高考数学一轮复习：空间向量和立体几何（二）含解析

空间向量和立体几何高考复习专题二

知识点一证明线面平行，求平面的法向量,面面角的向量求法

典例1、如图，四边形A8CD是正方形，PA_L平面A8CD,EB//PA,AB=PA=4.EB=2,

产为尸力的中点.

(1)求证：M_LPC;(2)求二面角。-尸C-E的大小.

随堂练习：如图，在正四棱锥P-"C。中，PA=AB=2f点也N分别在PA8。上，且

(1)求证：例N||平面PBC；(2)当4=g时，求平面AMN与平面P8c所成二面角

的正弦值.

典例2、如图所示多面体中，底面A8C。是边长为3的正方形，。片/平面ABC。，AFHDE,

DE=3AF=3限,”是50上一点，BD=3BM.

(1)求证：AM〃平面8所；(2)求二面角尸-的-C的正弦值.

随堂练习：在四棱锥P-A5CD中，2通=3反，屉=2万，PAA.PD,BC1CD,且

|蝴=石冈=3,

Z^4D=30°,平面R1OJL平面48c7).

(1)证明：CE〃平面PA。；(2)求二面角P-AB-C的余弦值.

AB

典例3、如图，在四棱锥P—A3C。中，P4_L平面A8CO,A3//CO,且8=2,AB=1,BC=2五,

PA=2,

AB1BC,N为尸。的中点.

(1)求证：/W〃平面P3C；(2)求平面幺D与平面PCD夹角的余弦值；

(3)点用在线段AP上，直线CM与平面E4D所成角的正弦值为拽，求点M到平面

15

PC。的距离.

随堂练习：如图，四棱锥P-A8c。的底面为正方形，至，底面A8CQ,M是线段PZ)的

中点，设平面尸AO

与平面尸8c的交线为/.

(1)证明/〃平面比汹

(2)已知此＞=4)=1,Q为/上的点，若总与平面QC。所成角的正弦值为是g,求线

段QC的长.

(3)在(2)的条件下，求二面角力-CQ-M的正弦值.

典例5、已知正三棱柱底面边长为2,〃是比上一点，三角形AMG是以材为直角顶点等

腰直角三角形.

（1）证明4是比中点；（2）求二面角M-AG-C的大小；（3）直接写出点。到平面八MG

的距离.

随堂练习：如图，三棱柱ABC-的棱长均为2,点A在底面A8C的射影。是AC的中

点.

（1）求点A到平面的距离；（2）求平面人防必与平面8CC圈所成角的余弦值.

A

B

典例6、如图所示，平面A881平面产，且四边形A88为矩形，BF//CE,HC±CEf

DC=CE=4fBC=BF=2.

(1)求证：4/〃平面CDE；(2)求平面C7)E与平面AE尸所成锐二面角的余弦值;

(3)求点C到平而A样的距离.

随堂练习：如图，PD_L平面A8CD,AD±CDtABhCD,PQ//CD,

AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,

点E,F,"分别为4>,CD,BQ的中点.

(1)求证：M//平面CPM；(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小;

(3)若N为线段CQ上的点，且直线LW与平面QPM所成的角为g,求线段QN的长.

0

空间向量和立体几何高考复习专题二答案

典例1、答案：(1)证明见解析；(2)

O

解：(1)依题意，E4_L平面ABC。，如图，以A为原点，

分别以4万,A反A户的方向为x轴、丁轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

依题意，可得40,0依),8(0,4,0),C(4,4,0),D(4,0,0),P(0,0,4),E(0,4,2),F(2,0,2),

/=(2,0,2),PC=(4,4,-4),:.AFPC=S+0+(-8)=0,/.AF±PCB|JAFA.PC；

VAI)=APf/为PO的中点，AF±PD,

(2)AF上PC,PDcPC=P,P£),PCu平面PCZ),

.•.Ab_L平面PC。，故#=(2,0,2)为平面「。)的一个法向量.

设平面PCE的法向量为万=(爸乂z),

w-PC=0,|4x+4y-4z=0

/PC=(4,4,-4),PE=(0,4,-2),即<

fi-PE=04v-2z=0

.*—A厂2+0+45/3

令)，=1,得x=l,z=2,故”(1,1,2).…前=^^=3,

由图可得二面角O-PC-E为钝角，

•・二面角。-PC-E的余弦值为一季则二面角。-叱-七的大小为浓

2O

随堂练习：答案：（1）证明见解析2（2）立

3

解：（1）证明：连接4A,并延长交8。于点反

因为正四棱锥产所以/I颇为正方形，所以F誓N=熬RN.

EABD

FNPM

又因为PM震=R黑N，所以等=瞿，所以在平面为《中，MN//PE,

PABDEAPA

又MNN平面PBC,PEu平面PBC,所以MN//平面如C

（2）连接力C交劭于点0,连接做

因为正四棱锥P-ABCD,所以P01平面ABCD,

又。1,OBu平面力及力，所以PO_LOA,POLOBf

又正方形/仇力，所以。4J.O8.

以7，OB,9为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系,

则4（&00）,40,夜,0）,C（—垃,0,0）,D（0,-V2,0）,网0,0,闾,

因为义=：，所以N（0,0,0）,则丽=卜&,0,0）,PA=（72,0,-72）,

设平面4MV的法向量为I=（x，y,zJ,则广竺厂2%2，

勺PA=V2X）-72z1=0

取玉=0,)[==0,勺=(o,J5,o卜P/?=(0,V2,->/2),PC=(-V2,0,-V2),

则R•丽=上%-五Z?二。

设平面4%的法向量为元=（毛,%，22），

、[ni-PA=-y/2x2->/2z2=0

所以H晨林釜方邛，

取毛=1，%=一口2=T,后=0，T，T）;

设平面4介与平面物所成的二面角为0,则sin0=J-cosgG=y，

所以平面,与平面布所成二面角的正弦值为华

典例2、答案：（1）证明见解析（2）粤

解：（1）证明：过点M作MN〃OE,交BE于点、N,则要=襄=!，即MN=«,

DEBD3

因为4"〃。石，所认AF//MN,且AF=MN=6

所以四边形AMN5为平行四边形，所以AM/小户.

又NFu平面BEF,AMU平面8所，所以AM〃平面8石尸.

（2）由题意以。为原点，分别以D4,DC,DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空

间直角坐标系，

则*3,3,0）,F（3,0,j6）,E（0,0,376）,C（0,3,0）,

所以旃=（0,-3,甸,BE=（-3,-3,3>/6）,BC=（-3,0,0）,

设平面8EF的法向量为〃;=（%,），/），平面EEC的法向量为第=（々，+4）,

则.BF-0%•BC=0目一3y+遥4=0-3々=0

1

、［ncBE=0=、］一3$一3y+3后4=0'［-3x,-3y2+3>/6z2=0?

令z、=瓜,z,=\/6,则仆=（4,2,遥），%=（0,6,6），

设二面角厂-8E-C为〃，所以|cos8|='定=总鹿=+票，即

・c8回

sin0=------,

91

所以二面角尸-阿-。的正弦值为粤.

随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）噜

_2-

解：（1）设点/满足P户=2E4，WPF=-PAt结合条件PE=2M,

BP?E=-ra,PE-PF=-（PB-7M）,^}FE=-AB；

333

__o___

由条件2通=3束，即反=可而，可得：FE=DC,显然EE。。线段不共线,

从而可得四边形。庄。为平行四边形，即可得：CE//DF,OFu平面PAO,

。七吠平面如。，故可得：CE〃平面PAO

（2）过点作，作4。的垂线，垂足为。，POu平面以。，

平面RU）_L平面48CD,平面以Oc平面ABCD=AD,可得：尸。工平面A8CQ

•：PA±PDt：.ZPAD=30°f故可得附=石，|叫=1,|叫=冬|AO|=m•在直

角梯形ABC。中，|阴二网3。=3,|*|=2,可得/射。［,在中，根据余

弦定理：|0"=|。大+|A砰一2|。4HAM.cos/B4O=手，

根据上述分析可得：|A3「=|O砰+依4匕从而可得：AD1OB.

综上可得：OAOa。。三条直线两两垂直.故以点。为原点，方方向为x轴，

而方向为）‘轴，而方向为z轴建立空间直角坐标系.则有点斗弓。。}小,坐0、

小,。与

in•雨=0

设平面的法向量为正=（x,y,z）,则可得:

加而=0

6x-z=0

即有令y=i,可得）=（6」,3）；

-x+\/3y-0

平面A4C与平面A3C。为同一个平面，显然平面/WC的一个法向量为〃=（0,0,1）.

3小

可得:-［寸，结合图形可知是锐二而角,

从而可得二面角。的余弦值为辔

典例3、答案：（1）证明见解析（2）日（3）半

解：（1）记C。的中点为E,连结AE,

因为AB〃CZ）,CE=^CD=\=ABf所以四边形ABCE是平行四边形，贝］AE=1,

因为所以平行四边形A8CE是矩形，则AE_LA8,

因为PA_L平面A8CO,A£A8u平面A8CO,所以PA_LA£,E4_LA8,贝八B

两两垂直，

（2）故以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如

图，

则A（0,0,0）,3（0,1,。），E（2a,0,0）,D（2>/2-1,0）,C（2及,1,0）,尸（0,0,2）,

因为N为9的中点，所以N（"-川，则丽=（"-；/），

设平面PBC的一个法向量为正=（x,）\z）,而8户=（0,-1,2）,BC=（2x/2,0,0）,

in-BP=-y+2z=0

则令z=l,则〃7=(0,2,1),

的1北=2瓜=()

uiroiiri,uuuu

所以4M〃2=-/X2+1=0,则4N_Lm,

又4VO平面P8C,所以4V〃平面PBC.

设平面PAO的一个法向量为力=GU“)，而Q=(0,0,2),TO=(2X/2,-1.0),

JA户万=2c=0

令<7=1,贝lj'=(l,2丘0),

所以[AD-n=242a-b=0

设平面/乜。的一个法向量为£=",S"）,而C力=（0,-2,0）,^C=（272,1,-2）,

CD•w=-2s=0_「

所以前切=2仿+s-2/=。‘令I'则"(I，。，扬，

TT

记平面以。与平面PCO夹角为a,则0<a<5,

在N/FF\lHl1+o+ol出

\/I自嗣VlT8xViT29

所以平面PAO与平面PCD夹角的余弦值为正.

9

（3）依题意，不妨设则用=（O,（U）,CM=（-2V2,-1J|,

又由（2）得平面幺。的一个法向量为;?=（1,2衣0）,记直线CM与平面小。所成

角为。,

噂,解得左-1（负值舍去），

所以M（O,O,1）,则M尸=（0,0』），而由（2）得平面PC。的一个法向量为

〃=(1,(),伪，

诉［=|西二瓜

所以点加到平面PCD的距离为u=71T2=T-

随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）|QC|=百（3）g

解：（1）在正方形48C。中，AD//BC,

因为平面P8C,4Cu平面P8C,所以AO〃平面PBC,

又因为AOu平面P4O,平面以Oc平面尸8C=/,所以A。〃/,BC//1

因为BCu平面

MBC,/S平面M8C,所以/〃平面3cM

（2）如图建立空间直角坐标系。-xyz,

Z

/Dcy

A/

B

X

因为包＞=AO=1,则有。(0,0,0),C(O,l,O),因1,0,0),尸(0,0,1),8(1,1,0),

设Q(m，0，l),则有。C=(()J0),。2=(,〃,()」)，=

设平面QC。的法向量为G=(”z),则W=°,即令A1,则Z=-m,

DQn=0m+2=0

._/—-=；\n,PBl+O+zz?

所以平面QCD的一个法向量为〃=(1,0,-〃?),则8乂〃，P8)=同网=+1

因为物与平面QCD所成角的正弦值为是半，

所以同8明冬

解得〃z=l,所以|QC|=G.

(3)由(2)可知平面QC。的一个法向量为方=(1,0,-1)

因为M是线段的中点，所以例(0。£|

于是区=(T1,T),加3=1),1,-；，设平面MCQ的法向量正=(x,y,z)

t\QCm=0f-x+y-z=0一

则＜__，即｛1八.令z=2,得y=l,x=-\,"1=(一1,1,2)

MC•沅=0y--z=0

2

所以二面角。-CQ-M的正弦值为，

典例4、答案：⑴后⑵…4

解:(1)设点力到平面皈的距离为d,因为SO_L平面ABCD.BCu平面ABCD,所以SO_L8C,

因为四边形ABC。为正方形，所以8C_LCD,因为COp|SO=。，所以8CS平

面58,

因为5Cu平面SCD,所以SC_L3C,因为SO=4)=2,所以SC=2&,

因为匕一诙=^A-SBC»所以;SxSD=gs2，

JJ

所以Jx2x2x2=；x2x2&d,解得4=及，所以点力到平面SBC的距离为夜，

(2)如图，以。为原点，分别以OAOCOS所在的直线为xy,z轴建立空间直角坐标

系，

则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2),所以诿=(2,0,-2),/=12,2,0),

设平面SAC的一个法向量为质=(A,)，,z),

m-S4=7.x—7.7.=0

令z=l则丽=(L1,1),

m-AC=-2x+2y=0

/--\m-n1v3

平面S4。的一个法向量为/；=(0,1,0),所以小⑪〃"丽=耳=彳，

所以二面角C-SA-。的大小为arccos立

由图可知二面角C-SA-。为锐角,

3

解：(1)如图，以。为原点.，分别以DX，7元，。”的方向为x,yZ轴正方向建立空间

直角坐标系,

则4(0,0,1),石(1,1,0),4(1,0,1),0(000),所以印9=(T0,T).

因为率.45=1乂(一1)+以0+(_1*(_1)=0,所以AE_LA。.

(2)由(1),得A(l,o,o),C(0,2,0),所以衣=(-120),AD；=(-kO.l),S=(0,-l,0).

设平面ACR的一个法向量为方=(x,y,z),

则["纥.，，即，'+2)°,令)，=1,则x=2,z=2,所以〃=(2,1,2),

[n-AD]=0[-x+z=U

则点E到平面AC"的距离d==/,,,=-.

\n\V22+l2+223

(3)因为AD=A4,,所以由(1)可知人。_1。后，且相＞加4£=〃,

所以A。，平面即而=(-1,0,-1)是平面人。也的一个法向量.

由(2)得力=(2,1,2)是平面AC"的一个法向量，

/-］而2x（-l）+2x（-l）2&

所以…可=向3、皿'=—一3・

又二面角的平面角是锐角,所以二面角C-AI\-E的平面角的余弦

值为平

典例5、答案：(1)证明见解析(2)3

（3）T

解：(1)证明：•.•在正三棱柱ARC-ARC中，有「CI底面面IAM,

又•.•△4MG是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，.•.AMJ.MC闰AM=MG

•••CGAGM=G,CC\CMu面CC.MAA/上面CC./W,

•/8Cu面AM_LBC,

■-底面ABC是边长为2的正三角形，.1■点M为BC中点.

(2)过M作MMJ/CG,交8c于M.

以M为坐标原点，AM,8C,分别为x轴，)，轴，z轴，建立空间直角坐标

系.

由（1）知，AM=CM=g,CM=^BC=\tCC,1BC,

・•.eq“（⑹2-E=挺,则｛—6,0,0）、A/（0,0,0）,G（0,l,女），C（0,l,0）,

所以M*=(。,。，码，/=(gjo),MA=(-^,0,0),西=(0,1，闾

设面ACC；的一个法向量为〃=(x,y,z),

AC-u=-J3x+y=0,/\

则国后岳=。‘取得"（一"明

则」〔两,加了=-氐=0

令面AMC1的一个法向量为v=(aj^c),令c=1,则

D=((),-夜,1)

设二面角M-4G-C的大小为凡由图知。为锐角，

故8/=端=需=孝，解得。=?.故二面角M-AG-C的大小为

B

（3）过点。作C"_LMG，由（1）知AM_LCM且CM，G"u平面GCM,

.•.43_1平面。］。"，・.・C”在平面GCM内，:.CH±AMf

又CH1MC,MG，4Mu平面CAM,..CH，平面GAM

由（1）知，AM=C1M3,CM=-BC=\,CC,±BC,

X*

・•.CG=J（国一|2=及,•■-CH=£^F=4r=T,二点。到平面A“G的距

离为乎.

随堂练习：答案：(1)半；(2)

解：(1)由点A在底面ABC的射影。是AC的中点，可得。平面/WC,

又由“3C是等边三角形，所以。仇。两两垂直，

以。氏。。,。4分别为x,y,z建立如图所示的空间直角坐标系，

因为三棱柱ABC-ABC的棱长都是2,所以得08=3=G,OC=1,

可得A(0,-1,0),3(行,0,0),C(0,1,0),A(0,0,>/5)CQ2,75),所以是二(0,2,0),

在平面8CC4中，BC=(-73,L0),CC；=(0,1,,

设法向量为拓=(ay,z),则有[票而一;，可得「五二'一",

〔CG•用=0[y+V3z=0

取户1，可得y=G,z=-I,所以平面8CC出的一个法向量为正=(1,6,一1),

记点A到平面BCC4的距离&则1=此上1=¥=3叵.

|m|V55

(2)在平面中，4S=(x/3J,0),A4,*=(0J,>/3),

设法向量为7=a，x，ZI）,则有.篝:可得，>:,

=0M+j3zj=0

取芭=1,可得x=->/5,4=1,所以〃=（1,-石』），

设平面A88M与平面BCCe所成角为6,则cos。=-Hl=J斗=之

|/?71•|n|\J5-\J55

所以平面A8BM与平面BCG4所成角的余弦值（.

典例6、答案：⑴证明见解析；⑵|；（3）1.

解：（1）证明：•・•四边形86尸为直角梯形，四边形A8CO为矩形，«C±CE,BC±CDf

又•・•平面A8COX平面8c所，，且平面A8C0C平面8cM=AC,二£>C_L平面

BCEF

以C为原点，C8所在直线为X轴，CE所在直线为丁轴,

C。所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

A(2,0,4),3(2,0,0),C(0,0,0),0(0,0,4),E(0,4,0),尸(2,2.0)则"=(0,2,T),

丽=(2,0,0).

VBC±CD,BC工CE,，而为平面COE的一个法向量.

又而•丽=0x2+2x0+(T)x0=(),.•・AFlCBt即A/〃平面CQE.

(2)由(1)知55=(2,0,0),由(1)知荏=(-Z4,-4),AF=(O,2,-4),

设平面AEF的一个法向量3=(x,，z),

...[n-AE=0f-2x+4y-4z=0、+,、

贝叫,AJ，二平面北7,•的一个法向量〃=2,2』，

ii-AF=0[2y-4z=0

/-n-CH42

则cos(〃,"〉=^-