复数的几何意义-2021学年高一数学下学期（人教A版）

第2讲复数的几何意义

知识点1复平面、实轴、虚轴与复数的对应

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,X轴叫做实轴,V轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实

数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应:点Z的横坐标是a,纵坐标是6,复数z=a+6i(a,6GR)可用

点Z(a,6)表不.

(2)实轴与复数的对应:实轴上的点都表示实数・

(3)虚轴与复数的对应:除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定

的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.

知识点2复数的几何意义

注：复数的几何意义

复数z=a+》i（a,。ER）

一一对腐--->对应

点Z(a,fe)■对应”向量OZ

这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以

用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径.

(1)复数Z=a+历(a,6GR)的对应点的坐标为(a,6)而不是(°,历);

(2)复数z=a+6i(a,66R)的对应向量温是以原点。为起点的，否则就谈不上---对应，因为复平面上与温

相等的向量有无数个.

知识点3复数的模

复数z=a+6i(a,6GR),对应的向量为右，则向量芯的模r叫做复数z=a+6i的模，记作团或|a+6i|.由模

的定义可知：|z|=|a+b\\—r--\ja2+b2(r>0,r£R).

注：(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上

表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不

能比较大小.

(2)数的角.度理解:复数a+bi(a,6GR)的模|a+历两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实

数，可以比较大小.

(3)几何角度理解:表示复数的点Z到原点的距离•类比向量的模可进一步引申：同一Z2|表示复数Z1,Z2对应

的点之间的距离.

考点一复数与复平面内点的关系

复数的几何意义考点二复数的模

考点三复数与复平面内向量的关系

考点一复数与复平面内点的关系

解题方略：

利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z=a+6i(a,6GR)可以用复平面内的点Z(a,6)来表示，是解决此

类问题的根据.

(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.

特别提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示.

A.iB.1+iC.-iD.1-i

变式1:已知复数2=-i,复平面内对应点Z的坐标为()

A.(0,-1)B.(-1,0)

C.(0,0)D.(-1,-1)

【解析】复数z=-i的实部为0,虚部为一1,故复平面内对应点Z的坐标为(0,-1).故选A.

【例2】复数z=—1—2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】z=-1—2i在复平面内对应的点为(一1,—2),它位于第三象限.故选C.

A.第一象限B.第二象限C.第四象限D.第一或第四象限

【解析】U复数1-4+(a+2)i(aDR)是纯虚数，

□实部〃-4=01,虚部。+2加口，由二口解得a=2.

故选：C.

变式2：若x,yGR,i为虚数单位，且x+y+(x—y)i=3—i,则复数x+yi在复平面内所对应的点在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】Vx+y+(x—y)i=3—i,

x+v=3,[x=1,

解得；.复数l+2i所对应的点在第一象限.故选A.

x—y——1,ly—2,

变式3：已知复数2=。+S血£町在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2,则复数z等于()

A.-1+^3iB.1+^3i

C.—1或1D.—2+y/^i

]。2+3=4

【解析】由题意得'解得a=-1.

[a<0,

故z=-1+小i.故选A.

变式4：若复数〃+l+(l—Q)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数。的取值范围是()

A.(—8,1)B.(—8,-1)

C.(1,+8)D.(-1,+8)

【解析】因为Z=Q+1+(1—a)i,

所以它在复平面内对应的点为—〃)，

1<0,

又此点在第二象限，所以解得〃<一1.故选B.

[1~a>09

变式5：复数z=x—2+（3—x）i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是

[解析】复数Z在复平面内对应的点位于第四象限,

2>0,

解得x>3.

3-x<0.

答案：（3,+°°）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

故选：D.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

故选：A.

变式8：设a,6GR,i为虚数单位，则“">0”是“复数a一历对应的点位于复平面上第二象限”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

[a>0,[a<0,

【解析】由题意知，可推出《或彳当a>0,6>0时，a—为对应的点位于复平面上第四象

[b>0〔6<0.

限，当*0时，a一历对应的点位于复平面上第二象限，反之成立.所以“">0”是“复数。一历对应的

点位于复平面上第二象限”的必要不充分条件.故选B.

变式9：复数z=（〃2—2a）+（〃一。-2）i对应的点在虚轴上，则（）

A.aW2或aWlB.a=2或。力一1

C.。=2或a=0D.。=0

【解析】由题意知/一2a=0,解得。=0或2.故选C.

A.1B.-1

C.1或-1D.0

故选：A.

变式1：若复数z对应的点在直线y=2x上，且阂=小，则复数z=()

A.1+2iB.-1—2i

C.±l±2iD.l+2i或一1一2i

【解析】依题意可设复数z=a+2ai(aGR),由团=小得y意+^^:小,解得。=±1,故z=l+2i或2=—1

-2i.故选D.

故选：A.

er一n—6

变式3：求实数。分别取何值时，复数z=-^y-+(层一2a—15)i(〃£R)对应的点Z满足下列条件:

(1)在复平面的第二象限内；

(2)在复平面内的x轴上方.

(3)求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值.

(4)如果点Z在直线x+y+7=0上，求实数。的值.

【解析】(1)点Z在复平面的第二象限内，

a2-a~6

~T^<0,

则<。+3解得aV—3.

、片一2。一15>0,

(2)点Z在x轴上方,

a2—2a—15>0,

则

Q+3W0,

即(a+3)(〃-5)>0，解得a>5或4V—3.

(3)点Z在x轴上，

所以a2—2a—15=0且a+3W0,

所以。=5.

故a=5时，点Z在x轴上.

(4)因为点Z在直线x+j+7=0上，

o2—a—6

所以一工^—+。2—24—15+7=0,

〃十3

即/+2居-15。-30=0,

所以(〃+2)(层—15)=0,

故a=-2或a=±\[15.

所以a=~2或时，点Z在直线x+y+7=0上.

【例4】复数3—5i,l—i和一2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为.

【解析】由点(3,-5),(1,-1),(-2,a)共线可知a=5.

答案：5

【例5】i为虚数单位，设复数zi，Z2在复平面内对应的点关于原点对称，若zi=2—3i,则Z2=.

【解析】因为zi=2—3i对应的点的坐标为(2,—3),且复数zi,Z2在复平面内对应的点关于原点对称，所

以Z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为Z2=-2+3i.

考点二复数的模

解题方略：

复数模的计算

(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但

它们的模可以比较大小.

(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.

【例6】已知复数z=l+2i(i是虚数单位)，贝收尸.

【解析】Vz=l+2i,.\|z|=/转=小.

A.7B.5C.4D.3

变式2：求复数zi=6+8i与Z2=—g—虚i的模，并比较它们的模的大小.

【解析】Vzi=6+8i,Z2=一；—5i,

\zi\=^62+82=10,

区尸y2+(一a2=|.

3

V10>2，•,.|zi|>|z2|.

A.3B.4C.5D.6

故选：C

A.0B.2C.0或2D.0

故选：B

A.岳B.13C.10D.710

故选：A

变式6：i是虚数单位，设(l+i)x=l+yi,其中x,歹是实数，则孙=,|x+yi|=

【解析】由(l+i)x=l+yi,得x+xi=l+yi,.*.x=y=l,.\xy=\,|x+yi|=|l+i|=啦.

答案：1

A.V2B.2C.VlOD.10

故选：C

即复数Z的虚部为3.

故选:D

故选：C

变式1：已知复数z=l—2加(加6R),且|z|W2,则实数加的取值范围是

【解析】由|z|=yjl+4m2^2,解得一

答案:亚亚］

2，2J

变式2：已知0＜。＜2,复数z=a+i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(

A.（1,小）B.（1,小）

C.（1,3）D.（1,5）

【解析】|z|=、X+i,vo<a<2,.,.1<«2+1<5,/.|z|e（l,币）.故选B.

B.V3

故选：D.

【例8】已知复数zi=4§+i,Z2=—£+当.

⑴求㈤及㈤并比较大小；

(2)设zGC,满足条件团=区|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形?

【解析】⑴区尸S+i|='\/(-V3)2+l2=2,

0尸Y]一；＞+偿｝=1,所以同＞0].

(2)法一：设？=x+yi(x,yWR),

则点Z的坐标为(x,y).

由|z|=|zi|=2得人尤2+y=2,即/+/=4.

所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆.

法二：由团=区|=2知|"5亍|=2(O为坐标原点),

所以Z到原点的距离为2.

所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆.

变式1：已知复数z=x—2+yi的模是2啦，则点(x,0的轨迹方程是一

【解析】由模的计算公式得#一2¥十尸2小,

.,.(x-2)2+j/=8.

答案：(x—2＞+/=8

故选：B

变式3：已知复数z满足闾2—2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()

A.一个圆B.线段

C.两点D.两个圆

【解析】V|Z|2-2|Z|-3=0,.*.(|Z|-3)(|Z|+1)=0,/.|Z|=3,表示一个圆.故选A.

考点三复数与复平面内向♦的关系

解题方略：

复数与平面向量的对应关系

(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对

应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.

(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平

面内的点、向量之间的转化.

【例9】向量a=(—2,1)所对应的复数是()

A.z=l+2iB.z=l-2i

C.z——1+2iD.z=­2+i

【解析】向量a=(—2,1)所对应的复数是z=—2+i.故选D.

变式1：若"5亍=(0,-3),则■对应的复数为()

A.0B.-3C.-3iD.3

［解析］由复数的几何意义可知7万对应的复数为一3i.故选C.

变式2：复数z=3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z/,则对应的向量反|为()

A.-3-4iB.4+3iC.-4-3iD.-3+4i

【解析】□复数z=3+4i对应的点Z(3,4)

口Z关于原点的对称点为Z/(-3,-4)

对应的向量。％=-3-4i

故选：A.

变式3：设。为原点，向量为7,■对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量罚对应的复数为()

A.-1+iB.1-i

C.15—5iD.5+5i

【解析】因为由已知OA=(2,3),0B=(-3,-2),所以BA=0A-0B=(2,3)一(一3,-2)=(5,5),

所以下7对应的复数为5+5i.故选D.

国西+恒对应的复数是0.

故选：C

变式5：在复平面内，复数6+5i,—2+3i对应的点分别为A若C为线段N8的中点，则点C对应的复

数是()

A.4+80iB.8+2i

C.2+4iD.4+i

【解析】两个复数对应的点分别为N(6,5),5(-2,3),则C(2,4).故其对应的复数为2+4i.故选C

变式6：在复平面内，A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-l+2i.

①求向量万，14C,对应的复数；

②判定△NBC的形状.

【解析】①由复数的几何意义知：

"07=(1,0),'=(2,1),-OC=(-1,2),

所以工=~OB-~OA=(1,1),~AC=15C~~OA=(-2,2),~BC=OC~~OB=(-3,1),所以〃，~AC,

对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.

②因为|西户也，|7?|=2w，尸也，

所以F+1"F=।下｝F,

所以△4BC是以2c为斜边的直角三角形.

变式7：在复平面内，把复数3—6i对应的向量按顺时针方向旋转率所得向量对应的复数是()

A.2sB.一2小i

C.eq-3iD.3+/i

【解析】复数对应的点为(3,一邓),对应的向量按顺时针方向旋转呈则对应的点为(0,—2-73),所得向量

对应的复数为一2/i.故选B.

故选：c.

变式9：已知复数zi=—l+2i,Z2=l—i,Z3=3—2i,它们所对应的点分别是，，B,C,若OC=xCM+

yOB(x,y£R),贝。x+y的值是.

【解析】由复数的几何意义可知，~OC^xOA+yOB,

即3-2i=x(-1+2i)+Xl-i),

3-2i=(y-尤)+(2x-y)i,

仅一x=3,[x=l,

由复数相等可得解得

i2x~y=~2,[j=4.

，x+y=5.

答案：5

练习一复数与复平面内点的关系

1、【多选】下列命题中，正确的是（）

A.复数的模总是非负数

B.复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应

C.如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限

D.相等的向量对应着相等的复数

故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确.

故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确.

对于C,如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，

故C错.

对于D,相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确.

故选：ABD.

A.1B.-1C.2D.-2

故选：D.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

故选：D

故答案为：9.

A.第一象限B.第二象限C.第四象限D.第一或第四象限

【解析】•••复数/-4+(a+2)i(aCR)是纯虚数,

，实部/-4=0①，虚部a+2W0②，由①②解得。=2.

故选：C.

故选：AC

练习二复数的模

A.1B.1C.丘D.73

故选：A

故选：C.

5、下列命题中，正确的是()

故选：D

6、下列命题中，真命题是（）.

A.虚数所对应的点在虚轴上

【解析】复平面上，除实轴上的点表示实数外，其他的点都表示虚数，A错;

故选：D.

z的虚部是2,所以A选项错误；

z对应的点在虚轴上，所以D