2026年人教版七年级数学下册复习：平行线四大模型专项训练（40道）解析版

专题5.3平行线四大模型专项训练（40道）

【人教版】

考卷信息：

本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平行线四大模型的

综合问题的所有类型！

1.（2022・湖南・永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，b//b，Zl=105°,Z2=140°,

则N3的度数为（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】首先过点4作45〃力，由//〃⑸即可得力8〃1/〃/2,然后根据两直线平行，同旁

内角互补，即可求得N4与N5的度数，又由平角的定义，即可求得N3的度数.

【详解】解：

过点4作48〃//,

V///7/2，

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:.Zl+Z4=180°,Z2+Z5=180°,

•••Nl=105°,N2=140。，

/.Z4=75°/Z5=40°,

VZ4+Z5+Z3=180°,

AZ3=65°.

故选：C.

【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关健是熟练的掌握平行线的性质.

2.（2022•贵州六盘水•七年级期中）如图所示,若AB〃EF,用含Q、口、y的式子表示X,应

为（）

E

A.a+/?+yB.P+y—aC.180°—a—y+/?D.1800+a+/?—y

【答案】C

【分析】过C作CD〃AB,过M作MN〃EF,推出AB〃CD〃MN〃EF,根据平行线的性质得

出a+NBCD=180°,ZDCM=ZCMN,NNMF=y,求出NBCD=180°-a,ZDCM=ZCMN=/?-y,

即可得出答案.

【详解】过C作CD〃AB,过M作MN〃EF,

VAB/7EF,

，AB〃CD〃MN〃EF,

.•.a+ZBCD=180°,ZDCM=ZCMN,ZNMF=y,

/.ZBCD=180°-a,ZDCM=ZCMN=^-y,

Ax=ZBCD+ZDCM=180°-a-y+/?,

故选：C.

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【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力.

3.（2022电•肃•北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果彳用|6,那么N8+

【答案】540

【分析】过点E作EMIICD,过点了作FNIICD,再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答.

【详解】过点E作EMIICD,过点尸作FNIICD,如图,

VABUCD,EMWCD,FNWCD,

：.AB\\FNtEMWFN,

：・/B+/BFN=18b,NFEM+/EFN=18。。,ZD+ZDEM=180°f

VZDEF=ZDEM+ZFEM,/BFE=/BFN+/EFN,

:・/B+NBFE+/DEF+ND=/B+NBFN+NFEM+NEFN+ND+/DEM=54。。,

故答案为：540.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，司旁内角互补.构造辅助线EMICD,

rN|£D是解答本题的关键.

4.（2022・全国•七年级专题练习）如图所示，AB//CD,心力BE与〃DE的角平分线相较于点

F,"=80°,求WD的度数.

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请你帮助小明完成剩余的解答.

⑵问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：

如图3,AD//BC,当点P在力、〃两点之间时，ZJDP=Za,NBCP=NB，则NCP。，/a,

之间有何数量关系？请说明理由.

【答案】⑴110°,见解析：⑵/CP0=Na+NB，理由见解析

【分析】（1）过月作PE〃/8,构造同旁内角，通过平行线性质，可得//。。=50。+60。=110。

（2）过P作PE〃力。交CO于E点，推出4O〃P石〃8C,根据平行线性质得到Na=/O尸

N即NCPE,即可得出答案.

【详解】解；（1）剩余过程：ZCP£+ZPCD=180%

AZCPF=180<>-120<>=600

ZJPC=50o+60o=110°；

⑵NCPQ=Na+N0,理由如下：

如下图，过尸作尸石〃力。交C。于点E,

：,AD//PE//BC.

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:・Na=/DPE,N0=NCPE

，/CPD=NDPE+/CPE=Na+N

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考察学生的推理能力，解决问题的关

键是作辅助线构造内错角以及同旁内角.

7.（2022・全国•七年级专题练习）如图1,四边形MN8D为一张长方形纸片.

（1）如图2,将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（/笈4£\LAEC.4EC。），则4++

乙ECD=。.

（2）如图3,将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（乙艮4£、乙AEF、（EFC、4FCD）,则48AE+

/.AEF+Z.EFC+ZFCD=

（3）如图4,将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（乙BAE、"EF、乙EFG、乙FGC、（GCD）,

fflzF/lE+/LAEF+乙EFG+乙FGC+Z-GCD=°.

（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出5+1）个角，那么这S+1）

个角的和是,.

【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）180Tl.

【分析】（1）过点E作EH〃AB,再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等

于180。的2倍;

（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的

和等于180。的三倍；

（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个

角的和等于180。的三倍；

（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度.

【详解】（1）过E作EH//AB（如图②）.

•・•原四功形是长方形，

AAB/7CD,

又・.・EH〃AB,

・・・CD〃EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）.

VEH/7AB,

••・NA+N1=18O。（两直线平行，同旁内角互补）.

VCD/7EH,

・・・N2+/C=180c（两直线平行，同旁内角互补）.

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，NA+N1+N2+/C=360°，

XVZ1+Z2=ZAEC,

:.ZBAE+ZAEC+ZECD=360°；

B

(2)分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示,

用上面的方法可得ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=540°；

(3)分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示,

用上面的方法可得ZBAE+ZAEF+ZEFG+ZFGC+ZGCD=72O°；

(4)由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度.

故答案为：(1)360：(2)540：(3)720；(4)180n.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解

本题的关键，总结规律求解是本题的难点.

8.(2022•安徽合肥•七年级期末)问题情景：如图1,AB//CD.ZPAB=1W,ZPCD=135\

求//PC的度数.

(1)丽丽同学看过图形后立即口答出：ZAPC=35°,请补全她的推理依据.

如图2,过点尸作尸E〃力B,

因为力B〃CD,所以尸石〃CO.()

所以N4+N力尸E=180°,ZC+ZCPF=180°.()

因为N/^8=140。，ZPCD=135°,所以N4P£=40。，/CP£=45。，

ZAPC=N/1PE+NCPE=85。.

问题迁移：

(2)如图3.AD//BC,当点"在/、。两点之间运动时，/QP=/a./RCP=/1,求

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/CPD与Na、NS之间有什么数量关系？请说明理由.

（3）在（2）的条件下，如果点P在4、8两点外侧运动时（点尸与点力、B、。三点不重

合），请直接写出N”。与N。、乙/?之间的数量关系.

【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁

内角互补；（2）乙CPD=Na+乙夕，理由见解析；（3）NCPC=—或NCPD=匕。-40

【分析】（1）根据平行线的判定与性质填写即可；

（2）过P作PE〃力。交CO『E,推出尸石〃8C,根据平行线的性质得出Na=NOPE,

/fi^/CPE,即可得出答案：

（3）画出图形（分两种情况①点。在次1的延长线上，②点。在44的延长线上），根据

平行线的性质得出Na=NDPf,N*NCPE,即可得出答案.

【详解】解：（1）如图2,过点P作PE///B,

图2

因为48〃。，所以PE//CD.（平行于同一条直线的两条直线平行）

所以N4+N力尸£=180。，ZC+ZCP£=180°.（两直线平行同旁内角互补）

因为N%8=140°,ZPCD=135°,

所以N4PE=40°,NCPE=45。,

NAPC=ZAPE+ZCPE=85°.

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补;

（2）/CPD=4a+4区理由如下：

如图3所示，过P作PE//AD交CD于E,

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B

Np_EjC

/图3/

YAD//BC,

J.AD//PE//BC,

:./a=NDPE,4归ZCPE,

J4CPD=/DPE+/CPE=/a+/。；

（3）当户在历1延长线时，如图4所示:

同（2）可知：/a=/DPE,Zg/CPE,

:./CPD=/p・Na；

：・4CPD=/a-4B.

综上所述，NCPD与Na、N#之间的数量关系为：NCPD=Np-/a或NCPD=Na・N/i.

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【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键.

【模型2“猪蹄”模型】

结论2：苏/斤/67户则ABf/CD

9.（2022♦全国•七年级）如图所示，直角三角板的60。角压在一组平行线上，/8IICD,^ABE=

【答案】20

【分析】如图（见详解），过点E作EFINB,先证明4BIIEFIICD,再由平行线的性质定理

得到乙4BE=乙8£F=40。，Z.EDC=Z.DEF,结合已知条件乙8E0=60°即可得到.

【详解】解：由题意可得：^BED=60°.

如图，过点E作E尸必B,

又・・・48||CD,

：.AB\\EF\\CD,

・"ABE=Z-BEF=40°,乙EDC=乙DEF,

•・28ED=60。，

・・・ZJ?EF+4BEF=60。,

：.Z-DEF=20°,

即;上EDC=20。.

故答案为：20.

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【点睛】本题重点考查了平:行线的性质定理的运用.从“基本图形”的角度看，本题可以看作

是"r型的简单运用.解法不唯一，也可延长8E交。。于点G,结合三角形的外角定理来

解决；或连结结合三角形内角和定理来解决.

10.(2022•河南平顶山•八年级期末)如图：

(1)如图1,ABWCD,^ABE=45°,zCDE=21°,直接写出N8E0的度数.

(2)如图2,4BIICD,点E为直线4B,CD间的一点，DF平分4CUE,写出/BED

与之间的关系并说明理由.

⑶如图3,48与。。相交于点G,点E为48G。内一点，8F平分平分/Q9E,若4BGO=

60°,/-BFD=95°,直接写出4BED的度数.

【答案】⑴/8£。=66°；

(2)N8ED=2NF,见解析;

(3)ZBFD的度数为130。.

【分析】(1)首先作£7"力从根据直线44〃。£),可得EF//CD,所以N49E=N1=45。，

NCDE=N2=21。.据此推得NB£O=N1+N2=66°：

(2)首先作EG〃力8,延长DE交8F于点从利用三角形的外角性质以及角平分线的定义

即可得至Ij/8ED=2/F；

(3)延长。F交48于点M延长GE到/,利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可

得到N8ED的度数为130°.

(1)

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：.EF//CD,

r.ZJB£=Z1=45°,ZCDE=Z2=21°,

：・NBED=N1+N2=66°；

(2)

解：NBED=2NF,

理由是：过点£作EGZMB,延长DE交BF于点H,

'：AB//CD,：,AB//CD//EG,

・・・N5=N2+N2,Z6=Z3+Z4,

又・.・8F平分/48E,DF平分NCDE,

，N2=N1,Z3=Z4,则N5=2N2,Z6=2Z3,

・・・N8E0=2(22+/3),

又/F—3NBHD,/B3N2=NBED,

.••N3+N2+NF=N8£。，

综上N8ED=NF+12/8ED,即/8£0=2/F；

N8GO=60。，

・・.N3=N1+N4GQ=/1+6O。，N8F0=N2+N3=N2+N二+60°=95°,

••・N2+N1=35°,即2(N2+N1)=70°,

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VBF-Y-^ZABE,OF平分NCDE,

.••NA8E=2N2,ZCDE=2Z1,

；・N8EI=/ABE+NBGE=2N2+NBGE,ND日=/CDE+NDGE=2/1+NDGE,

:.N8ED=N8曰+NDE/=2(/2+Nl)+(ZBGE+ZDGE)=70°+60o=130o,

"BED的度数为130。.

t点睛】本撅考杳了平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌推平行线的判定和

性质，正确添加辅助线是解题关键.

11.（2022•江苏常州•七年级期中）问题情境:如图①，直线-BIICD,点E,1分别在直线

AB,CDE.

⑴猜想：若乙1=130°,Z2=150°,试猜想乙P=°；

（2）探究：在图①中探究N1,42,NP之间的数量关系，并证明你的结论；

⑶拓展：将图①变为图②，若乙1+々2=325。，LEPG=75°,求4PG尸的度数.

【答案】⑴80。

（2）zP=360°-zl-z2；证明见详解

⑶140°

【分析】（1）过点「作“阳团从利用平行的性质就可以求角度，解决此问；

（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；

（3）分别过点P、点G作MNIL48、KRWAB,然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即

可.

（1）

解：如图过点P作MNII4B，

'CABKD,

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：.ABWNWD.

・"1+乙EPN=180°,

z2+乙FPN=180°.

Vzl=130°,Z2=150°,

AZ1+匕2+乙EPN+4FPN=360°

，乙EPN+FPN=360°-130°-150°=80°.

•:乙P=LEPN+乙FPN,

・・・NP=80°.

故答案为：80°：

(2)

解：ZP=36O°-Z1-Z2,理由如下：

如图过点P作MNIL4B,

：.AB\\MN\\CD.

,乙1+乙EPN=180°,

42十乙FPN-180c.

Z.Z1+匕2+乙EPN+乙FPN=360°

■:乙EPN+LFPN=4P,

乙P=360。一41一42.

(3)

如图分别过点P、点G作MNMB、KRWAB

：.AB\\MN\\KR\\CD.

Azi+乙EPN=180°,

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乙NPG+乙PGR=180°,

LRGF4-Z2=180°.

Azi+乙EPN+Z-NPG+乙PGR+RGF4-z2=540°

’:乙EPG=乙EPN+Z.NPG=75°,

乙PGR+乙RGF=Z.PGF,

41+42=325。，

：.Z-PGF+Z1+Z2+乙EPG=540°

工人PGF=540°-325°-75°=140°

故答案为：140°.

【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键.

12.(2022•山东聊城•七年级阶段练习)已知直线48〃CQ,七户是截线，点〃在直线48、

CQ之间.

E

BA[G

-L)C

H\FH

图1图2

(1)如图1,连接GM,HM.求证：ZA/=ZJGM+ZC//M；

⑵如图2,在NGHC的角平分线上取两点M、使得Z/1GM=ZHGQ,试判断NM与ZGQH

之间的数量关系，并说明理由.

【答案】⑴证明见详解

⑵zGQ”=180。一乙M；理由见详解

【分析】(1)过点M作MNII4B,由48IIC。，可知MNII4BIIC。.由此可知：乙4GM=47MN,

Z-CHM=乙HMN,故N/GM+^CHM=乙GMN+乙HMN=cM；

(2)由(1)可知4力GM+iCHM=4M.再由乙=ZAGM=ZHGQ,可知：

iM=乙HGQ+乙GHM,利用三角形内角和是180°,可得乙GQH=180。一4M.

(1)

-B

N

图1

解：如图：过点M作MNIIA。,

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：.MN\\AB\\CD,

:.乙AGM=LGMN,乙CHM=LHMN,

•:乙M=iGMN+乙HMN,

••・4M=N4GM+4cHM.

(2)

解：Z.GQH=180°-ZM,理由如下：

如图：过点M作MMI4B,

由⑴知NM=〃GM+“”M,

•：HM平分KGHC,

:.乙CHM=乙GHM,

^AGM=4HGQ,

・"M=乙，GQ+NGHM,

.:乙HGQ+乙GHM+乙GQH=180°,

，乙GQH=1800-ziM.

【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系,正确的作出辅助线是解决本题

的关键，同时这也是比较常见的几何模型"猪蹄模型”的应用.

13.（2022•广东韶关•七年级期中）如图1,点小B分别在直线G，、MN上，乙GAC=U/BD,

乙C=Z.D.

（1）求证：GH//MN；（提示：可延长4c交MN于点P进行证明）

（2）如图2,4E平分iG/lC,OE平分^Z.AED=Z.GAC,求4L4C与乙4CD之间的数

量关系；

⑶在（2）的条件下，如图3,8F平分N08M,点K在射线8户上，^KAG=^GAC,若乙AKB=

乙4CD,直接写出NGAC的度数.

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【答案】（1）见解析；⑵△470=344。，见解析；⑶然）°或然

【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；

（2）根据三角形的内角和为180。和平角定义得到〃QD="+乙瓦4Q,结合平行线的性质

得到480Q=4E+△匕4Q,再根据角平分线的定义证得乙=24E+乙G4C,结合己知即

可得出结论；

（3）分当K在直线GH下方和当K在直线G”上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性

质、角平分线定义求解即可.

【详解】解：（1）如图1,延长4c交MN于点P,

'：LACD=乙C,

：.AP//BD,

:.乙NBD=Z.NPA,

■:乙GAC=LNBD,

：./.GAC=Z.NPA,

・・・G，〃MN；

（2）延长AC交MN于点P,交DE于点Q,

VzF+乙EAQ+Z.AQE=180°,Z.AQE+Z.AQD=180°,

/.Z.AQD=Z.E+Z.EAQ,

VAP//BD,

：.Z.AQD=乙BDQ,

:.乙BDQ=Z-E+Z.EAQr

•14E平分NGAC,DE平分乙BCC,

：./-GAC=2/-EAQt乙CDB=2乙BDQ,

:.乙CDB=2乙E+Z.GAC,

•・ZED=NGAC,Z-ACD=乙CDB,

第17页，共64页

：.z.ACD=2Z.GAC+Z.GAC=3zMC；

（3）当K在直线G”下方时，如图，设射线8/交GH于/,

图3

■:GH//MN,

：.LAIB=乙FBM,

,；BF平分乙MBD,

:.乙DBF=乙FBM=1(180°-乙DBN),

=ZDBF.

\^AIB+Z.KAG=Z.AKB,Z.AKB=Z.ACD,

：./.ACD=乙DBF+乙KAG,

*：Z.KAG=\z-GAC,Z.GAC=乙NBD,

3

•・・&G4C+*180。-NDBN)=Z-ACD=3Z-GAC,

^Z-GAC4-90°-^Z-GAC=34G4C,

解得：〃"=(答)".

当K在直线G”上方时，如图，同理可证得乙4/8=g(180°—4D8N)=4/1KB+4K4G,

则有3^GAC+^GAC=7(180°-NG4C),

3L

综上，故答案为（答）或偿）•

【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内

角和定理、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

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14.(2022・全国•九年级专题练习)如图所示，已知AB〃CD,BE平分/ABC,DE平分N/1DC,

【答案】见解析

【分析】先根据平行线的性质得出/力=N4OC,NC=NABC,再由8E平分N/18C,DE

平分乙WC可知Nl=g4OC,Z2=|ZJ^C,根据三角形外角的性质即可得出结论.

/.ZJ=ZJDC,ZC=ZABC.

TAE平分N/18C,OE平分/力。C,

AZ1=1ZJDC,N2二N/18C.

22

・・・N3是三角形的外角，

:.Z3=NE+Z2=ZC+Z1,

：,NE+:乙ABC=Z.C+\LADCI

22

即ZE+-ZC=ZC+-ZA,

22

AAE=\(ZA+ZC).

2

【点睛】本题考查的是平吁线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知

识点是解题的关键.

15.(2022•浙江工业大学附属实验学校七年级期中)已知AB//CD.

(1)如图1,E为4B,CZ)之间一点，连接8,DE,得到N8EO.求证：/BED=/B+/D；

(2)如图，连接力。，BC,BF平分4ABC,DF平分N/iDC,且BF,。尸所在的直线交于

点尸.

①如图2,当点8在点力的左侧时，若乙48c=50°,ZADC=60°,求NBFO的度数.

②如图3,当点8在点4的右侧时，设N/8C=a,/4Z)C=B，请你求出的度数.(用

含有a,。的式子表示)

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DB-

E

图1图2图3

【答案】(1)见解析：(2)55。：(3)180。-1+]

【分析】(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

(2)①如图2,过点下作FE〃AB,当点8在点A的左侧时，根据"8C=50。，Z.ADC=60°,

根据平行线的性质及角平分线的定义即可求乙BFD的度数；

②如图3,过点F作E尸〃48,当点B在点4的右侧时，乙4BC=a,乙4DC=3，根据平行线

的性质及角平分线的定义即可求出匕8尸。的度数.

【详解】解：(1)如图1,过点E作EF〃4B,

AB

C---------------------、D

图1

则有乙8£尸=4B,

vAB//CD,

:.EF//CD,

乙FED=乙D,

乙BED=乙BEF4-乙FED=Z.B+ZD；

(2)①如图2,过点F作FE〃4B,

vAB//CD,

二EF//CD.

乙EFD=Z.FDC.

•••乙BFE+乙EFD=Z.FBA+乙FDC.

即产。=Z.FBA+Z-FDC,

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•••BF•平分44BC,DF•平分乙力DC,

二Z.FBA=-2/.ABC=25°2,乙FDC=-Z-ADC=30°,

Z-BFD=Z.FBA+乙FDC=55°.

答：乙8FD的度数为55。；

②如图3,过点尸作FE〃工8,

二4BFE=180°-/F8A,

vAB//CD,

EF//CD.

•••乙EFD=Z.FDC.

Z-BFE+乙EFD=180°-乙FBA+乙FDC.

BPzFFD=180°-Z,FBA+乙FDC,

B尸平分448C,DF平分乙力。C,

：.Z.FBA=-2Z,ABC=-2a,2Z.FDC=2-fZ.ADC=-p,

•••Z-BFD=1800-Z-FBA+ZLFDC=180°一;a+J.

22产

答：4BFD的度数为180。-ga+g/?.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

16.（2022•全国•七年级）如图1,AB//CD,E是4B,C。之间的一点.

⑴判定NH4E,NCQE与N4EO之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2,若NBAE,NCDE的角平分线交于点凡直接写出/力汽。与/4EO之间的数量

关系；

⑶将图2中的射线0c沿OE翻折交力尸「点G得图3,若N4GO的余角等于2NE的补角,

求NA4E的大小.

【答案】(1)4BAE+4CDE=44EC：

第21页，共64页

（2）Z.AFD=jz.AED；

（3）Z.BAE=60°

【分析】（1）作EE〃48,如图1,则即〃8,利用平行线的性质得N1=NE4E;Z2=ZCZ）E,

从而得至ljZBAE+ZCDE=/AED

（2）如图2,由（1）的结论得乙”7）9/8力区NCf尸g/CDE＞，则乙4/7）苫（/历1历/8月），

加上（1）的结论得到乙"'〃=；/北。；

（3）由（1）的结论得N.4GQ=N4"+NCQG,利用折叠性质得NCQG=4NC£E再利用

等量代换得到/4GQ=2N.4E»|NM£,力口上90°-ZJGP=180°-2ZAED,从而计算出乙54E

的度数.

⑴

/BAE+/CDE=/AED

理由如下：

作£尸〃力4,如图1

'：AB//CD

J.EF//CD

：・N1=NBAE,Z2=ZCDE

：.NBAE+NCDE=NAED

⑵

如图?.rti（1）的结论得

N4FD=NB4F+NCDF

•：NBAE、NCQE的两条平分线交于点产

AZBAF=2-ZBAE,2ZCDF=-ZCDE

/.Z.AFE^QBAE+/CDE）

ZBAE+ZCDE=ZAED

，NAFD=^/AED

⑶

由（1）的结论得NZGQ=N8/1F+NCQG

而射线DC沿DE翻折交AF于点G

：./CDG=A4CDF

AZAGD=ZBAF+4ZCDF=^ZBAE+2ZCDE^ZBAE+2（ZAED-ZBAE）=2ZAED^ZBAE

222

90°-ZAGD=1800-2ZAED

第22页，共64页

・•.900-2ZAED^-ZBAE=13Q°-2ZAED

2

:.ZBAE=60°

【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角用等；两直线平行，同旁内角互补;

两直线平行，内错角相等.

17.(2022•广东・高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习)如图1,已知48〃。，

N8=30°,ZD=120°：

图1图2

⑴若/七=60°,则//=；

⑵请探索NE与N尸之间满足的数量关系？说明理由；

⑶如图2,已知EP平分NBEF,FG平令4EFD,反向延长尸G交EP于点P,求NP的度

数.

【答案】⑴90。

(2)zF=zF+30°,理由见解析

⑶15。

【分析】(1)如图1,分别过点E,F作EM〃力乩FN//4乩根据平行线的性质得到/£=

乙BEM=30°,Z.MEF=々EFN,乙D+乙DFN=180°,代入数据即可得到结论：

(2)如I图1,根据平行线的性质得到N8=Z.BEM=30°,Z.MEF=乙EFN,由48〃C0,.48〃

FN,得至IJ。〃用V,根据平行线的性质得到4+功用V=180。，于是得到结论；

(3)如图2,过点F作FH〃EP,设/8EF=2x。，则4EFD=(2%+30)。，根据角平分线的

定义得到=g4BE尸=x。，zEF<7=1zFFD=(x+15)°,根据平行线的性质得到

Z.PEF=/.EFH=x°,乙P=CHFG,于是得到结论.

(1)

解：如图1,分别过点£F作EM〃力8,FN//AB,

:.EM//AB//FN,

:.乙B=乙BEM=30°,乙MEF=乙EFN,

XvAB//CD,AB//FN,

ACD//FN,

:•乙D+乙DFN=180°,

第23页，共64页

又：ZD=120°,

•••乙DFN=60°,

•••乙BEF=Z.MEF+30°,乙EFD=乙EFN+60°,

:.乙EFD=Z.MEF+60°

•••乙EFD=乙BEF+300=90°；

故答案为：90°；

(2)

解：如图1,分别过点E,小作EM〃力B,FN//AB,

EM//AB//FN,

二乙B=乙BEM=30°,Z.MEF=乙EFN,

XvAB//CD,AB//FN,

CD//FN,

二乙D+乙DFN=180°,

又zD=120°,

乙DFN=60°,

•••乙BEF=乙MEF+30°,乙EFD=乙EFN+60°,

/-EFD=Z.MEF+60°,

:.乙EFD=乙BEF4-30°；

(3)

解：如图2,过点F作F〃〃EP,

由(2)知，Z.EFD=Z.BEF+30°,

设上8£尸=2%。，则上EFD=(2%+30)°,

vEP平分乙BEF,GF平分ZEFD,

:•乙PEF=3乙BEF=x°,LEFG=^LEFD=(x+15)°,

vFH//EP,

二乙PEF=Z.EFH=x°,zP=乙HFG,

•••Z.HFG=Z-EFG-Z-EFH=15°,

•••4P=15°.

图1图2

第24页，共64页

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的

关键.

18.（2022•河南•商丘市第十六中学七年级期中）已知线段E尸分别与/出，CD

相交于点E，F.

图1图2图3

（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：

如图1,当点尸在线段石尸上时，已知/力=35°,ZC=62°,求N/1PC的度数；

解：过点。作直线

所以N4=N4P〃，依据是一；

因为PH//AB,

所以PH//CD,依据是；

所以NC=（）,

所以乙40。=（）+（）=ZJ+ZC=97°.

（2）当点P,。在线段环上移动时（不包括E,尸两点）：

①如图2,/4P0+NPQC=N4+NC+18O。成立吗？请说明理由；

②如图3,NAPM-2/MPQ,NCQM-2/MQP,NMiNMPQ+NP0A7-18O。，请直接写

出NM,//与/C的数量关系.

【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；4CPH；/APH,

/CPH；（2）①N4PQ+ZPQC=ZA+ZC+180。成立，理由见解答过程；②3ZPMQ+N4+ZC

=360°.

【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；

（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；

（3）结合（1）（2）的方法，根据/力尸M=2NMPQ,NCQM=2NMQP,

NPMQ+NMPQ+NPQM=180。,即可证明NPMQ,N/与NC的数量关系.

【详解】解：过点尸作直线P"〃48,

所以N4=/力0〃，依据是两直线平行，内错角相等；

因为力B〃C。，PH//AB,

所以PH〃CD,依据是平行于同一条直线的两条直线平行；

所以NC=（./CPH）,

第25页，共64页

所以//尸C=QAPH)+(ZCPH)=N/+NC=97°.

故答案为：两直线平行，内错角相等：平行于同一条直线的两条直线平行；/CPH；/APH，

/CPH；

(2)①如图2,N4PQ+N尸QC=N/+NC+180°成立，理由如下：

过点P作直线PH〃/B,QG//AB,

\fAB//CD,

：.AB//CD//PH//QG,

:・NA=NAPH,NC=NCQG,N〃尸0+NG0尸=180°,

N4PQ+NPQC=NAPH+NHPQ+NGQP+NCQG=N4+NC+180°.

・•・N4P0+NPQC=NZ+/C+18(T成立；

过点尸作直线尸〃〃力4，QG//AB,MN//AB,

•:AB〃CD,

：,AB//CD//PH//QG//MN,

:"A=/APH,/C=/CQG,NHPQ+NGQP=18。。,NHPM=/PMN,4GQM=4QMN,

ZPMQ=/HPM+/GQM,

'：NAPM=2/MPQ,/CQM=2/MQP,ZPMQ+ZMPQ+ZPQM=180°,

：•4APM+4CQM=4A+/C+/PMQ=24MPQ+2/MQP=2(180°-ZPM0),

・•・3NPM。+ZA+ZC=360°.

【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质.熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线

是关犍.

19.(2022•湖北武汉•七年级期末)如图1,点乂在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN,

S7之间，且满足力C+LACB+乙SBC=360°.

第26页，共64页

(1)证明：MN//ST；

(2)如图2,若乙4c8=60。，4D〃C从点E在线段BC上，连接力E,^DAE=2^CBT,

试判断乙。4E与乙。4N的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,若乙ACB=幽(4为大于等于2的整数)，点E在线段BC上，连接AE,若乙M4E=

n

【答案】(1)见解析；12)见解析；(3)/7-1

【分析】(1)连接力8,根据已知证明/小8+/58%=180。，即可得证；

(2)作CFUST,设表示出NC4V,ZACF,/BCF,根据4Q〃4C,得到

ZDJC=120°,求出NOE即可得到结论；

(3)作C尸〃sr,设,4CBT邛,得到NC8T=N8CF物分别表示出NC/N和NC4E,即可

得到比值.

【详解】解：(1)如图，连接43,

•••Z.MAC+/-ACB+乙SBC=360°,

乙ACB+/.ABC+Z.BAC=180°,

:./.MAB+/SBA=180°,

MN//ST

(2)乙CAE=2乙CAN,

理由:作C/7/S7,驰MNJCF//ST,如图，

B

第27页，共64页

设zT8T=a,则zZZ4E=2a.

Z-BCF=Z-CBT=a,乙CAN=Z.ACF=60°-a,

vAD//BC,Z.DAC=180°-^ACB=120°,

Z.CAE=1200-Z.DAE=120°-2a=2(600-a)=ZHAN.

l^Z.CAE=2乙CAN.

(3)作C/7/ST,则MN//G7/S7,如图，设/CBT=/7,则4MAE二九色

vCF//ST,

：•cCBT=LBCF=0,

「厂ARI180°0180°-n/?

Z^F=ZC71/V=-=

/.CAE=180°-/.MAE-乙CAN=180°-np-^-+p=芋（180。-n/?）,

4c4E:^CAN=—:-=n-l,

nn

故答案为九—1.

【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式.

20.（2022•重庆江北•七年级期末）如图1,AB//CD,点、E、尸分别在48、CO上，点。在直

线48、C。之间,MzE0F=100°.

第28页，共64页

图3

(1)求上BEO+zO尸D的直；

(2)如图2,直线MN分别交ZBEO、40产C的角平分线于点M、N,直接写出zEMN-dNM

的值；

(3)如图3,EG在Z4EO内，Z.AEG=m/LOEG；FH在乙DFO内,乙DFH=mcOFH,直线MN

分别交EG、/，分别于点M、N,且//MN-±ENM=50。，直接写出机的值.

【答案】⑴XBEO+功尸。=260°；(2)4EMN-FNM的值为40°；(3)

【分析】(1)过点。作OG〃力8,可得AB〃OG〃CD,利用平行线的性质可求解；

(2)过点历作MK〃4B,过点N作N，〃C。，由角平分线的定义可设N3EM=NOEM=x,

4CFN=4OFN=y,由N8EO+NOEO=260。可求x-y=40。，进而求解；

(3)设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于点、K,根据平行线的性质即三角形外角的

性质及乙FMN—NENM=50°,可得乙KFD一4AEG=5。。,结合24EG二九40EG,DFK=

nLOFK,乙BEO+Z.DFO=260°,可得乙力EG+-/.AEG+180°-乙KFD--Z.KFD=100°,

nn

即可得关于〃的方程，计算可求解〃值.

【详解】证明：过点。作OG〃48,

,:AB〃CD,

：.AB//OG//CD,

:.乙BEO+Z.EOG=180%乙DFO+乙FOG=180°,

：./-BEO+乙EOG+乙DFO十乙产OG=360°,

第29页，共64页

BPzBFO+乙EOF+Z.DFO=360。，

■:ZEOF=1QO°,

:・/BEO”DFO=260°；

(2)解：过点M作这点、N作NH〃CD,

图2

VEM平分4BE0,产N平分NCR?,

设NBEM=Z.OEM=x,Z.CFN="FN=y,

VzBFO+zDFO=260°

：,/.BEO+Z-DFO=2x+180°-2y=260°,

.•・x-)=40°,

YMK//AB、NH//CD,AB//CD,

：.AB//MK//NH//CD,

:.乙EMK=幺BEM=x,LHNF=Z.CFN=y,乙KMN=LHNM,

:.乙EMN十xFNM=乙EMK+乙KMN-(乙HNM十乙HNF)

=x+乙KMN-Z-HNM-y

=x-y

=40°,

故乙EMN-4FNM的值为40°；

(3)如图，设直线EK与EG交于点”，FK与AB交于点、K,

第30页，共64页

VAB//CD,

:,乙AKF=LKFD,

*：LAKF=乙EHK+乙HEK=乙EHK+Z-AEG,

［乙KFD=LEHK+乙AEG,

ZEHK=乙NMF-乙ENM=50%

：,Z-KFD=50。+4力EG,

BPz/CFD-LAEG=50%

•・•乙4EG=ruOEG,FK在NDFO内,WFK=nWFK.

：.Z.CFO=1800-Z.DFK-Z.OFK=180°-^KFD--Z.KFD,

n

1

Z.AEO=乙AEG+Z.OEG=Z.AEG+—Z.AEG,

n

VzBEO+zDFO=260%

：.LAEO+LCFO=100%

：

,Z-AEG-^-nZ-AEG+1800n-Z-KFD--Z.KFD=100%

即(1+(Z.KFD-£.AEG)=80°,

・•・(1+2)乂50。=80。,

解得71=1.

经检验，符合题意，

故答案为：

•5

【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关

键.

21.（2022•黑龙江哈尔滨•七年级期末）已知，AB〃CD,点、E在CD上，点、G,b在48上,

点、H在AB,CO之间，连接产E,EH,HG,NAGH=NFED,FEYHE,垂足为E.

第31页，共64页

（1）如图1,求证：HGLHE；

（3）如图3,在（2）的条件下，FK平分NAFE交CD于悬K,若/KFE：ZMG//=13：5,

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）40°

【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；

（2）过点“作〃尸〃/也，根据平行线的性质解答即可:

（3）过点H作HP///B,根据平行线的性质解答即可.

【详解】证明：（1）•:AB/心、

工ZAFE=ZFED,

丁ZAGII=ZFED,

J/AFE=/AGH,

:.EF//GH,

：.ZFEH+ZH=13Q°,

•：FE1HE,

:・/FEH=9G,

：.ZH=180°-N"£H=90°,

：.HG工HE；

（2）过点M作〃48,

第32页，共64页

VAB//CD,

：.MQ//CD,

过点、H作HP///1B,

'：AB//CD,

:.HP〃CD,

•「GW平分N//G4,

，/RGM=/HGM=g/RGH,

2

・：EM*》4HED,

J4HEM=NDEM=L/HED,

2

,:MQ〃AB,

・•・4BGM=/GMQ,

，：MQ〃CD,

：.ZQME=ZMED,

・•・/GME=4GMQ+4QME=/BGM+/MED,

，：HP〃AB,

：.2BGH=NGHP=2NBGM,

,:HP〃CD,

：,/PHE=ZHED=2ZMED,

:,NGHE=/GHP+/PHE=2NBGM+2NMED=2QBGM+NMED),

:"GHE=/2GME；

(3)过点M作MQ〃48,过点、H作HP〃4B,

由NKFE：ZMGH=13：5,设NK尸E=13x,NMGH=5x,

由(2)可知：ZBGH=2ZMGH=lO.v,

N"E+NBFE=180。,

/.ZAFE=180°-lOx,

•・/K平分/4月八

AZAFK=AKFE=\^AFE,