专题22.3 解一元二次方程-直接开平方法和因式分解法（基础检测）（解析版）

专题22.3解一元二次方程—直接开平方法和因式分解法（基础检测）一、单选题1．方程x2﹣4＝0的根为（）A．x＝2 B．x＝ C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝，x2＝﹣【答案】C【分析】将方程移项直接开平方即可．【详解】解：x2﹣4＝0，，∴x1＝2，x2＝﹣2，故选：C．【点睛】本题主要考查运用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解本题的关键．2．下列一元二次方程最适合用分解因式来解的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】逐项分析即可．【详解】A、适合用配方法或公式法来解；B、适合用分解因式法来解；C、适合用配方法或公式法来解；D、适合用直接开平方法来解；故选：B．【点睛】本题考查因式分解法来解的一元二次方程，根据一元二次方程的特点选取适当的方法来解，一般先考虑因式分解方法，再考虑公式法或配方法或直接开平方法．3．一元二次方程的根是（）A．2 B．0或4 C．4或 D．2或【答案】D【分析】利用直接开平方法解方程，即可求解．【详解】解：原方程化为：，系数化为1，得：，直接开平方，得：，．故选：D．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法．4．方程x（x﹣5）＝2（x﹣5）的解是（）A．﹣5 B．2 C．2或﹣5 D．2或5【答案】D【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】解：∵x（x﹣5）＝2（x﹣5），∴x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0，则（x﹣5）（x﹣2）＝0，∴x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得x1＝5，x2＝2，故选：D．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5．若两个最简二次根式和是同类二次根式，则的值为（）A．4或－1 B．4 C．1 D．－1【答案】A【分析】根据同类二次根式的概念可得关于n的方程，解方程可求得n的值，再根据二次根式有意义的条件进行验证即可得．【详解】解：由题意：n2-2n=n+4，即n2-3n-4=0，所以（n-4）（n+1）=0解得：n1=4，n2=-1，当n=4时，n2-2n=8，n+4=8，符合题意，当n=-1时，n2-2n=3，n+4=3，符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件，解一元二次方程等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．6．若一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（）A．5 B．2 C． D．【答案】D【分析】将x=3代入方程，求出a值，再解方程．【详解】解：把代入得，解得：，∴，∴，∴，，∴方程的另一个根是．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解题的关键是理解方程的解能使等式成立．二、填空题7．方程x2﹣9x+8＝0的解是_____．【答案】1或8【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：1或8【点睛】本题考查解一元二次方程．掌握因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．8．若，则的值为__________．【答案】4【分析】考虑运用“换元法”将原式变形，通过解一元二次方程可求得.【详解】设∴原式=（舍去），∵所以，【点睛】本题旨在考查利用“换元法”的方程的求解，熟练掌握换元法及一元二次方程的解法是关键.9．已知a2+a﹣3＝0，则a3+3a2﹣a+4的值为_____．【答案】10．【分析】已知a2+a﹣3＝0，得出a2＝3﹣a，a3＝a•a2＝a（3﹣a）＝3a﹣a2＝3a﹣（3﹣a）＝4a﹣3，然后代入代数式求得即可．【详解】解：∵a2+a﹣3＝0，∴a2＝3﹣a，∴a3＝a•a2＝a（3﹣a）＝3a﹣a2＝3a﹣（3﹣a）＝4a﹣3，∴a3+3a2﹣a+4＝4a﹣3+3（3﹣a）﹣a+4＝10．故答案为10．【点睛】本题是一道涉及因式分解的计算题，考查了拆项法分解因式的运用，提公因式法的运用．10．已知方程的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为________．【答案】18【分析】先解方程求出两根，再由三角形的三边关系定理确定三角形的周长．【详解】解：解方程，可得：x=2或x=8，∴等腰三角形的两边长为2或8，当底为2时，则等腰三角形的三边长为2、8、8，满足三角形三边关系，此时等腰三角形的周长为18；当底为8时，则等腰三角形的三边长为8、2、2，2+2＜8，不满足三角形三边关系；∴等腰三角形的周长为18，

故答案为：18．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系及一元二次方程的解法，确定出等腰三角形的边长是解题的关键．11．若直线与直线平行，则的值为_______.【答案】【分析】根据两直线平行，可得出，解方程即可，同时注意检验是否与直线重合．【详解】∵直线与直线平行解得或当时，与直线重合，故舍去∴故答案为：3．【点睛】本题主要考查两直线平行k相等，掌握两直线平行k相等和一元二次方程的解法是解题的关键．12．若实数、、满足：，则方程的解是________．【答案】2与－1【分析】由求得a、b、c的值，再代入方程中，解方程即可．【详解】∵实数、、满足：，∴，∴a2-2a+1=0，b+1=0，c+2=0，∴a=1，b=-1，c=-2，∴方程为x2-x-2=0，∴x1=2，x2=-1．故答案为：2与－1．【点睛】考查了解一元二次方程，解题关键是利用几个非负数的和为0，得到这几个数都为0，从而求得a、b、c的值．13．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为_____．【答案】24【分析】利用因式分解法解方程得到x1=4，x2=5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．【详解】解：x2﹣9x+20=0，（x﹣4）（x﹣5）=0，x﹣4＝0或x﹣5=0，∴x1=4，x2=5，∵菱形一条对角线长为8，当时，4+4=8，不符合题意，∴菱形的边长为5，∵菱形的另一条对角线长，∴菱形的面积=×6×8＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．14．对于实数a、b、c、d，我们定义运算=ad-bc，例如：=2×5-1×3=7，上述记号就叫做二阶行列式．若=4，则x=______．【答案】2或4【分析】利用题中的新定义列出关于x方程，解方程即可求解；【详解】解：利用题中的新定义化简得：

解得：，．故答案为：2或4．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三、解答题15．解方程：（1）x2﹣2x﹣5＝0；（2）（x+1）﹣2（x2﹣1）＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）x1＝﹣1，x2＝．【分析】（1）利用配方法法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【详解】（1）∵x2﹣2x﹣5＝0，∴（x﹣1）2＝6，则x﹣1＝±，∴x＝1±，即x1＝，x2＝；（2）∵（x+1）﹣2（x2﹣1）＝0．∴（x+1）﹣2（x﹣1）（x+1）＝0，∴（x+1）（3﹣2x）＝0，则x+1＝0或3﹣2x＝0，解得x1＝﹣1，x2＝．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的求解，掌握用配方法，分解因式法，以及公式法解方程是解题的关键．16．解方程：（1）x2+2x﹣399＝0（配方法）；（2）3x2+x＝5（公式法）；（3）（y﹣1）2+2y（y﹣1）＝0（因式分解法）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用公式法求解可得；（3）利用因式分解法求解可得．【详解】解：（1）∵x2+2x＝399，∴x2+2x+1＝400，即（x+1）2＝400，则x+1＝±20，∴x1＝﹣19，x2＝﹣21；（2）∵3x2+x﹣5＝0，∴a＝3，b＝1，c＝﹣5，则△＝12﹣4×3×（﹣5）＝61＞0，则x＝＝；（3）∵（y﹣1）2+2y（y﹣1）＝0，∴（y﹣1）（3y﹣1）＝0，则y﹣1＝0或3y﹣1＝0，解得：y1＝1，y2＝．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握各种解法．17．先化简，再求值：其中x满足．【答案】，【分析】先对分式进行化简，然后再求解一元二次方程，最后代值求解即可．【详解】解：原式=，由可得：，∵，∴，∴把代入得：原式=．【点睛】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，熟练掌握分式的运算及一元二次方程的解法是解题的关键．18．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个m的值，使得该方程有两个不相等的实数根，并求此时方程的根．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据根的判别式得出b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）≥0，求出不等式的解集即可；（2）取m＝1，代入方程，再求出方程的解即可．【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根，∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5≥0，解得：即m的取值范围是（2）∵由（1）知：当m＞时，方程有两个不相等的实数根，∴取m＝1，则方程为x2+3x＝0，或解得：x1＝﹣3，x2＝0，即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握利用根的判别式列不等式求参数的取值范围是解题的关键．19．已知方程：x﹣2x﹣8=0，解决一下问题：（1）不解方程判断此方程的根的情况；（2）请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法．（3）这些方法都是将解转化为解；（4）尝试解方程：．【答案】（1）此方程有两个不相等的实数根；（2）①x1=4，x2=﹣2；②x1=4，x2=﹣2；（3）一元二次方程；一元一次方程；（4）x1=0，x2=x3=﹣1．【分析】（1）由根的判别式△=b2-4ac=36，可判断出此方程有两个不相等的实数根；（2）①按照配方法解方程的步骤一步步解方程；②按照分解因式法解方程的步骤一步步解方程；（3）解方程的方法都是达到降次的目的，故可出结论；（4）利用分解因式解方程的方法一步步解决方程．【详解】（1）∵a=1，b=﹣2，c=﹣8，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣8）=36＞0，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）①配方法：∵x2﹣2x﹣8=0，∴x2﹣2x=8，∴x2﹣2x+1=8+1，∴（x﹣1）2=9，∴x﹣1=±3，解得：x1=4，x2=﹣2；②因式分解法：∵x2﹣2x﹣8=0，∴（x﹣4）（x+2）=0，解得：x1=4，x2=﹣2；（3）答案为：一元二次方程；一元一次方程；（4）∵x3+2x2+x=0，∴x（x2+2x+1）=0，∴x（x+1）2=0，∴x=0，x+1=0，解得：x1=0，x2=x3=﹣1．【点睛】本题考查了根的判别式、配方法解一元二次方程以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键：①明白根的判别式的意义；（2）能够熟练的运用各种解方程的方法；（3）明白解方程过程的意义．本题属于基础题，难度不大，解方程是中考必考内容之一，这就要求学生能够很好的掌握各种解方程的方法．20．对于三个实数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用min表示这三个数中最小的数．例如：，min，min．请结合上述材料，解决下列问题：（1）____________；（2）若min，则整数的值是___