2024-2025学年湖南省岳阳市临湘市高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省岳阳市临湘市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题（共40分）1.向量，若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以，由题意可得，所以，则．故选：C.2.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，所以该直线的斜率为：.设直线倾斜角为，则，且，所以.故选：C3.在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（）A. B. C. D.6【答案】C【解析】因为，所以，从而，即的长为．故选：C.4.已知向量，，且，那么等于（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】因为，，且，所以，即，所以，所以，故选：C．5.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】=故选：A.6.已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】根据题意，分2种情况讨论:①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点，所以，解得，此时直线的方程为，即；②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，则有，解可得，此时直线的方程为，故直线的方程为或.故选：D.7.在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（）A.平面与平面的距离为 B.三棱锥外接球的表面积为C. D.直线BC与平面所成的角为【答案】A【解析】D选项，如图1，连接，与相交于O点，因为⊥平面，且平面，所以⊥，又因⊥，，平面，所以⊥平面，即直线与平面所成的角为，且，故D错误；C选项，如图2，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，设平面法向量为，则，令，则，则，则，所以⊥平面，又因为平面，则⊥，故C错误；B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，设其外接球的半径为R，则，即，所以，故B错误；A选项，如图3，因为，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，由B选项可知，平面的一个法向量为，且，则两平面间的距离，故A正确.故选：A8.已知两点的坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由题意可得直线恒过定点，恒过定点，且两直线的斜率之积为，所以两直线相互垂直，所以点在以线段为直径的圆上运动，，设，则，所以，所以当时，即时，取得最大值，此时点的坐标为.故选：D.二、多选题（共20分）9.如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】，即，故A错误、B正确；，即，故C错误，D正确.故选：BD.10.下列结论正确的是（）A.已知向量，则在上的投影向量为B若对空间中任意一点，有则P，A，B，C四点共面C.已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D.若直线的方向向量为平面的法向量，则直线【答案】ABC【解析】因为，所以在上的投影向量为，故A对；因为，且，则P，A，B，C四点共面，因为，所以P，A，B，C四点共面，故B对；是空间的一组基底，若，所以两向量之间不共线，所以也是空间的一组基底，故C对；因为直线的方向向量为平面的法向量，且，则直线或，故D错；故选：ABC11.由正四棱锥P-ABCD和正方体ABCD-A1B1C1D1组成的多面体的所有棱长均为2，则（）A.平面 B.平面平面C.与平面所成角的余弦值为 D.点P到平面的距离为【答案】BD【解析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接，与交点为，连接，则平面，因为正四棱锥和正方体的所有棱长均为，所以，，点坐标为，所以，则，又，，，，，对于A：，，，设平面的一个法向量为，则，即，取得，因为，所以与平面不平行，故A错误；对于B：由A得平面的一个法向量为，，，设平面的一个法向量为，则，即，取得，因为，即，所以平面平面，故B正确；对于C：由A得平面的一个法向量为，，设与平面所成角为，则，所以，即与平面所成角的余弦值为，故C错误；对于D：由A得平面的一个法向量为，因为，所以点到平面的距离，故D正确；故选：BD．12.如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（）A.B.平面C.直线与平面所成的角为D.三棱锥外接球表面积为【答案】AD【解析】对于A，连接，则，因为，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B，连接，由正方体得，，又，所以，因为平面，即与平面不平行，所以与平面不平行，故B错误；对于C，由题意知，是直线与平面所成的角，且，所以直线与平面所成的角不是，故C错误；对于D，由正方体得，平面，且，所以三棱锥外接球的直径，所以，外接球表面积为，故D正确；故选：AD．三、填空题（共20分）13.在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________.【答案】【解析】因为是正方体，建立以为原点的坐标系，如图，设正方体的棱长为2，则有，，，，，，设异面直线与所成角为，．故答案为：．14.设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．【答案】【解析】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线距离，即，解得，即；故答案为：15.已知，，若点Px,y在线段上，则的取值范围是______.【答案】【解析】的几何意义是点Px,y与点连线的斜率，又点Px,y在线段上，由图知，因为，，所以，因为点P是线段AB上的动点，所以，故答案为：16.如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______.【答案】【解析】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：则设，则，设直线与所成角为所以，即，解得或（舍去），所以，故答案为：．四、解答题（共70分）17.如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．（1）证明：；（2）点F满足，求二面角的正弦值．（1）证明：连接，因为E为BC中点，，所以①，因为，，所以与均为等边三角形，，从而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）解：不妨设，，．，，又，平面平面．以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，设平面与平面的一个法向量分别为，二面角平面角为,而，因为，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，从而．所以二面角的正弦值为．18.在三角形中，内角所对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，三角形的面积为，求三角形的周长.解：（1）由正弦定理得，所以所以，整理得，因为，所以，因此，所以，所以.（2）由的面积为，得，解得，又,则，.由余弦定理得，解得，，所以的周长为.19.如图，四面体中，，E为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．（1）证明：因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：连接，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，当时，最小，即的面积最小.因为，所以，又因为，所以是等边三角形，因为E为的中点，所以，，因为，所以,在中，，所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，又因为，所以，所以，设与平面所成的角为，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.20.已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为．（1）求直线的方程；（2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值．解：（1）由条件知边上的高所在的直线的斜率为，所以直线的斜率为，又因为，所以直线的方程为，即.（2）因为点在轴上．所以设，则线段的中点为，点在直线上，所以，得，即，又点在直线上，所以，解得．21.在四棱锥中，四边形是直角梯形，且平面，，点在棱上．（1）当时，求证:平面;（2）若直线与平面所成的角为，二面角的余弦值为，求的值．（1）证明：连接交于点O，连接，由知，，∴，∵，∴，∴，又平面，平面，∴平面．（2）解：∵平面，∴为与底面所成的角，即，∴，又四边形是直角梯形，故以D为坐标原点，分别以为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴，，，设平面法向量为，则，即，令，则，设，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，因为二面角的余弦值为∴，解得，∴．22.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）．（1）已知．①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．（2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围．（1）①解：记事件为“至少收到一次0”，则．②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则．记事件为“三次收到的数字之和为2”，则．因为，所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．（2）解：记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则．记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则．根据题意可得，即，因为，所以，解得，故的取值范围为．湖南省岳阳市临湘市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题（共40分）1.向量，若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以，由题意可得，所以，则．故选：C.2.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，所以该直线的斜率为：.设直线倾斜角为，则，且，所以.故选：C3.在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（）A. B. C. D.6【答案】C【解析】因为，所以，从而，即的长为．故选：C.4.已知向量，，且，那么等于（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】因为，，且，所以，即，所以，所以，故选：C．5.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】=故选：A.6.已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】根据题意，分2种情况讨论:①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点，所以，解得，此时直线的方程为，即；②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，则有，解可得，此时直线的方程为，故直线的方程为或.故选：D.7.在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（）A.平面与平面的距离为 B.三棱锥外接球的表面积为C. D.直线BC与平面所成的角为【答案】A【解析】D选项，如图1，连接，与相交于O点，因为⊥平面，且平面，所以⊥，又因⊥，，平面，所以⊥平面，即直线与平面所成的角为，且，故D错误；C选项，如图2，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，设平面法向量为，则，令，则，则，则，所以⊥平面，又因为平面，则⊥，故C错误；B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，设其外接球的半径为R，则，即，所以，故B错误；A选项，如图3，因为，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，由B选项可知，平面的一个法向量为，且，则两平面间的距离，故A正确.故选：A8.已知两点的坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由题意可得直线恒过定点，恒过定点，且两直线的斜率之积为，所以两直线相互垂直，所以点在以线段为直径的圆上运动，，设，则，所以，所以当时，即时，取得最大值，此时点的坐标为.故选：D.二、多选题（共20分）9.如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】，即，故A错误、B正确；，即，故C错误，D正确.故选：BD.10.下列结论正确的是（）A.已知向量，则在上的投影向量为B若对空间中任意一点，有则P，A，B，C四点共面C.已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D.若直线的方向向量为平面的法向量，则直线【答案】ABC【解析】因为，所以在上的投影向量为，故A对；因为，且，则P，A，B，C四点共面，因为，所以P，A，B，C四点共面，故B对；是空间的一组基底，若，所以两向量之间不共线，所以也是空间的一组基底，故C对；因为直线的方向向量为平面的法向量，且，则直线或，故D错；故选：ABC11.由正四棱锥P-ABCD和正方体ABCD-A1B1C1D1组成的多面体的所有棱长均为2，则（）A.平面 B.平面平面C.与平面所成角的余弦值为 D.点P到平面的距离为【答案】BD【解析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接，与交点为，连接，则平面，因为正四棱锥和正方体的所有棱长均为，所以，，点坐标为，所以，则，又，，，，，对于A：，，，设平面的一个法向量为，则，即，取得，因为，所以与平面不平行，故A错误；对于B：由A得平面的一个法向量为，，，设平面的一个法向量为，则，即，取得，因为，即，所以平面平面，故B正确；对于C：由A得平面的一个法向量为，，设与平面所成角为，则，所以，即与平面所成角的余弦值为，故C错误；对于D：由A得平面的一个法向量为，因为，所以点到平面的距离，故D正确；故选：BD．12.如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（）A.B.平面C.直线与平面所成的角为D.三棱锥外接球表面积为【答案】AD【解析】对于A，连接，则，因为，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B，连接，由正方体得，，又，所以，因为平面，即与平面不平行，所以与平面不平行，故B错误；对于C，由题意知，是直线与平面所成的角，且，所以直线与平面所成的角不是，故C错误；对于D，由正方体得，平面，且，所以三棱锥外接球的直径，所以，外接球表面积为，故D正确；故选：AD．三、填空题（共20分）13.在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________.【答案】【解析】因为是正方体，建立以为原点的坐标系，如图，设正方体的棱长为2，则有，，，，，，设异面直线与所成角为，．故答案为：．14.设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．【答案】【解析】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线距离，即，解得，即；故答案为：15.已知，，若点Px,y在线段上，则的取值范围是______.【答案】【解析】的几何意义是点Px,y与点连线的斜率，又点Px,y在线段上，由图知，因为，，所以，因为点P是线段AB上的动点，所以，故答案为：16.如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______.【答案】【解析】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：则设，则，设直线与所成角为所以，即，解得或（舍去），所以，故答案为：．四、解答题（共70分）17.如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．（1）证明：；（2）点F满足，求二面角的正弦值．（1）证明：连接，因为E为BC中点，，所以①，因为，，所以与均为等边三角形，，从而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）解：不妨设，，．，，又，平面平面．以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，设平面与平面的一个法向量分别为，二面角平面角为,而，因为，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，从而．所以二面角的正弦值为．18.在三角形中，内角所对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，三角形的面积为，求三角形的周长.解：（1）由正弦定理得，所以所以，整理得，因为，所以，因此，所以，所以.（2）由的面积为，得，解得，又,则，.由余弦定理得，解得，，所以的周长为.19.如图，四面体中，，E为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．（1）证明：因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：连接，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，当时，最小，即的面积最小.因为，所以，又因为，所以是等边三角形，因为E为的中点，所以，，因为，所以,在中，，所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，又因为，所以，所以，设与平面所成的角为，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.20.已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为．（1）求直线的方程；（2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值．解：（1）由条件知边上的高所在的直线的斜率为，所以直线的斜率为，又因为，所以直线的方程为，即.（2）因为点在轴上．所以设，则