高三一轮复习练习试题（提高版）数学第十章10.4事件的相互独立性与条件概率全概率公式

§10.4事件的相互独立性与条件概率、全概率公式分值：100分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为(A.712 B.12 C.5122.某车队派出两辆车参加比赛，假设这两辆车在比赛中不出现故障的概率均为p，则比赛结束时两辆车不同时出现故障的概率为()A.p2 B.2pp2C.1p2D.pD2p23.以事件A，B分别表示“某城市的甲、乙两个区在一年内出现停水”，若P(B)=0.30，P(A|B)=0.15，则两个区一年内都出现过停水的概率为()A.0.6 B.0.65 C.0.45 D.0.0454.(2024·沈阳模拟)某公司的两名同事计划从大理古城、丽江古城、洱海、玉龙雪山、泸沽湖这5个著名旅游景点中随机选择一个游玩.则在两人中至少有一人选择大理古城的条件下，两人选择的景点不同的概率为()A.58 B.89 C.785.已知P(A)=14，P(B|A)=13，P(B|A)=12，则P(B)等于A.512 B.58 C.386.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为()A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.3二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2024·苏州模拟)随机事件A，B满足P(A)=12，P(B)=13，P(A|B)=12，下列说法正确的是A.事件A与事件B相互独立B.P(A∪B)=1C.P(AB)=1D.P(B)=P(AB)8.一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品.先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以A1，A2和A3表示由甲盒取出的产品是一等品、二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以B表示由乙盒取出的产品是一等品的事件.则下列结论中正确的是()A.P(B|A1)=6B.P(B)=27C.事件B与事件A1相互独立D.P(A1|B)=4三、填空题(每小题5分，共10分)9.某公司研发6G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为.10.已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是；得0分的概率是.四、解答题(共27分)11.(13分)甲、乙、丙3名同学各自独立去做某道题，已知甲能解出该题的概率为23，乙能解出而丙不能解出该题的概率为18，甲、丙都能解出该题的概率为(1)求乙、丙各自解出该题的概率；(6分)(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.(7分)12.(14分)人工智能是用于研究模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能地摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率)(1)求首次试验结束的概率；(4分)(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率；(4分)②将首次试验摸出的白球放回原来的袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来的袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.(6分)13，15，16题每小题5分，14题6分，共21分13.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为()A.12 B.38 C.514.(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)()A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1α)(1β)2B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1β)2C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1β)2+(1β)3D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率15.(2025·南京模拟)由若干个互不相同的数构成等腰直角三角形数阵，如图，其中第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数……以此类推，一共10行，设xk是从上往下数第k行中的最大数(k＝1，2，…，10)，则x1<x2<…<x10的概率为.

16.甲、乙、丙三个人做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.如果第一次由甲将球传出，设n次传球后球在甲手中的概率为Pn，则P3＝；Pn＝.

答案精析1.C2.B3.D4.B5.C[P(A)=14=1P(A)则P(A)=34由于P(B|A)=13，则P(B|A)=则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=34×23则P(B)=1P(B)=38.6.A[设A1表示“该汽车是货车”，A2表示“该汽车是客车”，则P(A1)=23，P(A2)设B表示“一辆汽车中途停车修理”，则P(B|A1)=0.02，P(B|A2)=0.01，则P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)，今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为P(A1|B)=P=P=23×0.0223×0.02+7.AC[根据P(A)=12，P(B)=13可得P(A)=1P(A)=12，P(B)=1P又P(A|B)=P(AB)P(B)=12，可得P(AB)=12P(B)=因此事件A与事件B相互独立，即A正确；易知P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)=12+1316=2由P(B)=P(AB)+P(AB)=13可得P(AB)=13P(AB)=16因为P(B)=23，P(AB)=16，所以P(B)≠P(AB)，即8.ABD[因为甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，则P(A1)=410=25，P(A2)=310，P(A3)=310，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品，则P(B|A1)=5+110+1=611，P(B|A2)=P(B|A3)=510+1=511，则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3因为P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=25×611=1255，又P(A1)=25，P(B)=2755，则P(A1B)≠P(A1)P(A1|B)=P(A1B)P(B)9.0.94解析由题意，该公司攻克这项技术难题的概率为1(10.8)×(10.7)=0.94.10.0.240.36解析设“第一问做出”为事件A，“第二问做出”为事件B，由题意可得P(A)=610=0.6P(B|A)=0.1，P(B|A)=0.6，则P(A)=0.4，P(B|A)=0.9，P(B|A)=0.4，所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.24，即此题得满分的概率是0.24，所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.36即此题得0分的概率是0.36.11.解(1)设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件C，则A，B，C相互独立，由题意得P(A)=2P(AC)=P(A)P(C)=23·P(C)=所以P(C)=3P(BC)=P(B)P(C)=P(B)[1P(C)]=P(B)·1-34所以P(B)=1所以乙、丙各自解出该题的概率为12(2)设“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件D，则D=A因为P(A)=23，P(B)P(C)=3所以P(A)=1P(B)=12，P(C)因为A，B所以P(D)=1P(D)=1P(AB=1P(A)P(B)P(C)=113×1所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为232412.解设试验一次，“选到甲袋”为事件A1，“选到乙袋”为事件A2，“试验结果为红球”为事件B1，“试验结果为白球”为事件B2.(1)P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=12×910+所以试验一次结果为红球的概率为11即首次试验结束的概率为1120(2)①因为B1，B2是对立事件，P(B2)=1P(B1)=9所以P(A1|B2)=P(A=110×所以选到的袋子为甲袋的概率为19②由①得P(A2|B2)=1P(A1|B2)=119=所以方案一中取到红球的概率为P1=P(A1|B2)P(B1|A1)+P(A2|B2)·P(B1|A2)=19×910方案二中取到红球的概率为P2=P(A2|B2)P(B1|A1)+P(A1|B2)·P(B1|A2)=89×910因为3745>518即选择方案二第二次试验结束的概率更大.13.B[方法一令A1=“每天玩手机超过1h的学生”，A2=“每天玩手机不超过1h的学生”，B=“任意调查一人，此人近视”，则A1，A2为对立事件，依题意，P(A1)=0.2，P(A2)=0.8，P(B|A1)=0.5，P(B)=0.4，由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)，即0.4=0.2×0.5+0.8×P(B|A2)，所以P(B|A2)=38方法二设该校有100名学生，整理得到如下列联表：视力情况每天玩手机时间合计超过1h不超过1h近视103040不近视105060合计2080100依题意得所求概率P=3080=3814.ABD[对于A，依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1β)(1α)(1β)=(1α)(1β)2，故A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1β)β(1β)=β(1β)2，故B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1和1，1，1这4个事件的和，它们互斥，所求的概率为C32β(1β)2+(1β)3=(1β)2(1+2β)，故对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P=(1α)2(1+2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P'=1α，而0<α<0.5，因此PP'=(1α)2(1+2α)(1α)=α(1α)(12α)>0，即P>P'，故D正确.]15.2解析一共10行，第10行需要10个数，则最大数在第10行的概率为1010(1第9行需要9个数，则剩余数中最大数在第9行的概率为99(1…第k行需要k个数，则剩余数中最大数在第k行的概率为kk则满足x1<x2<…<x10的概率为211×210×29×…×216.1423解析设A