2025年人教版八年级数学上册专项复习：三角形全等几何模型-一线三等角模型（巩固篇）含解析

专题12.21三角形全等几何模型-一线三等角模型（巩固篇）

（专项练习）

模型一一线三垂直全等模型

如图一，ZD=ZBCA=ZE=90°,BC=AC«结论：RtABDC^RtACEA

模型二一线三等角全等模型

如图二，ND=NBCA=NE,BC=ACo结论：△BEC^ZiCDA

一、单选题

1.课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），ZACB=

90。，AC=BC,从一:角板的刻度可知A8=20cm,小聪想知道砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度

相等），下面为砌墙砖块厚度的平方是（).

A

50、

C.吗ND.一cm-

1313

2.如图，AC=CE,/ACE=90°,AB1BD,ED1BD,AB=6cm,DE=2cm,则BD

A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm

3.已知A£_L/W且BC上CD旦BC=CD,点E,B,。到直线/的距离分别为6,

3,4,则图中实线所围成妁图形的面积是（）

A.50B.62C.65D.68

4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,3）RAO=BO,NA08=90°贝"点3

5.如图，已知AB_LBC于B,CDJ_BC于C,BC=13,AB=5,且E为BC上一点,

ZAED=90°,AE=DE,则BE=()

6.如图所示，AC=CD,ZB=ZE=90°,AC±CD,则不正确的结论是（）

A.AC=BC+CEB.=22

C.AABC^ACEDD.NA与/D互余

7.如图,NACB=90。,AC=BC,AE_LCE于E,BD_LCE于D,AE=5cm,BD=2cm,则

DE的长是（）

c

8.如图，直线乙上有三个正方形mb,c,若a,c的面积分别为1和9,则b的面积

为（）

二、填空题

9.如图所示，△43C中，/仍=AC,NBAC=90。.直线/经过点A,过点8作旌，/于

点、E,过点。作b_L/于点足若BE=2,CF=5,则砂=.

10.已知直线/经过正方形ABCD的顶点A,过点B和点。分别作直线的垂线BM和

DN,垂足分别为点M、点N,如果3M=5,DV=3,那么点M和点N之间的距离为.

11.如图，在等腰RbABC中，AC=/3C,。为△ABC内一点，且N3CQ=NC4O,若

8=4,则△5C。的面积为.

12.如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（20=90。），若O4=50cm,

O8=28cm,则点C离地面的距离是____cm.

17.如图，两根旗杆间相距12加，某人从点5沿6A走向点A,一段时间后他到这点

此时他仰望旗杆的顶点。和。，两次视线的夹角为90。，且已知旗杆AC的高为

3〃?，该人的运动速度为LHs,则这个人运动到点M所用时间是________________

18.如图,在△A5C中,ZACB=90°,AC=5cmfBC=\2cm.动点P从A点出发沿A—C

的路径向终点C运动；动点Q从8点出发沿BTC—A路径向终点A运动.点P和点。分别

以每秒1°”和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动.在

某时刻，分别过点P和Q作PE_LMN于E,Q/U_M/V于£则点P运动时间为秒时，

△PEC与△。尸C全等.

三、解答题

19.在』8c中，ZACB=90。，AC=8C,直线MN经过点C且于。，I3E1MN

于E.

⑴当百线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

©△ADC^ACEB；

②DE=AD+BE；

(2)当直线MN烧点。旋转到图2的位置时，求证：DE=AD—BE；

(3)当直线MN绕点。旋转到图3的位置时，试问。瓜A。、3E具有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并加以证明.

20.【问题解决】

(1)已知△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线/上，旦有NBD4:NAECNBAC.如

图①，当NA4O90。时，线段。E,BD,CE的数最关系为：；

【类比探究】

(2)如图②，在(I)的条件下，当0。＜/胡。＜180。时，线段。£,BD,CE的数量关

系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；

【拓展应用】

(3)如图③，AC=BC,NACB=90。，点C的坐标为(-2,0),点8的坐标为(1,2),

请求出点A的坐标.

21.(1)如图1,在aABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线加经过点A,BZ)_L直线

m,CEJ_直线小，垂足分别为点。、E.求证：

（2）如图2,将（I）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,。、4、E三点都在直线

加上，并且有N8OA=NAEC=NB4C=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论

△AB。丝△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线机上的两动点（。，A,E三

点互不重合），点尸为NZMC平分线上的一点，且△A8”和△均为等边三角形，连接

BD,CE,若N8DA=NAEC=N8AC,求证：△QE尸是等边三角形.

22.在△ABC中，NACB=90。，AC=BC,且AOJLMN于。，BE1MN于E.

⑴直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD^BEx

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问。E、AD.BE具有怎样的等量关

系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；

⑶当直线MN绕点。旋转到图（3）的位置时，试问。£AD.BE具有怎样的等量关

系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）.

23.探究：（I）如图（1）已知：在△ABC中，/BAC=90。，AB=AC,直线/〃经过

点A,4）_L直线〃?，C£_L直线〃?，垂足分别为点。、E.请直接写出线段从九DE,CEZ

间的数量关系是.

拓展：（2）如图（2）,将探究中的条件改为：在AABC中，AB=AC,。、4、E三点、

都在直线〃?上，并且有其中a为任意锐角或钝角.请问探究中

的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

应用：（3）如图（3）,D、E是D、A、E三点所在直线，〃上的两动点（。、A、E三

点互不重合），点尸为NZMC平分线上的一点，且△A8"和△AC”均为等边三角形，连接

BD、CE,^ZBDA=ZAEC=ZBAC,请直接写出△的形状是.

24.如图，线段A8=6,射线4G_LA8,P为射线8G上一点，以”为边做正方形APC。,

且点C、。与点8在AP两侧，在线段。尸上取一点E,使得NE4P=/B/1P,直线CE与线

段48相交于点尸（点尸与点4、B不重合），

（1）求证：&AEP9MCEP・,

（2）判断C尸与A8的位置关系，并说明理由；

（3）aAE”的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.

25.如图，在△43C中，AB=AC=2,N8=40。，点。在线段8c上运动（。不与从

。重合），连接A。，作乙4。£=40。，OE交线段AC于足

(1)当N8DE=II5。时，ZBAD=。，点。从B向。运动时，NH4D逐

渐变(填“大”或“小”)；

(2)当。C等于多少时，△ABDgZXDCE请说明理由；

(3)在点。的运动过程中，AAOE的形状也在改变，判断当N8W等于多少时，△AOE

是等腰三角形.

26.综合与探究：在平面百角坐标系中，已知A(0,a),B(b,0)口”〃满足(a

-3)2+\a-2b-l|=0

(1)求A,3两点的坐标

(2)已知△ABC中人8=C8,NABC=9()。,求C点的坐标

(3)已知AB=Jid，试探究在x轴上是否存在点P,使aABP是以A8为腰的等腰三

角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

27.如图，在△ABC中，AB=AC=2,N/?=/C=40。，点。在线段上运动(点。

不与点B、。重合)，连接AD,作NADE=40。，OE交线段4c于点区

(1)当N8OA=105。时，/EDC=°,ZDEC=°；点。从点8向点

。运动时，NBDA逐渐变.(填“大”或“小”)

(2)当。C等于多少时，AABD安ADCE?请说明理由.

(3)在点。的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出

N8OA的度数；若不可以，请说明理由.

BD

28.在综合实践课上，李老师以“含30。的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开

展数学活动.已知，在等搜纸片中，CA=CB=5,ZACB=120°,将一块含30。角的

足够大的直角三角尺/WV(N"=90。，/WPN=30。)按如图所示放置.，顶点P在线段84

上滑动(点P不与A,K重合)，三角尺的直角边妗终经过点C,并与C/3的夹角

4PCB=a,斜边”交4c于点。.

(1)当NBPC=10()c时，a=°；

(2)当AP等于何值时，AAP的公BCP?请说明理由：

(3)在点/，的滑动过程中，存在△PCD是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角。的大

小；若不存在，请说明理由.

参考答案

【分析】

设每块砖的厚度为xcm,则AO=3xcm,BE=2xcm,然后证明△得到

CD=BE=2xcm,再利用勾股定理求解即可.

解：设每块砖的厚度为xcm,则AD=3.vcm,BE=2xcm,

由题意得：ZACB=ZADC=ZBEC=90°,

・•・ZACD+ZDAC=ZACD+ZBCE=900,

:・/DAC=/ECB,

XVAC=CB,

:ADACQAECB(AAS),

CD=BE=2xcm.

VAC2+BC-=AB1，AD2+DC2=AC2,

/.2(3X)2+2(2X|2=2O2,

.,200

..x-=-----,

13

故选A.

【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟

练掌握全等三角形的性质与判定条件.

2.B

【分析】

根据题意证明AABCg△CDE即可得出结论.

解：'：ABLBD,EDLBD,

工ZABC=ZCD^=90°,

•・•ZACE=90°,

・•・Z4C8+NDCE=90。,

•・•NAC8+N84c=90。，

・•・ZBAC=ZDCE,

在△"(?和△COE中，

/ABC=/COE=90°

NBAC=NDCE

AC=CE

；.^ABC^^CDE(AAS),

/.A^=CD=6cm,BC=DE=2cm,

BD=BC+CD=2+6=Scm,

故选：B.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性

质定理是解本题的关键.

3.A

【分析】

由全等三角形的判定定理可得出△"为丝△AGB,同理可证从而得出用、

AG、GC、C”的长度，用割补法求出实线所围成的图像面积.

解：如图，

・・・NEAF+N8AG=90°,

VEF±AF,BGLAGt

：・NFEA+NEAF=900,ZEM=ZBGA=90°,

：.ZBAG=ZFEAf

•・•在"与ZkAGB中，

/EFA=NBGA

</,BAG=ZFEA

EA=AB

"EFA0bAGB,

：,BG=AF=3,EF=AG=6,

同理可证：ABGCDCHD,

/.GC=4,CH=3：

A5=5^EFHD-2S^AEF-2S^CHD=^(4+6)x(3+6+3+4)-^x6x3x2-

x4x3x2=50.

故选A.

【点拨】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点,

关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积.

4.B

【分析】

过A作AC_Lx轴，垂足为C,作BD_Lx轴垂足为D.证明AAOC和ABOD全等，那

么B的横坐标就是OD长的相反数，B的纵坐标就是OC长的绝对值，由此可得出B的坐

标.

解：作ACJ_x轴，垂足为C,作!3口_1_*轴垂足为D.

则NACO=/ODB=90。，

.\ZAOC+ZOAC=90°.

又•・・NAOB=90°,

ZAOC+ZBOD=9()0

AZOAC=ZBOD.

在^ACOODB中

ZACO=ZODB

-NOAC=NBOD

AO=BO

•・.△ACO丝△ODB(AAS).

AOD=AC=3,DB=OC=2.

・••点B的坐标为(-3,2).

故选B.

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.

5.B

【分析】

先证明^ABE会4ECD得到CE值，即可求出BE.

解：在AABE和AECD中

Zfi=ZC=90°

«NA=/DEC

AE=DE

AAABE^AECD(AAS).

ACE=AB=5.

ABE=BC-CE=13-5=8.

故选B.

【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题关键在于掌握判定定理

6.A

【分析】

利用同角的余角相等求出/A=N2,再利用“角角边”证明^ABC和aCDE全等，根据全

等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答.

解：VZB=ZE=90°,

.\ZA+Z1=9O°,ZD+Z2=90°,

VAC1CD,

/.Zl+Z2=90°,

AZA=Z2,故B正确;

・・・NA+/D=90。，故D正确；

在"BC和aCED中，

/A=N2

<NB=NE,

AC=CD

AAABC^ACED(AAS),故C正确；

AAB=CE,DE=BC,

.\BE=AB+DE,故A错误.

故选A.

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形

全等的判定方法并确定出全等的条件NA=N2是解题关键.

7.D

【分析】

利用等腰直角三角形的性质和已知条件易证4AEC^ACDB,进而可得AE=CD,

CE=BD,所以DE可求出.

解：VZACB=90°,

・•・N4CE+NOCB=90。，

,・・A£_LCO于£,

:.NACE+NCAE=90。，

：・NCAE=NDCB,

•・・BO_LC。于。，

・•・ZD=90°,

在△4EC和ZkCDB中

ZCAE=NDCB

{NAEC=NO=90。，

AC=BC

・•・^AEC^^CDB(AAS),

.\AE=CD=5cm,CE=BD=2cm,

DE=CD-CE=3cm,

故选D.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判

定方法.

8.C

【分析】

运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得/84C=NOCE,进而利用4As'可证

明^ACB@4DCE,再结合全等三角形的性质和勾股定理求解即可.

解：如图,

「。、b、c都是正方形，

：.AC=CD,ZACD=ZABC=ZDEC=90°,

・•・ZACB+ZDCE=ZACB+ZBAC=90°,即NBAC=NDCE,

NABC=NO£C=90°

在△ABC和△C£O中，•NBAC=NDCE,

AC=DC

•••△AC/△COE(AAS)，

：,AB=CEfBC=DE；

在R。ABC中，由勾股定理得：AC^AB^B^AB^DE2,

即Sb=Sa+Sc=\+9=\0,

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握相关

性质及判定定理是解题关键.

9.7

【分析】

根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；

解：:BEUCFA.L

：.NAEB=NCM=90°.

・・・NE4B+NER4=90°.

又•••NB4C=90°,

：.ZEAB+ZCAF=90°.

：.ZEBA=ZCAF.

在和△C"中

VZAEB=ZCFAfNEBA=NCAF,AB=AC,

・•・△AMgZXCM.

：,AE=CF,BE=AF.

：.AE+AF=BE+CF,

EF=BE+CF.

,?BE=2,CF=t,

，EF=2+5=7；

故答案为：7.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所

学的知识，正确的证明三角形全等.

10.8或2##2或8

【分析】

根据正方形的性质得出NM1庆NMR4,再利用全等三角形的判定得出

&ABM学4AND,进而求出MN的值，注意分类讨论.

@1

V^NAD+ZBAM=90°,2ABM?BAM900,

/NAD=/MBA,

NAMB=/AND

•・,在△A5M和△D/W中，＜/4BM=NNA。

AB=AD

：・4ABMCAAS),

:,AM=DN=3,BM=AN=5,

・•・MV=/W+/W=3+5=8,

如图2,在正方形ABC。中,

,rZDAN+ZB/bVZ=90°,2ABM?BAM90?,

・•・ZNAD=ZMBA,

•・•在aABW和△DAN中,

4MB=NDNA

<NABM=NNAD

AB=AD

•••△A8M丝ZSANCAAS),

:.AM=DN=3,BM=AN=5,

：.MN=AN-AM=5-3=2,

综上：MV=8或2.

故答案为：8或2.

【点拨】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知以，将直线/

与正方形ABCD的位置分类讨论是解题关键.

11.8

【分析】

由线段C。的长求MCO的面积，故过8作CQ的垂线，则由三角形面积公式可知：

SMCD=；XCDXBE，再由题中的N8C0=NC4。和等腰直角三角形4BC,即可求证

MCD^ACBE,最后由CD=8E=4即可求解.

解：过点8作C。的垂线，交C。的延长线于点七

•・•ZACB=90°

.­.ZBCD+ZACZ>=90°

,.•NBCD=NCAD

...ZACD+ZCAD=90°

ZADC=90°

-BE1CD

二.NE=90。

/.ZBCD+ZCBE=90°

ZACD=/CBE

VAC=CB

:2CgbCBE

:.CD=BE=4

故答案是：8.

【点拨】本题主要考察全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形

面积公式,属于中档难度的几何证明题.解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线.

12.28

【分析】

作CO_LO8丁点。，依据A4S证明AAO8=ABDCCMF,再根据全等三角形的性质即

可得到结论.

解：过点C作于点Q,如图，

・•・/CDB=ZAOB=90。

•・•A48C是等腰直角三角形

:・AB=CB,ZABC=90°

，Z4BO+NC8D=9。。

又NCBD+NBCD=90。

・•・ZABO=ZBCD

在AABO和ABCD中，

ZOB=/BDC

<ZABO=/BCD

AB=CB

^ABO^ABCD(AAS)

ACD=BO=28cm

故答案为:28.

【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出

辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.

13.50

【分析】

证明△EMgAAGB,&BGC叁△CHD,再利用梯形E/77D的面积减去上述四个三角形

面积即可求解.

解：如题干中图所示：・・・/产二90。，

・•・ZF£A+ZME=90°,

•・•ZEAB=90°,

.\Z^G+ZM£=90°,

；・NFEA=NGAB,

在^E必和△AGB中：

ZEM=ZAGfi=90

,NFEA=NGAB,

AE=AB

.\AEM^A4GR(AAS),

AM=BG=2,

•*-5'MEF=5必8G尸xE/=；x2x6=6，

乙乙

同理可证：△BGC^AC/7D(AAS),

:・GC=HD=4,

SA8Gc=S"=gcGx8G=gx4x2=4,

・•・图中实线所围成的图形的面积5=

S槎彩"〃/>-2SA4即一25Azice=；(E"+OH)x尸"一2x6-2x4=1(6+4)x14-12-8=50,

故答案为：50.

【点拨】本题考查了三角形全等的性质及判定方法，梯形的面积公式等，熟练掌握三角

形全等的判定方法是解决本题的关键.

14.(4,2)

【分析】

过A作MN〃xJdl,过C作C/_LMN于凡过8作BE_LMN于E,根据垂直定义求出

ZBEA=ZCFA=ZBAC=9O0,求出N£8A=NC4/，BE=2,AE=3,根据A4S推出

ABE40AAPC,根据全等三角形的性质求出入F=BE=2,CF=AE=3,即可得出答案.

过A作粕，过。作C/_LMN于尸，过8作8E_LMN于E,

则ZBEA=ZCFA=ABAC=90°,

NEBA+NBAE=90。，ZBAE+ZCAF=90°,

・•・ZEBA=ZCAF,

VA(2,-l),8(-1,1),

ABE=]+\=2,AE=2+I=3,

在凶£4和AAFC中

4BEA=/.AFC

•NEBA=NFAC,

AB=CA

：.\BEA^^AFC(AAS),

：・AF=BE=2,CF=AE=3,

•••4(2-1),

・4的坐标是(4,2),

故答案为：(4,2).

【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中点坐标的确定，准确构造全等三角形是解决

本题的关键.

15.4

【分析】

根据条件可以得出NE=NADC=90。，进而得出△CEBGAADC,就可以得出BE=DC,

就可以求出BE的值.

解：VBE±CE,AD1CE,

AZE=ZADC=90o,

r.ZEBC+ZBCE=90°.

VZBCE+ZACD=90°,

AZEBC=ZDCA.

ffiACEB和△ADC中，

/E=NADC

<NEBC=/DCA,

BC=AC

/.△CEB^AADC(AAS),

.\BE=DC,CE=AD=IO.

VDC=CE-DE,DE=6,

ADC=10-6=4,

:.BEM

故答案为4.

【点拨】此题考查垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及

性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.

16.472

【分析】

作辅助线，首先证明△ABO也ZiBEN,得到BO=ME：进而证明△BPFgANPE,即可

解决问题.

解：如图，过点E作EN_LBM,垂足为点N,

ZAOB=ZABE=ZBNE=90°,

ZABO+ZBA0=ZABO+ZNBE=90°,

.\ZBAO=ZNBE,

•••△ABE、△BFO均为等腰直角三角形,

.\AB=BE,BF=BO；

在△人80与4BEN中，

NBAO=NNBE

4A0B=/BNE

AB=BE

AAABO^ABEN(AAS),

，BO=NE,BN=AO；

VBO=BF,

ABF=NE,

在^BPF与△NPE中，

ZFBP=ZENP

-NFPB=NEPN

BF=NE

.•.△BPF^ANPE(AAS),

.\BP=NP=yBN：而BN=AO,

.-.BP=^AO=^X8V2=4V2，

故答案为4&.

【点拨】本题考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质和判定，作辅助线，构造

全等三角形是解题的关键，灵活运用有关定理来分析或解答.

17.3秒

【分析】

根据题意证明利用AAS证明△ACM空△8MQ,根据全等三角形的性质

得到AC=BM=3m,再利用时间=路程4•速度加上即可.

解：VZCA/Z>90°,

NCMA+NQM8=90°,

又・・・NC4M=90。，

・・・NCM4+/C=90。，

:"C=4DMB.

在/?/△ACM和/?/△BMD中，

NA=NA

・・.■ZC=ADMB

CM=MD

，R，AACMmRdBMD(AAS),

.\AC=BM=3/n,

•・•该人的运动速度为\Ms,

・••他到达点M时，运动时间为"1=3(.0.

故答案为：3秒.

【点拨】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等

的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量

关系.本题的关键是求得/?/△ACMgR仙BMD.

18.(或U.

【分析】

根据题意化成二种情况,根据全等三角形的性质得出CP=CQ,代入得出关于t的方程，求

出即可.

解：解:由题意得分为二种情况:

p

如图1,

ECF

图1

P在AC±,Q在BC上，

•••PE±I,QF11,.,.ZPEC=ZQFC=90°,

•••ACB=90\

ZEPC+ZPCE=90°,ZPCE+ZQCF=90,

ZEPC=ZQCF,

MAPCE^ACQF,

PC=CQ,

7

即5-i=12-3t,解得t=y;

当P、Q均在AC上的时候，此时4VtV5,

如图:

AP=5-l,CQ=3t-l2,

5-t=3t-12,解得t="；

4

故答案为:17或宁17.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意:全等三角形的判定定理有

SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的对应边相等.

19.(1)①证明见分析；②证明见分析

(2)证明见分析

(3)DE=BE-AD(或者对其恒等变形得到4)=3£-。匹，BE=AD+DE),证明见

分析

【分析】

(1)①根据AO_LMV,BELMN,ZACB=90°.得出NC4O=N8CE,再根据A4s

即可判定AADC二ACM；②根据全等二角形的对应边相等，即可得出C£=A",CD=BE,

进而得至ijQE=CE+CO=A。+；

(2)先根据AD_LMN,BE上MN,得至jlNADC=NC£S=NAC3=90°,进而得出

/CAD=/BCE,再根据A4s即可判定AADC空△(：?上,进而得到CE=AO,CD=BE,最后

得出DE=CE-CD=AD-BE；

(3)运用(2)中的方法即可得出DE，AD,防之间的等量关系是：DE=BE-AD或

恒等变形的其他形式.

(1)解：①•.•A£>_LA77V,BE工MN,

ZADC=ZACB=90°=4CEB,

.-.ZC4£>+ZACD=90°,NBCE+ZACD=90。,

:"CAD=NBCE,

•.,在AADC和ACEB中，

NCAD=NBCE

NADC=/CEB

AC=BC

.­.AADC^ACEB(AAS).

②•.△ADCMACEB,

:.CE=AD,CD=BE,

DE=CE-CD=AD+BE；

(2)证明：vAD±MN.BE1MN,

..ZADC=NC破=ZAC8=90°,

NC4O=N8CE,

•.•在AADC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

<ZADC=4CEB

AC=BC

SADC会^CEB(AAS)；

CE=AD,CD=BE»

：.DE=CE-CD=AD-BE；

(3)证明：当MN旋转到题图(3)的位置时，AD,DE,的所满足的等量关系是：

OE=BE—AO或AO=3E+OE或BE=AD+DE.

理由如下：vADLMN,BE上MN,

：.ZADC=/CEB=ZACB=9(尸，

/.ZCAD=ZBCE,

•.•在AADC和ACEB中，

ZC4D=ZBCE

ZADC=ZCEB

AC=fiC

MDC=^CEB(AAS),

CE=AD，CD=BE,

DE=CD-CE=BE-AD(或者对其恒等变形得到AD=BE+DE或

BE=AD+DE).

【点拨】本题属于三兆形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解

题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差

关系进行推导，得出结论.

20.(1)DE=BD+CE；(2)QE=8O+CE的数国关系不变，理由见分析：(3)(-

4,3)

【分析】

(I)证明△"/注△C4E,根据全等三角形的性质得到4O=CEBD=AE,结合图形

证明结论；

(2)根据三角形的外角性质得到证明△ABDgZSCAE,根据全等三

角形的性质解答；

(3)过点A作AM_Lx轴于点M,过点8作BN_Lx轴于点N,根据(1)的结论得到

>ACM@4BCN,根据全等三角形的性质解答即可.

解：(1)VZBAC=90°,

，ZBDA=^AEC=ZBAC=90°,

，NABQ+/B4O=90。，ZCAE+ZBAD=90°,

・•・RABD="AE,

在△48。和仆CAE中，

NABD=NCAE

<AADB=NCEA,

BA=AC

/./\ABD^^CAE(AAS),

：.AD=CE,BD=AE,

/.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE；

（2）的数量关系不变，

理由如下：・・・NBAE是AABO的一个外角,

・•・ZBAE=NADB+NABD,

VZBDA=ZBAC,

：.NABD=NCAE,

在4人8。和^CA石中，

ZABD=ZCAE

•ZADB=ZCEAt

BA=AC

AAABACAECAAS）,

：.AD=CE,BD=AE,

DE=AD+AE=BD+CE；

B

（3）过点A作AM_Lx轴于点M,过点B作8N_Lx轴于点N,

•・•点C的坐标为（-2,0）,点8的坐标为（1,2）,

AOC=2tON=\,BN=2,

:,CN=3,

由（1）可知，△ACM会△CBN,

・・・4M=CN=3,CM=BN=2,

・・・OM=OC+CM=4,

・••点A的坐标为（-4,3）.

【点拨】本题考查的是三角形全等的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的

判定定理和性质定理是解题的关键.

21.(1)见详解；［2)成立，理由见详解；(3)见详解

【分析】

(1)根据8O_L直线初，CE_L直线机得NB/)A=/CE4=90。，而NB4C=90。，根据

等角的余角相等得NC4石=NABO,然后根据“A4S”可判断AAQgACRl；

(2)利用N8ZM=/R4C=。，^ZDBA+ZBAD=^BAD+^CAE=\SO0-a,得出

ZCAE=ZABD,然后问题可求证；

(3)由题意易得=A产===/助产=NR4C=60°,由(1)(2)易证

MDB^^CEA,则有AE=8£>,然后可得/尸BD=NFAE,进而可证98处刍\群尸，最后问

题可得证.

解：(I)直线加，CEJ_直线机，

7.NBDA=NCEA=90。,

•••N84C=90。，

：.ZBAD+ZCAE=90°,

-ZBAD+ZABD=90°,

:"CAE=AABD,

在AADB和ACEA中，

ZABD=ZCAE

<NBDA=NCEA,

AH=AC

：.AADA^ACE4(A4S)；

解：(2)成立，理由如下：

•.•NBDA=NBAC=a,

/.乙DBA+4BAD=+NCA上=1Q-a,

:.ZCAE=ZABDf

••,在和ACEA中，

Z.ABD=^CAE

<NBDA=ZCEA,

AB=AC

AADB^ACE4(A45)；

(3)证明：•.・△AB尸和△AC尸均为等边三角形，

BF=AF=AB=AC,ZABF=ZBAF=ZFAC=fir,

・•・NBDA=NAEC=ZBAC=\20°,

ZDE4+ZB/V)=Z^P+ZG4£=I8O°-I2O°,

，ZCAE=ZABD,

MD^ACE4(A4S),

***AE=BD，

/FBD=/FBA+ZABD/FAE=ZFAC+Z.CAE,

；•NFBD=NFAE，

^DBF^^EAF(SAS),

FD=FE、/BFD=ZAFE,

，4BFA=/BFD+ZDFA=乙^所+/DFA=/DFE=,

是等边三角形.

【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握

全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键.

22.⑴证明见详解(2)£)E+BE=4D理由见详解

⑶DE=BE-AD(或AD=8E-OE,BE=AD+DE等).理由见详解.

【分析】

(1)根据题意由垂直得NA0ON8EO90。，由同角的余角相等得：ZDAC=ZBCE,

因此根据4As可以证明△AOCg△CEB,结合全等三角形的对应边相等证得结论；

(2)由题意根据全等三角形的判定定理AA5推知△ACOgZiCBE然后由全等三角形

的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得。E+B斤AD；

(3)由题意可知。从4。、BE具有的等量关系为:DE=BE-ADI或AD=BE-DE,BE=AD+DE

等).证明的方法与(2)相同.

(I)证明：如图I,

'：ADLMN,BELMN,

J/ADC=/BEC=90。,

：.ZDAC+ZACD=90°,

,rZACB=90°,

・•・NACD+NBCE=90。,

:・NDAC=NBCE,

在^ADCft△CEB中，

NADC=NBEC

VNDAC=NBCE,

AC=BC

：.△ADC94CEB；

:・DC=BE,AD=EC,

•；DE=DC+EC,

；・DE=BE+AD.

(2)解：DE+BE=AD.理由如下：

如图2,VZACB=90°,

・•・ZACD+ZBCE=90°.

又・.・AQ_LMN于点。，

・•・NACO+NC4£>=90°,

:・NCAD=/BCE.

在△人。。和4CBE中，

ZADC=ZCEB=90°

44CAD=4BCE,

AC=BC

•••△ACOg△。陀(AAS),

CD=BE,AD=CE,

ADE+BE=DE+CD=EC=AD,BPDE+BE=AD.

(3)解：DE=BE-AD(或AD=BE-DE,BE=AD+DE等).理由如下:

如图3,易证得△AQC且

：.AD=CE,DC=BE,

ADE=CD-CE=BE-AD,DRDE=BE-AD.

【点拨】本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，

熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS、SAS、AAS.ASA-在证明线段的和与差

时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论.

23.探究：（1）DE二BD+CE；拓展：（1）成立，见分析；应用：（3）ADEF是等边

三角形

【分析】

（1）根据直线机，。£：，直线〃?得N8D4=/CE4=90。，而N84C=90。，根据等

角的余角相等得NC4E=/A8。，然后根据“4A夕可判断△AQ8丝△CE4,则4E=B。，AD

=CE,DE=AE+AD=BD+CEi

（2）FhZBDA=ZAEC=ZBAC,就可以求出NA4O=NACE,进而由AAS就可以得

出AZMO且△4C£,就可以得出笈。=4£,DA=CE,即可得出结论；

（3）由等边三角形的性质，可以求出//MC=120。，就可以得出△就

有进而得出△BO尸WillDF=EF,NBFD=NAFE,而得出NOFE=

60°,即可推出△DE尸为等边三角形.

解：（1）如图1,

图1

VBOJ_直线m,CEL直线m,

・・・NBD4=NCEA=90。，

VZfiAC=90%

：,ZBAD+ZCAE=90°

*：ZBAD+ZABD=90°,

:・/CAE=/ABD,

在△4。4和4CEA中,

ZBDA=ACEA

<ZCAE=ZAI3Dt

AB=AC

：,ADACEA(AAS),

1・AE=BD,AD=CEf

・•・DE=AE+AD=BD+CE；

故答案为：DE=BD+CE

(2)解：如图2,

AZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=\SO°-a

：.ZDBA=ZCAE,

在△4。6和4CEA中，

NBDA=/CEA

<«AE=XABD,

AI3=AC

・•・△4080△CEA(AAS),

：.AE=BD,AD=CEt

・•・DE=AE+AD=BD+CE；

(3)证明：如图3,

图3

由(2)可知，△4QB/ZXCE4,

：.B