2026高考数学一轮复习：全概率公式及应用（含答案）

2026《高考数学一轮复习微专题106讲》含答案100.全概率公式与

应用100.全概率公式及应用

基本原理

1.全概率公式

在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化

整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑

一般地，设4,A2,A〃是一组两两互斥的事件，且P(A)＞。，

i=l,2,n,则对任意的事件3=0,有尸(B)=fp(a)P(qA).

«=1

我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一.显然，应用

全概率公式的关键就是将找到完备事件组，下面我们介绍一些常见的类型.

2.样本空间的常见分类方法(构造完备事件组)

①.对于具有多个步骤或阶段的试验，可按照每个步骤或阶段的不同结果来划分样本空间

②.当试验涉及到具有不同属性或特征的事件时，可根据这些属性或特征进行划分

③.如果事件的发生是由不同原因或在不同条件下导致的，那么可以据此划分样本空间

下面我们通过具体的例子来分析.

二.典例分析

★对于具有多个步骤或阶段的试验，可按照每个步骤或阶段的不同结果来划分样本空间

例1.(四川成都市2025届高三二模)某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答

完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通

识题或专识题，派出通识题的概率为:，派出专识题的概率为|■.已知某选手答对通识题与

专识题的概率分别为且各轮答题正确与否相互独立.

(1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率；

(2)记该选手在第力轮答题结束时挑战依然未终止的概率为P,,,

(i)求。3，1

(ii)证明：存在实数之，使得数列｛加「而“｝为等比数列.

解析：(1)设事件4="一轮答题中系统派出通识题”，事件8="该选手在一轮答题中答对”，

1—93—1

依题意,P(A)=-,P(A)=-,P(B|A)=-,P(B|A)=-,

——13211

因此P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=-x-+-x-=-,

所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为g.

(2)(i)设事件纥="该选手在第〃轮答对题目“，各轮答题正确与否相互独立，

1——2

由(1)知，P(B„)=-,P(B„)=-,

当〃=1时，挑战显然不会终止，即R=l,

当〃=2时，则第1、2轮至少答对一轮，。2=1-尸(瓦瓦)=1-尸(瓦)尸(瓦)=暂，

——151211

X+XX1=

由概率加法公式得=P(B3)ft+P(B2B3)A=P(B3)p2+P(B2)P(B3)A=3933^；

_一一1111257

同理04=P»4)n+P(B3B4)p2=P(BJP2+P(g)尸(耳)p?=-X—+-X-X-=--.

，4/DD7乙/

(ii)设事件C“="第”轮答题结束时挑战未终止”，

当〃23时，第〃轮答题结束时挑战未终止的情况有两种：

①第〃轮答对，且第轮结束时挑战未终止；

②第”轮答错，且第，L1轮答对，且第〃-2轮结束时挑战未终止，

因此第〃轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为C“=uC-ABI，

则P(C“)=尸(QT)尸(纥|Ci)+尸(/OP(瓦及|C„,2),而各轮答题正确与否相互独立，

—12

)

因此尸(Q)=/(C„.1)P(B„)+P(C„-2)P(B„B,!_1)=-P(C„-1)+-P(C„-2)，

12

当〃23时，PN=3PU+^P“-2,设存在实数2,使得数列也，+「为”｝为等比数列，

当时，P,+1-2P"=q(p“-4p,_i),整理得。用=(彳+4)。“一也01，

\1

%+0=—

而。“+1=了1"+32。"-1，贝叶93'解得2=-于I4?='或2=2'，4=一1£，

J，c乙JJJJ

Aq=——

[9

业…1821

n=mp2+-A=-,p2--A

因此当X=-g时，数列｛p向+3〃〃｝是首项为：，公比为.的等比数列；

，Jy3

当4=(2时，2数列｛Pi-鼻0｝是首项为-七1，公比为-§1的等比数列，

所以存在实数6一1或％=彳9，使得数列｛P.-沏〃｝为等比数列.

★2.当试验涉及到具有不同属性或特征的事件时，可根据这些属性或特征进行划分例1.某

例2.(深圳市2024届高三模考)企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方

案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷

调查：

一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有

放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式I回答

问卷，否则按方式n回答问卷”.

方式I：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“。”，否则画“X”；

方式II:若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“。”，否则画“X”.

当所有员工完成问卷调查后，统计画。，画x的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即

可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度

企业所有对新绩效方案满意的员工人数

=---------企业人数---------xli0nn0o%/-

（1）若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式I回答问卷的人数，求X的数学期

望；

（2）若该企业的所有调查问卷中，画“。”与画“x”的比例为4：5,试估计该企业员工对新

绩效方案的满意度.

解析：（1）每次摸到白球的概率；，摸到黑球的概率为《，每名员工两次摸到的球的颜色不

714

同的概率尸=C；xjx/=E，由题意可得：该部门9名员工中按方式I回答问卷的人数

X~《9，W，所以X的数学期望E（X）=9x[=4.

（2）记事件A为“按方式I回答问卷”，事件3为“按方式H回答问卷”，事件C为“在问卷

45912

中画。”.由（1）知P（A）=g,P（B）=1-P（A）=-,P（A）P（C|A）=P（AC）=-x-=-.

•••P（C）=总J，由全概率公式尸（。）=尸⑷尸印）+尸⑻尸（。忸），则Y»（C忸）,

解得P（C⑻=£=0.4,故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为40%.

★3.如果事件的发生是由不同原因或在不同条件下导致的，那么可以据此划分样本空间

设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻f=0时，位于点x=i（ieN+）,下一

个时刻，它将以概率a或者月

＜（ze（0,1）,«+^=1）向左或者向右平移一个单位.若记状态X,』表示：在时刻f该点位

于位置x=igN+）,那么由全概率公式可得：

P-P（Xe）.P（X,+T|XiT）+P（Xi）P（X*®|XQ

另一方面，由于P（X皿|Xw）=£,P（X皿|X,ai）=a,代入上式可得：

Pi=aPi+i+B，Pw

进一步，我们假设在x=0与x=〃z（〃z〉O,mcN+）处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时

被吸收，不再游走.于是，好=0,&=1.上述便是一个典型的马尔科夫过程.

例3.（2023•新高考1卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此

人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均

为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是

甲、乙的概率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量X,服从两点分布，且P（X,=1）=1-P（X，=0）=4，i=l,2,一〃，则

E记前〃次（即从第1次到第〃次投篮）中甲投篮的次数为求石⑺.

\z=l）i=\

解析：（1）记“第i次投篮的人是甲”为事件4,“第i次投篮的人是乙”为事件瓦,

所以，尸（耳）=尸（A耳）+尸（4耳）=尸（A）尸（与IA）+尸（g）「出田）

=0.5x(1—0.6)+0.5x0.8=0.6.

（2）设P（A）=P,.，依题可知，p（耳）=1—口，则

尸（四）=尸（A4J+尸（生%”尸（4）尸（4114）+尸（男）尸（“田）,

即p"0.6A+（1-0.8）X（1-Pi）=0APi+0.2,构造等比数歹!]{p,+浦，设Pi+1+2=（（p,+2）,

解得4=4贝!1。,+==尖-],又P二,H，所以[p=]是首项为3公比

3355J23613J6

转的等比数列，即“十XJ，心伯々・

2|+1,1=1,2,…”

(3)因为P1=—x所以当〃eN*时,

6

2

1-

n52+令故W晨2n

E")=…+—=+3-

4318

★4.执果索因，贝叶斯公式

设41,人2,…，4是一组两两互斥的事件，AD&o...uAn=Q,且p（a）＞。，i=l，2,

nf则对任意事件Bq。，P（B）＞0,

有尸（闻B）二尸（a】!）a）="尸（4）尸（回4）,?=i,2,…,加在贝叶斯公式中，尸（4）和

（）*（4）尸（8A）

k=l

P（AIB）分别称为先验概率和后验概率.

例4.了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛.初赛采用“两轮

制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都

通过的小组才具备参与决赛的资格.某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小

组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别3是之4，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率

45

32

分别是且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.

（1）若该单位获得决赛资格的小组个数为X,求X的数学期望；

（2）已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行.假设这两组在决赛

中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率.若最后一道题被该单位的

某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是45%,55%,该题如果被答对，计

算恰好是甲小组答对的概率.

解析：（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件A，4则

/,(A)=(2x|4=|4^(A)=j3xj?=p?由题意可得，X的取值有0,1,2

6

25

P(X=2)=-x-=—,所以E(X)=0x色+lx巨+2x9=1

''5525''252525

（2）设8表示事件“该单位的某小组对最后一道题回答正确”，A表示事件“甲小组抢到

最后一道题”，&表示事件“乙小组抢到最后一道题”，则有：

91132

P（A）=45%=—,P（4）=55%=—,P（B|A）=g,尸⑻4）=「

4Q

则P（B）=p（4）p（5|4）+p（4）p（3|4）=U（凌晨讲数学）

»一n、P（A）P（B|A）27

该题如果被答对，恰好是甲小组答对即为尸（AIB）=:£J=—

点评：本题第二问即考察了全概率公式与贝叶斯公式，后者虽然不做高考要求，但是可以

看到，它实际就是条件概率的应用，完全可以现场依据具体情况得出.

★5.综合应用（新概念）

例5.（湖北省七市州2025届高三联考）已知某商店出售商品A,据统计分析，发现顾客对

商品A的需求量相对稳定，每周内对商品A的不同需求量（单位：个）与概率的数据如下：

对A的需求量0123

]_J_

概率尸

8248

若以商品A的库存作为供给量,为了改善经营，该商店决定每周末对商品A进行盘点存货：

如果商品A都售出了，则在周末及时采购2个新的商品，只要商品A还有1个存货，就不

采购新的商品.记X“为该商店第n周开始时商品A的供给量，假设XI=2.

（1）求X3的分布列;

（2）记冠=（尸（X“=l）,尸（X“=2））为第"周开始时供给量X”的概率向量，随着〃的增大，

若二=或，则还趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为0.

（i）求商品A的定常态分布0；

（ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品A需求大于供给的概率.

解析：（1）由题意X”{{1,2},第2周开始时商品A不同供给量的概率为尸（X2=l）=；,

P（X2=2）=1-P（X2=1）=1,第3周开始时商品A供给量的概率为

P（X3=1）=P（X3=1|X2=l）P（X2=l）+P（X3=l|X2=2）P（X2=2）=|X1+Q+1+^X1=A

,P（X3=2）=1-P（X3=1）=•第3周开始时商品A的供给量分布列为

X312

511

P

1616

（2）（i）记。，为商品A第”周内的的需求量，由题意，X“与的状态有关，当时,

若D“<X”,则X向=X,=2；若D“g,贝!|X用=2,设或=(x,l-x),即

P（X“=1）=x,P（Xn=2）=1-%,由全概率公式可得

P（Xz=l）=：P（X“=l）+；P（X“=2）=：x+V，

OZOZ

P（X“+i=2）=l—P（X“+]=l）=：x+—,由冠=式，得+一=x,（x+一=1一x,

oZoZoZ

解得x=（,故Tm

（47、47

（ii）由（i）可知，定常态分布0=[五,打!所以从长远来看，P（X“=1）=H，P（X,=2）=H，

记商品A需求大于供给的概率为P（D„>Xn）,由全概率公式得

尸（2>左）=尸（2>xjX"=l）P（Xn=l）+P（Dn>Xn\Xn=2）p（xn=2）

341719

=—x----F—x——=——.

81181188

三.习题演练

L（多选题）A,民C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有5%,4%,3%的人患了流感.假

设这三个地区的人口数之比为4:9:7,则（）

A.从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于0.96

B.等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为0.05

C.从三个地区中任选一人，此人选自B地区且患流感的概率为0.017

D.从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自C地区的概率为3:

2.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器

由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓

或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒

子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为.

3.(2025•湖北武汉•二模)有A,B,C,D,E,F,G,H八名运动员参加乒乓球赛事，

该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽

签随机决定各自的位置编号，已知a这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为：,

A运动员与其它运动员对决时，A获胜的概率为：2，每场对决没有平局，且结果相互独立.

冠军

决赛

半决赛|——I——------------------

预赛力rnrnrn

①②③④⑤⑥⑦⑧

(1)求这八名运动员各自获得冠军的概率；

(2)求8与A对决过且最后获得冠军的概率；

(3)求8与C对决过且最后获得冠军的概率.

参考答案：

1.解析：设事件。="此人患了流感"，事件E="此人来自A地区"，事件b="此人来自8地

区"，事件G="此人来自C地区”，由题意可得：

407

p（E）=—=0.2,尸（尸）=—=0.45,尸（G）=—=0.35,

v'20—20—20

P（D\E）=0.05,P{D\F）=0.04,P（D|G）=0.03,

对于A,由全概率公式，可得：P（D）=P（E）P（D\E）+P（F）P（D\F）+P（G）P（Z>|G）

=0.2x0.05+0.45x0.04+0.35x0.03=0.0385,

所以尸（方）=1一尸（0）=1—00385=09615>0.96,故A正确；

对于B,等可能从这三个地区中选取一个人，即P（E）=P（P）=P（G）=g,

则P（D）=P（E）P（D|E）+P（F）P（Z）|F）+P（G）|G）

=1x（0.05+0.04+0.03）=0.04,故B项错误；

对于C,P（DF）=P（F）P（£>|F）=0.45x0.04=0.018,故C错误；

对于D,由条件概率公式，可得尸©上制二绝#=端黑叶,故D

正确；故选：AD.

片=|+三

2.解析：设从i出发最终从1号口出的概率为匕，所以吕=!q+。+?月=:勺+：吕，解

3330

得片=《.故答案为：

3.解析：⑴A夺冠即为三轮比赛都获胜，所以A夺冠的概率为岬吟.

由题意，5~//七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为L

所以八〃七名运动员各自夺冠的概率均为底［1-囱=黑.

/\2//io9

（2）记事件3="B获得冠军"，事件A="3与A对决过"，事件4="8与A在第i轮对

决"，力=1,2,3.

不妨设A在①号位，则8在第1,2,3轮能与A对决时其位置编号分别为②，③④,

⑤⑥⑦⑧.

P（AB）=尸（（A+4+A*）=尸（4台）+尸（4台）+尸,

P（AB）=g1-12121-814,

3dl1

63

11437

所以尸（AB）=------1------H--------

8463189756

（3）记事件C=〃3与。对决过〃.

_IQ3739

B没有与A对决过且最后获得冠军的概率尸（幽=尸⑻-尸（岫=商-.=原

P(BC)=P((A+A)BC)=P(ABC)+P(ABC)=P(AB)P(C|AB)+P(AB)P(C\AB).

由题意，C~"六名运动员与B对决过的概率相同，8夺冠时共与三名运动员对决.

2_Q

所以P(C|AB)=-,P(C\AB)=-.

66

代入得：

101.全国卷概率计算的十二种题型与方法

1.频率与概率（统计结合概率）

2.枚举法

3.排列组合与古典概型

4.加法乘法概率公式

5.利用对称性计算概率

6.三大分布

7.极大似然估计与概率最值

8.条件概率与全概率公式

9.概率递推与马尔科夫链

10.伯努利试验与几何分布

11.基于期望的递推

12.新情境与跨板块综合问题

1.频率与概率

例1.（2022年新高考全国n卷高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位

某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

频率

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间40,50)的人口占该地区

总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),求此人患这种疾病的

概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精

确到0.0001).

解析：(1)=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)xl0=47.9(岁).

(2)设4={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},所以

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)xlO=1-0.11=0.89.

(3)设3="任选一人年龄位于区间［40,50)”，C=“从该地区中任选一人患这种疾病”,

则由已知得：P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,P(31C)=0.023x10=0.23,

则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间40,50),此人患这种

疾病的概率为小⑶二靠尸(C)P(3|C)0.001x0.23

=0.0014375«0.0014.

W016

例2.(2023年新课标D卷高考真题)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病

者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频

率分布直方图:

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值C,将该指标大于C的人判定为阳性，小于

或等于C的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为0(C)；

误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为式C).假设数据在组内均匀分布，以事件发

生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率P(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率4(c)；

(2)设函数〃c)=p(c)+q(c),当ce[95,105]时，求〃c)的解析式，并求〃c)在区间

[95,105]的最小值.

解析：(1)依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c—95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

^(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)当ce[95,100]时,

/(c)=p(c)+q(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.82>0,02；

当ce(100,105]时,

f(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c—0.98>0,02,

,[-0.008c+0.82,95<c<100~,-=_,

故/©=-。.98』。。<小。5'所以小)在区间MrS，网的最小值为“02.

2.枚举法

例3.(2022新高考1卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的

概率为

A-IB-I

解析：总事件数共C；=^=21,第一个数取2时，第二个数可以是3,5,7；

第一个数取3时，第二个数可以是4,5,7,8；第一个数取4时，第二个数可以是5,7；

第一个数取5时，第二个数可以是6,7,8；第一个数取6时，第二个数可以是7；

第一个数取7时，第二个数可以是8；所以4+4+2广+1+1卷《

例4.(2020全国1卷).甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场

者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行

下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比

赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空

设每场比赛双方获胜的概率都为g,

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率;

(3)求丙最终获胜的概率.

解析：(1)记事件甲连胜四场，贝!|P(M)=।4

(2)记事件A为甲输，事件3为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为

|=1,所以，需要进行

P'=P(ABAB)+P{ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4x

3

第五场比赛的概率为p=i'="

1Q1

(3)①四场比赛丙获胜，丙在前四场获胜的概率为(])3=w

②由下表可知：五场比赛丙获胜，P(B)=-x-x-x-=—,P(C)=-x-xlx-=-

2222162228

P(D)=—xlx—x—=—

2228

•••丙五场比赛丙获胜的概率为P(B)+P(C)+p(D)=—+-+-=—

168816

由于①②互斥，.••丙最终获胜的概率为±1+二5=」7.

81616

丙的12345事件

参赛轮空胜胜败胜B

情况轮空胜败轮空胜C

轮空败轮空胜胜D

注：第二问在处理时直接列举情况较复杂，此时可以采取正难则反的技巧.第三问则可直接

枚举出各种可能结果，这是我们在计算复杂事件时一个重要的技巧.

3.排列组合与古典概型

例5.(2022全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一平面上的概率

为.

解析:总的选法是,四点共面的有6个表面与6个对角面，共计12个，则P=匿=*

例6.(2021全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()

1224

A.-B.-D.-

3535

解析：将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻,

则有G=5种排法，若2个0不相邻，则有=10种排法，所以2个0不相邻的概率为

旦=2故选：c.

5+103

例7.(2022全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都

入选的概率为.

解析：由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数C；=10,甲，乙被选

中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数=3,根据古典概型及其概率的计

算公式，甲、乙都入选的概率p=3=a.故答案为：

cf1010

4.概率公式

主要有加法公式和乘法公式：

1.如果事件A与事件B互斥，那么P(A=P(A)+P(B)

2.如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)

3.对任意两个事件A与3,如果尸(AB)=尸(A)尸(3)成立，则称事件A与事件3相互独立，

简称为独立.

(1)事件A与3是相互独立的，那么A与月，Z与3,Z与月也是否相互独立.

(2)相互独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B).

4.计算技巧：

(1)善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”，例如：

4表示“第i局比赛胜利”，则a表示“第,局比赛失败”.

(2)理解事件中常见词语的含义：

41中至少有一个发生的事件为AU5；都发生的事件为AB；A用都不发生的事件为彳

Bi恰有一个发生的事件为A5U4&4,5至多一个发生的事件为A五UZJBLJ4》.

善于“正难则反”求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用

I'’解出所求事件概率.

例8.(2019年全国1卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜

利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主

客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,

则甲队以4：1获胜的概率是.

解析：前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是

0.63x0.5x0.5x2=0.108,前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率

是0.4x0.62x0.52x2=0.072,综上所述，甲队以4:1获胜的概率是

^=0.108+0.072=0.18.

例9.(2022全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方

得10分，负方得。分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲

学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

解析：(1)记甲学校获得冠军为事件A,

则P(A)=0.5x0.4x(1-0.8)+0.5x(1-0.4)x0.8+(1-0.5)x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8=0.6

甲学校获得冠军的概率是0.6.

(2)X的可能取值为0,10,20,30,则尸(X=0)=0.5x0.4x0.8=0.16

P(X=10)=0.5X0.4x(l-0.8)+0.5x(l-0.4)x0.8+(1-0.5)x0.4x0.8=0.44

P(X=20)=0.5x(l-0.4)x(l-0.8)+(l-0.5)x(l-0.4)x0.8+(l-0.5)x0.4x(1-0.8)=0.34

P(X=30)=(1一0.5)x(l-0.4)x(1-0.8)=0.06

X的期望值为E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13-

例10.(2023年新课标II卷高考真题)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发

送0时，收到1的概率为c(0<c<l),收到0的概率为1-口；发送1时，收到0的概率为

"0<尸<1),收到1的概率为1-〃.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输

是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，

译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数

多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-夕)(1-PF

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为万(1-£)2

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为/(1-02+(1-03

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方

案译码为0的概率

解析：对于A,依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接

收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为

(1-/?)(1-a)(l-/7)=(1-a)(l—方>,A正确；

对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件，

是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求

概率为(1一£).尸.(1一6)=尸(1一£)2,B正确；

对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和

1,1,1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为

c^(l-夕)2+(1-£)3=(1-/)2(1+2/3),C错误；

对于D,由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率p=(1-02(1+2①，单次传

输发送0,则译码为0的概率p'=l-a,而0<a<0.5,因此

P-=(1-«)2(1+2«)-(1-a)=«(1-a)(l-2a)>0,即P>P,D正确.故选：ABD

例IL(2024年新课标2卷高考真题)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员

组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则

该队被淘汰，比赛成绩为。分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的

另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的

得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率

为q，各次投中与否相互独立.

(1)若。=04,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的

概率.

(2)假设0<P<4,

(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

解析：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶

段也至少投中1次，，比赛成绩不少于5分的概率P=(l-0.63)(1-0.53)=0.686.

(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为

舄=[1-(1-p)3]/,若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率

为与=[1-(1-;0<p<q,:1=q'-(q_pq)3_p3+(p_pq)3

={q-p)^+pq+p2^+{p-q)-\{p-pqf+{q-pq)1+{p-pq){q-pq)\

={p-q)(3p1q2-3p2q-3Pqi)=3pq(p-q){pq-p-q)=3Pq(p-(?)[(!-p)(l-^)-l]>0,

..4>，,应该由甲参加第一阶段比赛.

(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,

P(X=0)=(l-p)3+[l-(l-p)3].(l-^)3,

尸(X=5)=]「(l-p)[C；q.(1-不，

P(X=10)=[1—(1-op)C；/(1-q),

P(X=15)=[1-(1-p)31/,

.•.E(X)=15[l-(l-p)3]q=15(/-3p2+30).q记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所

有可能取值为0,5,10,15,同理EG)=15(/-3/+3q).p

E(X)-E(Y)=15[pq(p+q){p-q)-3pq(p-q)\=15(p-q)pq(p+q-3),因为0<p<4,则

P-q<0,p+q-3<1+1-3<0,贝！J(p_q)pq(p+q_3)>0,,应该由甲参力口第一阶段比赛.

5.利用对称性

例12.中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图

象中，还体现在概率问题中.例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为：，

且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概

率为现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币.

（1）若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；

（2）若甲抛掷（〃+1）次，乙抛掷〃次，〃eN*,求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面

朝上次数的概率.

解析：（1）设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率口，

4=2，由对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上

次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率相等，故P=*=||;

（2）可以先考虑甲乙各抛赛"次的情形，

①如果出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数，将该情形概率设为Pi，则第”+1次甲必

须再抛掷出证明朝上，才能使得最终甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数；

②如果出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，则第〃+1次无论结果如何，甲正面朝上

次数仍然不大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为0;

③如果出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，则第"+1次无论结果如何，甲正面朝上

次数仍然大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为P3，由对称性可知P2=P3，

故匕=1P1+P3,而由］必:2］，

25+0+。3=1

可得匕」”+人旦耳^义齿卫」.

〃2222

6.三个分布

例13.（2023年全国甲卷）为探究某药物对小鼠的生长作用，将40只小鼠均分为两组，分别

为对照组（不药物）和实验组（加药物）.

（D设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布到和数学期望；

（2）测得40只小鼠体重如下（单位:g）：（已按从小到大排好）

对照组17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

⑴求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2x2列联表:

<m>m

对照组

实验组

(ii)根据2x2列联表,能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

0.100.050.010

参考数据:k。

pg.k。)2.7063.8416.835

解析：(1)由题意知X的取值可能为0,1,2

p(X=0)=济||p(X=l)=等=表(乂=2)=舁19

。40。403,。4078

(2)略

例14.(2021新高考2卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,b2),下列结论中不

正确的是()

A.b越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.b越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.b越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.b越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

解析：对于A,〃为数据的方差，所以b越小，数据在〃=10附近越集中，所以测量结果

落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；

对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B

正确；

对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于