22.2.1 直接开平方法和因式分解法（难点练）解析版

22.2.1直接开平方法和因式分解法（难点练）一、单选题1．（2019·贵州九年级月考）已知，则等于（）A．或 B．6或1 C．或1 D．2或3【答案】A【分析】先把左边进行因式分解，得，从而可得x，y的关系式，即可求y：x的值.【详解】∵∴∴∴=或.故选A.【点睛】本题实际是考查运用换元法和因式分解法解一元二次方程，关键是理解题意，把二元二次变成一元二次方程.2．（2019·江苏南京市第二十九中学九年级月考）若关于x的方程kx2-（k+1）x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】当k=0时，可求出x的值，根据x的值为整数可得出k=0符合题意；k≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x的值，再根据x的值为整数结合k的值为整数即可得出k的值．综上即可得出结论．【详解】当k=0时，原方程为-x+1=0，解得：x=1，∴k=0符合题意；当k≠0时，kx2-（k+1）x+1=（kx-1）（x-1）=0，解得：x1=1，x2=，∵方程的根是整数，∴为整数，k为整数，∴k=±1．综上可知：满足条件的整数k为0、1和-1．故选C．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．3．（贵州遵义市·九年级月考）已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（）A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2【答案】A【分析】将x0、﹣x0分别代入已知的两个方程，求出a的值，再将a的值代入要求解的方程，解方程即可.【详解】设x0为方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2=0的一个根，则﹣x0为方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2=0的一个根，∴（a+1）x02﹣ax0+a2﹣a﹣2=0①，（a+1）x02﹣ax0﹣a2+a+2=0②，∴①﹣②得：2a2﹣2a﹣4=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或﹣1，当a=2时，3x2+2x=0，解得x=0或﹣；②当a=﹣1时，﹣x﹣1﹣1+2=0，解得x=0.∴方程的解是0或﹣.故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义.4．关于的一元二次方程的两实根都是整数，则整数p的取值可以有（

）A．2个B．4个C．6个D．无数个【答案】D【解析】求得和为-5，积为p的所有整数解，也就求得了p的个数．然后由-5+0=-5；-4+（-1）=-5；-3+（-2）=-5；1+（-6）=-5；2+（-7）=-5；3+（-8）=-5；4+（-9）=-5…可得p=-5×0=0或-4×（-1）=4或-3×（-2）=6或1×（-6）=-6或2×（-7）=-14；或3×（-8）=-24；或4×（-9）=-36…．

故选：D．点睛：本题考查求有整数解的一元二次方程系数的问题；用到的知识点为：有整数解的一元二次方程的常数项分解的2个数的和应等于一次项是系数，积等于常数项．5．若一个三角形的三边均满足，则此三角形的周长为（）A．6 B．12 C．10 D．以上三种情况都有可能【答案】D试题分析：解方程可得（x-2）（x-4）=0，解得x=2或x=4，因此三角形的三边为：2、2、4或2、4、4或2、2、2或4、4、4，然后根据三角形的三边关系可知三角形的周长只能是2+4+4=10或2+2+2=6或4+4+4=12.故选：D.点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，先根据因式分解法解方程，求出两个根，然后根据三角形的三边关系判断其构成三角形，由此即可求出三角形的周长.二、解答题6．（2020·全国九年级课时练习）解方程：【答案】当时，原方程的解是，当时，原方程无实数解【分析】先移项，再合并同类项可得，根据求出，再讨论时，，分别计算出方程的解.【详解】解：移项得：，化简得：，，，当时，，原方程无实数解，当时，，，当时，原方程的解是当时，原方程无实数解．【点睛】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.7．（2020·芜湖市第二中学九年级期末）解方程：-2（x+1）=3【答案】【分析】先将-2（x+1）=3化成-2（x+1）-3=0,再将x+1当作一个整体运用因式分解法求出x+1,最后求出x．【详解】解：∵-2（x+1）=3化成-2（x+1）-3=0∴（x+1-3）(x+1+1)=0∴x+1-3=0或x+1+1=0∴【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,掌握整体换元法是解答本题的关键．8．（2020·山西吕梁市·）阅读下列材料，完成相应任务：我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于的一元二次方程，还可以利用下面的方法求解．将方程整理，得.……第1步变形得.……第2步得.……第3步于是得，即.……第4步当时，得.……第5步得，.………………第6步当时，该方程无实数解.……………第7步学习任务：（1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是_______；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是________．（2）请用材料中提供的方法，解下列方程：①；②．【答案】（1）平方差公式[或（a+b）（a-b）=a²-b²）]；转化思想；（2）①x1=-1；x2=-9；②，．【分析】（1）直接根据平方差公式和转化的数学思想即可解答；（2）直接根据题意中的求解方法求解即可．【详解】（1）平方差公式[或（a+b）（a-b）=a²-b²）]；转化思想（2）①整理，得变形，得，得得得得x1=-1，x2=-9②移项，二次项系数化为1，得整理，得变形，得得得得解得，【点睛】此题主要考查阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意中的解题方法．9．（2020·三江侗族自治县基础教育教学研究中心九年级期中）知识经验我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．即：如果，那么或知识迁移Ⅰ．解方程：解：，或，∴或．Ⅱ．解方程：，解：，∴，∴，∴，∴，∴，∴或，∴或．理解应用（1）解方程：拓展应用（2）如图，有一块长宽分别为80，60的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为1500的无盖的长方体盒子，求所剪去的小正方形的边长．【答案】（1）或；（2）15cm【分析】（1）仿照例题利用因式分解解方程的方法，先利用配方法把方程左边变形为平方差形式，再分解因式即可解方程．（2）设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是(80-2x)cm，宽是(60-2x)cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，列出方程即可解答．【详解】（1）解：x2-10x-39=0，∴x2-2×5x+52-52-39=0，∴(x-5)2-64=0，∴(x-5)2-82=0，∴(x-5+8)(x-5-8)=0，∴(x+3)(x-13)=0，∴x+3=0或x-13=0，∴或；（2）解：设所剪去的小正方形的边长为xcm．根据题意，得(80-2x)(60-2x)=1500，化简，得x2-70x+825=0，解这个方程，得x1=15，或x2=55．当x=55时，80-2×55=-30＜0．∴x2=55舍去，只取x=15．答：所剪去的小正方形的边长为15cm．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程方程及应用，掌握因式分解，弄清题中解方程的方法是解本题的关键．10．（2019·深圳市明德外语实验学校八年级期中）阅读下列材料：1637年笛卡儿(R．Descartes，1596−1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为，若一个高于二次的关于x的多项式能被()整除，则其一定可以分解为()与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为0时，x=a是关于x的这个方程的一个根．例如：多项式可以分解为()与另外一个整式M的乘积，即令时，可知x=1为该方程的一个根．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：观察知，显然x=1时，原式=0，因此原式可分解为()与另一个整式的积．令：，则=，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而此时，不难发现x=1是方程的一个根．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）若是多项式的因式，求a的值并将多项式分解因式；（2）若多项式含有因式及，求a+b的值．【答案】（1）；（2）a+b=【分析】（1）已知多项式的因式，将多项式分解为该因式与另外一个整式乘积的形式，将这个新构造的式子中的系数与原式中的系数进行对照，列方程即可得到答案（2）已知多项式中含有因式，根据材料中的内容可知因式的解为零，所以解得未知数的值，再利用未知数的值带入原式即可求解到参数的值，将结果相加即可求得答案【详解】（1）令：，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，解得：，从而=x3+1=（x+1）(x2-x+1)；（2）设（其中M为二次整式），由材料可知：x+1=0或x-2=0；所以：x=-1，x=2是方程的解，所以，解得a=8，b=-39，∴a＋b=8+(-39)=-31．【点睛】本题考查的是因式分解的应用，理解因式分解定理的推演过程是解答此题的关键．11．（2020·西安临潼区骊山初级中学九年级月考）阅读材料：已知实数m、n满足，求的值．解：设，则原方程可化为(t+1)(t-1)=35，整理得t2-1=35，t2=36，∴t=±6，∵，∴上面这种解题方法为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化，根据“换元法”解决下列问题：（1）已知实数x、y满足，求的值；（2）若四个连续正整数的积为360，求这四个连续的正整数．【答案】（1）；（2）这四个连续的正整数分别是3，4，5，6．【分析】（1）设将原方程可化为并求解即得．（2）设最小的正整数为，则另外三个正整数分别为、、，可根据题意得出，变形为，再设，并换元为关于的一元二次方程求解，进而再解关于的方程即得．【详解】解：（1）设，则原方程可化为，整理得，解得，∵，∴∴；（2）设最小的正整数为，则另外三个正整数分别为、、，根据题意得：，，，设，则原方程为，整理得，∴∴∴，∴，，∵，∴，∴．∴，解得，（舍去）．∴这四个连续的正整数分别是3，4，5，6．【点睛】本题是阅读材料题，考查学生自学能力，涉及整体思想、直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是观察已知方程中两个相乘的因式的二次项及一次项整体的关系，进而整体代换为同一个字母，即可化繁为简．12．（2019·吉林长春市·九年级月考）阅读理解：解方程：．解：方程左边分解因式，得，解得，，．问题解决：（1）解方程：．（2）解方程：．（3）方程的解为．【答案】（1），，；（2），