2025年高考数学一轮复习：空间向量和立体几何（三）含解析

空间向量和立体几何高考复习专题三

知识点一线面垂直证明线线垂直，空间垂直的转化,已知线面角求其他量

典例1、四棱锥尸一A8C。中，底面48CQ为梯形，AB//CD,AD=DC=2,48=4,PA=PC=2,

P-AC-B

为直二面角.

(1)证明：CBLPA.(2)若直线产力与平面P8C所成角的正弦值为正，求AC的长度.

4

随堂练习：如图，。是以A3为直径的圆。上异于小3的点，平面PACJ_平面A8C,△PAC

为正三角

ppPF

形，E,b分别是棱P依上的点，且满足?=前=〃0<2<1).

(1)求证：BCLAE；(2)是否存在义，使得直线AP与平面AM所成角的正弦值为叵？

14

若存在，求出义的值；若不存在，请说明理由.

典例2、在四棱锥，一ABCD中，PDL底面ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=1,AB=2,OP=G.

(1)证明：BD±PA；

(2)点/；在线段加上，试确定点/7的位置使"'与平面为8所成的角的正弦值为R

随堂练习：在如图所示的多面体中，以")•平面A4C,081平面ABC,AC上BC,且

AC=BC=BD=2AE=2,

”是的中点.

(1)求证：CMLEM.(2)在棱。C上是否存在一点N,使得直线MV与平面EMC所成

的角是60°.若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由.

B

典例3、如图(1),是△BC。中5c边上的高线，且4?=2AD=2AC,将一48沿A。

翻折，使得平

面AC£>_L平面如图(2).

(1)求证：ABA.CD；(2)图(2)中，E是BD上一点,连接4E、CE,当4E与底面ABC

所成角的正切值为g时，求直线AE与平面8CE所成角的正弦值.

随堂练习：如图，在四棱锥尸-A4C。中，底面A8C。为平行四边形，PA_L平面人BC。，

点M,N分别

为BC,抬的中点.

(1)取性的中点〃，连接A”，若平面A//CJ•平面附6,求证：PB1AC；

(2)已知44=AC=1,AD=42,若直线AC与平面P3C所成角的正弦值为当，求平面

P8C与平面A8CQ的夹角的余弦值.

典例5、如图，在正方体A8CQ-A4GA中，E为棱84的中点，棱8c交平面AQZ于点儿

(1)求证：平面ACE_L平面叫；(2)求证：BC.//EF；(3)求二面角A-AE-8的

余弦值.

随堂练习：如图，三棱柱A4C-AMC中，面A8C_Z面AAGCAB_LAC4A="=AC=2,

/A,AC=60.过

AA的平面交线段8c于点石(不与端点重合)，交线段8c于点尸.

(1)求证：四边形AAE尸为平行四边形；

(2)若4到平面A/G的距离为右，求直线AG与平面AFG所成角的正弦值.

典例6、已知ABC是边长为4的等边三角形，E,分别是A8,AC的中点，将△河£尸沿

着"翻折，得到四棱锥A-8C尸E,平面AE/_L平面8C正，平面AE/n平面

AiBC=l,

(1)求证：〃/平面BCFE；(2)求直线8c与平面ABE所成角的正弦值；

(3)求点。到平面4班的距离.

随堂练习：如图所示，在RlAABC中，斜边AC=4,ZAC8=60。，将“8C沿直线AC旋

转得至doc,

设二面角AC-%的大小为。（0。＜。＜180。）.

（1）取47中点反过点少的平面与〃；/1〃分别交于点片G,当平面MG〃平面时,

求历的长；

（2）当a=90。时，求二面角8-。C-A的余弦值.

（3）是否存在。，使得A3LOC?若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

空间向量和立体几何高考复习专题三答案

典例1、答案：（1）证明见解析（2）2

解：⑴取A3的中点M,连接交AC于O,连接OP,所以4M

因为AB〃CD,AD=DC=2,AB=4f所以可必幺。。且AM=AO=2,

所以四边形AOCM为菱形，所以OW_LAC,因为%=PC,。为AC的中点，所

以O尸_LAC,

所以/尸为P-AC-8的二面角的平面角，

因为二面角P—AC-8为直二面角，所以“POM=90',即QMJ_PO,

因为OM_LAC,0M上PO,ACDPO=QAC,POu平面PAC,所以。M_L平面

PACy

又因为EAu平面PAC,所以OMJ.PA.又因为M为A4的中点，。为AC的中

点，

所以OM//8C,所以8C_LPA；

（2）由（1）知，OM_L4C,OM上PO,OP_LOC,以。为坐标原点,

建立如图所示的空间直角坐标系O-22,

设|0。寸(aX)),10H=。(。＞0),由OPLOC,得/+/『=4,

所以P(0,0,/?)R0,—〃,0),8m2z0),C(a,0,0),所以BC=(0,-2尻O),PC=(a,O,-。),

in-BC=0—2by=0

设）为平面咏的一个法向量，则一,即…

令x=/?,贝ljy=0,z=a,/?=(/?,0,A),PD=((),-/?,-b)

PDn

设直线PD与平面P8C所成角为。，则sina=8s{PD,j卜阂

PD|n|yjb2+b2xylb2+a2

因为直线Q。与平面P3C所成角的正弦值为叵，/+〃=4,

4

所以翳=¥'解得力以6

由（1）知，。为人C的中点，所以八C-2OC-2.所以八C的长度为2.

随堂练习：答案：（1）证明过程见解析；（2）存在，A=1.

解：（1）设AC的中点为。，连接。P,因为是圆。的直径，所以3CJ.AC,

因为平面尸AC，平面A8C,平面尸4CQ平面A8C二AC,

所以8c工平面PAC,而AEu平面PAC,所以8C_LA£；

（2）连接OO,因为DO//8C,所以8C_L">,

因为△孙（7为正三角形，AC的中点为。，所以。匕L4C,

因为平面夕ACJL平面"BC,平面PAC1平面ABC=AC,

所以OP_L平面ABC,而DOu平面ABC,

所以OP，。。，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AC=2a,4C=b,

£)(0,0,0),A(a0,0),P(0,0,品好,Ei-cUAga(l-m),尸(一。,以,底八-2)),

设平面AW的法向量为,

AE=(-aA-a,0,y/3a(1-A)),AF=(—aA,—athAy\/3a(\—A)),

,n1AE]，?AE=0\(-aA-a)x+j3az(\-A)=0

所以有〈=(=>VL,

[n1AFnAF=0[(-aA-a)x+bA,y+V3az(l-2)=0

所以〃=(-7~~,0,G),AP=(-a,0,y/3a),

1+2

假设存在4,使得直线40与平面AE尸所成角的正弦值为叵，

14

所以有==际〈小〃〉卜丽二为机."3=旌或"=彳(舍云)，

即存在％=J，使得直线的与平面AEF所成角的正弦值为叵.

314

典例2、答案：(1)证明见解析(2)点夕在川的中点处

解：(1)证明：•・♦勿_1底面力姬4BDu面ABC。,：.PDLBD

取”中点笈连接应，VAD=DC=CB=\,Al3=2f

：.ZDAB=60,又・.・4E=；AB=AZ)=1,ADE=l,:.DE=^AB.

・・・△力劭为直角三角形，且48为斜边，：.BD±AD,

又PDcAD=D,"u面为〃，力〃u面为〃；.8”面PAD,又用<=面心〃,

/.BD±PA

(2)由(1)知，PD,AD,劭两两互相垂直，分别以的，DB,DP为X、八z轴

建立如图空间直角坐标系，

BD=」ABjD;也则〃(。0,0)，4(1,0,0),8(0,6,0),2(0,0,右),

PA=(1,0,-@,A5=(-1,疯0)

厂

设平面为夕的一个法向量为〃=（4/）,则〃"="一尸’则可取

n•AB=-x+y/3y=0

n=（V3,U）.

设点尸的坐标是（0。/）（0金工石），则防的坐标是（0,一有,t）,

设即与平面必方所成的角为巴

则sinO=k°s〈8£力卜篇'严a=（解得或

悭乃力\/5Vr+3|j5"+35

3

2

点/，在线段/力上，则”正，即点/，在加的中点处满足题意.

2

随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）存在，N为棱QC的中点.

解：（1）,.・AC=8C,M是A8的中点，：.CMLAB.又E4_L平面ABC,.\GW1E4.

•：EAryAB=A,EAu平面AEM,A8i平面AEM,JCMJ■平面AEM.

：£Mu平面AEM,CMLEM.

（2）以知为原点，分别以MB,MC为x,y轴，如图建立坐标系用-a.

则：Af（0,0,0）,C（0,V2,0）,B（V2,0,0）,力（立0,2）,E（-V2.0,l）,

M£=（-X/2,0J）,AG（O,0,O）,BO=（0,0,2）,心（-反0,0）.

—+Z1=0

设平面EMC的一个法向量帆=（/x，zJ,则：I"”。，

不妨取x=l,=0,马=&,所以机=（1,0,0）.

假设在棱DC上存在一点N,使得直线MN与平面EMC所成的角是60°,

设N（x,y,z）且QN=；IOC，（0<2<1）,/.卜一夜,），/一2）=*一0,"-2）,

•e-x-V5-V22,v=V2A,z=2-22,・，.MN=（尤-行九夜4,2-2%）,

若直线MN与平面EMC所成的角为60°,

>/2-V2Z+V2（2-22）J31

则：—>飞网叫勺+4（L）尸必。'解得即点N为棱

QC的中点

所以在棱。C上存在一点N,使直线MN与平面EMC所成的角是60°.

典例3、答案：（1）证明见解析（2）华

解：（1）证明：由图（1）知I,在图（2）中AC_LAO,ABLAD,

平面AC£）_L平面ABD,平面ACOR平面ABD=AD,A8u平面ABD,

.•.Abi平面AC。，又CDu平面AC。，:.ABLCD-

（2）以A为原点，AC,AB,A。所在直线分别为x,>1,z轴建立空间直角坐标系,

不妨设AC=1则4（0,Q0）,3（020）,C（1,0,0）,D（0,0,l）,

设E（x,y,z）,由DE=2DB=A（0,2,-l）,（0<2<1）,可得AE=AD+庇=（0,24T）,

又平面A8C的一个法向量为八。=（0,0,1）,,

由AE与底面ABC所成角的正切值为，可得tan（AQ,阻=2,

…他小麻—出解得•••出（。周,

设平面8CE的法向量为〃=•4）,BC=（l,-2,0）,/汨

\乙）

BCn=a-2b=0所以8s（低〃）=上=卷,

由<1可取”=（2,1,2）,

n-BE=-b+-c=i）——x3

22

故直线AE与平面8CE所成角的正弦值为逑.

15

随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）与

解：（1）平面■平面RW,且交线为A〃，过4点作A”的垂线，垂足记为K,

由于AKu平面所以AK_L平面HAC,由于ACu平面"AC,所以BK_LAC,

又尸AJ■平面A8CD,ACu平面ABC。，所以抬_LAC,

由于BK、PA是平面PAB内的相交直线，

所以AC_L平面上钻，由于尸8u平面Q4B,所以AC_LP8.

（2）由于A8=4C=I,AD=4i=BC,所以48?+AC?=，

所以AC_LA8,由于AP工平面A8CQ,4氏ACu平面A8CO,

所以AP_LAB.APLAC,B|JAB,AC,42两两垂直.

以A为坐标原点，向量AB,AC,AP方向分别为x，5，z轴建立空间直角坐标

系.

设夕/\=尔人＞0）,则夕（0,0,〃），^（1,0,0）,C（0,1,0）,故P3=（l,0,f）,Sc-（-hLO）,

PBm=0x2-z2h=0

设平面PBC的一个法向量为〃?=（占,J2,z2）,则，,即

BCm=0-x2+%=0，

令々=〃，则%=。，4=1,故加=（九/?,1）,

易得平面4&?。的一个法向量为〃0=（0,0,1）,又从。=（0,1,0）,

设直线AC与平面PBC所成角为。，贝UsinaJ肃向卜浸7T=4，解得力=1，

设平面P8C与平面A8CD的夹角为夕，则而'=悬"={=日，

所以平面P8C与平面ABC。的夹角的余弦值为半.

解：（1）在CG上取一点0,使得CP=CQ,连接PQN0.

coCP

由已知得CC,=M=CB,所以若=怎所以PQ〃8G.

CCjCD

因为PQa平面BMC，BC|U平面BMC一所以PQ〃平面

又因为/W〃平面BMC、,PNCPQ=P,PMNQu平面〃QN,所以平面PQN,平

面BMC-

平面ACGA1平面PQN=QN,平面ACGA1平面5C,M=MC,,

根据面面平行的性质可知MG//QN.

在矩形ACGA中，可得，CQNS,AMG,所以黑二笔=:，所以

22

PC=CQ=^CN=^.

(2)以C为坐标原点，分别以CA,C8,CG所在直线为x,、z轴建立空间直角坐标系.

/Q\(2、

贝lJC(0,0,0)，C(0,0,4),B(0,4,0),M2,0,-,P0,-,0.

\3)\5)

(48]10]

C；8=(0,4,-4)CM=2,0,--、,BM=(2,-4,-|,BP=0,——,0,

\3J\3/\3/

设平面GM8的法向量为J?=(&y,zj,

CB=04^-42)=0,

则一3所以'4八，取4=3得〃7=(2,3,3).

GM-m=0,2A-1--z,=0,

设平面PMB的法向量为。=(占,％z?),

(..八2x,-4)s+-z,=0,

则liDpt"S’所以10取Z2=-3,得”=(4,(),-3).

BP，】=0,10

\一了％=。，

1.\m-n2x4+0+3x(-3)\/22

所以8sH〃卜丽=3^贰际T一而

结合图可知二面角P-8M-G的余弦值为空.

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随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）显

4

解：（1）连接划，交力。于点〃，底面力四为菱形，・・・AC/M,

由直四棱柱得GD_L底面月又ACu平面力仇力，：.GD±ACf

又BD1GD=D,SD,GOu平面做G,工AC_L平面8%,因为"Gu平面劭G,

,ACA.BG

已知CEJ.4G,又AC1C石=C,AC,CEu平面力成，・・・武；，平面/5

因为4Eu平面/?%,，平面ABE〃平面西力

平面AE/GW平面43E=AE,平面AEFG5F®CFGD=GF,

AFG//AEt贝ljFG_LHG

（2）已知A4=2,/DA8=60°,可求应）=2,AC=2yf5

由匕c%•/）=-3x-2x2x2xsinl20xGD=—3,则GD=2

在直四棱柱中，/C_L底面力质，

所以/必。为直线〃'与底面力谶所成角，lan“AC=/=且，则“*=3

AC2

在平面力次内作。〃b,可知Oz_L底面力比&如图，以。为原点，建立空间

直角坐标系。一冲z,

则A(G,0,0),8(010),C(-y/3,0,0),G(0,-l,2),尸(一6。3),

O£=OA+AE=OA+GF=(V3,0,0)+(->/3,l,1)=(0,1,1)则CE=(百,1,1),CB=(万,1,0)

设平面的法向量为〃?=(”z),则—°

m-CB=0y/3x+y=0

取K=1,得y=r§,z=0,得加=(1,-6,0),

由(1)知AG_L平面所以平面”2?的一个法向量为〃=BG=(0,-2,2)

则cos(*="：=2已=呼，所以锐二面角-B的余弦值为立

''|/n||/?|2-2V244

典例5、答案：（1）证明见解析（2）证明见解析⑶-1

解：（1）在正方体ASCO-AgCQ中，平面A3CQ.

因为ACu平面4BCD,所以。A，AC.又因为A3CD是正方形，所以4。工8。.

又因为DDJBD=D,所以ACJ_平面DQ网.

又ACu平面ACE,所以平面4CE_L平而

（2）在正方体ABCO-AgGA中，平面4"独〃平面耳BCC.

又平面AAOqn平面A2E=42，平面与8CCC平面A"E=EF,则4£＞"律.

又因为AB//D©且AB=D£,所以/WC〃是平行四边形.所以ADJIBC、.所以

BCJ/EF.

（3）因为AA_L底面48CD,AHA.AD,所以从力，他/U,两两垂直.以AD,A&然所在

直线分别为x轴、卜轴和z轴，建立空间直角坐标系4-个z.设正方体边长为加，

则A(0,0,0),。(2〃,0,勿)，E(0,2a,a),C(2a,2a,0),D(2a,0.0),AD,=(加,0,2a),AE=(0,2a,a),

AD=(2a,0,0).

、bh……jj/口、t.\n-AD.=0,[lax+laz=0,

设r1平面人。声的一个法向量为〃=(x,y,z),由(八得a

〃AE=O2ay+az=0.

令x=-2,得〃=（-2,-1,2）.

因为AOJ_平面AEB,所以八。=（2«,0.0）是平面AEB的一个法向量

|n-AD|—4。2

所以|烟＜〃）。＞|=质证=阪五=?.由图可知，二面角A-AE-C的余弦

值-|・

随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）旦.

4

解：（1）在三棱柱ABC-A耳G中，Mi,8瓦u平面B8CC，恒U平面，贝I]A4）//

平面88CC，

又平面AAEPc平面BACC=E尸，Mu平面于是得"J/EJ

而平面4BC7/平面4/6,平面AAE/c平面A8C=A",平面A41E/c平面

=AE,

则A£//AF,所以四边形"四为平行四边形.

（2）在平面AAGC内过点力作Az_LAC,因平面ABC/平面AACC，平面48Cc平

面AAGC=ACt

于是得Az_L平面八BC,又AB/AC,以点力为原点，建立如图所以的空间直角

坐标系，

因A4,=A8=AC=2,2AAC=60,则8(2,0,0),C(0,2,0),4(0,1,6),0(0,3,、/5),

AB=(2,0,0),AQ=(0,3,g),CB=(2,-2,0),AC=(0,2,0),

AF=AC+CF=AC+tCB=(0.2,0)+心-2,0)=(2r.2-2八0)(0</<l),

设平面AFCI的法向量〃=(x』z),则「一［m=?'+fz：，八，令k/，得

n-AF=2tx+(2-2t)y=O

〃=(—"),

点4到平面A/G的距离d=号詈=/2。1）、=/J：,、=&,解得

1«1«-1尸+"+（-G）2皿-1）-+4广

葭

因此，〃=（-|',-亭），而AG=（0,2,0）,设直线AC与平面4PG所成角为明

于是得—a船沿干亡事

所以直线AG与平面所成角的正弦值为亚.

4

典例6、答案：(1)证明见解析(2)叵(3)巫

55

解：(1)在ABC中，E,尸分别是A4,AC的中点，所以铲〃8c.

在四棱锥A-巫中，因为6C〃£^,EFu平面人厂产，8cz平而4项"所以

8C〃平面A".

又8Cu平面ABC,平面AE尸fl平面A8C=/,所以8C〃/,

因为ACu平面AC"E,S平面AC在，所以///平面次/E.

(2)在四棱锥A-8CFE中，取石尸的中点。，BC的中点〃，连结。4，0D,

因为0A，七尸，OZ)_L£F,又平面入右尸，平面BCFE,平面%EFi平面BCFE=EF,

。4i平面所以0AJL平面8CFE,

因为ODu平面BCFE,所以。A，。。.

以点。为坐标原点，OD,OF,。4分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系，如图所示：

则A（O,O,G）,5（73,-2,0）,C（G,2,0）,E（O,-LO）,^C=（0,4,0）,BA.=（一6,2,G）,

昆=（一百,1,0）.

设机=(Q,z)是平面A四的一个法向量,

m--f-2y+>