22.2.3 公式法（重点练）解析版

22.2.3公式法（重点练）一、单选题1．（2020·福建厦门外国语学校九年级期中）用求根公式计算方程x2－5x＋3＝0的根时，公式中b的值为（）A．5 B．－5 C．3 D．【答案】B【分析】对照一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c＝0，即可确定公式法中的b．【详解】解：用求根公式计算方程x2－5x＋3＝0的根时，公式中b的值为−5，故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．2．（2020·凯里学院附属中学九年级月考）用公式法解方程时，，，的值为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先将一元二次方程转化为一般式，再对二次项系数、一次项系数、常数项进行判断即可得解．【详解】解：∵∴∴，，．故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式、利用公式法解一元二次方程的步骤，熟练掌握相关知识点是解题的关键．3．（2021·内蒙古九年级期末）关于x的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是（）A．a=-1 B．c=1 C．ac=-1 D．【答案】C【分析】根据求根公式对照求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的求根公式是，，又∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，∴=∴ac=-1．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键．4．（2021·广西北海市·）用公式法解方程所得的解正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【详解】解：，这里a=1，b=-6，c=1，∵△=36-4=32＞0，∴x==，故选：D．【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．5．（2020·宜昌市第二十二中学九年级期中）是下列哪个一元二次方程的根（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．【详解】A、的解为，不符合题意；B、的解为，不符合题意；C、的解为，符合题意；D、的解为，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．6．（2021·山东中考真题）在平面直角坐标系中，直线垂直于轴于点（点在原点的右侧），并分别与直线和双曲线相交于点，，且，则的面积为（）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】设点的坐标为，从而可得，，再根据可得一个关于的方程，解方程求出的值，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：设点的坐标为，则，，，，解得或，经检验，或均为所列方程的根，（1）当时，，则的面积为；（2）当时，，则的面积为；综上，的面积为或，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合、解一元二次方程，正确求出点的坐标是解题关键．7．（2021·重庆八中九年级一模）如图，，是反比例函数图象上的两点，是反比例函数图象上一点，连接，，，若，恰好经过原点，与轴交于点，则k的值为（）A． B． C．－8 D．－10【答案】C【分析】先求得A点坐标，进而根据待定系数法求得直线AC、AB的解析式，进一步求得直线BC的解析式，与直线AB联立，解方程组求得B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得关于k的方程，解方程即可求得．【详解】∵A(2，m)是反比例函数(x>0)图象上一点，

∴2m=-2，∴m=-1，∴A(2，-1)，∵AC恰好经过原点，∴直线AC为y=-x，解，得或（舍去），∴C（，），∵AB与y轴交于点D(0，5)，∴设直线AB的解析式为y=kx+5，代入A的坐标得，-1=2k+5，解得k=-3，∴直线AB为y=-3x+5，∵∠BCA=90°，∴设直线BC的解析式为y=2x+b把C代入得，解得b=，∴直线BC为y=2x+，解，得，∴B，∵B是反比例函数(x<0)图象上的点，∴k=(1-)(2+)，整理得，+8x+16=0，解得=-8，=-2(不合题意，舍去)，经检验为方程的根，∴k=-8，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，表示出点的坐标是解题的关键．二、填空题8．（2020·巩义市回郭镇第一初级中学九年级月考）关于x的一元二次方程的两根是_________．【答案】，【分析】先确定方程中的a、b、c，再利用公式法求解．【详解】解：，∵a=1，b=-2，c=-1，∴b2-4ac=（-2）2-4×1×（-1）=8，∴，，故答案为：，【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解．9．（2021·山东九年级二模）用公式法解一元二次方程，得y＝，请你写出该方程___．【答案】【分析】根据公式法可得的值，由此即可得．【详解】解：设该方程为，由得：，则该方程为，故答案为：．【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键．10．（2020·四川省内江市第六中学九年级期中）若是一元二次方程的根，则判别式与完全平方式的大小关系为___________【答案】相等【分析】由t是一元二次方程()的根利用公式法解一元二次方程即可得出t的值，将其代入完全平方式中即可得出M的值，由此即可得出结论．【详解】∵t是一元二次方程()的根，∴或，当时，则；

当时，则；

∴．

故答案为：相等．【点睛】本题考查了根的判别式、完全平方式以及利用公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程求出t值是解题的关键．11．（2021·北京九年级期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b=a2ab．根据这个法则，下列结论中错误的是_______．（把所有错误结论的序号都填在横线上）①*=2；②若a+b=0，则a*b=b*a；③（x+2）*（x+1）=0是一元二次方程；④方程（x+2）*1=3的根是．【答案】③④【分析】根据新定义的运算逐项判断即可．【详解】根据新定义的运算可知，故①正确但不符合题意；根据新定义的运算可知，，根据可知，所以，故②正确但不符合题意；，所以原等式为是一元一次方程，故③错误符合题意；，所以原等式为，即，解得，．故④错误符合题意．故答案为：③④．【点睛】本题考查解一元二次方程，一元一次方程的判定，新定义下的实数运算．理解题意，利用新定义下的运算解决问题是解答本题的关键．12．已知：如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C在x轴上，点A的坐标为，经过点A的反比例函数图象交于点D，则的长为__________．【答案】【分析】先根据点的坐标、菱形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式、直线的解析式、直线的解析式，然后将直线的解析式与反比例函数的解析式联立求解可得点的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．【详解】解：四边形是菱形，，，，，设反比例函数的解析式为，将点代入得：，则反比例函数的解析式为，设直线的解析式为，将点代入得：，则直线的解析式为，又，可设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立，解得或，点位于第一象限，，则，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、解一元二次方程、菱形的性质等知识点，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解题关键．13．对实数a，b定义新运算“”如下：，如，若的两根为，，则_______．【答案】【分析】首先求解一元二次方程，得到x1，x2，然后根据定义进行求解即可．【详解】因为方程的根为，∴，∵，∴．

故答案为．【点睛】本题考查了解一元二次方程和定义新运算，所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．14．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，两个顶点，在反比例函数图象上，若点是第一象限内双曲线上一点，且，则点的坐标为______．【答案】（，）或（，）【分析】根据，确定直线AB的解析式为y=x+1，从而确定OE=OF=1，根据=，AB==，确定点P到直线AB的距离为，故只需将直线AB向上平移1个单位或向下平移1个单位，求得直线的解析式，解析式与反比例函数解析式的交点就是所求．【详解】如图，设直线AB的解析式为y=kx+b，∵，，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=x+1，∴OE=OF=1，∴=，∵AB==，∴，∴，∴点P到直线AB的距离为，∵OE=OF，∴∠EFO=∠FEO=45°，∴只需将直线AB向上平移1个单位或向下平移1个单位，∴平移后直线的解析式为y=x+2或y=x，∵反比例函数图象上∴反比例函数的解析式为，∴，解得或（不在第一象限，舍去）；或（不在第一象限，舍去）；∴点P的坐标为（，）或（，）．【点睛】本题考查了直线的平移，一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的解法，熟练掌握直线平移的规律，交点的意义是解题的关键．15．（2021·江苏）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，线段与反比例函数（）的图象相交于点，以、的长为边在线段的下方构造矩形，若矩形一边的中点在（）的图象上，则的值为______．【答案】或【分析】先根据反比例函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质可得，然后分的中点在的图象上和的中点在的图象上两种情况，分别将中点坐标代入求解即可得．【详解】解：，点的纵坐标为2，当时，，即，，以、的长为边在线段的下方构造矩形，，，的中点坐标为，即，的中点坐标为，由题意，分以下两种情况：（1）当的中点在的图象上时，则，解得或（舍去）；（2）当的中点在的图象上，则，解得或（舍去）；综上，的值为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、解一元二次方程等知识点，正确分两种情况讨论，并求出中点的坐标是解题关键．三、解答题16．（2020·阜宁县实验初级中学九年级月考）解下列方程（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先利用判别式判断实数根的根数，然后利用公式法求解即可；（2）首先提取公因式，然后利用因式分解法求解即可．【详解】（1），，∴方程的解为（2）或∴方程的解为．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，熟练运用公式法和因式分解法求得一元二次方程的解是解题的关键．17．（2020·河南冯店一中九年级期中）用适当的方法解方程：（1）x2－4x＋2＝0；（2）(2x－1)2＝x(3x＋2)－7．【答案】（1）x1＝2＋，x2＝2－；（2）x1＝2，x2＝4【分析】（1）直接判别式判断根的个数，然后用公式法求解即可；（2）将原式整理为一般式，然后利用因式分解法求解即可．【详解】（1）x2－4x＋2＝0a=1，b=-4，c=2∴原方程有两个不相等的实数根即x1＝2＋，x2＝2－；（2）(2x－1)2＝x(3x＋2)－7x1＝2，x2＝4【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，选择合适的方法进行解题是本题的关键，掌握求根公式是重点．18．（2020·福建省福州外国语学校）解方程：．【答案】，【分析】首先根据判别式判断方程实数根的个数，然后用求根公式求解即可．【详解】由题意得：a=1，b=6，c=4∴方程有两个不相等的实数根∴原方程的解为，．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练记忆求根公式是本题的关键．19．（2020·永善县墨翰中学九年级月考）解下列方程．（1）（2）【答案】（1），；（2），【分析】（1）首先用判别式判断方程实数根的个数，然后用公式法即可求解；

（2）应用配方法即可求解．【详解】（1）∵，，∴∴方程有两个不相等的实数根．∴

∴，．（2）∵∴∴∴；即：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法和配方法解一元二次方程．20．（2021·沭阳红岩学校九年级期末）（1）（2）【答案】（1），；（2），；【分析】根据公式法和因式分解法的解题步骤进行计算即可得到结论；【详解】（1），∵，，，，∴，．（2）∵，∴，∴，．【点睛】本题考查一元二次方程解法，选择恰当的解题方法是解题的关键．21．（2021·山西九年级二模）（1）计算：；（2）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程：．解：．．第一步，第二步．第三步，第四步，或．第五步，．第六步任务一：①小颖解方程的方法是______；A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法②解方程过程中第二步变形的依据是______；任务二：请你用“公式法”解该方程．【答案】（1）；（2）任务一：①C；②等式的基本性质或等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍