第1章 勾股定理（提高篇）-2023学年八年级数学上册阶段性复习（北师大版）

第1章勾股定理（提高篇）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知直角三角形的斜边长为5加，周长为12%则这个三角形的面积（）

A.12cm2B.3cm2C.8cm2D.6cm2

2.《九章算术》是我国古代数学代表作，书中记载：今有开门去闽一尺，不合二寸，问

门广几何？题目大意是：如图，推开双门和BC,双门间隙。的距离为2寸，点C和

点。距离门槛都为1尺（1尺=10寸），则的长为（）

2t

A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸

3.如图，以直角三角形的三边为边长作三个正方形，字母8所代表的正方形的面积是

（）

A.12B.13C.144D.194

4.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm,BC=8cm,将△ABC折叠,

使点8与点A重合，折痕为。E,则C。等于（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

C.10D.12

7.如图，由6个相同小正方形组成的网格中，A,B,C均在格点上，则/A8C的度数

C.55°D.60°

8.已知一轮船以18海里/小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24海

里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口L5小时后，两轮船相距（）

A.35海里B.40海里C.45海里D.50海里

10.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处

有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到

达蜂蜜的最短距离为（）cm.

A.15B.20C.18D.30

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

12.观察下列几组勾股数，并填空：①6,8,10,②8,15,17,③10,24,26,④12,

35,37,则第⑥组勾股数为.

14.如图所示，在四边形A8CZ）中，AB=5,BC=3,DELAC^E,DE=3,S^\DAC

=6,则NACB的度数等于.

16.《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者

高几何？”题意是：有一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处

离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，可列方程

为.

17.某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙OE时，梯子A到左

墙的距离AE为0.7加，梯子顶端。到地面的是样子离。E为2.4〃z,若梯子底端A保持不动，

将梯子斜塞在右墙上，梯子顶端C到地面的距离CB为15%则这两面直立墙壁之间的

安全道的宽BE为m.

三、解答题（本大题共6小题，共60分）

19.（8分）己知：整式4=52-1）2+（2”）2,整式B>0.尝试化简整式4.发现A

=B2.求整式艮

联想：由上可知，B2=（712-1）2+（2n）2,当”>1时，«2-1,In,8为直角三角形

的三边长，如图，填写下表中8的值；

直角三角形三边几2-12nB

勾股数组/8

勾股数组〃35

21.(10分)如图，CE_LA8于点E,BD_LAC于点。，AB=AC.

(1)求证：AAB。丝ZkACE.

(2)连接8C,若AO=6,CD=4,求△48C的面积.

22.(10分)如图，已知BE_LA£,NA=/EBC=60。,AB=4,BC2=12,CD?=3,

DE—3.求证：

(1)△BEC为等边三角形；

(2)EDLCD.

D

E,

B

(2)求原路线AC的长.

(2)连接EF,取E/中点G,连接DG并延长交8C于H,连接BG.

①依题意，补全图形;

参考答案

1.D

【分析】

设该直角三角形的两条直角边分别为。、b,根据勾股定理和周长公式即可列出方程,

然后根据完全平方公式的变形即可求出2仍的值，根据直角三角形的面积公式计算即可.

解：设该直角三角形的两条直角边分别为。、b,

故选:D

【点拨】此题考查的是直角三角形的性质和完全平方公式，根据勾股定理和周长列出方

程是解决此题的关键.

2.C

【分析】

取A8的中点。，过。作。ELA8于E,根据勾股定理解答即可得到结论.

解：取A8的中点O,过。作。于E,如图所示：

DC

OB

由题意得：OA=OB=AD=BC,

设OA-OB=AD=BC=r，

则AB=2r（:寸），。£=10寸，0E=1-CD=1寸，

：.AE=（rl）寸，

在放AAOE中，Ae+DE2=AD2,即01）2+102=/,

解得：片50.5,

...2—101（寸）,

：.AB=101（寸），

故选C.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键.

3.C

【分析】

解:如图所示，AAOC是直角三角形，ZADC=90°,

字母8代表的正方形的面积是144,

故选C.

【点拨】本题主要考查了以直角三角形三边为边长的正方形面积，熟练掌握勾股定理是

解题的关键.

4.C

【分析】

根据折叠的性质得设C£)=无cm,则BD=AD=(8-x)cm,在RfAACD中

利用勾股定理得到N+62=(8-x)2,然后解方程即可.

解：:△ABC折叠，使点2与点A重合，折痕为DE,

：.DA=DB,

设CD=xcm,则BD=AD=(8-x)cm,

在RfAACZ)中，由勾股定理得，

C£)2+AC2=AD2,

.,.尤2+6』(8-X)2,

7

解得x=：,

4

7

即CO的长为一cm.

4

故选：C.

【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了勾股定理.熟练掌握勾股定

理是解题的关键.

5.C

【分析】

E.

D

故选：C.

【点拨】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理,

直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性

质是解题的关键.

6.B

【分析】

根据正方形的面积和勾股定理即可求解.

由题意可知：

》的值是8.

故选:B.

【点拨】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的

变化表示面积.

7.A

【分析】

连接AC,利用勾股定理分别求出AB、AC、BC,根据勾股定理的逆定理得到△ABC是

等腰直角三角形，ZACB=90°,再根据三角形内角和定理得到答案.

解：连接AC,

.,.△ABC是等腰直角三角形，ZACB=9Q°,

：.ZABC=^(180°NAC为=45°.

【点拨】本题考查了等腰三角形，勾股定理的逆定理，解决问题的关键是作辅助线构建

三角形，熟练掌握等腰三角形的定义和性质，熟练运用勾股定理的逆定理判断直角三角形.

8.C

【分析】

根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角.然后根据路程=速度x时间，得两条

船分别走了27,36.再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离.

解：如图，连接BC.

:两船行驶的方向是西南方向和东南方向，

ZBAC=90°,

两小时后，两艘船分别行驶了24x1.5=36（海里），18x1.5=27（海里），

故选：C.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算.

9.C

【分析】

根据杯子内牙刷长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案.

解：：将一根长为18cm的牙刷，置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，

...在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于牙刷斜边长度，

.♦•当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，x=12,

的取值范围是：18-13</z<18-12,

即5<%<6.,

故选：C.

【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题

的关键.

10.A

【分析】

把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于。尸的对

称点8,分别连接8。、BC,过点C作CE_LOH于点E,则8c就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距

离，根据勾股定理即可求得8C的长.

解：把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于。尸

的对称点2,分别连接瓦入BC,过点C作于点E,如图所示：

则DB-AD-4cm,

由题意及辅助线作法知，加与N分别为G8与。尸的中点，且四边形为长

方形，

CE=MH=9cm,EH=CM=4cm,

DE-DH—EH-12—4-8cm,

BE=DE+DB=8+4=12cm,

即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm,

故选;：A.

【点拨】本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解

决，这是数学上一种重要的转化思想.

11.8

【分析】

根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积

和，即可得出答案.

解：：由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

S1+S2=S3,

,：Si+S2+S.^16,

2.S3=16,

.•$=8,

故答案为：8.

【点拨】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相

同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积.

12.16,63,65

【分析】

据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第〃组数，则这

组数中的第一个数是2(〃+2),第二个是：(n+1)(〃+3),第三个数是：(”+2)2+1.根据这

个规律即可解答.

解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2(〃+2),第二个是:

(n+1)(n+3),第三个数是：(w+2)2+1,

故可得第⑥组勾股数是16,63,65.

故答案为选：16,63,65.

【点拨】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数

找出规律，按照此规律即可解答.

13.1

4

【分析】

设CE=x,然后可得关于x的方程，解方程即可得到解答.

解：设CE=x,则AE=BE=BCCE=8x,

...在RfAACE中，由勾股定理可得：AC2+CE2=AE?,

即62+x2=(8x)2,

解方程可得：

7

故答案为7-

【点拨】本题考查直角三角形的综合应用，熟练掌握勾股定理及方程思想方法在几何中

的应用是解题关键.

14.90°##90度

【分析】

根据三角形面积公式求出AC=4,根据勾股定理逆定理即可求出NACB=90。.

解:：£>E_LAC于E,DE=3,S/QAC=6,

.•.|xACxZ)E=6,

：.AC=4,

'：AB=5,

AAB2=25,

ZACB=90°.

故答案为：90°

【点拨】本题考查了勾股定理逆定理和三角形的面积应用，熟练掌握勾股定理逆定理是

解题关键.

12

15.—##2.4##2-

55

【分析】

根据勾股定理的逆定理可以证明NBCA=90。；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得

四边形CEP尸是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=CP,则所的最小值即为CP的最小

值，根据垂线段最短，可知CP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高.

又；PELBC于E,PFLAC于尸,

四边形CEPF是矩形，

：.EF=CP.

当CPLA8时，CP的最小值即为直角三角形A2C斜边上的高，

12

即E尸的最小值为

12

故答案为：—.

【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、垂线段最短等知识,

解题关键是要能够把要求的线段转换为便于分析其最小值的线段.

【分析】

根据勾股定理即可得出结论.

解：设未折断的竹干长为x尺，

【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方

程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准

确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

17.2.7

【分析】

先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出A8的长，进而可得出结论.

解：在MAACB中，VZACB=9Q°,AE=0.7米，DE=2.4米，

.•.AD2=0.72+2.42=6.25.

在R/AA'JBD中，VZABC=9Q°,8C=L5米，AB^BC^AC2,

4房+1.52=6.25,

：.AB2=4.

'：AB>Q,

.•.AB=2米.

BE=AE+AB=Q.1+2=2.1米.

故答案为2.7.

【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与

方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出

准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

18.—

5

【分析】

过点/作“LAC于点H,由翻折的性质可知844。=24,由。为A8的中点，贝1|

S〃A4B=2SzA4D=48,得AA'=12,再通过A4s证明AA'BF^AECF,得CE=A2=8,在RtXCAE

中，由勾股定理求出AC的长，最后通过面积法即可求出的长.

解：如图，过点尸作RHLAC于点H,

根据翻折的性质得：AD=A'D,AA'±CD,AE=A'E,

是△ABC的中线，

CD=BD,

：.AD=BD=A'Df

：.ZAA'B=90°f

又・・・S/A0E=12,

：.SAADE=129

：.SAADA'=24,

又・・・£)为A3的中点，

：.SAAAB=2SAAAD=48,

即gxAVxA'5=48,

:.AA'=n,

又・・,尸为AE的中点，

1

：.AF=EFJ

：.AA'BF^AECF(AAS),

：.CE=AB=^,

VAA'=2A,E,AE=2EF=6,

；・EF=3,AF=9,

在放△CAE中，由勾股定理得：

在八CAb中，

CA-HF=AF・CE,

即点尸到AC的距离为三，

故答案为：-

【点拨】本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运

用等积法求垂线段的长是解题的关键.

19.A=02+1)2,B=n2+\,15,17；12,37

【分析】

先根据整式的混合运算法则求出4进而求出8,再把血的值代入即可解答.

解：A=(几2-1)2+(2n)2=〃4-2几2+1+4〃2="4+2〃2+1=(几2+1)2,

*：A=B2fB>0,

.',B=n2+1,

当2〃=8时，”=4,n2-1=42-1=15,«2+1=42+1=17；

当“2-1=35时，〃=±6（负值舍去），2”=2x6=12,〃2+l=37.

直角三角形三边n2-\2nB

勾股数组I15817

勾股数组II351237

故答案为：15,17；12,37.

【点拨】本题考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足

。2+按=〃,则△ABC是直角三角形.

20.见详解

【分析】

根据△C4B之△8DE,RTWAB=DE=a,AC=DB=b,再根据四边形的面积的两种不同表

示方式，即可得到足+按=已

解：VZA=ZD=ZCBE=90°,AB=DE,

：.ZABC+ZDBE-90°^ZDEB+ZDBE,

：.ZABC=ZDEB,

.♦.△CAB/ABDE；

■:4CAB咨ABDE,

.".AB=DE=a,AC=DB=b,

：C、B、。在同一条直线上，且/A=NO=/CBE=90。，

.,.四边形ACED是直角梯形，

S型形AEDC=；(AC+DE)AD=；(b+a)(a+b),

又S举形AEDC=2x1ab+1c2,

y(b+a)(a+b)=2x；"+；c2,

即a2+b2=c2.

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角

形的性质证明线段和角相等的重要工具.证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一

个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.

21.(1)见分析(2)40

【分析】

【点拨】本题主要考查三角形的全等证明、勾股定理，掌握三角形的全等证明及性质是

解题的关键.

22.(1)见分析(2)见分析

【分析】

(1)在Rt/VIBE中，求得AE=2,BE2=12,从而有BE=BC,即可得出△BEC为等

边三角形；

(2)求得DEZ+cDnizuEC?,所以为直角三角形，且ND=90°,即可解决

问题.

(1)证明：根据题意可得：在Rt^ABE中，

VZA=60°,ZAEB^90°,

.../A8E=30°.

'：AB=4,

：.AE=畀8=2,BE2=AB2-AE2=12.

又「近二⑵

：.BE=BC.

又：/CBE=60°,

.♦.△SEC为等边三角形.

(2)：△BEC为等边三角形，

.•.EC2=BC2=12.

又,：DE2=9,CZ>2=3,

：.DE2+CD2=12=EC2,

；.△(7£)£为直角三角形，且N£>=90°,

：.ED±CD.

【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理和其逆定理，熟练运用勾

股定理的逆定理是解题的关键.

【分析】

(2)根据勾股定理解答即可

答：原来的路线AC的长为等千米.

6

【点拨】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键

24.(1)见分析(2)①见分析；②见分析；③

【分析】

(1)vE^ADE^/\CDF(SAS),得/ADE=/CDF,再证/矶中=90。，即可得出结论；

(2)①依题意，补全图形即可；

②由直角三角形斜边上的中线性质得0GBG=^EF,即可得出结论；

③先证△「斯是等腰直角三角形，得NQEG=45。，M