。切，

JZCEF=-ACED=-a-10°,

22

・•・ZCEB=-a-10°+70°=-a+60°,

22

・•・ZEBC=180°-(-a+60°)-(130°-a)=-a-10°.

22

A0B

故诜：D.

【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，招待求

角转化到适合的三角形是解题的关键.

3.C

【分析】

根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明NAZ)C+N4CD=90,

NGCZXN8CD=9O。，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出

ZBFC=135%即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②.

解：TCQ平分NAC8,

AZACB=2ZDCAfNACD=/BCD

•・,EG//BC,

：・NCEG=NACB=2NDCA,故①正确；

VZ/i-90n,CGLEG,EG//BC,

・・・NAQC+NAC£>=90°,CGLBC,即N8CG=90°,

：.ZGCD+ZBCD=90%

乂♦:/BCD=/ACD,

AZADC=ZGDC,故③正确；

,:Z4=90°,

/.NA8C+NAC8=9U",

，：BE,CO分别平分N/WC,NACB,

・•・NFBC=-/ABC,tFCB=-ZACB,

22

・•・ZBFC=\80°-ZFBC-ZFCB=\80°-^(ZACB+AABC)=135°,

・•・ZDFB=180°-ZZ?FC=45°,

・・・NDFB=；NA,故④正确：

VZZ^FC=135°,

；・/DFE二NBFC=135。,故⑤正确；

根据现有条件，无法推出CA平分N8CG,故②错误；

故选C.

【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平

行线的性质，角平分线的定义是解题的关健.

4.A

【分析】

根据等腰三角形的性质，由/8=30。，4/=。8,得NB4/ONC,30°+ZBA/C+ZC=l80°,

那么N84/C=gxl5()o=75c.由4A2=4。，得ND4乂尸/A/DAz.根据三角形外角的性质，

由N84C=NOA24+NA2D4=2NOA2A/,得NOAM/=：N8A/C=gx；xl50°.以此类推，

运用特殊到一般的思想解决此题.

解：・・・/8=30。，A/B=CB,

•••NBA/ONC,300+NB/bC+NC=180。.

・・・2NB4C=150。.

・・・NZM/C=gxl50o=75。.

AIA2-AID,

・・・ND4M尸NA/D42.

・•・ZBAIC=ZDA2AI+ZA2DAI=2ZDA2AI.

:.NZMM/=gZBA/C=^-xlx|50°.

同理可得：/E43A2=gNDA24=3xgx3x15。。.

以此类推，以加为顶点的内角度数是NA“=GJX150°=(gj[75°.

z.\2O2O

・•・以4202/为顶点的内角度数是Jx750.

故选A.

【点拨】本题主要考查等腰一角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟

练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳恩想是解决本题的关键.

5.B

【分析】

分析题意NQMA=NI,/DNA=/2,然后利用三角形的内角和、等量代换求解即可.

解：连接4D，

在^DMA中，NOAM+/MO人+NM/1Q=18()°,

在^DNA中，NONA+NNQA+NM4O=180。，

・・・NDM4+NMZM+NMAD+/OM4+NNO4+NNAD=360。,

•・•ZMAD+ZNAD=360°-/BAF,

JZDMA+ZDNA+ZMDN+3600-ZBAF=360°,

*：ABLAF,

.••NBA产=90。，

ZDMA+ZDNA=900-NMDN,

•・・NQM4=N1,NDNA=42,

VZ1=18O°-ZB-ZC,Z2=180°-ZE-ZF,

/.Zl+Z2=360°-(ZB+ZC+ZE+ZF),

.*.90°-ZMD/V=360°-(ZB+ZC+Zf+ZF),

AZB+ZC+ZE+ZF-NMDN=270°.

故选：B.

【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理的应月，将图形中角的关系利用三角形的

内角和等于180。进行转化，再运用等量代换是解题的关踵.

6.C

【分析】

ZBEG=ZFEG-ZFEB=fl-a=40°,ZAEF=1800-ZFEG-ZHEG=180°-2^,在^AEF中,

ZE4E=2/7-2a=80°,AD//BC,ZD=ZABC,得到AB〃C7),由平行线的性质和邻补角

的定义即可求解.

解：设/FBE=NFEB=a,贝ljNAFE=2a,

NFE”的角平分线为EG,设NGEH=4GEF=6,

'：AD//BC,

・•・乙48C+NBAD=180。，

•・•ND二NABC,

.\ZD+ZBAD=180°,

:,AB〃CD,

'：NBEG=40。，

・•・ZBEG=NFEG-NFEB邛-a=40。,

ZAEF=1800-ZFEG-ZHEG=180°-2^,

在AAEF中，180。-2//+2。+/初七=180。，

AZFAE=2^-2a=2(fi-a)=80°,

*：AB//CD,

：,NCEH=NfAE=80。,

・•・ZDEH=\80°-ZCEH=100°.

故选：C.

【点拨】本题考杳的是平行线的性质，涉及到角平行线性质定理、三角形外角定理，本

题关键是用有关a,6的等式表示出△人石尸内角和为180°,题目难度较大.

7.B

【分析】

正AA8C中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分

为面积最小的正三角形的组合，最后正AA8C全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三

角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案.

解：如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平

行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分

成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，

由图可得：止六边形有13个，可分成小止三角形个数为：13x6=78（个）；

较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：26x4=104（个）；

平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：5x6=30（个）；

小正三角形个数为13个；

••••共有小正三角形个数为：78+104+30+13=225（个），

・・・图中阴影部分面积为：75x黑=26,

故选：B.

【点拨】题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点.

8.C

【分析】

由角平分线的定义可以得到NC4£=/4A£,ZABF=ZDBF,设NC4E=NBA£：=x,

假设NC=y,NA8C=3y,通过角的等量代换可得到//）尸4=3NG,代入NG的值即可.

解：•・•人石平分N8AC,即平分48。

ZC4E=/BAE,ZABF=/DBF

设NC4E=N8AE=x

ZABC=3/C

・•・可以假设NC=y，ZABC=3y

13

・•・NABF=/DBF=NCBG=-(180°-3y)=90°—；y

,/AD1CD

・•・NO=90。

...NDFB=90。-NDBF=-y

2

,z=x+Z.G

设/ABF=/DBF=NCBG=z,则｛小

z+ZG=x+y

.・.NG=；y

・•・乙DFB=34G

•・•NG=20。

ZDra=60°

故答案选：C

【点拨】本题主要考叁了角平分线的定义以及角的等量代换，三角形的内角和定理，外

角的性质，二元一次方程组的应用，灵活设立未知数代换角是解题的关键.

9.A

【分析】

根据三角形角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形两

锐角互余等知识，一一判定即可.

解：YBD工FD，

.­.ZFG/?+ZF=90°,

•.FHA.BE,

"BGH+NDBE=9(T,

•;NFGD=/BGH,

:.ZDBE=4F，故①正确；

BE平分ZA4C,

;.ZABE=NCBE,/BEF=NCBE+NC,

2/BEF=ZABC+2ZC,4BAF=ZABC+ZC,

：.24BEk=/BA卜+NC,故②正确；

•/ZABD=90°-ZB/AC,

ZDBE=ZABE-/ABD=ZABE-90°+ZBAC=^CBD-ZDBE-900+ABAC,

•.•NC8£>=900-/C,

:.ZDBE=ZBAC-ZC-/DBE,

由①得ND8石=//，

/.ZF=ZBAC-ZC-ZF,

:.2ZF=Z13AC-ZC,

：.ZF=1(ZBAC-ZC),故③正确；

NA4C为锐角，

/./BTH+/BHT>90。,

又•.•ZBHT+/EBH=90°,

/EBHw/BTH,

ZBGH=ZABD+/BTH,

：.ZBGHZABD+ZEBH,故④错误，

故选：A.

【点拨】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质、

直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是准确识图，灵活运用所学知识解决问题.

10.B

解：①•••8D_LFO,ZFGD+ZF=90°,,:FH1BE,，N8G”+NOBE=90。，

•:/FGD—BGH,：.NDBE=/F,①正确，符合题意；

②•••3E平分NA8C,・・・NABE二NCBE,/BEF=/CBE+/C,：・2/BEF=/ABC+2/C,

ZBAF=ZABC+ZCf：.2ZBEF=ZBAF+ZC,②正确，符合题意；

③NA8D=90。-ABAC,NDBE=/ABE-NABD二NABE-90。+/BAONCBD-ZDBE

-90°+NBAC,•・・NC8D=90。-NC,：・NDBE=NBAC-ZC-NDBE,由①得，NDBE=NF,

：,ZF=ZBAC-ZC-ZDBE,③错误，不符合题意；

④•：/AEB=/EBC+4C,•:NABE=NCBE,；,/AEB=/ABE+/C,VBD1FC,

FH1BE,:"FGD—FEB,NBGH:/ABE+NC,④正确，不符合题意.

故选：B.

【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概

念以及三角形外角的性质是解题的关键.

【分析】

根据角平分线的定义，由84/平方NA8C,A/C平分NAC。，得

ZAiBC=^ZABC.根据三角形外角的性质，得NA/=N4CD-/A汨C,那么/A尸!N4CD-

22

卜小；/4.再根据特殊到一般的数学思想解决此题.

22

解：:BAj平分NA3C,A/C平分NACD,

AZAiCD=-ZACD,ZAiBC=-ZABC.

22

•・•ZA^ZAICD-ZAJBC,

ZAi=-ZACI>--ABC=-N4.

222

同理可证：NA2=；NA/.

:.ZAa=­•-ZA=(-)2ZA.

以此类推，NA/?=(；)〃NA.

当n=2022,ZA：O2/=(1)2O22ZA=(g)2022*/n°=(1？)°.

222

故答案为：治.

【点拨】本题主要考查三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性

质、角平分线的定义是解决本题的关键.

12.59。##59度

【分析】

利用三角形三边关系可知：当E落在A8上时，AE也离最大，利用4B||C。且

ZDCF=62°,得到NC£4=62。，再根据折叠性质可知：4EFP=NCFP,利用补角可知

NEFP+/CFP=118°,进一步可求出NEFP=ZCFP=59。.

解：利用两边之和大于第三边可知：当石落在A8上时，AE距离最大，如图:

P

DC

•・•A8||C。且NDCF=62。,

.•・ZCEA=62°,

•••△?仃折叠得到△^七户，

：・ZEFP=/CFP,

•・•ZEFP+ZCFP=118°.

・•・/EFP=NCFP=59°.

故答案为:59。

【点拨】本题考查三鱼形的三边关系，平行线的性质，折叠的性质，补角，角平分线，

解题的关键是找出：当石落在A8上时，AE距离最大，再解答即可.

13.360°720°10800360（〃一2）

【分析】

（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，WZE+ZF=ZADE4-ZMZ），再

根据四边形内角和的性质计算，即可得到答案；

（2）连接AE,FE交AH于点、M,根据三角形内角和和对顶角的知识，得

ZA^4E+ZM£X=ZF4-ZG+Z//-180°；结合五边形内角和性质，得

/"AM+N/3+NC+NO+NMKO+N尸+NG+N”=720。；结合（I）的结论，根据数字规律

的性质分析，即可得到答案.

解：（I）如图所示，连接4/ZAF交DE于点M

•.*ZAMD=ZEMF,ZAMO+ZAPb=18(r,+乙卜+ZfcMA=180v

ZE+ZF=NADE+ZFAD

J/BAF+/B+NC+/CDE+NE+NF=/BAD+ZADC+NB+/C=360;

故答案为：360。

（2）如图，连接AHFE交AH于点、M

・•・"+NG+N〃+NRW”=360。，ZAME+ZMAE+ZMEA=180°

,/ZAME=/FMH

・・・ZF+ZG+Z//+（180o-ZM4E-ZME4）=360°

・•・ZA^E+ZA7E4=ZF+ZG4-Z//-180°

•・•ZBAM+/B+NC+ND+NMED+ZA/E4+ZM4E=（5-2）x180°=540

ZBAM+NB+NC+ND+/MED+（NF+NG+ZH-18O°）=54O

NBAM+/B+NC+ND+NMED+ZF+ZG-ZH=540+180°=720°

・•・二环四边形的内角和为：720°

•・•二环三角形的内角和为：360°=360°x（3-2）

二环四边形的内启和为：720o=360°x2=360°x（4-2）

・•・二环五边形的内角和为：360°x（5-2）=I080。

・•・二环〃边形的内角和为：360（〃-2）

故答案为：720,1080,360（〃一2）.

【点拨】本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握

三角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质，从而完成求解.

【分析】

连接40,根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答.

解：如图，连接A。,

：.AD：CD=\：3,

S4ADF~~S&CDF'S△A㈤=-S&CDO'3s>

S&CDF=12，

S^A/M=4,S^ACF=16,

S^ABF~=16,

SDABD=12，

SMBD=36,SAABC=48,

•:AE=2BE,

：.BE：AE=\：2,

••S“EC=2s△8EC，^AAEO=2s△8E0,

••S△阪=32，S^BEC=16,

,•S△八+S^AOD+S&8D=2(S&1fo匕+S&00c),

即S&\oE+S^AOD+S480=2s△gE+2s△80c，

1,,4,

,,§SdCOD+S&C8=2s.BOC，即§S^COD=2sgOC，

SdcoD:S&BOC=3:2,

,:S&BC[)=S&BOC+SMOD=36,

・S_咽

.•'MOD~，

・c\c10852

,,SwAEOD-S^AEC-S^COD—32———.

52

故答案为：y.

【点拨】本题考查了三角形的边与面积之间的关系，平行线之间距离处处相等，能正确

把边之间的关系转化为面积之间的关系是解题的关键.

15.26°

【分析】

根据题意可得/瓦＞尸=/七6尸，设NEDF=/EGF=a,NAO4是△08。的一个外角，

可得2a-NC=90。，根据三角形内角和定理可得NABC+NCuNAEG+ZAGK,即

a+ZC=84°,联立解方程组即可求得NC.

解：•.•折香

/.ZDEF=ZGEF=48°,ZEDF=ZEGF

ZAEG=18()°-2x48o=84o

设/EDF=NEGF=a

\AD=AB

:"GBF=/EDF=a

GFUBC

ZFGA=ZCBA=90°,AGFB=ZDBC

ZFGE+AAGE=a+ZAGE=90°,4GFB+XGBF=a+NGFB=90°

:.ZAGE=NGFB=NDBC=时一a

ZADB是ADBC的一个外角

.\ZADB=ZDBC+ZC=90°-a+ZC=a

即2u-ZC=90c①

vZA=l80°-ZABC-ZC=180°-ZAEG-ZAGE

..ZABC+ZC=ZAEG+ZAGE

即90°+ZC=84°+(90°-a)

即a+NC=84。②

②x2-①得3NC=78。

即ZC=26"

故答案为：26°

【点拨】本题考查了不叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性

质，解二元一次方程组，理清角度之间的关系，设未知数列方程组是解题的关键.

16.30。或52.5。或80>.

【分析】

分三种情况讨论，①当NCOA=3NC时，②当/C=3NCA。时，®ZCDA=3ZCAD

时，由“和谐三角形”定义可求解;

解：VZC4B=90°,ZA^C=60°,

・•・ZC=30°

①当NC7)A=3/C时，ZCDA=90°,

AZCAD=60°,

.\ZBAD=30°：

②当/C=3NC4O时，

AZCAD=10°,

・・・ND48=80。；

③NS4=3/CAO时，

:.NCAQ=Lx(180°-30°尸37.5。，

4

：.ZDAB=52.5°,

故答案为：30。或52.5。或80。.

【点拨】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，理解“和谐三角形”定义，并

能运用是解决本题的关键.

17.52°

【分析】

根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出NE,利用三角形内角和求出

Z5+Z6+Z1,得至IJNA/3C+N/VCB,从而求出NDBC+/DCB,再次利用角平分线的定义和

三角形内角和得到NA.

解：/、CT分别平分NEBC、NECQ，

/.Z5=Z6,/2=/3+/4,

•.•Z3+Z4=Z5+ZF,Z2+Z3+Z4=Z5+Z6+ZE,

即/2=N5+NF,2N2=2N5+NE,

/.2ZF=Z£=32O,

♦.BE、CE分别平分NM8C、/BCN,

：.Z5+Z6=-NMBC,Zl=-/NCB,

22

Z5+Z6+Z1=；(NM8C+NNCB),

ZE=I8()O-(Z5+Z6+Z1)=32O,

・\Z5+Z6+Z1=148°,

NMBC+Z.NCH=2(Z5+Z6+Z1)=296°,

QBD、CO分别平分乙ABC、ZACB,

/.ZDBC=-ZABCtNDCB’NACB,

22

NO8C+/OCB=180°-NM8C+180°—/NC8=360°-(/MBC+/NC3)=64°,

.1.ZA=180°-(/ABC+4C8)=180°-2(/O8C+^DCB)=52°,

故答案为：52°.

【点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解

题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

18.7.5.

【分析】

观察三角形之间的关系，利用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比，利用已

知比例关系进行转化求解.

解：如下图所示，连接人E,

A

B,

E

D

•：DE:CE=2:1,s△/心=6,S“8E=4,

•,S4CEF=SACBE=DEzCE=2:1,

***SMEF=2S△阳=ex6=3,

SABEC=|SgDE=；x4=2,

6=3

S»ABES&DBE4~25

Sw=DE=2

S*ECEC1'

SAAEF=S—EC+S^CEF=>,+3,

S/\ADE=S协BE+S&DBE=X+4,

3_

由^A4FF=~S^ARF，S^DE=2S协EC可得，

3

），+3—x

2

x+4=2y

X=5

解得9，

,9

S必BE=5,S心AEC=5

915_

S拇uc=S&ABE+SZMCC-S&BEC=5+］一2=5=7.5.

故答案为：7.5.

【点拨】本题考查的是等高同高三角形，应用等高或同高的两个三角形的面积之比等于

底之比进行求解是本题的关键.

以I

【分析】

连接ED,由BE是△ABC的中线，得到S4诋=S^BCE:Ft]BF=3FE,得

到沁=3,2=3,设工^=x,S皿=），，由面积的等量关系解得x=最后根据等高

'JED3

SmBD

三角形的性质解得产•二主，据此解题即可.

\ADC

解：连接E。

•.•即是△4灰?的中线,

=

••SRABES&BCE»^AEl)=S出)c

•;BF=3FE

.S&ABF_3S脚心_3

..qY

°AAFE葭FE心

遮S.AEF=X,S即D=y,

S^ABF=3x,S=3y

••,S”=4x,S.c=4x,S丽=4.y

,a\eoc=S^aEc-S，EQ=4x—4y

SdAOE=S^E0r

x+y=4,v—4y

5

•.•△AB。与“IOC是等高三角形，

.S“ABD二BD「3x+3y3x+3),_3x”_8y=3

,SJDCDCx+y+4x-4y5x-3y5xly_3y与、*

故答案为：方3.

【点拨】本题考查三用形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握

相关知识是解题关键.

20.4020

解：•・•正六边形ABCDEF内放入2008个点，这2(X)8个点连同正六边形的六个顶点无

三点共线，

・•・共有2008+6=2014个点.

•・•在正六边形内放入1个点时，该正六边形被这个点分成互不重合的三角形共6

个；即当n=l时，有6个；然后出现第2个点时，这个点必然存在于开始的6个中的某一

个三角形内，然后此点将那个三角形乂分成3