立方根（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）解析版-2025年新八年级数学（沪教版）

立方根（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测

）

B题型预览

典型例题一立方根的概念理解

典型例题二求一个数的立方根

典型例题三已知一个数的立方根，求这个数

典型例题四与立方根有关的规律探索

典型例题五立方根新定义运算

典型例题六立方根含参问题

典型例题七立方根的实际应用

典型例题八算术平方根和立方根的综合应用

展知识梳理

知识点01立方根

1.定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a,那么

x叫做a的立方根.记作：始.

2.正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

3.求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数.

注意：符号指中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一

个立方根.

总结:

型

平方根立方根

被开方数非负数任意实数

符号表示±4a\[a

一个正数有两个平方根,且互为相反一个正数有一个正的立方根；

性质

数；一个负数有一个负的立方根；

零的平方根为零；零的立方根是零；

负数没有平方根；

(«)2=a(a>0)(V^)3=a

重要结论行=时=[0口0)=a

[-a(a<0)V-ci--\[a

【即时训练】

I.（24-25八年级上•上海闵行•期中）下列运算正确的是（）

A.O=-2B.'（-2）2=-2C.3'=-|D.（V2-l）2=3

【答案】A

【分析】本题考查算术平方根、立方根、负整数指数幕、二次根式的乘法.根据算术平方根、立方根、负

整数指数幕以及二次根式的乘法法则计算逐项进行判断即可.

【详解】解：A、屿=-2,本选项符合题意；

B、J（一2）2=2R-2,本选项不符合题意；

C、3T本选项不符合题意；

33

D、=3-2正片3,本选项不符合题意；

故选：A.

【即时训练】

2.（24-25八年级上•上海宝山•期中）观察规律疝丽=-0.4,V1区=-4,#—64000=TO,则

3-6.4x107=-

【答案】-400

【分析】本题考查了立方根，根据已知等式确定出所求式子的值即可.

【详解】解：V=64=-4，

•••3-6.4xl（）7=♦-64x1000000=^64x#1000000=-4x100=-400，

故答案为：-400.

画经典例题

G【典型例题一立方根的概念理解】

【例1】（2025•上海松江•模拟预测）下列语句正确的是（）

A.负数没有立方根B.64的立方根是±2

C.立方根等于本身的数只有±1D.屿=-兆

【答案】D

【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数6若满足=6,那么。就

叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可.

【详解】解：•••正数、。和负数都有立方根，

二选项A不符合题意；

V64的立方根是4,

二选项B不符合题意；

立方根等于本身的数有±1和0,

选项C不符合题意；

/.册,

二选项D符合题意，

故选：D.

【例2】（24-25八年级上•上海•课后作业）要使眄力=4-机成立，则冽的取值范围是（）

A.m=4B.相<4或m=4

C.m>4D.任意数

【答案】D

【分析】此题考查了立方根，根据任意一个实数都有立方根，由此即可确定被开方数的取值范围.

【详解】解：要使,（4-加）3=4-加成立,

・•・任意一个实数都有立方根，

.•.4-冽为任意数，

则m为任意数，

故选：D.

【例3】(23-24八年级上•上海嘉定•阶段练习)立方根等于本身的非负数是.

【答案】0和1

【分析】此题考查了立方根，根据立方根的意义进行解答即可.

【详解】解：立方根等于本身的非负数是0和1,

故答案为：0和1

【例4】(23-24八年级上•上海奉贤•期中)若疗=2,则。=；若后=2,则6=;若

7

［答案】2±2-—/-0.875

8

【分析】本题考查的是立方根和算术平方根的定义与性质，熟知这些是解题的关键，根据立方根和算术平

方根的定义与性质可求。和6的值，从而可求答案.

【详解】解：若聒=2,则。=2；

若4^=2，贝U6=±2；

若一网=4'则

7

故答案为：2；±2；--.

O

◎变式训练

1.(24-25八年级上•上海宝山•期中)解方程：

(1)2x2-18=0

(2)(X-5)3+8=0

【答案】⑴x=3或x=3

⑵x=3

【分析】本题考查了运用平方根、立方根的性质解方程的方法，解题关键在于掌握平方根与立方根的概念.

(1)先移项，再利用直接开平方法，求解即可；

(2)直接用开立方方法求解即可.

【详解】(1)解:2x2-18=0,

方程整理得：一=9,

开方得：x=±3,

・•・x=3或x=3；

(2)解：(X-5)3+8=0,

方程整理得：(X-5)3=-8,

开方得：X—5=-2,

x-3.

2.(24-25八年级上•上海金山•期中)计算与求值：

(1)计算：781+^^27；

⑵求2(x+l)3=-16中x的值.

【答案】(1)6；

⑵x=-3.

【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握运算法则是解此题的关键.

(1)先计算算术平方根、立方根，再计算加法即可得解；

(2)利用立方根解方程即可.

【详解】(1)解：商+/7

=9+(引

=9-3

=6；

(2)解：•••2(x+l)3=—16,

(x+1)3=-8,

x+1=—2,

x——3.

3.(2025八年级上•上海•专题练习)判断下列说法是否正确，错误的请说明理由:

(1)8的立方根是±2；

(2)负数开立方没有意义；

(3)正数才有立方根；

(4)为是3的立方根.

【答案】（1）错误，理由见解析

（2）错误，理由见解析

（3）错误，理由见解析

（4）正确

【分析】本题考查了立方根，解题的关键是掌握立方根的概念.

根据立方根的定义“若一个实数X的立方等于4,则X是。的立方根”进行计算即可得.

【详解】（1）错误.理由如下：8的立方根是2.

（2）错误.理由如下：负数开立方的结果为负数.

（3）错误.理由如下：任何数都有立方根.

（4）将是3的立方根，正确.

4.（23-24八年级上•上海虹口・期中）【实践与探究】

【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在a'=6中，a、A〃三者的关系.

同学甲：在a"=6中，已知久〃，求6,这是我们学过的乘方运算，其中，叫做。的〃次方.

如：（一2丫=一8,则一8是一2的3次方.

同学乙：在a"=6中，已知6、n,求。，这是我们学过的开方运算，其中。叫做6的〃次方根，

如：（±2）2=4,则±2是4的二次方根（即平方根）；

（-2）3=-8,则-2是-8的三次方根（即立方根）.

老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算：

（1）81的四次方根等于,-32的五次方根等于；

同学丙：老师，在a"=6中，如果已知。和6,那么如何求〃呢？又是一种什么运算呢？

老师：这个问题问的好，己知。、b,可以求〃，它是一种新的运算，称为对数运算.

这种运算的定义是：若优=b（a>0,亦1）,贝心叫做以。为底6的对数，记作："=log/.

例如:2=8,则3叫做以2为底8的对数，记作1幅8=3.

结合上面的学习，请你计算：

（2）log327=,V-64+log4=；

随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果。>0,awl,M>0,N>0,那么

log。（M-N）=logaM+logaN.

(3)请利用上述性质计算：logs7+logs；.

【答案】(1)±3,—2；(2)3,—6；(3)logs7+logs,=0

【分析】本题考查饿了立方根、负整数指数累，理解题意，正确计算是解此题的关键.

(1)根据阅读材料中〃次方的定义计算即可得解；

(2)根据阅读材料中对数定义计算即可得出答案；

(3)根据如果。>0,。二1,M>0,N>0,那么108"("-")=108*/+唾户，结合(2)中对数定义进

行计算即可得出答案.

【详解】解：⑴•.•(±3)4=81,

.••81的四次方根等于±3,

V(-2)5=-32,

；•-32的五次方根等于-2；

(2):33=27,

/.log327=3,

•••(4尸=>(-盯=_64,

^^64+log4—=-4+(-2)=-6；

16

(3)■■-loga(M-N)=logaM+logaN,

7+1

logs°g5y=log5,*J)=log5l=0.

■【典型例题二求一个数的立方根】

【例1】(24-25八年级上•上海闵行•期中)若遭石。1.464,间7^3.155,则例140x()

A.14.64B.146.4C.31.55D.315.5

【答案】A

【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，

通过观察已知数值与待求数值的关系，利用立方根的性质进行分解计算.

【详解】解：V3140=^/3.14xl000^^/3?14.V1000.

因为亚丽=10，VT14®1.464,

所以43140。1.464义10=14.64.

故选：A.

【例2】（24-25八年级上•上海杨浦•期中）已知为为实数，规定运算:

11111111

-1-----,CI3=1-----,%=1------，05=1-----，•%=1-------------.按上述规定，当〃1=2时，圾二的值等于

a

一%a2%%n-l

()

21

A.-B.——C.-1D.0

32

【答案】C

【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算我京的值即可.

【详解】解：当q=2时，

2

2

•••2025+3=675,

«2025=，

故选:C.

【例3】（24-25八年级上•上海静安•阶段练习）若G^+B+5|=0,则方花=.

【答案】-1

【分析】本题考查了算术平方根的非负性、立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解题关键.先

根据算术平方根和绝对值的非负性可求出a,b的值，再代入计算立方根即可得.

【详解】解：；Ja-4+0+5］=0,y/a—4>0,|&+5|>0,

a—4=0,&+5=0,

a=4,b=—5,

：.y/a+b=#4+(-5)=A/—1=—1,

故答案为：-1.

【例4】(24-25八年级上•上海虹口・期中)若您市=2.938,1253.6=6.330,则“25360000=.

【答案】293.8

【分析】本题考查了求一个数的立方根，先根据［25.36=2.938,再代入［25360000=#25.36x%000000进

行计算，即可作答.

【详解】解：.•・"25.36=2.938,

q25360000=#25.36x%000000=2.938x100=293.8,

故答案为：293.8

0变式训练

1.(24-25八年级上•上海奉贤•期中)求下列各式中x的值：

⑴2(1)2=50；

(2)(X+2)3-3=24.

【答案】⑴x=6或x=T

(2)x=l

【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握平方根、立方根的定义是解此题的关键.

(1)利用平方根解方程即可得解；

(2)利用立方根解方程即可得解.

【详解】(1)解：•••2(X-1)2=50,

.•.(x-1)2=25,

/.x—1=+5,

x=6或x=-4.

(2)解：•••(X+2)3-3=24,

••.(x+2)3=27,

二.％+2=3,

..x—1.

2.(24-25八年级上•上海崇明•期中)计算：

+|1-V2|+V8

a1

⑵已知(x-1)=­,求x的值

o

【答案】⑴9+0

4

⑵'I

【分析】此题考查了算术平方根，绝对值和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则.

(1)首先计算算术平方根，绝对值和立方根，然后计算加减；

(2)根据立方根的性质求解即可.

【详解】(1)解：原式=-：-1+后+2

4

」+收

4

31

(2)由(xT)O

3.(24-25八年级上•上海长宁・期中)口算求立方根：我国数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读

的杂志上有一道智力题：一个数是59319,求它的立方根.华罗庚脱口说出答案.你知道他是怎样迅速准确

地计算出结果的吗?请按照下面的方法试一试：

(1)求必59319.

①由及=1000,1003=1000000,可以确定计算#59319的结果是位数;

②由59319的个位上的数是9,可以确定#59319的个位上的数是

③如果划去59319后面的三位319得到数59,而33=27,甲=64,可以确定病杀的十位上的数是

由此求得#59319=

（2）请你根据（1）中求立方根的方法，请确定它们的立方根（直接写出结果）：

①19683@110592③-11764900.531441

【答案】⑴①二；②9；③39；

⑵①27；②48；③-49；@0.81.

【分析】本题主要考查了立方根的估算与求解，熟练掌握立方数的特征（不同位数立方数的范围、个位数

字对应关系等）是解题的关键.

（1）对于求炳1?,思路是先根据IO,与10（）3的范围确定立方根的位数；再依据立方数个位数字特征确定

个位数字；最后通过划去后三位，对比立方数确定十位数字.

（2）对于求其他数的立方根，同样按照（1）的步骤，先定位数，再定个位、十位数字（或小数位对应数

字）,

【详解】（1）解：①因为1O3=IOOO,1003=1000000,1000<59319<1000000,

所以病杀是两位数.

故答案为：二；

②因为只有93=729个位数字是9,

所以459319个位数字是9.

故答案为：9；

③划去59319后面三位得59,3,=27,43=64,27<59<64,

所以十位数字是3,故必59319=39.

故答案为：39:

（2）解：①l（）3=iooo,1003=100000，1000<19683<100000,是两位数；个位3,

因为73=343个位是3,

所以个位是7；

划去后三位得19,23=8,3,=27,8<19<27,十位是2,即#19683=27.

②403=64000,503=125000,64000<110592<125000,是两位数（实际是48,=110592，按步骤：个位

2,8'=512个位2,个位是8；

划去后三位得110,4,=64,5,=125,64<110<125,十位是4）,即#110592=48.

33

③一403=-64000,_50=-125000,-125000<-117649<-64000,是两位数；个位9,(-49)=-117649,

按步骤：个位9,9?个位9,个位是9；划去后三位得117,4:64,5?=125,64<117<125,十位是4,

即#-117649=-49.

©0.83=0,512,09=0.729,0.512<0.531441<0.729,是一位小数；个位1,r=i,壮=1331,这里看

小数，0.813=0.5314411按步骤:个位1（对应0.81个位1）；0.83=0.512,09=0.729,0.531441在西

与09之间，划去后三位（小数三位）得0.531,接近0@=0.512,更准确计算得40.531441=0.81.

4.（24-25八年级上•上海崇明•期中）【方法赏析】

小明学完立方根后研究了问题：如何求出行面的立方根？他进行了如下操作.

（1）首先进行了估算：因为IO,=1000，10（）3=1000000,所以150653是两位数;

（2）其次观察了立方数：F=i,2?=8,33=27,43=64,5=125,63=216,7=343,8，=512,

93=729;猜想两面的个位数字是7；

（3）接着将50653的小数点向左移动3位后约为50,因为3^=27,43=64,所以150653的十位数字应

为3,于是猜想#50653=37,验证：因为37:50653,所以-50653=37;

（4）最后再依据“负数的立方根是负数”得到次而=-37,同时发现结论：若两个数互为相反数，则这

两个数的立方根也互为相反数；反之也成立.

【尝试应用】

请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：

（1）^-117649

⑵若々l-2x+追=0,则x=_；

（3）已知名-2+2=x,且#3y-2与必l-2x互为相反数,直接写出x,>的值.

【答案】（1）-49

（2）3

（1fx=2fx=3

x=1

（3）｛|或<5或47

gI、k=3

【分析】（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；

（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；

（3）根据立方根的性质，立方根是本身的数为0,±1,进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个

数的立方根也互为相反数，进行计算即可.

本题考查求一个负数的立方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.熟练掌握题目中给定的

立方根的计算方法是解题的关键.

【详解】(1)解：:1()3=1000,10()3=]000000,

•••班17649是两位数,

•.-I3=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729；

猜想#n7649的个位数字是9,

接着将117649往前移动3位小数点后约为117,

...43=64,53=125,

•••V117649的十位数字应为4,

于是猜想#117649=49，

验证得：H7649的立方根是49；

最后再依据“负数的立方根是负数”得到行^^=-49;

故答案为：-49；

(2)解：•••^/1-2X+V5=0,

.••亚二万和狗互为相反数，

1—2'——5,

•••x=3；

故答案为：3.

(3)解：NX-2+2=x,即RX-2=x-2,

.♦.x-2=0或1或-1

解得：》=2或3或1

何-2与%二五互为相反数，

即何-2+%-2工=0,

/.3y—2+1—2x—0,即3y—2x—1,

.•・当％=1时，得3歹-2x1=1,解得＞=1.

x=2时，得3y-2x2=1,解得尸g；

7

当x=3时，得3尸2x3=1,解得歹=§；

x=2x=3

x=1

或'5或＜7.

y=—y=—

33

国【典型例题三已知一个数的立方根，求这个数】

【例1】（24-25八年级上•上海普陀•阶段练习）已知好不。1.738,布々0.1738,则。的值约为（）

A.0.525B.0.0525C.0.00525D.0.000525

【答案】C

【分析】根据立方根的性质：被开方数的小数点每向一个方向移动3位，则立方根的小数点一定向相同的

方向移动1位.本题考查了立方根的性质，正确理解小数点移动的关系是关键.

【详解】解：•••^525«1.738,女*0.1738,0.1738=1.738+10,

.-.a=5.25-1000=0.00525,

故选C.

【例2】（24-25八年级上•上海杨浦•阶段练习）若/=36,量=3,则”+6的值是（）

A.-33B.-33或-21C.33或21D.-21或33

【答案】B

【分析】本题主要考查立方根、平方根，代数式求值.先根据平方根和立方根的定义得出。、b的值，再分

情况计算可得.

【详解】解："2=36,0=3,

a=+-\/36=+6,b=-27,

当。=6时，6=-27时，a+6=6-27=-21,

当“=-6时，6=-27时，。+6=-6-27=-33,

故6的值是-33或-21,

故选：B.

【例3】（24-25八年级上•上海长宁•阶段练习）已知x-2的立方根是-2,则》=.

【答案】-6

【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键.

由题意得，X-2=（-2）3,解方程即可.

【详解】解：由题意得，x-2=（-2）3,

解得：x=-6,

故答案为：-6.

【例4】（23-24八年级上•上海虹口•阶段练习）已知2x+l的平方根是±3,4苫-2了+2的立方根是2,则

-3（x+y）的立方根是.

【答案】-3

【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出x,y的值，进而求解即可.

【详解】解："x+l的平方根是±3,--2了+2的立方根是2,

2x+1=9,4x—2y+2=8,

：.x=4,y=5,

.•.-3（x+y）=-3x（4+5）=-27的立方根为：^^27=-3;

故答案为：-3.

0变式训练

1.（24-25八年级上•上海静安•期中）求下列各式中x的值：

⑴25x2-49=0；

（2）（x-2y=黑

【答案】（1»=7;或7

10

⑵

【分析】本题考查的是利用平方根与立方根的含义解方程；

（1）把方程化为一=£，再利用平方根的含义解方程即可；

（2）直接利用立方根的含义解方程即可.

【详解】（1）解：25--49=0

整理，得25父=49.

3=竺，

25

解得：x7或％=_（7.

a64

（2）解：（x-2）=—,

2.(24-25八年级上•上海虹口•期中)已知3切+1的平方根是±5,5”-8的立方根是3.

(1)求Jm-"；

(2)若J4a+加=4,求34-2〃的立方根.

［答案］(1)y/m—n=1

⑵3"2〃的立方根为-2

【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根、平方根和立方根的定义是

解题关键.

(1)根据题意求出"2=8,”=7,得到J"?_〃=&-7=1;

(2)根据题意求出。=2,继而得到3"2〃=3x2-2x7=-8,得到3a-2〃的立方根为-2.

【详解】(1)解：••.3加+1的平方根是±5,

/.3机+1=25,

..tn=8,

5”-8的立方根是3,

5〃—8=27,

..〃=7,

yjm—n=A/8—7=1；

(2)解：:—4〃+加=4

4〃+加=16,即4。+8=16,

解得：4=2,

3cl—2〃=3x2—2x7=—8，

■1-V=8=-2.

3a-2〃的立方根为-2.

3.（24-25八年级上•上海崇明•期中）《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，其中对平方根和立方

根的求法有系统记载，我们学习了《实数》章节，请你运用相关算法解答以下问题.已知24-7的算术平方

根是36-9的立方根为-2.

（1）求6的值.

⑵求3a+6的平方根.

【答案】⑴"8力=1

⑵士5

【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根，掌握算术平方根、立方根及平方根的定义是解题的关

键.

（1）根据算术平方根和立方根的定义即可求出。、6的值；

（2）根据（1）中的结果求出%+，的值，再根据平方根的定义即可求解.

【详解】（1）解：根据题意：2“-7=9力-9=-8,

贝lja=8,6=1；

（2）解：由（1）知a=8,6=l,

贝i）3a+6=25,

±-\/25=±5，

3a+6的平方根为±5.

4.（24-25八年级上•上海青浦•期中）小颖和小聪对话如下:

：这个题我不会解，快来帮帮我！题目：某正数的两个不同的平方根为2〃z+3和〃L6,7-〃的立方

小颖

根为-4.求2m+2n的算术平方根.

：我的思路是：先求出加，〃的值，再代入求出2加+2〃的值，最后就可以求出2〃?+2〃的算术平方根

小聪

啦！

请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题.

【答案】12,见解析

【分析】此题考查了平方根和立方根知识的运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识.

先运用平方根和立方根知识求得加，〃的值，再求得2加+2〃的值，最后运用算术平方根知识进行求解.

【详解】解:由题解可知（2加+3）+（〃?-6）=0，1==-4.

/.m=l,〃=71.

把冽=1,〃=71代入2次+2〃，得2x1+2x71=144.

.•.7144=12.

;.2加+2〃的算术平方根为12.

医【典型例题四与立方根有关的规律探索】

【例1】（24-25八年级上•上海•单元测试）已知按照一定规律排成的一列实数：

-l,V2,^3,-2,V5,V6,-V7,V8,^/9,-V10,....按此规律可推得这一列数中的第2025个数是（）

A.J2025B.72025C.#2025D.-#2025

【答案】C

【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是关键.观察可知，这一列数是从1开始的连续的

自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即

可；

【详解】解：由条件可知：这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术

平方根的相反数，算术平方根，立方根，

•••2025+3=675,

.•.第2025个数应是河X，

故选：C.

【例2】（24-25八年级上•上海宝山・期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律;

m0.0040964.096409640960004096000000

y/m0.161.6161601600

运用你发现的规律，探究下列问题：己知痘。2.35,则疯而。（）

A.0.235B.0.0235C.2.35D.0.00235

【答案】A

【分析】本题考查了立方根，根据表格中的规律在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相

应的立方根的小数点就向左移动一位，读懂题意，找出规律是解题的关键.

【详解】解：根据表格中的规律可知，在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方

根的小数点就向左移动一位，

■••V13»2.35,

•••40.013-0.235，

故选：A.

【例3】(23-24八年级上•上海松江•期中)根据你发现的规律填空：已知近=1.442,若

#0.000456=0.07696,则^456=.

【答案】7.696

【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解

题的关键.

依据被开方数小数点向左或向右移动3为对应的立方根的小数点向左或向右移动1为求解即可.

【详解】若必0.000456=0.07696,

贝UV456=7.696,

故答案为：7.696.

【例4】(2024•上海长宁•模拟预测)我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载

的图表给出了(。+6丫展开式的系数规律.

1...............(a+6)°=1

11................(a+/>)1-a+b

121(a+Z?)2=a2+lab+b2

1331(a+Z>)3=a3+3crb+3ab2+b3

当代数式d-9/+27x-27的值为8时，则x的值为.

【答案】5

【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，立方根的定义等知识，灵活的应用规律解题是关键.由

规律可得：(。+域=/+3通+3/+63,今a=x,b=-3,可得(x-3)'=8,再解方程即可.

【详解】解：由规律可得：(a+=/+4/6+6/62+4"3+〃，

令。=》，b=-3,,

.•.(X-3)3=X3-9X2+27X-27,

・•・XX3_9X2+27X-27的值为8

••.(x-3)3=8,

・,•x-3=2,

x—•5,

故答案为：5.

@变式训练

1.(24-25八年级上•上海闵行•期中)根据下表回答下列问题:

a-1000000-0.00000110.00110001000000

l[a-100110100

(1)填表，利用表中的规律，解决问题：已知私=900,青西=9,则a的值为.

(2)若。为实数，比较她与。的大小.

【答案】(1)-001,0.1,729000000

(2)a<T或0<。<1时，y/a.>a--l<a<0或a>l时，^Ja<a-当。=±1或0时，>fa=a

【分析】(1)由表格得出规律，进行填表以及结合国=900,酒=9,求出。的值即可；

(2)分类讨论。的范围，比较大小即可.

此题考查了立方根，实数的大小比较，弄清题中的规律是解本题的关键.

【详解】(1)解：依题意，^/-0.000001=-0.01,40.001=0.1,

1.'V«=900,^729=9,

则a的值为729000000；

故答案为：-0.01,0.1,729000000；

（2）解：依题意，。＜-1或0＜。＜1时，y/a＞a;

-1＜。＜0或时，l［a＜a-,

当。=±1或。时，=«.

2.（2024八年级上•上海•专题练习）（1）填表:

a0.0000010.001110001000000

y/a

（2）根据上表，你发现了什么规律？用语言叙述这个规律；

（3）若姮=b,V0.012=m,V12000=n,求私"的值［利用（2）的规律计算，计算结果用6表示］.

【答案】（1）0.01,0.1,1,10,100；（2）一个数的小数点每向右（或向左）移动三位，这个数的立方根

的小数点就向右（或向左）移动一位；（3）m=0.1b,n=10b.

【分析】此题考查立方根的知识，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键.

（1）由立方根与立方互为逆运算，可从立方入手计算；

（2）规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动

1位，由此解决问题；

（3）根据（2）的规律计算即可得到结果.

【详解】解：⑴••-0,013=0.000001,

■­■号0.000001=0.01,

•••0.13=0.001,

•••#0.001=0.1,

VI3=1,

Vi=1＞

•••103=1000,

•••Viooo=io-

••-1003=1000000,

.•■^1000000=100.

・•.填表如下：

a0.0000010.001110001000000

y/a0.010.1110100

故答案为：0.010.1110100

（2）由上表可得，被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应地向右（或向左）

移动1位.

（3）■■-l/n=b,

■.人0.012=#12x0.001=0.1b,即加=#0.012=0.1ft,

%2000=42x1000=10b即〃=#12000=106,

3.（24-25八年级上•上海长宁•期中）（1）填表：

a0.0000080.00888000

yfa

（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根标的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述

这个规律：;

（3）根据你发现的规律解答：

①已知#0.21480.5981,⑸Z。L289,V2L4-2.776,则#2140介于哪两个整数之间?

②已矢口*0.001843~0.1226,贝UV1843~；

③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01

平方米）

【答案】（1）0.02,0.2,2,20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根数的小数

点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮

【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积

的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键.

（1）利用立方根的定义填表即可；

（2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解；

（3）①结合表格信息，对瓶工司289进行变形分析即可；②结合表格信息，对号0.001843。0.1226进行

变形分析即可；③设正方体的棱长为。米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方

法即可求解.

【详解】解：(1)填表如下:

a0.0000080.00888000

y[a0.020.2220

(2)规律：数。的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根妫的小数点就相应地向右或向左移动一位;

(3)①•.•夜百。:1.289，

:.#2140。12.89,

.•.蚯1而介于整数12和13之间；

②：々0.001843。0.1226,

.­.V1843-12.26：

③设正方体的棱长为。米，则/=1.843,

由②知母0.001843-0.1226,

11.843"226;

/.a«1.226,

.'.6a2-9.02(平方米)，

答：需要大约9.02平方米的铁皮.

4.(24-25八年级上•上海金山•期中)求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如衣，有些数则不

能直接求得，如石，但可以通过计算器求.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请

同学们解答以下问题：

a0.04440040000

4a0.2220200

(1)运用你发现的规律，探究下列问题：已知VI而。1.435,求下列各数的算术平方根:

①J0.0206j@V206«_；

(2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根.已知次名1.260,则疝丽。

(3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值

①尤2-6=30

@（x+l）3+l=O

【答案】（1）0.1435,14.35

（2）12.60

（3）①x=6或-6；②x=-2

【分析】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键在于从小数点的移动位数找出规律来解题.

（1）依据从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答；

（2）根据（1）中的规律进行类比解答即可；

（3）①先移项，再运用求一个数的平方根进行解方程，即可作答.

②先移项，再运用求一个数的立方根进行解方程，即可作答.

【详解】⑴•••VZ06«1,435,

VO.0206=V106xVOOI»1.435x0.1«0,1435,

■­.V206=VZ06xV100«1.435x10®14.35;

故答案为：0.1435,14.35；

（2）解：类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小IO，"倍，立方根就相

应的扩大或缩小10"倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动力位，则立方根的小数点就向左或向右

移动〃位.即有：

•.•^2^1.260，

■2000。12.60.

故答案为：12.60

（3）解：/-6=30移项得x?=30+6,

即X1=36,

得x=6或-6；

②（x+厅+1=0原方程移项得（x+咪=-1,

即X+1=—1,

解得x=-2.

国，【典型例题五立方根新定义运算】

3a-56(a>6))

【例1】（24-25八年级上•上海闵行•阶段练习）定义一种新运算:a0b=<则（6区2）8）27的值

y[ab(a<b)

是（）

A.27B.8C.6D.卡

【答案】C

【分析】本题考查新定义下的实数运算，立方根的定义，利用题中的新定义计算即可求出.

【详解】解：•.•6>2,

682=3x6—5x2=8,

•・•8<27,

.-.（602）027=8027=^/8x27=6,

故选：C.

【例2】（24-25八年级上•上海嘉定•期末）对于有理数a、b,定义min{a,耳的含义为：当时,

min{a,6}=a,例如：min{1,-2}=-2.已知=a,min^V40,/7j=V40,且a和6为两个连续正

整数，贝物-6的立方根为（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【分析】本题考查的是无理数的估算，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关

键.根据min{a,6}的含义得到：。<闻〈上由。和6为两个连续正整数求得a=6,6=7,再求出。一6的值,

最后求出立方根，即可作答.

【详解】解：•.•min（V40,a}=«,min{痴,叶=两，

”a（屈<b,又。和6为两个连续正整数，

..ci—6,Z?=7,

•**ci—b=6—7=-1

.•.-1的立方根为-1.

故选：A

【例3】（24-25八年级上•上海普陀•期末）对于任意不相等的两个正实数a,b,定义运算△如下:

必6=电心,如3/\2=^^=逐，那么33/\31的立方根是_____.

a—b3—2

【答案】指

【分析】先根据新定义求出33431的值，再根据立方根的定义求解.

【详解】解：/△6=血亘，

a-b

A33A31=2/33+3£=4；

33-31

33/^31的立方根是翔.

故答案为：V4.

【点睛】本题考查了新定义，以及立方根的定义，根据新定义求出33431的值是解答本题的关键.

【例4】（24-25八年级上•上海杨浦•阶段练习）【新考向】阅读下列材料：要求59319的立方根，我们可以

这样想：®103<59319<1003,即59319的立方根是一个两位数；②因为59319的个位数字是9,而

93=729,所以能确定病杀的个位数字是9；③如果划除59319后面的三位数，得到59,而3晨59<43,

可得30<#59319<40,所以159319的十位数字是3,所以#59319=39.

请根据上面的材料回答下列问题：^175616=.

【答案】56

【分析】本题考查了求一个数的立方根，模仿题干的解题过程，先找出103<175616<100。再确定175616

的个位数是6,接着得出53<175<6,确定175616的十位数是5,据此即可作答.

【详解】解:依题意，vlO3<175616<1003,

••.175616的立方根是一个两位数；

・•,175616的个位数是6,且63=216

・••能确定近市记的个位数字是6；

如果划除175616后面的三位数，得到175,

:53=125<175<6^=216,

.­•50<#175616<60,

4175616的十位数字是5,

即升175616=56，

故答案为：56

@变式训练

1.(24-25八年级上•上海虹口•期末)在实数范围内定义运算：“※”：a※b=2(.-叶一,例如:

3^2=2X(3-2)2-3=-1.

(1)若〃=5,b=-3,计算。※6的立方根；

⑵若2海=15,求x的值.

【答案】⑴5

(2)x=-l或x=5.

【分析】本考查主要考查了新定义运算、立方根和平方根的性质等知识点，理解新定义运算是解题的关键.

(1)直接根据新定义运算法则计算，然后根据立方根的定义即可；

(2)根据题意得到2(2-尤f-3=15,然后整理后利用平方根的性质求解即可.

［详解】(1),；a=5,b=-3,

.•.冰6=5※(-3)=2x(5+3『-3=125

二。※6的立方根是5；

(2)•.,2>:KX=15

.■,2(2-X)2-3=15

.-.(2-x)2=9

•••2一x=±3

•••x=-1或x=5.

2.(24-25八年级上•上海黄浦・期中)按要求完成下列各小题.

(1)己知2a的平方根是±2,3是3a+6的立方根，求a-2b的值；

(2)在实数范围内定义运算“※”，其法则为：a^b=a2-b2,若(糅3必苫=24,求x的值.

【答案】(1)-40；(2)x=5或x=-5

【分析】(1)根据平方根及立方根的定义求出a和b的值，即可求出a-26的值；

(2)根据运算法则，表达出(4X3)Xx=24,解方程即可.

【详解】解:(1)根据题意可知：2a=4,3a+b=27,

解得：a=2,b=21,

：.a-2b=2-2x21=-40.

(2)•.,4X3=42-32=7

・•.(卷3汹=7冰才=72-丁

.■•72-X2=24

解得：尤=5或x=-5.

【点睛】本题考查了平方根与立方根，以及有理数中的新定义运算问题，解题的关键是理解平方根与立方

根的定义，以及题目中给出的新定义运算法则.

3.(23-24八年级上•上海长宁•阶段练习)【阅读与应用】

【问题提出】

对于任意实数。力，定义一种新运算㊉：a㊉6=(。+以+(6-1)2,例如:2㊉3=(2+厅+(3-1)2=31.

【初步感知】

(1)求(-3)㊉4的值；

【拓展运用】

(2)若实数。满足。㊉5=24,求。的值.

【答案】(1)1;(2)a=l

【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，立方根的应用.

(1)运用运算公式a㊉b=(a+l)3+@-l)2,计算即可；

(2)利用公式。㊉5=(a+1)3+(5-1>=24,列出方程，求解方程即可.

【详解】解：(1)根据题意得：(-3)㊉4=[(一3)+1了+(4-1)?

=(-2)3+3?

=-8+9

=1;

(2)根据题意得：。㊉5=(a+l)3+(5-l)2=24,(a+1)3+42=24,

整理得：(。+厅=8,

a+1=y/s,

tz+1=2,

'.d—\,

4.(24-25八年级上•上海静安・期中)本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立

方根的部分内容:

平方根立方根

一般地，如果一个数X的平方等于。，即一般地，如果一个数x的立方等于。，即

定

x2=a,那么这个数x就叫做。的平方根x3=«