立体几何初步（期末压轴专项训练33题）解析版

专题04立体几何初步(期末压轴专项训练33题)

一、立体图形中最短距离问题

1.如图，棱长为3的正方体A4CD-A5GR中，点G在线段HC上且|AG|=V5,点分别为线段

AAAGAA上的动点，则空间四边形A"/E周长的最小值为()

A.|(1+G)B.|(1+^6)C.]&+#)D.|(>/3+>/6)

【答案】C

【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题

【分析】把平面AACG与平面4A网展开在同一平面上用BCG上，然后利用对称将空间四边形各边长转

化到同一直线上，找到最小值即可求解；

【详解】把平面A4CG与平面A.ABB,展开在同一平面上与BC0上,

作点A关于AG的对称点因为|AG|=6,且正方体边长为3,易得AAAM为正三角形，由对称性可

得：m目=出目,|4F|二|MF|,

所以周长|M+|£W|+|”F|+|冏=|4E|+|E"|+|”F|+|RV/|N|4M|,

作MNJ.qG，可得^AAG〜△ANM

易得河=|,忸网=3+|8

/M|=J|BN『+|MN|2

故选：C.

2.在正四棱锥尸-A8CD中，Q4=A8=4，M为小的中点，N为8C的中点，则从点M沿着四棱锥的

表面到点N的最短路径的长度为（）

A.2yflB.2>/6C.4D.3

【答案】C

【知识点】楂锥的展开图

【分析】对点M到点N的路径进行分类讨论，将相应平面延展为同一平面，结合余弦定理可求得结果.

【详解】分以下几种情况讨论：

（1）当点M沿着平面F4B、P8C至IJ点N,将平面力$、P8C延展为同一平面，如卜.图所示：

易知△215、ZXPBC均为等边三角形，延展后，NPAB=/PC8=60，ZAPC=/ABC=120，

所以，四边形A8cp为菱形，所以，AP〃BCRAP=BC.

因为何、N分别为a、3C的中点，则八M〃用V且AM=8N,

所以，四边形A8NM为平行四边形，此时MV=A8=4；

（2）当点M沿着平面P4B、A8CD到点N,将平面a3、A5CD延展至同一平面，如下图所示:

连接则且BM=2石，ZABM=30%NMBN=90+30=12(T,

因为8N=2，由余弦定理可得MV=J8W2+AN2_28例.用Vcos120=Jl6+4#>4；

（3）当点M沿着平面幺力、ABCD到点N,连接PN,如下图所示:

则PM=2，PN=4+26NM/W=3(X，

由余弦定理可得MN=JMP2+PN2-IMP-PA^cos30=720+8#>4；

（4）当点仞沿着平面PA/）、PCD、到点N,将这三个侧面延展为同一平面，如下图所示:

易知A、P、8三点共线，且BM=6,BN=2,/MBN=60，

由余弦定理可得MN=JBM2+BN?-2BM•BNcos60°=2币>4.

综上所述，从点M沿着四棱锥的表面到点N的最短路径的长度为4.

故选：C.

【点睛】方法点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进

行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直''或"化曲为宜”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面

展开图的形状：

（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.

3.如图，在圆锥50的底面圆中，AC为直径，0为圆心，点B在圆。上，旦

NBAC=30。,（）A=OS=6,O为线段A4上的动点，则SD+CO的最小值为（）

B

A.>/5+1B.V5-1C.——D.

2

【答案】A

且BC—GR,CQ=2,BC.=2,

在RtZXAGR中，以G"为X轴，G8为)，轴，建立平面直角坐标系,

yt,

BE

h\

E,次

0(G)FnX

则"(2,0),8(0,2),玖0,1),尸(1,0)；

设点石关于直线的对称点为£,

・••8。的方程为4+)，=2,①

・•/印=1,直线£：£的方程为广工+1,②

1q

由①②组成方程绢,解得工=g.y=^,

乙4

直线EE'与的交点M(g,|).

.•.对称点七”2),

；.PE+PF=PE+PFNEF=2.

则PE+P厂的最小值为2.

故选：C.

5.如图，AB是圆柱的直径且AD=2,/X是圆柱的母线且八4=2,点。是圆柱底面圆周上的点.若

AC=\,。是。3的中点，点£是线段PA上一动点，则CE+EO的最小值为.

【答案】6

【知识点】余弦定理解三角形、圆柱的展开图及最短距离问题

【分析】将CE七。转化到一个平面上，利用平面内两点之间线段最短求得最小值.

【详解】将△P4C绕着PA旋转至JAAC使其与△Q48共面，且C'在A8的反向延长线上.

=A8=2,NPBA=ZBD=?BP=6,BC=3,

42

由余弦定理得C7)=J32+(0)2-2X3X夜x4=百，

.•.CE+EQ的最小值为后.

故答案为：而

二、立体图形中截面问题

1.在正方体AG中，M为A3的中点，N为8c的中点，尸为线段。&上一动点（不含C）.过M,N,P

与正方体的截面记为。，下列说法中正确的是（）

CP1

A.当=3时，截面。为五边形

V-zCq乙

CPI

B.当万■>5时，截面a只能是六边形

CP\

C.当k二与时，截面a的面积最大

CPI

D.当不鼻时，截面夕只能是五边形

k.x|3

【答案】D

【知识点】判断正方体的截面形状

CP1

【分析】易知当大丁=5时，截面a为止六边形，可判断A错误，当/，与G重合，可知截面a只能是四边

CP1

形MNPA,可知B错误，比较k=三时五边形截面a的面积与止/,、•边形截面a面积大小可判断C错误，

v-zLD

作出图形可判断D正确.

CP\

【详解】对于A,当方7=3时，分别取6。1，4。「人4的中点为。1,5,如下图所示：

CP1

因此当方刀=5时，截面。为六边形，即A错误;

L\-zI/

对于B,如下图：

CP1

当不尸＞不时，不妨取。与C1重合，可知截面。只能是四边形MNPA，可知B错误;

V-L/j4

对「C,延长MN交4。干AT,交CD于N',连接N。交CQ于点。，连接加。交于产，如下图所

示：

因此其面积为LyF=gx3近xJ?=1j/；

又皿*五加=9=半’可知四变形MNM为等腰梯形;

2

此时五边形面积为万+?J万=3/7=10.8

288

当当告=:时，截面为边长是1正的正六边形，其面积为6x』x（。及1x立=2史=11.7；

CG222（2J24

CP1

显然当〒=Q时，截面。的面积不是最大的，即C错误；

V-V-IJ

CP1

对「D,根据C选项中的分析可知，当7”＜弓时，截面a为在五边形MNPR厂的基础上绕着向下摆

动，

此时截面始终于。。有交点，此时截面。只能是五边形，即D正确.

故选：D

2.如图，正方体ABC。—A4GR中，E、f分别是AB、8C的中点，过点。口E、尸的截面将正方体

分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为%匕化〈匕），则乂：匕=（）

【答案】C

【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算

【分析】如图所示，过点2，E,产的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上

方部分，用总的正方体的体积减去卜方的部分体枳即可.

【详解】如图所示:

设正方体的棱长为2。，

则过点A，E,尸的截面下方体积为:乂=聂—24一共“吟.2=./,

丁•另一部分体枳为匕=8。'-表3=?，

25

/.V；：K=—.

1247

故选：C.

【点睛】本题主要考查了几何的割补问题，还考查了空间想象的能力，属于中档题.

3.如图，正方体A3C。-A8CA的校长为2,N为4G的中点，若过从。的平面a〃平面CN",则a截该

正方体所得截面图形的面积为.

【答案】2瓜

【知识点】判断正方体的截面形状

【分析】取8C的中点E,AA的中点立先利用面面平行判定定理证明平面尸。〃平面CNR,得出四

边形尸。石片为a截止方体所得截面图形，易得四边形尸片是菱形，求得该菱形的边长即可求得面积.

【详解】如图，取&?的中点E,AA的中点凡连接。£B\E,B/,FD,

因为E，尸分别为BC,AA的中点，所以FD、〃B、N,FD、=B、N,

所以四边形尸是平行四边形，所以FB、〃D\N,

又因为"Nu平面CN。，尸身《平面CNR,所以产百〃平面CNR,

同理gE〃平面CAR,

又Bgn尸耳=片，BRFB]U平面FDEB一所以平面FQE反〃平面CNR,

即四边形为a截正方体所有截面图形.

由正方体的棱长为2,易得四边形是边长为石的菱形,

对角线即为正方体ABCQ-ABIGR的体对角线==

乂EF=VF+27=2x/2，

所求截面的面枳S=；X2GX2X/5=2".

故答案为：2瓜

4.（1）如图，棱长为2的正方体人次刀-AMGR中，M,N是棱人用，AA的中点，在匡中画出过底

面A8CD中的心。且与平面AMN平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：:

（2）作出平面PQR与四棱锥A8C"的截面，截面多边形的边数为

【答案】（1）作图见解析，周长为3&+26；（2）作图见解析，边数为五.

【知识点】判断正方体的截面形状、棱锥中截面的有关计算

【分析】（1）利用面面平行的判定定理作出截面，求得各边长度则可得周长：（2）利用延长找公共点的

方法作出截面，可得形状.

【详解】（1）分别取E,尸为棱Bg,GR的中点，则由中位线性质得到：石尸所以四边

形E也应为平面四边形，

乂EN||4BJ/W,EN=A}Bi=AB,所以四边形EN4A为平行四边形，所以EB||AN,

由EF〃MN,即已平面人MN,MNu平面所以E产P平面AMN,同理旗〃平面AMV,

EFc£B=E，由面面平行的判定定理可得平面AMN〃平面厅DB,所以四边形£77厉即为所求截面，且

为梯形，

由截面作法可知，DB=2&.EF=；DB=五.-叩-"7万-百，所以截面四边除瓦DB的周长为

3a+2百.

（2）延长PQcEB的延长线于G,连接GR,GRc3C=M,GRcE。的延长线于〃，连接尸”,出7仆人。于

N,连接QM，KN,则五边形PQMRN即为所求.所以截面多边形的边数为五.

1.（多选）如图，在棱长为2的正方体ABC。-A4Gq中，M,N,P分别是/1》C£，GR的中点，。是

线段。△上的动点，则（）.

A.存在点。，使PQ〃平面MBNB.不存在点。，使8,N,P,Q四点共面

C.三棱锥。-3CN的体积是定值D.经过CM,民2四点的球的表面积为10兀

【答案】AC

【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、判断线面平行

【分析】根据平行的传递性可得PQ//MN,结合线面平行的判定定理即可判断A；当Q与点4重合时，

比乂2。四点共面，即可判断团结合三棱锥体积公式判断C；易知经过CM.8,N四点的球即为长方体

M4。尸-EBCN的外接球，求出球的半径即可判断D.

【详解】连接PQ，AG，当。是AA的中点时，因为PQ〃AC，AC〃MN,所以PQf/MN.

因为PQ仁平面BMN、MNu平面BMN,所以PQH平面BMN，故A正确,

如图，在正方体A8CO—A4GR中，连接AB，G。.

因为分别是CGCR的中点，所以CQJ/PN.又因为CD/A》，所以A]//PN,所以A，£MP四点

共面，即当Q与点A重合时，氏MR。四点共面，

故B错误，

2

直线2A上的点到面BCN的距离为2,而S-=1，所以VQ_BCN=?是定值，

故C正确，

设G,H分别为84，QR的中点，则A8C。-MGM/为长宽高分别为2,2,1的长方体，根据分割补形法

知：经过CM,用N四点的球即为长方体"8-MGN”的外接球，所求球的直径2R满足：

（2/?）2=22+22+12=9,经过四点CM,氏N的球的表面积为4兀片=9几，故D错误.

故选:AC.

2.（多选）在直平行六面体中，AB=BC=AC=AA,=2tM为棱。。上的动点，

人昆仁周四点均在球。的球面上，则（）

A.存在点M,使〃平面力与。

B.无论M的位置如何，三棱锥C-MAG的体积为定值

C.存在点M,使△4MC的周长为5人

D.球0的表面积为努

【答案】ABD

【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、判断线面平行

【分析】根据线面平行判定定理得出GM〃平面A4C,判断A,根据等体积％-MAG=匕.”《计算判断B,

根据展开图计算判断C,根据截面计算求解外接球半径判断D.

【详解】

A:由题意知直平行六面体ABC。-ABCA的底面A8CO为菱形，且VABC为等边三角形，连接。G,四边

形A&G。为平行四边形，

所以AB'/DG，A81U平面物C,DQ不在平面阴C内,QM//平面明C,所以当点M与点Q重合时,

GM//平面AB。,A选项正确；

B.同体换底思想，=匕-MCC，"“卬不随M的位置发生变化，

其高即A到平面MCG的距离不变，B选项正确；

C.将平面A。。4与平面七。。£沿DR展开，

可得当A，M,C三点共线时，AM+MC最小，且最小值为"T方=2不，

所以△&WC周长的最小值为2忘+2逐＞5夜，故C错误；

D.设。为VABC的外心，连接08,。。…。为，过01作平面A6C的垂线，球心在此垂线上,

要满足到H,的距离相等，球心在垂线段的中点匕所以球。的半径为08=J17i=浮，

所以球。的表面积为4万工：=警，故D正确.

JJ

故选：ABD.

3.（多选）如图，在棱长为1的正方体A8CO-ABCA中，E,尸分别为棱ARMA的中点，G为线段

8c上一个动点，则（）

A_______G

B.存在点G,使平面E/P〃平面BDG

C.三棱锥人-EFG的体积为定值

D.存在点G,使得平面极正方体所得截面为正六边形

【答案】ACD

【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、判断线面平行、判断面面平行

【分析】对于A项，取点G为瓦C与8G的交点，可证明BG//EF即可判断A项：对于B项，若平面

E尸G〃平面8OG，即可得出PQ=GH且PQ//GH,而PD〉£=B",故G应在C4延长线上，即可判

2

断B项；对于C项，G移动但G到面AE尸的距离始终不变即可判断C项；对于D项，G为8c靠近（：的

四等分点时画出截面图，由图可可判断D项.

【详解】对于A项，存在点G为8c与8G的交点，使得8G〃£F,理由如下：

若点G为8c与Bq的交点，则氏G，G三点共线，

由正方体性质得，AB"CQ\,AB-CQ\,所以四边形是平行四边形，所以

因为£尸为4〃,/见中点，所以£尸〃A。，所以即8G//E/LA正确；

对于B项，如图，连接4。0所=/，〃为侧面C4中心，

则平面片与平面EFG和平面4QG分别交于线PG,DH,

若存在G点使平面EPG〃平面3DG，则PG//DH,又">心,则四边形PG"。为平行四边形,

即PO=G〃，PD>—=B.H,此时G应在C4延长线上，B错误；

21

对于C项，易知4。//平面AE7L随着G移动但G到平面A|Er的距离始终不变，即为44,

故匕-由二匕^印二:工片片乂2用万尸二士是定值，C正确；

对于D项，如图，当G为与C靠近C的四等分点时，

平面EFG截正方体的截面为正六力形，D正确

4.（多选）如图，正方体48C。-AMG。的棱长为2,E,尸分别是AO,的中点，点P是底面

4BCD内一动点，则下列结论正确的为（）

A.不存在点P,使得口〃平面A8GA

B.过3,E,尸三点的平面截正方体所得截面图形是梯形

C.三棱锥G-A由/的体积为4

D.三棱锥/-4C。的外接球表面枳为9兀

【答案】BD

【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、判断线面平行

【分析】对于A,当尸为8。中点时，利用中位线的性质可证得广P//BR,再证得线面平行；对于B,利用

中位线的性质可证得Q//4C，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于C,利用等体积法可求得三

棱锥的体积；对于D,三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可.

对于A,当P为BO中点时，由中位线可得

因为a>0平面ABCQ,平面A8CQ,所以"〃平面ABCQ.故A错误；

对于B,由中位线可得EF〃AR,在正方体中，易证AR/4G，所以EF//8G，

又因为£7\3G，所以截面为梯形，故B正确；

114

对于C,=§X]x2x2x2=§，故C错误；

对干D,三棱锥尸-ACD的外接球可以补形为长方体外接球，半径1=如土U=3,

22

所以表面积S=4TTR2=9兀，故DJE确.

故选：BD.

5.（多选）如图，正方体/W8-44GR的校长为2,E,尸分别是AZ）,。口的中点，点/是底面

A6C。内一动点，则下列结论正确的为（）

A.存在点使得/P//平面A3CQ

B.过氏旦厂三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形

c.三棱锥G-44夕的体积为定值

D.三楂锥尸-A8的外接球表面积为9兀

【答案】ACD

【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面平行

【分析】当P为8。中点时Q//平面AgR,即可判断A,根据平行关系作出截面图,即可判断B,根据

锥体的体积公式判断C,转化为求长方体的外接球，即可判断D.

【详解】对于A：当尸为3。中点时，因为尸是DR的中点，所以“"BQ,

FP2平面ABC,D],BD、u平面ABCR,

所以F77/平面A8CQ,故A正确：

对于B：因为石，尸分别是40,。。的中点，所以EF//AR,

在正方体中，易证偿〃的，所以E”〃BG，

过氏£,产三点的平面截正方体所得截面图形是梯形石灰:Z，故B错误；

|I4

对「C：因为％i2=%"；=9?2乂2、2=三，所以三棱锥的体积为定值，故c正魂;

对于D：三棱锥产-ACD的外接球可以补形为长方体（长为2,宽为2,高为1）的外接球，

所以夕卜接球的半径宠="+4+1=之,所以外接球的表面积S=4冗店=9兀，故D正确,

22

故选：ACD.

四、内切球和外接球问题

1.已知一个圆台的上，下底面半径分别为1和4,高为3G.若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆

台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为（）

982727G

A.—B.-C.—

83816

【答案】B

【知识点】多而体与球体内切外接问题

【分析】作出圆台的轴截面，要使正方体棱长最大，则此时正方体的外接球应为圆台内与A。，CD,BC

相切的球，利用勾股定理求出棱长最大的正方体的外接球的半径，进而可得出答案.

【详解】如图，作出圆台的轴截面，

要使正方体棱长最大，则此时正方体的外接球应为圆台内与4。，CD,8C相切的球，

AGB

因为OE_LC£）,Of_L3C,所以△OCE公AOCF,

作OGLAB,BH上CD,因为3G=1,CE=4,所以Ca=3,

而BH=3百,由勾股定理得8C=而而万=6，

则OG=3>/5-R,H.OB2=BG2+OG2=OF2+BF1,

而BF=BC-CF=BC-CE=2,

即得到（3石-R）2+『=22+R2,解得及=速，

3

设圆台内正方体的棱长最大值为。，则6a=2K，

2_248

不R=7T；7r针

故选:B.

2.如图，在直三棱柱ABC—48c中，侧棱长为2,AC1BC,AC=BC=1,点。在上底面A4G（包

【答案】B

【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算

【分析】由条件确定球心位置，建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可.

【详解】因为VA3C为等腰直角三角形，AC=BC=\,

所以VA8C的外接圆的圆心为A8的中点且4a=4，

设A片的中点为£,连接。也，

则QE//AA，Og_L平面A8C,

设三棱锥D-ABC外接球的球心为0,

由球的性质可得点。在上，设。《=孙DE=t（）</<

外接球的半径为R,因为OA=OO=R,

又0W也，则

28

因为RW+"所以之WR*：,则2«RW业,

264282

【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法：（D棱长为的正方体的外接球半径为氏=也。；

2

（2）长方体的长，宽，高分别为。，b,c,则其外接球的半径为R=；

2

（3）直棱柱的高为力，底面多边形的外接圆半径为「，则其外接球半径为人卜+『

3.己知正四面体P-A8C内接于球。，球。半径为3,七为BC的中点，过点石作球。的截面，求截面圆

半径的最小值（）

A.1B.aC.石D.V6

【答案】D

【知识点】正棱锥及其有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算

【分析】令正四面体的棱长为。，由正四面体外接球的相关儿何关系列方程求得〃=2痴，再由截面圆半径

最小，只需OE垂直于截面圆，求该截面圆的半径最小值.

【详解】如卜图示，。。=3,令E四面体的棱长为“，则底面半径，乎“=手〃,

所以。P二图4用一卜图二3,

要使截面圆半径最小，只需。E垂直于截面圆，而0E=/一#=/_%=6,

所以截面圆半径为囱二3F=瓜.

4.已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为3G和126，高为6,则该正三棱台的外接球半径为

()

A.4B.275C.3D.2遥

【答案】B

【知识点】正棱台及其有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得

结果.

【详解】如图所示，。1，。2分别为上下底面的外心，则外接球球心0在线段。1。2上，

连接并延长交于R，连接CO?并延长交/W于。，

设等边三角形A'8'C'的边长为4,根据正三角形面积公式S=¥〃；=36，

,

.•・4=26，OlC=|cD1=|x3=2,

设等边三角形A'8'C的边长为生，根据正三角形面枳公式S=立曷=126,

4•

l22

二生=4百，(72C=JCD=-X6=4,则。0+。20=002=6,

设正三棱台的外接球的半径R,

得依-C2c2+次-《。2=6,解得*=20,即R=2石.

5.如图，两个底面半径相同的圆锥组合的一个几何体，若底面圆的半径为1,两个圆锥的母线长分别为

A.1B.^±1C.V2-1D.

2

【答案】D

【知识点】圆锥中截面的有关计算、球的截面的性质及计算

【分析】由底面圆的半径为1,荫个圆锥的母线长分别为2,述，可得几何体轴截面的一半是直角三角

3

形，又因内切球的球心在轴线上，它到两圆锥母线的距离等于内切球的半径，可找出相似三角形，利用相

似三角形的性质列式即可求解.

【详解】如图，轴截面的一半是三角形ABC,底面圆的半径为08=1,两个圆锥的母线长分别为

AB=2,8C=公已，

3

所以OA=45耳赤=6，OC=>1BC2-OB-=^y,

所以AC=0A+0C=^,所以+=人。2,

3

因而可知V48c是直角三角形.

又由该几何体内切球的球心。在轴线上，它到两圆锥母线的距离。"ON等「内切球的半径，可知AAMO

与KWC相似.

2-r

设内切球的半径为，，则26,解得厂=石_1.

丁

故选：D.

6.已知正四棱锥P-A88的底面边长为2,高为石，则其内切球半径是（）

A.1B.C.昱D.巫

243

【答案】D

【知识点】多面体与球体内切外接问题

【分析】根据正四棱锥的轴截面，转化成等腰三角形的内切圆M题，转化为直角三角形，运用勾股定理解

出内切球半径.

【详解】

设正四棱锥内切球球心为。，其在底面A4C。的投影为。，则P、0、。三点共线，内切球半径为「，取

A6中点E,C。中点尸，则正四棱锥P-AACD内切球半径即为！庄户的内切圆半径，

因为底面边长为2,所以EF=2,0/=轲=1,

因为高为6，即产。'=6，则PE=/^F=2,

所以OF-OP-PO'-OO'-J5-r,

在R/MX7石中，O92+O/2=O尸即/+1=（6—解得r=弓，

故选：D.

五、二面角问题

1.如图，在四棱锥P—A6c。中，底面A4CD为直角梯形，ZABC=ZBCD=90°,尸A_L平面A48.

PA=AB=BC=4,CD=3,M为侧棱PC的中点.

（1）证明：平面P3C_L平面248；

⑵求二面角/-4）-8的正切值.

【答案】（1）证明见解析

⑵孚

【知识点】证明面面垂直、求二面角

【分析】（1）通过线面垂直证明面面垂直可得结论.

（2）通过构造辅助线找到二面角的平面角，在直角三角形中利用锐知三角函数可得结果.

【详解】（1）P4J_平面ABC。，8Cu平面A8CD,•.E4_L8c.

鸟^八丛帖口从台二4处匚平面尸/历，/Wu平面E4B,

二BC_L平面244，

「BCu平面PBC,.,.平面，8CJL平面E4B.

（2）

取AC中点0,连接OM,过点。作OHJ.A。于点〃，连接MH.

•.•点O,M分别为ACJC的中点，/.OM//QA,OM=^PA=2,

「.QM_L平面ABC。，

.二0〃u平面ABC/),力Ou平面ABC。，。“人O”,0MAAD,

vOH[\OM=O,O〃u平面M”。，QMu平面M”0,

二八。_L平面MHO,

加匚平面加”。，，ADLHM,

•••为二面角M—AO—3的平面角，

在直角梯形48CO中，AD=y/(4-3)2+42=y/17.

SA()f)=-ADOH=-SAI)e=--CDBC=3,：.OH=-^=,

Acv22人227

tan?MHO丝=姮，即二面角例—AO—△的正切值为且.

0H33

2.如图，在四棱锥尸-A8CO中，底面A8c。是菱形，ZABC=120°,E为楂B4的中点，PA=PB=4,

PD=2y/3,直线%与8c所成的角的大小为60。.

(1)证明：PC//平面BDE；

(2)证明：H)_L平面ABCO；

⑶求二面角E-BD-A的正切值.

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

(3)2

【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直、求二面角

【分析】(1)设AC与8。相交7点0,连接OE,证明PC//OE,利用线面平行的判定即可:正明；

(2)利用正弦定理得NPD4=9tf,再证明最后利用线面垂直的判定定理即可证明；

(3)过点E作E〃_LA。，垂足为H.过H作印上BD,垂足为/,连接£7,找到二面角即为/£〃/,最后

根据正切定义即可得到答案.

【详解】(1)连接4C,设人C与6£)相交于点0,连接。町

•••四边形ABCD是菱形，为AC的中点.

•・•£是棱的中点，・•・PC〃O£

乂OEu平面BED,PCu平面BED,

二.PC〃平面4EO.

（2）,••直线B4与BC所成的角为60°,且AO//8C,

••・•。就是直线PA与8c所成的角或其补角.

•/PA=4,PD=2x/3,/.PA>PD,.\Z^4D=60，

PDPA

在△PAO中，由正弦定埋得,

sinZPAD-sinZPDA

2>/3_4

即&~sinZPDA»解得sinNPDA=l.

T

ZPDA=90\即。。_LA/J,从而AO=2.

,・,四边形A8CO是菱形，且N/WC=120",.•.NB4O=60',

.•.△ABD是等边三角形，从而2=BD.

又PA=PB,PD=PD,.hPAD^^PBD.

.•.NPDB=NPDA=90。，从而PD上BD.

又\Dr\BD=。,ADu平面ABCD,BDu平面ABCD,

.•.PD，平面A8CD.

(3)过点£作£〃_14。，垂足为，.

过“作”/J.4D,垂足为/,连接£/.

由(2)P£>_L平面A8CZ),又尸Ou平面24。，

「•平面P4O_L平面AI3CD.

又平面EWC平面ABCD=AD,EH±AD,EHu平面幺。，.•.切J_平面ABCD.

面ABC。,"/u平面"CO,EHA.HI.

HI±BD,HIcEH=H、EHu平面EHI、HIu平面£印，4。J_平面EHL

•.•E/u平面£”/,:.BD1EI,

，二面角E-BD-A的平面角是NEIH，

在RtZXE”/中，EH=-PD=y/3,HI=-A0=-xy/3=^~

2222

EH

tanZE//7=—=2,

HI

二•二面角E-8Z)—A的正切值是2

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是找出二面角的平面角，再根据三角函数定义即可得到答案.

3.如图，在边长为4的菱形ABC。中，/4&?=60,£/分别是的中点，将石尸沿石尸折起,

使点小到尸的位置，npD=4亚.

⑴若平面PACfl平面PEF=l,判断AC与/的位置关系并说明理由；

⑵求直线正与平面A8CO所成角的正弦值；

⑶求二面角。-正一厂大小的余弦值.

【答案】（1）1//AC,理由见解析;

（2苧

⑶票

【知识点】求线面角、求二面角、证明线面平行、线面平行的性质

【分析】（1）利用线面平行的判定、性质判断推理即得.

（2）令EFcBD=G,连接PG,求出点P到平面A3CO的距离即可求得线面角的正弦.

（3）取的中点探求二面角。-心-厂的平面角，再利用余弦定理计算即可.

【详解】（1）1//AC,理由如下：

由E,£分别是A8.8C的中点，得EF〃AC,而"u平面尸防，ACa平面PQ,

则AC〃平面。所，又平面必“|平面PEF=/,ACu平面尸4C,

所以///AC.

(2)令EFcBD=G,连接PG,由/WCQ是菱形，NA3C=60l得都是正三角形,

则ACUBD,EFA.BD.EFA.PG,而尸GnBD=G,PG,8Du平面依O,

于是无/_1"平面又Mu平面ABC。，则平面P30_L平面ABC。，

在平面P8D内过?作JQ,由平面PHQn平面A3C£)=a>,

因此PQ工平面ABC。.连接£Q,则/PE0是直线正与平面45co所成的角，

在正！PEF中，PE=2、PG=6DG=BD-BG=2ABCGS3G-6=36

…/“八(百尸+(3百)2-(4&)21miI."「nR——4石

cosZ.PGD=---------T=------7=-----=—,贝(Jsin/.PGB=vl-cosZ.PGB=----,

2xV3x3V399

于是PQ=PGsinNPG8=^^,sinZP£0=-^=—»

9PE9

所以直线正与平面ABC。所成角的正弦值是拽.

9

(3)在VAOE中，。七2二4炉+AC)2-2AEAOCOS120=4+I6-2X2X4X(—!-)=28,

2

即DE=2X/7,显然£>/十尸石2=32=尸力2,则有£>£j_FE,同理。「_!_尸尸，

取「EPQ的中点O,M,连接产QM0/M,则MO//OE,MO1PE.FO1PE,

因此NRW是二面角。-PE-尸的平面角，而FMJPD=26,M0=!DE=EF0=B

22

Mcoszmw=®四*空怎

2xV3xV721

所以二面角。-尸石-尸大小的余弦值是g.

【点睛】思路点睛：平面图形翻折问题，在翻折过程中，始终位于同一平面内的点线位置关系和数量关系

不变，否则将可能发生变化.

4.如图①，已知VA8C是边长为2的等边三角形，。是A9的中点，DHLBC如图②，将△8DH沿

边D”翻折至△加月.

A

图①图②

⑴在线段RC上是否存在点凡使得4户〃平面月川7?若存在.求竺的值：若不存在，请说明理由：

rC

（2）若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为2人，求点B到直线CH的距离.

【答案】⑴存在，怒BF=；1

FC2

⑵半

O

【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、由一.面角大小求线段长度或距离、面面平行

证明线面平行、证明线面垂直

【分析】（1）在图①中，取9M的中点M,连接4M,证明AM〃W7,则AM〃平面8D”,在线段8C

BF1

上取点厂使"=7,连接MF，FA,证明平面4W〃平面双汨，再根据面面平行的性质即可得解：

FC2

（2）连接88'，取83'的中点7,连接T”,7D，/汨，平面AC",易得777_L。7J_,则/。加

即为平面与平面8D4所成的二面角的平面角，求出7H,再利用等面积法求解即可.

【详解】（1）在图①中，取夕M的中点M,连接AM,如图所示，

因为VA8C是等边三角形，的中点为M,

所以AMJ.&C,

因为_LZTC,

所以AM//DH,

在图②中，AM//DH.AMa平面8。”，DHu平面BDH,

所以AW〃平面8。“，且也=」，

MC2

RFI

在线段8c上取点尸使=；=；；,连接MP,*4,如图所示，

FC2

B

A

HMC

E七"MBF\

因为----=——=一,

MCFC2

所以MF7/BH,

又因为4Hu平面BQH,MPa平面8。从

所以MV〃平面BDH,

又因为MFcAM=M,MF,AMu平面AM凡

所以平面AMFH平面BDH,

又因为A/u平面

所以Ab〃平面BDH,

所以存在点尸满足题意，且B算F=gI；

FC2

(2)如图所示,连接M'，取83’的中点T，连接7H,7D,

由折叠性质可得8。=B'D,BH=BHBfe平面ABD，Bw平面BCH,

因为DH_LBH,DH1CH,BHcCH=u平面BCH,

所以平面AC”,

又THu平面BCH,所以OH_L7H,

因为了为88'的中点,

所以THJ.BB；DT±BB',

所以/O7W即为平面与平面BDA所成的二面角的平面角，

由(1)可得。〃=立，B，H=BH=LBD=B，D=I,

22

因为平面8”。与平面BDA所成的二面角的正切值为2友，

所以tan/O777=里=2&,所以TH=在,

TH8

所以BT=屈于三^=叵,所以B'B=巫，

84

设点8到直线。〃的距离为力，

即k巫x」力，解得」「巫，

248228

即点B到直线。”的距离为巫.

8

【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：

(1)通过面面平行得到线面平行；

(2)通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.

5.如图，在梯形A8C。中，AD//BC,AD=AB=\,DB=DC=41.把△A3。沿8。翻折，使得二面角

A-AO—C的平面角为氏M,N分别是8。和〃。中点.

⑴若。=9