二次函数与幂函数（附答案解析）-全国高考数学一轮复习（提高版）

二次函数与幕函数

链教材夯基固本

激活思维

1.已知哥函数兀0的图象经过点（2,啕，则6）的值等于（B）

A.；B,4

C.8D.|

O

【解析】设嘉函数加x）=/，因为嘉函数八X）的图象经过点。，乎），所以2。=乎，«=

T所以五x）K；,则6）二田2=4.

2.（人A必一P91练习T1改）若幕函数的图象过点（2,陋），则它的单调递增区间为

（B）

A.（―0°,0]

B.[0,+8）

C.（―°°,0）U（0,+°0）

D.R

11

【解析】设薛函数为尸V,则2。=6，可得a/,所以y=f,则所求的单调递增区

间为[0,+°°）.

11

-

3.（人A必一P100复习参考题T4改）若函数式x）=4f一丘一8在[^-

z4上是减函数,

则实数4的取值范围是（A）

A.[2,+8）B.[-2,+8）

C.（一8,2]D.（—8,-2]

k11

【解析】函数八无）=4/一近一8图象的对称轴为尸旨由于於）在卜了力上是减函数，

k1

所以0三了=422.

4.已知函数人/MBX2-2（%+3）尤+根+3的值域为[0,+8）,那么实数根的取值范围为

（A）

A.{0,-3}B.[-3,0]

C.{0,3}D.（—8,-3]U[0,+8）

【解析】由题意得/=4（加+3/—4X3X（机+3）=0,则机=0或机=—3,所以实数加

的取值范围是{0,—3}.

5.已知函数7(工)=，+以-1在区间［0,3］上有最小值一2,那么实数〃=_—2_.

【解析】当一即aNO时，函数在区间［0,3］上为增函数，故大x)min=K0)=—1,

不符合题意，舍去；当普3,即。6时，函数在区间［0,3］上为减函数，故/(x)mm=A3)

=8+3a=—2,解得a=—与，与aW—6矛盾，舍去；当0<一?<3,即一6<a<0时，

/(X)min=(一^)=—2,解得<2=—2,经检验符合题意.故<2=—2.

聚焦知识

1,二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：fix)—a^+bx+c(a^O')；

(2)顶点式：f(x)=a(x—zn)2+n(rz#0)；

(3)零点式：/(x)=a(无一制)(龙一X2)(a=0).

2.二次函数的图象和性质

y=aj^-\-bx-\-cy=ax1+bx-\-c

函数

(40)(。＜0)

byy

图象

(抛物线)

7o

定义域R

(4ac-〃

值域+JI'J-

b

对称轴x=一丁

~2a~

顶点A_b_4〃c—吟

坐标-V—2a—4a

奇偶性当6=0时是_偶_函数，当6W0时是非奇非偶函数

在(一8,一b"~上\单调递

在(-8,上单调递.减_；在

单调性V+8)上

—昱，+8)上单调递次_增.;在

单调递_减—

3.募函数的定义

一般地，函数二口工叫做幕函数，其中x是自变量，a是常数.

4.五种常见募函数

231.1

函数尸Xy=jr尸X

*上生

图象

定义域RRR{小20}{小W0}

值域R{第20}R{第20}{第#0}

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

性在(一8,0］

在(一8,0)

质在R上上单调递减，在R上单调在［0,+8)

单调性和(0,+°°)

单调递增在(0,+8)递增上单调递增

上单调递减

上单调递增

公共点（1，1）

5.基函数的性质

(1)幕函数在(0,+8)上都有定义;

(2)塞函数的图象都过点(1,1)；

(3)当a>0时，嘉函数的图象都过点(0,0)与(1,1),且在(0,+8)上单调.递增

(4)当a<0时，幕函数的图象都.不过.点(0,0),在(0,+8)上单调.递减..

研题型素养养成

举题说法

目标IH幕函数

例1已知幕函数y=/U)的图象过点(2,唱，则下列关于加)的说法正确的是(C)

A.7(x)是奇函数

是偶函数

C.在(0,+8)上单调递减

D.定义域为［0,+8)

【解析】设嘉函数〉=兀0=/，aGR,由题意得2。=¥，«=—2，故y=/(x)=x—2=

方，定义域为(0,+8),故D错误；定义域不关于原点对称，y=/(x)为非奇非偶函数，故

A,B错误；由于一］<0,故y=Xx)=/2在(0,+8)上单调递减，故C正确.

・总结遑炼〉

露函数的图象与性质由于a的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)。的

正负：当1>0时，图象过原点和（1,1）,在第一•象限的图象上升；当aVO时，图象不过原

点，在第一象限的图象下降.（2）曲线在第一象限的凹凸性：当时，曲线下凹；当0V

aVl时，曲线上凸；当4V0时，曲线下凹.

变式1（2024・广州冲刺训练（一））若基函数於）=（病—加一1）0n4在（°,十8）上单调递

增，则实数机的值为（A）

A.2B.1

C.-1D.-2

【解析】因为寨函数/（X）=（苏一机一I1植在（0,+8）上是增函数，所以

I解得m=2.

[2m—3>0,

目标日二次函数的图象与性质

视角1二次函数的图象

例2-1（2024•绵阳一模）函数式x）=log6（a>0,且aWl）与函数g（x）=af—2x在同一平

面直角坐标系内的图象不可能是（D）

【解析】对于A,由对数函数图象可知。>1,又函数8（尤）=加一2x,对称轴为尤=：<

22

1,对应方程的两个根为0,由图知£<1,从而。>2,故A可能；对于B,由对数函数图

12

象可知。>1,又函数飘入）=加一2%,对称轴为％=工<1,对应方程的两个根为0,由图

2

知从而0V〃V2,故B可能；对于C,由对数函数图象可知OVaVl,又函数g（x）=

172

2%,对称轴为对应方程的两个根为0,7，由图知；;>1,从而。<2,故C可

能；对于D,由对数函数图象可知OVaVl,又函数g（x）=Q%2—2x,对称轴为则

〃<0或故D不可能.

变式2-1（多选）在下列图形中，二次函数>=加+法与指数函数的图象可能

是（ABD）

【解析】当a>6>0时，A正确；当6>。>0时，B正确；当0>a>6时，D正确；

当0>b>a时，无此选项.

视角2二次函数的性质

例2-2(1)(多选)若函数八乃二%2一(4。-l)x+2在［-1,2］上不单调，则实数。的取值

可能是(BC)

A.-1B.0

C.1D.2

4〃—1

【解析】因为函数八X)=/—(4a—l)x+2在［―1,2］上不单调，所以一1<—^一<2,

所以一2<4a—1<4,所以一

2

X+2OX+5,X<L

(2)(2024•绵阳期初)已知函数八x)=|—〃在R上是减函数，则实数〃

Ee

的取值范围是」-2,—1］.

，+2〃%+5,x<l,

【解析】因为函数兀v)=｛一〃在R上是减函数，所以

-----,

Il

—a21,

<一〃>0,解得—2,—1］.

、1+2〃+52—a,

目融同二次函数的动态问题

例3已知二次函数八乃二以2+Z?x+c(〃，b,c£R)满足/(x)=0有两个实数根处，血

(1)若4=1,。=6+京，X1W%2，求实数b的取值范围；

【解答】由已知『+汝+6+3=0有两个不等实根，得/=〃一4,+1)>0,解得

-1或b>5,即实数匕的取值范围为(一8,-1)U(5,+8).

(2)若川)=1,加)=0,记危)在1,1］时的最小值为g(〃)，求g(〃)的表达式.

【解答】由#0)=。=1,可知/(XJMQf+fcv+l.又11)=〃+匕+1=0,故b=-a—l,

显然qWO,所以火—m+l)x+l=〃(x—一("J，.当〃>0时，/(x)的图象是开口

向上的抛物线，当。>1时，-1〈噜W1,则g(a)=—当0<。<1时，噜21，

则g(〃)=/U)=O.当a<0时，火x)的图象是开口向下的抛物线，当一1W〃<。时，变与0,

则g(a)=f(l)=O；当a<—1时，^y->0,贝>J以〃)=7(—1)=24+2.综上，g(a)=

〃2。+2,a<—1,

0,—1W〃V1且aWO,

.3—1)2>]

4a'。八

<总结提炼》

对二次函数兀Ouaf+At+cmWO),当。>0时，凡x)在区间［p,q］上的最大值是最

小值是机，令xo=p?q:

b

(1)若一五Wp,则m=flp),M=j［q);

(2)若p<_&<xo,则机=G§，M=f(q);

(3)若xoW一之<4,则机=/(—§，M=J1p);

b

(4)若一五Nq,则m=£q),M=fip).

题组Sf

[a2—2a,—2<〃W1,

1.若函数y=/—2%,工£[—2,a],则该函数的最小值g3)=_

〃>1

【解析】因为y=f—2x=(%—1)2—1,所以其图象的对称轴为直线x=l.当一2V〃W1

时，函数在［—2,0上单调递减，则当X=Q时，>min=〃一2〃；当〃>1时，函数在［-2,1］

上单调递减，在［1,上单调递增，则当X=1时，ymin=—1.综上，g(a)=

fa2—2a,—2VaWl,

［-1,a>l.

6〃一7,

2.函数y=一—+2办+2,—3］的最小值ymin=

1—2。，a>1

【解析】函数y=一—+2以+2开口向下，对称轴为x=〃.因为1,3］,令y=/(x)

—1+3

=—d+2"+2,当aW—2—=1时，ymin=7(3)=6a—7；当a>\时，ymin=7(—1)=1—2〃.

［6«-7,

所以函数y=一—+2〃%+2,［―1,3］的最小值ymin={

［l—2a,a>\.

3.已知八%)=——6x+10在区间［a,〃+1］上的最大值为4,则实数a的值为_2+J§或3

二

【解析】令兀回=必一6x+10=(x—3>+1,因为y=/(x)在区间［〃，〃+1］上的最大值为

4,当a+、23,即〃2［时，危)max=(a+li3)2+l=4=>a=2+小;当a+^V3,即aV、时,

7(x)max=(〃-3>+1=40〃=3一小.综上，。=2+小或a=3一5.

目®id二次方程根的分布

例4(1)若关于x的二次方程"小+(2加―1)%—加+2=0(根>0)的两个互异的实数根都

小于1,则实数m的取值范围是一传也，+s］.

【解析】因为关于x的二次方程以/+(2加—1)%一根+2=0(加>0)的两个互异的实数根

<m>0,

〃心0,、一3一巾、,3+市

zf=(2m—I)2—4m(—m+2)>0,m<-或m>—1―

都小于1,所以V1—2m即<1

2om<1,相或根VO,

1—m+2>0,

m>-

kz

解得加>注亚.

(2)已知关于x的二次方程，+23+2小+1=0,若方程有两根,其中一根在区间(一1,

0)内，另一根在区间(1,2)内，则实数m的取值范围是(一|,一..

【解析】设/00=/+2»«+2相+1,问题转化为抛物线人xluV+ZAtr+Z机+1与x轴

7(0)=2根+1<0,

A-l)=2>0,51

的交点分别在(一1,0)和(1,2)内，则《“，•八解得一大<根<一5.

犬1)=4根+2<0,。2

、-2)=6.+5>0,

(3)已知关于尤的方程办2+x+2=0的两个实根一个小于0,另一个大于1,则实数a

的取值范围是一(一3,0).

【解析】显然aWO,关于x的方程加+了+2=0对应的二次函数为负劝=加+工+2(对

开口方向进行讨论，分a>0和a<0).①若a>0,即图象开口向上，加+%+2=0的两个实

根一个小于0,另一个大于1,只需犬0)<。且共1)<0,即2<0且a+3c0,则ad。；(若发

现八0)=2,结合图象也可知a>0不可能).②若a<0,即图象开口向下，aW+x+Zu。的两

个实根一个小于0,另一个大于1,只需犬0)>0且犬1)>0,即2>0且a+3>0,则一3<a

<0.综上，实数a的取值范围是(一3,0).

，总结谩炼》

(1)求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合做到“等价转化”；

(2)画图时注意二次函数四大因素----开口方向，对称轴，判别式，特殊点(特殊点是指

含参的二次函数过的一■些定点(比如与x,y轴的交点)或某些函数值的正负).

随堂内化

1,已知幕函数兀0=枢/的图象过点(陋，2吸)，设。=角"),5=/(〃),0=4112),贝1](B)

A.c〈b〈aB.c〈a〈b

C.b〈c〈aD,a<b<c

【解析】因为函数应^)=旋为嘉函数，故机=1.又函数次x)=2的图象过点(色,2吸)，

所以/)〃=2也，解得〃=3,故«x)=x3,则函数«x)为增函数.因为〃所以eV

a<b.

2.(2024•苏州期中)满足｛可〃・口或"｝=｛九=/,znWxW”｝的实数对根,〃构成的点(中,

〃)共有(C)

A.1个B.2个

C.3个D.无数个

【解析】由｛RwzWxW刈uUlynx2,机WxW〃｝,又yu%22。，则机20,所以yn%2在

2

[m,w]上单调递增，故值域为[»?,w],即m，〃是^二苫的两根，解得制=0,X2=l.当m=

〃=0时，点(机，〃)为(0,0)；当“=〃=1时，点(机，〃)为(1,1);当机=0,〃=1时，点O，

⑶为(0,1).

3.若方程7/一(7W+13)小一相一2=0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上,

则实数m的取值范围为(—4,—2).

【解析】设函数Z(x)=7f—(m+13)无一山一2,因为方程7/—(%+13)十一机一2=0的一

贸0)=一机_2>0,m<—2,

个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上，所以1八1)=—2加一8<0,

即<YYl>—4,

次2)=—3机>0,、机V0,

所以一4<加<一2.

4.(2024・日照一模)设/(x)=/+ax+6(a,6GR)满足：对任意的/GR,均存在X2GR,

使得五尤1)=黄汹)-2尤2，则实数a的取值范围是(一8,11.

【解析】令/7(尤)=/0)—2了=/+(々-2m+6.因为对任意的打6]<,均存在X2GR,使得

(Q—2)2

人为)=/(%2)—2X2,所以“X)的值域是人(%)值域的子集，所以〃(%)min《/a)min,即匕一一一Wb

告解得〃W1,即〃的取值范围是(一8,1].

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.（2024・广州预测）若募函数人乃=（租2—加一1）"吐3在①，+8）上单调递增，则实数机的

值为（A）

A.2B.1

C.-1D.-2

【解析】因为早函数—机一1）/榜在（0,+8）上是增函数，所以

nr—m—l—l

解得机=2.

2m—3>0,

2.已知二次函数;（%）满足式2）=—1,八1—x）=/U）,且#x）的最大值是8,则此二次函数

的解析式为危）=（A）

A.—4/+4%+78.4/+4冗+7

C.—4X2-4x+7D.—4f+4x—7

【解析】由/（1—%）=危）,得知）的对称轴为尸;，设二次函数为左：）=〃（%—g+左（20）.

因为/（X）的最大值是8,所以〃<0,当时，后）=左=8,即二次函数兀r）=[Q—g+8（4

<0）.由式2）=—1,得式2）=a（2—0+8=—1,解得a=—4,则二次函数八%）=—4（x—0

+8=-4/+4x+7.

3.若。=住｝,b=iogA，0=3-1则°,儿c的大小关系为（C）

A.a>b>cB.b>c>a

C.b>a>cD.c>b>a

【解析】而a=

<1,所以a,b,c的大小关系为>>a>c.

4.在同一平面直角坐标系中，函数人¥）=加+%+1和函数g（x）=ax+l的图象不可能是

(C)

AB

CD

【解析】若。=0,贝Iy（x）=%+1,g（x）=l,A可能；若〃V0,则危）的图象开口向下，

过点（0,1）,对称轴为x=一/〉0,g（x）的图象过点（0,1）和（一!，0）,且一/V—£B可

能；若则«x）的图象开口向上，与x轴有两个交点，过点（0,1）,对称轴为x=一

^＜0,g（x）的图象过点（0,1）和（T，0）,且一£＞一《，c不可能；若则於）的图象

开口向上，与x轴没有交点，过点（0,1）,对称轴为x=—彘＜0,g（x）的图象过点（0,1）和

（T4且一4＞TD可能•

二、多项选择题

5.已知函数於）=⑪2—2法一1,则下列结论正确的是（ABD）

A.若加）是偶函数，则6=0

B.若式x）＜0的解集是（一1,1）,则〃=1

C.若。=1,则；（尤）＞0恒成立

D.VaWO,b＜0,八x）在（-8,0）上单调递增

【解析】对于A,函数共0的定义域为R,若函数八%）为偶函数，则八—x）=/（x）,即以2

+2bx—l—ax2—12bx—l,即46%=0对任意的尤GR恒成立，则b=0,故A正确；对于B,

若不等式"x）＜0的解集为（一1,1）,则a＞0且一1,1为方程八x）=0的两根，则

[TXI=T，…

5c,解得，故M=l,故B正确；对于C,若。=1,则/x）=d-2bx

―1+1=丝，匕=仇

Ia

-1,/=4/+4＞0,故段）＞0不恒成立，故C错误；对于D,当a=0时，因为6＜0,所

bh

以在（一8,0）上单调递增，当。＜0时，函数八无）的对称轴为直线x=,，且£＞。，由二次

函数的单调性可知，函数式x）在（一8,0）上单调递增，因此，V.WO,6c0,式尤）在（一8,0）

上单调递增，故D正确.

6.（2024信阳模拟）若函数於）=|%2—（加一2比+皿[—3,I上单调，则实数%的值可以

为（BD）

A.l1B.一；

5

D.3

2

【解析】①当/=（加一2）2—4W0,即时，J（x）=\x1—（m—2）x+l\=x1—（m—2）x

,72—2

+1,所以式尤）的对称轴为了=下一，则应X）的图象如图（1）所示，结合图象可知，要使函数/（X）

11YYI—21YYL—21

=*—（初-2）x+l|在一5，?上单调，则一5一或—5—W—5，解得小23或m^l,即

_乙乙」乙乙乙乙

3WnzW4或0W加W1；

（第6题答）

②当/=（根-2）2—4＞0,即根V0或加＞4时，令〃（%）=/一（加一2）x+l,则%（x）的对称

772—2

轴为X=—^二，则/?（尤）的图象如图（2）所示，结合图象可知，要使函数人劝=廿一（加一2）x+l|

1<m—2

22

{4>o

fEm—2

—2^-2—，

《解得4＜相.3或一综上，或一

［代步。，

7.（2024•浙江模拟）二次函数＞=加十―+以〃，b,c是常数，且〃W0）的自变量x与函数

值y的部分对应值如下表：

X・・・-1012・・・

…

ym22n・・・

3

且当x=2时，对应的函数值yVO.下列说法正确的有（BCD）

A.abc＞0

c、100

B.

C.关于尤的方程ax2+bx+c=0一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在一3和0

之间

D.若点尸i«+2,巾)和P2(L2,竺)在该二次函数的图象上，则当实数©时，ji>j2

[Q+/?+C=2,[b=~a9

【解析】将(0,2),(1,2)代入得解得所以

/,〔c乙,

二次函数为尸加一"+2.因为当尤=尚时，对应的函数值y<0,即?〃一|4+2V0,所以

QQ

—所以人=—〃>],所以〃VO,Z?>0,c>0,所以次?cVO,故A错误；当了=—1时，m

=a+a+2=2a+2,当％=2时，n=4a—2a+2=2a+2,所以加几=(2"+2)2=4(〃+1)2,因

为〃<一/所以M故B正确；因为二次函数》二以2一办+2过点(0,2),(1,2),

13

所以其对称轴为I=],又当时，对应的函数值yVO,根据二次函数的对称性知，当工

=—3时，对应的函数值y<0,而当x=0时，y=2>0,所以二次函数与x轴负半轴的交点

横坐标在一；和0之间，所以关于x的方程加+法+。=0一定有一正、一负两个实数根，

且负实数根在一；和0之间，故C正确；因为点尸1。+2,>1)和02(/—2,>2)在该二次函数的

图象上，所以％=。a+2)2—〃0+2)+2,yi=a(t—2)2—a(t—2)+2,若%>>2,则〃0+2)2—

〃(1+2)+2>〃。-2)2—a(t—2)+2,因为〃V0,所以(r+2)2—«+2)V«—2)2—(Z—2),解得/

<1,故D正确.

三、填空题

8.已知幕函数的图象过点(2,坐^,则")=/2；若五。+1)</(3—2a),则实数。

的取值范围是」

【解析】设八X)=K,将点12,9代入得a=—3,所以人x)=—之其在(0,十8)上单

调递减，所以。+1>3—2a>0,可得“eQ,

[x2-6x+4,xN],

9.(2025•湛江期中)若函数兀i)=.'—'存在最小值，则实数〃的取值范围

[ax-2,x<l

为」一3,0L.

【解析】当时，八刈二^2—6x+4=(x—3)2—52—5,显然〃W0,故只需〃X1—22

—5,则一3WaW0.

10.已知函数/(%)=—#+x,若/(%)的定义域为[如n](m<l),值域为⑵n,2n],则m

+n=—2

【解析】因为危)=—%+x=—/(%—1>+3，对称轴为x=l,当小V〃W1时，危)在

m=2

A)—^m+m=2m,c=

解得《_当机viv〃时，y(x)在

{加)=—/2+〃=2〃，5=°；

[m,1]上单调递增，在[1,汨上单调递减，此时火1)=-^+1=3=2〃=〃=；,与〃>1矛盾，

舍去.综上，m——2,??—0,—2.

四、解答题

11.求实数优的取值范围，使关于x的方程V+2(m—l)x+2机+6=0分别满足下列条

件.

(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；

【解答】设yu/iXluV+ZQ"—1)X+2MI+6.

(1)依题意有负2)<0,即4+4(机-l)+2m+6<0,得加<—1,即实数优的取值范围为

(—8,—1).

(2)有两个实根a,B，且满足0<a<l<£<4；

/(0)=2m+6>0,

75

【解答】依题意有j/U)=4机+5<0,解得一方<根<—本即实数机的取值范围为

94)=10根+14>0,

-1)•

(3)至少有一个正根.

【解答】方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得

"10'机W—1或机25,

<'。)。，gp<m>—3,所以一3<加式一1；②有一个正根，一个负根，此

———>0,lm<l,

[2m+6=0,

时可得/(0)V0，得机V—3；③有一个正根，另一根为0,此时可得彳所以机

L2(m—1)<0,

=—3.综上，实数机的取值范围为(一8,-1].

12.已知二次函数1工)满足式x+2)—/(x)=4x+6,且1一1)=0.

(1)求人x)的解析式；

【解答】设危)=ax2+/?x+c,由於+2)—/(%)=4x+6,得。(x+2)2+/?(x+2)+

[4〃=4,[ci'—1

c~(ax1+bx+c)=4x+6,即4"+4。+2/?=4%+6,因此{,解得彳9/U)=

14〃+2匕=6,[b=l,

V+x+c由八-1)=0,得。=0,所以函数五%)的解析式是八x)=f+x.

(2)记且⑴可⑴一%2一2%一利，m^R,当机+2]时，求g(x)的最大值(用机表示).

_m

3x—m,x<y,

【解答】由(1)知，g(x)=x—\lx—m\=当m^O时，y,g(x)=