牛吃草问题-小升初奥数思维之典型应用题讲义

小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版）

专题21牛吃草问题

【第一部分：知识归纳】

一、基本概念

1、牛吃草问题（乂称消长问题）是研究草量变化与牛吃草速度关系的经典应用题，由牛顿提出，因此得名。

这类问题需要考虑草的生长速度刃牛的消耗速度。

2、核心要素：

初始草量：草地原有的草量（固定值）

草狗生长速度：每天/每周新长出的草量

牛的吃草速度：每头牛单位时间的吃草量

二、基本公式

I.草量平衡公式

总消耗=初始草量+生长量

即：牛数X时间X单位消耗=初始草量+生长速度X时间

2.解题公式

设：草地初始草量为G

草的生长速度为每天x份

每头牛每天吃I份草

对于m头牛吃n天：

G+xxn=mxn

三、四大经典题型

题型1：基础牛吃草

例迎：一片草地，10头牛20天吃完，15头牛10天吃完。问25头牛几天吃完？

解答：设初始草量G,每天长x

①G+20x=10x20=200

②G+10x=15x10=150

①•②得：10x=50.x=5

代入①：G=100

25头牛时:

100+5t=25t—>t=5天

题型2：草量减少

例题：由于干旱，草地每天均匀减少。20头牛5天吃完，15头牛6天吃完。问11头牛几天吃完？

解答：设初始草量G,每天减少x

①G-5x=20x5=100

@G-6x=15x6=90

①-②得：x=10

代入①：G=150

11头牛时：

150-10t=111—>t^7.14天

题型3：多块草地

例题：三块相同草地，第一块1()头牛20天吃完，第二块15头牛10天吃完，第三块25头牛多少天吃完？

解答：

(解法同题型I，答案为5天)

题型4：变化吃草量

例题：草地每天匀速生长。若放25头牛，6天吃完；若放20头牛，10天吃完。如果放15头牛，其中有5

头每天吃草量是其他的2倍，几天吃完？

解答：先求常规解：

①G+6x=25x6=150

②G+10x=20x10=200

解得：x=12.5,G=75

15头牛中：

10头正常，5头吃双倍一相当于10+5x2=20头

75+12.5t=20t->t=10天

四、解题四步法

步骤1：设定变量

设初始草量G和草的生长/消耗速度x

步骤2：建立方程

根据不同牛数天数组合建立方程

步骤3：解方程组

求出G和x的值

步骤4：求解问题

代入目标牛数计算时间

五、易错点与技巧

I、常见错误

忽略草的生长：忘记考虑草量变化

单位不统一：时间单位不一致

变量设定错误：混淆生长与消耗速度

复杂条件处理不当：如牛吃草效率不同

2、解题技巧

表格法：

牛数天数总消耗方程

1020200G+20x=200

1510150G+10x=150

标淮化假设：设每头牛每天吃1份草

特殊值法：当草不生长时x=0

验证法：计算后代入验证

【第二部分：能力提升】

1.某车站在检票前若干分钟就开始排队，设每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的

队伍消失，若同时开8个检票口需60分钟；同时开10个检票口需30分钟。为了使15分钟检票队

伍消失，需要开多少个检票口？

2.商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男

孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的

扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？

3.有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快。第

一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，那么第三块草地可供多少头牛吃

80天?

13.有一牧场，牧草每天匀速生长，可供9头牛吃12天；可供8头牛吃16天。现在开始只有4

头牛吃，从第7天开始乂增加了若干头牛，再用6天吃光了所有的草，问增加了多少头牛？

14.有一片牧场，草每天都在均匀地生长，如果放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果放养21

头牛，那么8天就把草吃完了。请问：

(1)要使得草永远吃不完，那么最多放养多少头牛？

(2)放养多少头牛，12天才能把草吃完？

15.有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在从我做匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20

天，或可供15头牛吃1()天。另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都印为正与第

一块牧场相同，这片牧场可供乃头牛吃多少天？

16.两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底.白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是

不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米.黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相

同的.结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛哈好用6个昼夜到达井底.那么，井深

多少米？

17.画展9时开门，但早有人来排队等候入场了，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一

样多，如果开3个入场口，9：09就不再有人排队，如果开5个入场口，9：()5就没有人排队，那么

第一个观众到达的时间是8点多少分？

18.甲、乙、丙三个仓库各存放着数量相同的面粉，甲仓库用1台皮带输送机和12个工人，5小时

可将仓库早的面粉搬运完.乙仓库用1台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内的面粉搬运

完，丙合库现有2台皮带输送机。如果每个工人每小时的工效相同，每台皮带输送机每小时的工效

也相同、皮带输送机与工人一起往外搬运面粉，那么如果需要在2小时内把丙仓库内的面粉搬运

完，至少还需要多少个工人？

19.一堆草，可以供3头牛和4只羊吃14天，或者供4头牛和15只羊吃7天，将这堆草供给6头

牛和7只羊吃，可以吃多少天？

20.有三块草地，面积分别为5公顷、6公顷、8公顷，草地上的草一样厚，而且生长速度一样

快。第一块草地可供n头牛吃io天，第二块草地可供2头牛吃14天，问第三块草地可供19

头牛吃多少天？

21.(牛吃草问题)火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后，每分钟有

15人前来排队检票，一个检票口每分钟能让3()人检票进站。如果只有一个检票口，检票开始后

6分钟就没有人排队了，如果有两个检票口，那么检票开始后，多少分钟就没有人排队了？

22.有三个牧场，大小分别是3亩、6亩、15亩，每个牧场的草都匀速生长。若在第一个牧场中放

入20头牛，10天能把牧草吃完若在第二个牧场中放入30头牛，20天能把牧草吃完。现在第三个牧

场的草被50天吃完，问放了几头牛？

23.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果同时开放3个检票

口，那么40分钟检票口队伍恰好消失；如果同时开放4个检帮口，那么25分钟队伍恰好消失；如

果开设8个票口，那么队伍多少分种恰好消失？

24.一牧场，草地上的青草每天都匀速生长这片背草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天.现

有一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原有多少头？

25.某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入场口每分钟可

以进来10个游客.如果开放4个入场口，2()分钟就没有人排队。现在开放6个入口，那么开门后多

少分钟后就没有人排队？

26.第1、2、3号牧场的面积依次为3、5、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，而且长得一样

快。有两群牛，第一群牛2天将1号牧场的草吃完，又用5天将2号牧场的草吃完。在这7天内，

第二群牛刚好将3号牧场的草吃完。如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？

27.小明家有20个鸡蛋，还养/一只一大能卜1个鸡蛋的老母鸡。如果他家每大吃3个鸡蛋，小明

家的鸡蛋能连续吃多少天？

28.()8年5月12日我国四川汶川发生里氏8.()级大地震，唐家山堰塞湖边一洼地受山体滑坡影响，

湖水不断涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台

抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要几台抽水机？

29.一片牧场，每天草生长的速度相同，这片牧场可供15头牛吃30天，或者可供80只羊吃15

天，如果4只羊的吃草量相当于1头牛的吃草量。那么10头牛和30只羊一起吃这片牧场上的草，

可以吃多少天？

30.有三块草地，面积分别是5,15,24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可

供1()头牛吃3()天,第二块草地可供28头牛吃45天，第三块草地可供多少头牛吃8()天？

31.(牛吃草问题)有一池泉水，泉底不断涌出泉水，且每小时涌出的泉水一样多，如果用8部大

抽水机10小时能把全池泉水抽干，如果用36部小抽水机6小时也能把水抽干。如果1部大抽水机

的抽水量等于3部小抽水机的抽水量，那么用8部大抽水机和18部小抽水机多少小时能把全池水抽

干？

32.(牛吃草问题)春运高峰，售票窗口早早地排好了队，陆续还有人均匀地来购票。假如开设5

个售票窗口，3()分钟可缓解排队现象，如果开设6个售票窗口，那么20分钟就能缓解排队现

象。现在要求10分钟缓解排队现象。问：应该开设几个售票窗口？

33.牧场上一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周.如果牧草每周匀速生长，可供

21头牛吃几周？

34.王东和王松家各有一块草地，草长得一样密一样快，王东家草地面积是王松家草地面积的3

倍。王松家草地可供10头牛吃10天，王东家草地可供20头牛吃18天。如果两家一起放养16头

牛这两块草地可供吃多少天？

35.春运高峰，售票窗口早早地排好了队，陆续还有人均匀的来购票，假如开设5个售票窗口，30

分钟可缓解排队现象，如果开设6个售票窗口，那么20分钟才能缓解排队现象。现在要求10分钟

缓解排队现象。问：应该开设几个售票窗口？

36.一片牧场上长满牧草。牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供21头牛吃8天，或者供18头牛

吃12天。为防止沙漠化，要让草永远不被吃完最多可以放养多少头牛？

37.有一片牧场，草每天都在均匀地生长，如果放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果放养21

头牛，那么8天就把草吃完了。

（1）要使得草永远吃不完，那么最多放养多少头牛？

（2）放养多少头牛，12天才能把草吃完？

38.（牛吃草问题）某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后每分钟有10

人前来排队，一个检票口每分伊能让25人检票进站，如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没

有人排队；如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人开始排队？

39.（牛吃草问题）如下图，有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高的三等分点处分别有两个排水

孔A和B,它们排水时的速度相同且保持不变。现在以一定的速度从上面往水箱注水。如果打开A

孔、关闭B孔，经过2（）分钟可将水箱注满；如果关闭A孔；打开B孔，经过22分钟可将水箱注满，

如果两个孔都打开，那么注满水箱的时间是多少分钟？

40.某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的.一个入口每分钟可以进

入10个游客，如果开放4个入口，20分钟就没有人排队，现在开放6个入口，那么开门后多少分钟

就没有人排队？

41.某游乐场在开门前有540人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的，如果开放2个入场

口，1小时就没有人排队了，如果开放5个入场口，20分钟就没有人排队了，若要5分钟后就没有

排队的人，至少需要开放多少个入场口？

42.（牛吃草问遨）科学家发现地球每年都会新生成一定数量的资源，旦这些新生资源的数量每年：都

是恒定的，若人口数量过大，每年消耗的资源过多，资源经有耗尽的一天。经测算，当世界人口数

量为90亿时，地球上的资源可供人类生活300年。当址界人口数量为100亿时，地球上的资源

可供人类生活100年，若要使人类在地球上能够持缚不断地生活和发展下去，地球人口最多为多少

亿人？

43.画展9点开门，但早有人排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样

多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个检票口，9点5分就没有人排队。那

么第一个观众到达时间是8点多少分？

44.草地里的木桩.上拴着一头牛，绳子的长度是5米.这头牛最多能吃到多少平方米的草？当这头

牛最大限度走出一圈时，它走了多少米？

45.商场的自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，兄妹两人乘自动扶梯上楼，哥哥每分钟走20

级，妹妹每分钟走15级，结果哥哥5分钟到达楼上，妹妹6分钟到达楼上，问该自动扶梯

有多少级可见扶梯？

46.甲、乙、内三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小

时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙

仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉殁完，同时还要多少个工人？(每个工

人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面

粉)

47.(牛吃草问题)有一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管，开始

进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水，池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使

池内的水全部排光，如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光，而若仅打开3根

出水管，则需要18小时，如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？

48.画展8：3()开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，

如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个

观众到达的时间。

49.一片草地每天长的新草一样多，羊和兔子的吃草量之和正好是牛的吃草量。如果草地放牧牛和

羊，可吃45天；如果放牧牛和兔子，可吃60天；如果放牧羊和兔子，可吃90天。若草地同时放牧

牛、羊、兔子，可吃多少天？

50.一牧场，草地上的青草每天都匀速生长.这片青草可供17头牛吃3()天，或供19头牛吃24天。

现有一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原有多少头?

参考答案及试题解析

1.解：假设每分钟每个检票口险票人数为1份。

(8x60-30x10)4-(60-30)

=(480-300)4-30

=1804-30

=6

开始检票前排队的人数：

8x60-60x6

=480-360

=120

检票口：

(15x6+120)X5

=(90+120)4-15

=2104-15

二14(个)

答：需要开14个检票口。

【解析】设1个检票口1分钟检票的人数为1份，根据题目信息，8个检票口60分钟和10个检票口

30分钟能够清空队伍，在60-30=30分钟内，新增的旅客量为860-1030=480-300=180份，因此每分

钟新来的旅客数量为180:30=6份。由于每分钟有6份新旅客加入队伍，而8个检票口在60分钟内

总共处理了48()份旅客，所以原有旅客数量为(86()-66())=48()-36()=120份。如果要在15分钟内消除队

伍，那么在15分钟内需要处理的旅客总量为原有旅客加上新增旅客，即120+15x6=210份，然后再

除以15分钟，即可求出需要开多少个检票口。

2.解：当电梯静止时，无论是由下往上，还是由上往下，两个孩子走的阶数都是电梯的可见阶

数.当电梯运行时，女孩所走的阶数与电梯同时间内所走的阶数之和等于电梯可见阶数，男孩所走

的价数与电梯同时间内所走的阶数之差也等于也梯可见阶数。

因为男孩的速度是女孩速度的2倍，所以男孩走80阶到达楼下与女孩走40阶到达楼上所用时间相

同，则在这段时间内，电梯所走的阶数也相同。有：

40+电梯走的阶数=80-电梯走的阶数，

可得电梯走的阶数为(80-40)4-2=20(阶)，所以电梯可见阶数为40+20=60(阶)。

答：如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有60

级。

【解析】下楼的电梯可见阶数=人走的阶数+电梯运行速度X下楼时间

上楼的电梯可见阶数=人走的阶数-电梯运行速度X上楼时间

根据上下楼的阶数和上下楼的速度求出上下楼的时间比，即可列方程求解

3.解：设每头牛每天的吃草量为1份。

因为第一块草地5公顷可供10头牛吃30天，因此1公顷草地30天提供：10x30-5=601份）；

第二块草地15公顷可供28头牛吃45天，因此1公顷草地45天提供：28x45X5=84（份）；

所以1公顷草地每天新生长草量：（84—60）+（45-30）=1.6（份）；

I公顷草地原有草量:60-1.6x30=12（份）；

24公顷草地每天新生长草量：1.6x24=38.4（份）；

24公顷草地原有草量：12x24=288（份）；

24公顷草地80天可提供草量为：288+38.4x80=3360（份）；

所以共需要牛的头数是：3360-80=42（头）

答：第三块24公顷的草地可供42头牛吃80大。

【解析】把每头牛每天吃的草看作1份，因为第一块草地5亩面积原有草量+5亩面积30天长的草

=10x30=300份，所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300-5=60份：

因为第二块草地15亩面积原有草量+15亩面积45天长的草=28x45=1260（份），所以每亩面积原有

草帚和每亩面积45天长的草是1260X5=84（份），所以45-30=15天，每亩面积长84-60=24

（份）；则每亩面积每天长24引5=1.6（份）。所以，每亩原有草量60-30x1.6=12（份）,第三块地

面积是24亩，所以每天要长1.6x24=38.4（份），原有草就有24x12=288（份），新生长的每天就要

用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288,80=3.6

（头）牛所以，一共需要38.4+3.6=42（头）牛来吃。

4.解：计算四个入口20分钟共进入的人数：

10x4x20=800

计算每分钟来的人数：

吗押=20人

设开6个口x分钟后没人排队，

10x6xx=400+20%

解这个方程x=10

答：开门10分钟就没人排队。

【解析】首先，需要计算出四个入口20分钟内共讲入的人数，这可以通过将入口数量、每分钟讲入

的人数以及时间相乘得到。接着，可以通过减去开门前已排队的人数，再除以时间，来计算出每分

钟来的人数。最后，设开6个口x分钟后没人排队，然后根据这个假设建立方程，并求解x的值，

从而得出开门后多少分钟就没有人排队的答案。

5.解：设一个入场口每分钟进的人数为1份。

（9x3-5x5）-r（9-5）=2^4=0.5

9x3-0.5x9=27-4.5=22.5

22.5=0.5=45（分）

8时-45分二7时15分

答：第一个观众到时是7时15分。

【解析】首先，假设每个入场口每分钟进入的观众为1份。然后，通过比较升不同数量入场口所需

时间，可以算出每分钟来排队的观众人数和最开始未开门之前排队的观众人数。最后，通过计算第

一个观众到达的时间，可以得出答案。

6.解：假设每头牛每大吃1份草。

21x8=168（份）

18x12=216（份）

每天新增草量：（216-168）;（12-8）=12（份）

原有草量：21x8-12x8=72（份）

原有草量;每天牛吃草量=可供养牛数量：72-12=6（头）

答：为防止沙漠化，要让草永远不被吃完，最多可以放养12头牛。

【解析】假设每头牛每天吃1份草。21头牛8天吃完，需要21x8=168份草；18头牛12天吃完，

需要18x12=216份草；两种情况每天新增的草量：（216-168）-（12-8）=12份：原有草量

为：21x8—12x8=72份；要让草永远不被吃完，每天不能吃掉比新生长的草多，所以最多可以放养

12头牛。

7.解：9：00-17：00是8个小时，9：00~14：00是5个小时。

（60-50）+8=1.25（万元/时）504-5=10（万元/时）

提款速度为：（10+1.25）*4-1）=11.25+3=3.75（万元/时）

存款速度为：3.75+1.25=5（万元/时）

（3.75x10-5^2）x8+50

=（37.5-2.5）x8+50

=35x8+50

=280+50

=330（万元）

答：9：00开始营业时需要准备现金330万元

【蟀析】找出正常情况下每小时的存款和提款量，然后根据这些量在不同的提款倍数和存款倍数情

况下，计算出银行开始营业时需要准备的现金量。

8.解：40x（2.5-1.5H5x2.5-8x1.5）=80（立方米）

2.5x（80x5-40）=900（立方米）

90i＞（80x13-40）=0.9（小时）

答：0.9小时可以把这池水抽完。

【解析】设一台抽水机一小时抽一份水，可以求出两次水量，根据水量之差和时间之差，求出每台

抽水机每小时抽水量；然后求出蓄水池的容积，这个很好求.利用某一次的水量去掉新增加的水量

乘所用时间即可，然后求出13台抽水机需要几小时抽完

9.解：井9小时的渗水量为：

1小时的渗水量为:

用甲抽水机单独抽:

H（20-45）*

=36（小时）；

答：用甲抽水机单独抽需36小时抽完.

【解析】把原来的水量看作单位“1”，甲抽水机每小时抽水装,乙抽水机每小时抽上；井9小时的渗

4UJL4

水量为:（田+务）x9・1=1

;1小时的渗水量为：g=9如果用甲抽水机单独抽，每小时相当于抽水：击一卷再根据工作

总量冶干的JL作效率二JL作时间，列式为：-喘一意）=36（小时），问题得解.

10.解：设水池中的水量为1,那么甲、乙、丙的排水速度分别为：：、/-L

则甲、乙、丙三管齐开的排水速度为：：+1+务=能

所需时间为：芋=学（小时）

答：需要学小时将满池水排空

【释析】根据题意分析，首先设水池中的水量为1,分别求出甲、乙、丙的排水速度、排水和注水速

度，再计算出三管齐开时的排水速度，用水量除以排水速度即为排完水的时间.

11.解：设每个入场口每分钟进的观众人数为1份。

每分钟来的观众人数为：

（4x50-6x30）.（50-30）

=（200-180）+20

=20・20

=1（份）

原来排队的观众人数为：

4x50-50x1=150（份）

如果要使队伍25分钟消失，需要同时开几个入场口：

（150+25x1）+25

=1754-25

=7（个）

答：如果要使队伍25分钟消失，需要同时开7个入场口。

【解析】先设每个入场口每分钟进的观众人数为I份，这样可以根据题目的已知条件求出每分钟来

的观众人数，再求出原来排队的观众人数。最后即可求出如果要在25分钟消除队伍需要同时开的入

场口数。

12.解：设每分钟新增加的旅客为x人，检票的速度为每个检票口每分钟检y人，5分钟内检票完毕

需同时开放n个检票口，

'a+30x=30①

贝ij]a+10x=2x10y②

,a+5x<nx5y③

②x3-①得2a=30y,y=*

把④代入①，得无=为⑤

把④，⑤代入③得、+髀解得晚3.5,n取最小的整数，n=4

答：至少需同时开放4个检票口。

【解析】设旅客增加速度为口人/分，检票的速度为匚人/分，至少要同时开放□个检票口，根据题目描

述，我们可以得到两个方程：

若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕，得到方程：

-1+30-1=30

若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕，得到方程：

□+10J=2xl0D

解方程，求出x和y的值，如果要在5分钟内将排队等候检票的乘客全部检票完毕，则需要满足

□+5^<5DD,将口、口的值代入，得到：

a+统解不等式，求必应3.5,由于检票口数量必须为整数，因此□取最小正整数，即

OD

■=4o

13.解：设每头牛每天吃一份的草，

草的生长速度为：

(16x8-12x9).(16-12)

=(128-108)X

=20・4

二5份

原有草的份数为：

12x9-5x12

=108-60

二48份

4头牛前6天一共吃了：4x6=24份

还剩下48+5x6-24=54份

增加牛的头数是：

(54+5x6)4-6-4

=84:6-4

=14-4

=10（头）

答；增加了10头牛。

【解析】设每头牛每天吃一份的草，根据“可供9头牛吃12天，可供8头牛吃16天”，草的生长速度

为：（16x8-12x9）;（16-12）=5份，原有草的份数为：12x9-5x12=48份，4头牛前6天-一共吃了：

4x6=24份，还剩下48+5x6-24=54份，后六天一共吃的草的份数为：54+5x6=84份，6天吃完所有草

需要牛的头数是：84+6=14（头），所以增加了14-4=10头牛.

14.（1）解：设每头牛每天吃x,草每天长y,

16（24%-y）=1

（8（21%-y）=1

1

x=TO

解得｛7

[y=6

1克=12（头）

答：要使得草永远吃不完，那么最多放养12头牛。

⑵解：=l

»克=18（头）

答：放养18头牛，12天才能把草吃完。

【辞析】设原有草为1,每头牛每天吃x,草每天长y,根据题意，（24头牛每天吃的草-每天长的

草）、6天=原有草，（21头牛每天吃的草-每天长的草）><8天=原有草，据此列出方程求解，要使得

草永远吃不完，只需每天长草数二牛吃草数即可，用每天长草数?每头牛吃草数；12天把草吃完，则

每天吃草量为焉+e=/每天吃草量：每头牛每天吃草数即为需要多少牛。

15.解：设每头牛每天吃草1份，根据分析可得，

草每天生长的份数：

（20x10-15x10）（20-10）

=50+10

=5（份）

牧场原有的草的份数：

（10-5）x20

=5x20

=100（份）

3600平方米的牧场每天生长的草的份数：

5x（360。口200）=15（份）

3600平方米的牧场原有草的份数：

I00x（3600-1200）=300（份）

75头牛吃草的天数：

30g（75-15）

=300-60

二5（天）

答：3600平方米的牧场可供75头牛吃5天。

【解析】设每头牛每天吃草1份，根据“10头牛吃2（）天，或可供15头牛吃1（）天”可以求出草每天生

长的份数:（20x10-15x10）（20-10）=5（份）；再根据“10头牛吃20天”,可以求出牧场原有的

草的份数：（10-5）x20=100（份），由于另一块牧场的面积是第一块牧场的3倍，草也是一样每天

匀速生长，所以，另一块牧场每天生长的草的份数是：5x3=15（份），原有草的份数是：100x3=300

（份），75头牛每天吃草的份数是：75份，将这75头牛分成两组，一组的15头牛吃每天生长的

草，另一组的60头牛吃原有的草，可以求出：300-60=5（大）；据此解答。

16.解：（20x5-15x6+20）x5,

=30x5,

=150（分米）

=15（米）.

答：井深15米.

【解析】一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，白天爬；20x5=100（分米）；另一只蜗牛恰好用6个

昼夜到达井底，白天爬：15x6=90（分米）.黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的.说

明，每夜下滑：100-9010（分米）.那么井深就是：（104-20）x5=150（分米）=15（米），

或:（15+10）x6=150（分米）=15（米）.

17.解:（9x3-5x5）4-（9-5）

二（27-25）—4

=2：4

全

3x9-1x9=27-41=221

2却=45（分）

9时・45分=8时15分

答：第一个观众到达的时间是8时15分。

【解析】这是“牛吃草”问题，关键利用前两次开口不同过人的差除以时间得到来人的速度，然后利用

速度解决问题.

18.解：28个工人3小时工作量：28x3=84（份），

12个工人5小时工作量：12x5=60（份），

1台皮带输送机5小时比3小时多做的工作量：84-60=24（份），

1台皮带输送机1小时工作量：24；（5-3）=12（份），

仓库面粉总量：28x3+12x3=120（份），

2台皮带输送机2小时工作量：12x2x2=48（份），

剩余面粉：120-48=72（份），

72+2=36（个）

答：至少还需要36个工人.

【解析】由于面粉总量相同，目机器效率相同，所以28个工人3小时工作量减去12个工人5小时

工作量即为1台皮带输送机5小时比3小时多做的工作量，求出I台皮带输送机I小时工作量，再

求出仓库面粉总量，减去2台皮带输送机2小时工作量，再除以2小时即为至少需要的工人。

19.解：因为，1头牛与3.5只羊吃的一样多，

所以这堆草可以供4头牛和15只羊吃7天，

就是说它可以供几只羊吃7天：

3.5x4+15

=14+15

二29（只），

而6头牛和7只羊相当于羊的只数：

3.5X6+7

=21+7

=28（只），

那么这堆草可供它们吃：

29x7+28

=203:28

=7.25（天），

答：这堆草供给6头牛和7只羊吃，可以吃7.25天。

【蟀析】根据这堆草可以供4头牛和15只羊吃7天，说明可以供2头牛和7.5只羊吃14天，就是

说“2头牛和7.5只羊”与”3头牛和4只羊”吃的一样多，说明1头牛与3.5只羊吃的一样多，这堆草可

以供4头牛和15只羊吃7天，就是说它可以供（3.5x4115）只羊吃7天，而6头牛和7只羊相当于

（3.5X6+7）只羊，那么这堆草可供它们吃的天数即可求出。

20.解：因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120:5=24,

所以120公顷草地可供11x24=264（头）牛吃10天，

因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120-6:20,

所以120公顷草地可供12x20=240（头）牛吃14天.

又因为120+8=15,

问题变为：120公顷草地可供19x15=285（头）牛吃几天？

因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：

“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几

天？”

设1头牛1天吃的草为1份，每天新长出的草有：

（240x14-264x10）.（14-10）=180（份）,

草地原有草（264-180）x10=840（份），可供285头牛吃；

因为1头牛1天吃的草为1份，

所以8404-（285-180）=8（天）

答：第三块草地可供19头牛吃8天。

【解析】根据题意先将三块草地的面积统一起来，变为典型的牛吃草的基本类型的题目，只要求出

每天新长出的草以及草地原有草，就可以求出答案.

21.解：原有人数：

30x6-15x6

=180-90

=90（人）

90（30x2-15）

=90-45

=2（分钟）

答：如果同时开放2个检票口，那么检票开始后2分钟就没有人排队。

【解析】在开始检票前排队等候的人数为：30x6-15x6=9（）（人），2个检票口每分钟能让30x2=60

（人）入内，由于检票开始后每分钟有15人前来排队检票，所以就相当于2个检票口每分钟能让

6045人入内，那么没有人排队的时间为：90+（60-15）=21分钟）。

22.解：先把条件里的亩看为一：2。：3=冬（头），3（H6=5（头）；

设每头牛每天吃“1”份草；

每亩每天的长草量：（5x20-攀＜10）-（20-10）

邛（份）;

每亩的原有草量为：^xl0-^x10

_200100

瞿（份）;

15亩的原有草量：15x挈=500（份）；

15亩每口长草量为：15x用50（份）；

50天吃完放的牛头数：500-50+50

=10+50

=60（头）.

答：现在第三个牧场的草50天被吃完，放了60头牛.

【解析】先把条件里的亩看为一：20・3=空头，30：6=5头；设每头牛每天吃“1”份草，每亩每天的长

草量（5x20^x10）-（20-10）=苧份；每亩的原有草量为至xlO-^xlO邛份；15亩的原有草量：

15x衅=500份；15亩每日长草量为15x毕50份；根据公式：吃的天数=原有草量♦（牛头数-每日

长草量）可得牛头数=原有草量:吃的天数+每日长草量，据此解答.

23.解：设1个检票口1分钟检票的人数为1份。

每分钟新来旅客：

（3x40-4x25）4-（40-25）

=（120-100）川5

=20^15

V（份）

40分钟前原有旅客：

3x40-当＜40

=缪（份）

开设8个检票口，需要的时间是：

200.z»4、

丁「（8-4）

_200.20

一丁丁

=10（分）

答：如果同时开放8个检票口，那么队伍10分钟恰好消失。

【辞析】设1个检票口1分钟检票的人数为I份。因为3个检票口40分钟通过（3x40）份，4个检

票口25分钟通过了（4x25）份，说明在（40—25）分钟内新来旅客（3x40—4x25）份，所以每分钟

新来旅客是：（3x40—4x25）-（40-25）=1（份）。40分钟前原有旅客是：3'40—和0=缪

（份）°同时开放8个检票口，那么队伍消失的时间是：呼+（8&）=挈哼=10（分）如果开

设8个检票口，那么队伍10分钟恰好消失。

24.解：设一头牛一天吃一份草。

（17x30-19x24）:（30-24）

=（510-456）^6

=54+6

二9（份）

1788（份）

8x30=240（份）

240+（6+2）x9+4x2

=240+72+8

=320（份）

321H（6+2）=40（头）

答：这群牛原有40头。

【解析】设一头牛一天吃一份草，则草每天长（17x30-19x24）-（30-24）=9（份）；17头牛吃草时，草地上

的草每天减少17・9=8（份）,30天吃完，则草地上原有草8x30=240（份）；如果不卖4头牛,这些牛8

天一共可以吃240+（6+2）x9+4x2=320（份），再用这些牛吃的总份数除以吃的天数接即可求出原有的牛

的头数。

25.解：4个入场口20分钟进入的人数是：

10x4x20=800（人），

800-400=400（人），

4004-20=20（人），

设开6个入场x分钟后没有人排队，由题意列方程得

IOx6xx=4OO+2Ox

解得x=10

答：开放6个入场口10分钟后就没有人排队。

【释析】根据“开放4个入场口，2（）分钟就没有人排队”，可以求出4个入场口2（）分钟进入的人数，

用4个入场口20分钟进入的人数-400人=20分钟来的人数，用20分钟来的人数除以20即可求出每

分钟来的人数；然后设开6个入场x分钟后没有人排队，根据总入场人数=排队人数+x分钟来的人

数列方程求解即可。

26.解：设一头牛一天吃的草量为1份，

25x2=50（份），这50份中包拈原有的草和2大生长的草，

15x5=75（份），这75份中包括原有的草和7天生长的草，

5公顷草地上草的生长速度为每天（75-50）：（7-2）=5（份），

5公顷草地上原有草总量为50-5x2=40（份），

于是第三片牧场上草的生长速度为每天"5x7=7（份），

原有草总量为4095x7=56（份），

那么要7天把第三片草地吃完，共需要吃

56+7x7=105（份），

因此第二群牛共有105+7=15（头）；

答：因此第二群牛共有15头。

【解析】设一头牛一天吃的草量为1份，依题意，第一片牧场3公顷草地可供15头牛吃2天，因此

1公顷的草地可供5头牛吃2天，那么5公顷的草地可供25头牛吃2天，共吃了25x240份，这

50份中包括原有的草和2天生长的草，另一方面，由题目条件，第二片牧场5公顷草地生长2天后

可供15头牛吃5天，共吃了15x5=75份，这75份中包括原有的草和7天生长的草，因此，5公顷

草地上草的生长速度为每天（75-50）:（7-2）=5份，据此求出5公顷草地上原有草总量和第三片牧场上

草的生长速度，即可得到原有草总量为多少，那么要7天把第三片草地吃完，用除法即可。

27.解：204-（3-1）

=20^2

二1。（天）

答；小明家的鸡蛋能连续吃10天。

【解析】小明家每天吃3个鸡蛋，每天下的1个鸡蛋不够，需要从原来的20个鸡蛋里头补2个，所

以小明家鸡蛋能吃的天数就二小明家里有鸡蛋的个数：（3-1）o

28.解：设需要x台抽水机，每分涌出的水量为a,每台抽水机每分抽水为b,未抽水以前有水c。

（c+40a=40x2b,

+16a=16x4b

a=ib

解南160.

lc=­h

1602

Qb+10x-^b<lOxxb,

JJ

解得x>6.

答：至少需要6台抽水机。

【蚱析】等量关系为：原有水量+后来增加的水量=若干抽水机在一定时间抽的水量；不等关系式

为：原有水量+后来I。分增加的水量〈I。分抽水机抽的水量.

29.解：设每只羊每天的吃草量为1份，则15头牛（相当于60只羊）30天的吃草量为60x30=

1800（份），

80x15=1200（份）.

（1800-1200）+（30-15）=40（份），

1800-40x30=600（份）.

110x44-30=70（份）

70-40=30（份），

600+30=20（天）.

答：可以吃20天.

【解析】根据已知条件将每只羊每天的吃草量设为1份，那么15头牛（相当于60只羊）30天的吃

草量为60x30=1800（份），80只羊15天的吃草量为80x15=1200（份），所以牧场每天新生

草量为（1800-1200）十（30-15）=40（份），牧场原有草量为1800-40x30=600（份）.10头

牛和30只羊每天共吃掉10x4+30=70（份）草，每天新长出40份，实际消耗原有草量70-40=30

（份），因此可以吃的天数为600+30=20（天）

30.解:设每头牛每天的吃草量为1份,则每亩30天的总草量为：10x30:5=60（份）；

每亩45天的总草量为:28x45-15=84（份）；

那么每亩每天的新生长草量为（84-60）-（45-30）=1.6（份）；

每亩原有草量为:60-1.6x30=12（份）；

那么20亩原有草量为；12x20=240(份)；

20亩80天新长草量为20x1.6x80=2560(份)；

20亩80天共有草量240+2560=2800(份)；

所以有2800+80=35(头).

答：第三块地可供35头牛吃80天.

【解析】这是一道比较复杂的牛吃草问题.把每头牛每天吃的草看作1份，因为第一块草地5亩面

积原有草量+5亩面积30天长的草=10x30=300份，所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草

是300：5=60份；因为第二块草地15亩面积原有草量+15亩面积45天长的草=28x45=1260份，所

以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260川5=84份，所以45-30=15天，每亩面积长84-

60=24份；则每亩面积每天长24X5=1.6份.所以◊每亩原有草量60-30x1.6=12份，第三块地面积

是20亩，所以每天要长1.6x20=32份，原有草就有20x12=240份，新生长的每天就要用32头牛去

吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此240:80=3头牛所以，一共需

要32+3=35头牛来吃，

31.解：设1部大抽水机1小时的抽水量为“1”，

则1小时泉水涌出量为:(8x10-36^3x6)-r(10-6)=2。

原有泉水量为：8x10-2x10=60

8部大抽水机和18部小抽水机要抽:(相当于6部大抽水机)60-(8+18-3-2)=60-12=5(小时)

答：用8部大抽水机和18部小抽水机5小时能把全池水抽干

【解析】设每部抽水机每小时能抽水I份，如果1部大抽水机的抽水量等于3部小抽水机的抽水

量,所以36部小抽水机相当于36:3=12部大抽水机，每小时涌出的泉水量为：(8x10-36-3x6)-

(10-6)=2；泉中原有的水量为:8x10-2x10=60,18部小抽水机相当于18+3=6部大抽水机,所以8

部大抽水机和18部小抽水机相当于6+8=14部大抽水机，14部大抽水机拿出2部抽每小时涌出的2

份的泉水，剩下的12台抽井中原有的水量，所需时间：60-(8+1842)=60-12=5(小时)

32.解：设每道门每分钟来参观的人数为一份；

每道门每分钟增加的人数为：

(30x4-20x5).(30-20)

二20X0

=2(份)

每道门原有参观的人数：

30x4-2x30

=120-60

=60(份)

现在需要同时打开的门数：

(60+2x6)4-6

=72+6

=12(道)

答：如果要在6分钟不再有排队的现象，则需要同时打开12道门.

【解析】设每道门每分钟来参观的人数为一份；先根据“打开4道门让人们进馆参观，30分钟就不再

有排队的现象.打开5道门时:2()分钟就不再有排队的现象.”利用：份数差：时间差求出每道门每

分钟增加的人数；然后再求出每道门原有参观的人数，歹U式为30x4-2x30=60(份)；进而根据(每

道门原有参观的人数+6分钟增加的人数)♦时间，可以求出现在需要同时打开的门数：(60+2x6)

・6,解答即可.

33.解：假设1头牛吃草量为1份.

每周长出新草：(23x9-27x6)v(9-6),

=(207-162);3,

=15(份)，

原有草:27x6-15x6,

=162-90,

=72(份)，

假设有15头牛专吃新长出的草.

原白的草被吃完周数为：

72+(21-15),

=72:6,

=12(周)；

答：可供21头牛吃12周.

【解析】假设每头牛每周吃1份草，27头牛6周吃27x6=162份，23头牛9周吃23x9=207份，多吃

了207-162=45份，恰好是9-6=3周长的；每周就长45-3=15份，原来牧场有27x6-15x6=72

份，假设15头专吃新长出的草，那只要求出原先的草被剩下的牛几周吃完就可以了.

34.解：设1头牛1天吃1份草

(缴18/0x10)x(18-10)

=20:8

=2.5（份/天）

10x10-10x2.5

=100-25

=75（份）

75x3=225（份）

225+75=300（份）

20x3=7.5（份/每天）

7.5+2.5=10（份/天）

300-r（16-10）

=300-6

=50（天）

答：如果两家一起放养16头牛这两块草地可供吃50天。

【解析】王东家草地面积是王松家草地面积的3倍，可以看成是3块王松家草地，王东家草地可供

20头牛吃18天，也就是等头牛吃18天，这里按照分数计算是可以的，求出王松家草地的原草量和

草的增长速度，再求出两块草地的原草量和草的增长速度，最后考虑放养16头牛的情况。

35.解：设每个窗口每分钟来参观的人数为一份

每个窗口每分钟增加的人数为：

（30x4-20x5）（30-20）

=（120-100）-=-10

=20^-10

=2（份）

每个窗口原有参观的人数：

30x4-2x30

=120-60

=60（份）

现在需要同时打开的窗口数：

（60+2x6）4-6

=72+6

=12（个）

答：应该开设12个售票窗口。

【解析】设每个窗口每分钟来参观的人数为一份；先根据“打开4个窗口让人们进馆参观，30分钟就

不再有排队的现象，打开5个窗口时，20分钟就不再有排队的现象，”利用：份数差：时间差求出每

个窗口每分钟增加的人数；然后再求出每个窗口原有参观的人数，列式为30x4.2x30=60(份)；进

而根据(每个窗口原有参观的人数+6分钟增加的人数)：时间，可以求出现在需要同时打开的窗口

数：(60+2x6)-6,解答即可。

36.解：先设每头牛每天