江苏省某中学2024-2025学年高一年级下册4月检测数学试题

江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期4月检测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在VABC中，若AB=3,BC=4,C=3O。，则此三角形解的情况是（）

A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不

确定

2.若复数z=f-2i，则复数z的虚部是（）

A.-2B.2C.iD.i2

।tan50。

3.设°=$d50。，b=——-cos50°,c=,则"，b,c的大小关系为（）

cos5001+tan-50°

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.a<c<b

4.已知向量。=（-3,4）,5=（1,0）,向量不在向量5方向上的投影向量的模为（）

33

A.--B.-C.3D.-3

55

5.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分

为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜

求积”中提出了：已知三角形三边。,瓦。求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其

求法是：“以小斜塞并大斜哥减中斜募，余半之，自乘于上，以小斜哥乘大斜累减上，余四

约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：

S=；.即有VABC满足a:b:c=2:3:近，且VABC的面积

SAABC=66，请运用上述公式判断下列命题错误的是（）

A.VABC周长为10+24B.VABC三个内角满足2OA+3

C.VABC外接圆的直径为勺包D.VABC内切圆的半径为士叵

33

6.化简△——2cos20。所得的结果是

）

2tan20°

C.-D.2

2

7.如图，正方体ABCZ）-ABIGR的棱长为1，E,F,G分别为BC,CG，B⑻的中点，则

A.直线OR与直线A尸垂直

B.直线AG与平面4跖平行

C.平面A跖截正方体所得的截面面积为；

D.点C与点G到平面AE户的距离相等

8.在锐角VABC中，角A8,C所对的边分别为。eC,若'」+吸，贝I]--一二+2sinA

bcosBtanBtanA

二、多选题

9.若复数z在复平面内对应的点为Z,则下列说法正确的是（）

A.目=同

B.z.z=|z「

C.若z为纯虚数，则Z在虚轴上

D.若R|V3,则点Z的集合所构成的图形的面积为6兀

10.在正方体4BCD-ABC2中，点E是线段上的动点，若过A4，E三点的平面将正

方体截为两个部分，则所得截面的形状可能为（）

A.等边三角形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

11.已知向量4=（2,1）,b=（1,-1）,c={m-2,ri）,其中％。均为正数,且＜商一方）_1_量则

试卷第2页，共4页

下列说法正确的是()

A.苕与5的夹角为锐角B.向量苕在5上的投影向量为变B

2

C.m+2n=2D.机〃的最大值为1

三、填空题

12.cos25°cos160°+sin25°sin20°=.

13.已知2sin/7—cos分+2=0,sina=2sin(i+0,贝1Jtan(a+")=.

14.已知VA5C的外接圆半径为1,则丽•衣的最小值是.

四、解答题

4

15.已知角。和夕满足851+以)5分=-§.

(1)若尸=2a,求cosa的值：

JT

(2)若£=&+5，求sin2a的值.

16.如图，在正方体ABCD-ABGA中，若尸为棱B片的中点,

(1)判断平面QPC与平面ABCZ)是否相交.如果相交，在图1作出这两个平面的交线，并说

明理由；

(2汝口图2,求证：。瓦//平面尸AC.

17.在VABC中，已知/BAC=120。，BC=3不，。是VABC的外接圆圆心.

⑴求|砌;

(2)若VABC的面积为？叵，且AC>AB,求

2

18.在VABC中，角AB,C所对的边a,b,c,满足=ac且23=A+C.

⑴若b=2,求VA2C的面积;

求」一+」一

(2)的值.

tanAtanC

19.在凸四边形ABCD中，DC=2AD.

(1)若A,民C,£＞四点共圆，ZADC=^-,AC=/j,AB=BC+AD,求四边形A3C£＞的面积:

(2)^DA.LAB,ZADC=ZBCD,ZBDC=-,求一的值.

试卷第4页，共4页

《江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期4月检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BABCDBBDABCABD

题号11

答案AC

1.B

【分析】由BCsinC<AB<3C,根据作圆法结论可得结果.

【详解】•.•3CsinC=4sin3(r=2,.1BCsinCvABvBC,.〔AABC有两解.

故选：B.

2.A

【分析】由复数的乘方以及虚部的概念，可得答案.

【详解】由z=-l—2i,则其虚部为-2.

故选：A.

3.B

1tan<no

【分析】先对殷嬴赤一35。。化简可与"si/。。比较大小,再对帝化简与

“=Sil?50。比较大小，从而可得结论

1-cos250°sin250°

【详解】因为6=--——cos50°=0<cos500<l,

cos50°cos50°cos50°

所以。>sin250°=a，

tan50°sin50°cos50°

因为C==sin50°cos50°

1+tan250°sin250°+cos250°

因为sin50°>cos50°>0,所以sin250°>sin50°cos50°，

所以”>c,

所以c<a〈匕，

故选：B

4.C

【分析】求出落B，根据投影向量的概念求出向量苕在向量5方向上的投影向量，根据模的

计算公式，即可求得答案.

【详解】由题意知向量方=(一3,4),3=(1,0),则无石=一3

a-bb-3(1,0)/°八、

故向量a在向量5方向上的投影向量为WMp-1「=(-3，。),

答案第1页，共13页

故向量日在向量3方向上的投影向量的模为而豕=3,

故选：C

5.D

【分析】由题意设〃=2须6=3羽。=@",结合已知面积公式求〃、b、c,即知周长，再根据

正余弦定理求△ABC的cosC、外接圆半径、内切圆的半径.

【详解】对于A,由题意，设〃=2x,Z?=3x,c=

J1[28尤4_（瘟+7卜2―9与）,=66,则7277=124，

V42

x=2,故Q=4,Z?=6,C=2J7,则周长为10+2近，A正确.

〃2.1/2._「21口DTT

对于B,cosc=-0<C<7T,则C=工，故A+B=—=2C,B正确.

2ab233

对于C,；.sinC=在，若外接圆半径为R,贝|2R=」=勺包，C正确.

2sinC3

对于D,若内切圆半径为「，贝心”（10+2万）=66，即L-衣',口错误.

23

故选：D

6.B

【分析】先切化弦并整理得2cos2。。=®啜1'再结合

sin40。=sin（60°-20°）展开整理即可得答案.

os20°^COs2ff-os20-^cos20--4sin20cos20-

【详解】解:2c2c=

2tan2002sin20°2sin20°

6cos20。2sin40。_6cos20。一2sin（60。-20°）

2sin20°―2sin20°

^3cos20°—2卜in60°cos20°-cos60°sin20°）

—2sin200

_cos20°-cos20°+sin20°_sin20°_1

2sin20°2sin20°2

故选：B

【点睛】本题考查利用三角恒等变换求函数值，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的

关键在于先根据切化弦的方法整理得色--2cos20。=限os20,-2sin40。,再根据

2tan2002sin20°

答案第2页，共13页

sin40'=sin（60-20°）化简整理即可求解.

7.B

【分析】对A：假设尸，再根据D2//CG，推出NAFC=90。，再推出矛盾即可；

对B：延拓平面AE尸，再根据线线平行，即可推出线面平行；对C：根据B中所得截面，

再结合几何关系，求得截面面积即可；对D：判断所不过CG中点，即可判断选项的正误.

【详解】对A：假设尸，因为DR//CG，则CG_LAP,ZAFC=90°；

因为-AACQI为正方体，故CG-L面ABCD,又ACu面ABCD,CQ1AC,

ZACF=90°,

故/AFCH90。，假设不成立，即DR与AF不垂直，故A错误；

对B：连接A£>|,，F,GP,如下所示:

因为分别为8C,CC的中点，WEFHBG，又BC/AD\,敬AD\HEF,故A,R,瓦尸四

点共面；

易知四边形为平行四边形，故AG//2歹，又2尸U面AE/7,Afi^AEF,故

//ffiAEF,B正确；

对C：由B可知，平面AEF截正方体所得截面为梯形ARFE；

2

EF=（AD\T，AE=DlF=^D]C^+ClF==

乙乙VT■乙

故梯形ARFE的面积为

3723729

_____2_---x---=—

2Vk2)22J142448

答案第3页，共13页

故C错误；

对D：连接CG,G尸，记CGcEF=O,若下所示:

若点C与点G到平面但的距离相等，则EV过CG的中点，也即。为GC的中点；

显然四边形G3b为平行四边形，显然。不为GC的中点，故。不是GC中点，

则点C与点G到平面但的距离不相等，故D错误；

故选：B.

8.D

【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换可得A=23,结合三角形形状可得60。<A<90。,

将所求表达式化简并利用对勾函数性质计算可得结果.

q[n/A1-i-ccq4

【详解】依题意，由正弦定理可得二—二-------,BPsinAcosB=sinB+sinBcosA；

sinBcosB

所以sinAcosB—sinBcosA=sin(A-B)=sinB,

又因为VABC为锐角三角形，所以A—6=3,即A=25,

又0°<A=25<90。，且0°<C=180°—A—3=180°—33<90°,

可得30。<8<45°,60°<A<90°；

„,11c•,cosBcosA八.sinAcosB-cosAsinB_.,

易知-----------+2sinA=-----------------+2smA4=-------------------------------+2sinA

tanBtanAsinBsinAsinAsinB

sin(A-B)sinB1

=—------^+2sinA=--------------+2sinA=2sinA+-------；

sinAsinBsinAsinBsinA

显然sinAe,由对勾函数性质可知2sinA+f]在sinAe上单调递增，

所以可得高

2sinA+€hG君-*3a)-

7

故选：D

9.ABC

【分析】设2=4+历,(。€R6€曲得至1」z=a-M,(aeR,6eR),再逐项判断.

答案第4页，共13页

【详解】设z=a+bi,(a£R,b£R),z=^-Z?i,(6ZGR,Z?GR),

A.\z\=y/a2+b2,|z|=^2+（-Z?）2=y/a2+b2,则回=口，故正确；

2

B.z・z=（a+历）（a-历）=〃2+/,|z|=贝°z.z=|z『，故正确；

C.若z为纯虚数，贝”=历伍工。）则Z在虚轴上，故正确；

D.因为同43,所以点Z的集合所构成的图形是半径为3的圆，则面积为9兀，故错误；

故选：ABC

10.ABD

【分析】根据正方体的性质，通过直观形象即可得到正确答案.

【详解】当点E与2重合时，过A4，E三点的截面是等边三角形A正确；

当点E与。重合时，过三点的截面为矩形ABQQ,B正确；

若截面为菱形，则必有此时点E与2重合，故C错误；

当点E与。2中点重合时，记G2的中点为凡连接£己/世，

易用EF//DC、,由正方体性质可知，4。//耳^且4。=与6，所以四边形A4G。为平行四

边形，

所以。C"/A耳，所以E尸〃A4且跖=1A4，设正方体棱长为2,贝U

AE=37=，2?+12=#）,

所以过A综E三点的截面为等腰梯形AB/E,D正确.

故选：ABD

4FG

11.AC

【分析】对于A,根据数量积的符号分析向量夹角；对于B,根据投影向量的定义运算求解;

对于C,根据向量垂直运算求解即可；对于D,利用基本不等式运算求解即可.

答案第5页，共13页

【详解】对于A,因为万=(2,1),3=(1,-1),

所以£4=2x1-lxl=l>0,

又因为2x(-l)TxlwO,所以肩B不共线,

所以苕与5的夹角为锐角，故A正确;

a-br]一1一

对于向量苕在5上的投影向量为铲力=・b=—b故错误;

B,(M2B

对于C,因为商c={m-2,n),

若(日一方)_1_入贝!]1x(加一2)+2〃=0,BPm+2n=2,故C正确;

对于D,由C可知，m+2n=2,

所以机〃=L9]=-,当且仅当机=1,〃=工时，等号成立，

22(2J22

所以mn的最大值为g.故D错误.

故选：AC

12.

2

【分析】根据诱导公式及两角和的余弦公式求解即可.

【详解】cos25°cos160°+sin25°sin20°=cos25°•(-cos20°)+sin25°sin20°

=一(cos25°•cos20°-sin25°sin20°)=一cos(25°+20°)=-cos45°=~~~~•

故答案为：-也.

2

13.-/0.5

2

【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函数的商数关系计算即可

【详解】由题意可知sina=sin[(a+p)—£]=sin(a+/?)cosp—cos(a+/7)sinp

=2sin(a+0,

即sin(a+/?)(cos/_2)=cos(二+77)sin/7,

由题意可知cos(a+〃)w0,cos4一2w0,

答案第6页，共13页

故答案为：I

【点睛】方法点睛：三角恒等变换化简求值问题需要注意已知角与未知角的关系，利用合理

的配凑即可处理.本题已知夕及a与a+尸的关系，所以构造sina=sin((a+/?)-6)，利用整

体思想凑出未知式计算即可.

14.--/-0.5

2

【分析】根据题意利用正弦定理算出AB=2sinC,AC=2sinB,从而得到

ABAC=4cosAsinBsinC,利用三角恒等变换公式化简，可得

AB-AC=2cos2A+2cos(B-C)cosA>2cos2A+2cosA,进而利用二次函数的性质算出方.正的

最小值.

【详解】根据题意得福•亚=1画-I布IcosA,当A为钝角时，cosA<0,有福.亚<0,

因此，当初.恁取得最小值时，cosA<0,即A为钝角.

ARAC

若VABC的外接圆半径R=l,则]；=—：=2尺=2,可得AB=2sinC,AC=2sinB,

sinCsinB

J^cos（B-C）-cos（B+C）=cosBcosC+sinBsinC-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC,

所以AB-AC=4cosAsinBsinC=2cosA[cos（B-C）-cos（B+C）]

=2cosA[COS（B-C）+COSA]=2cos2A+2cos（B-C）cosA>2cos2A+2cosA,

因为y=2cos2A+2cosA=2cosA+—q,当cosA=-；时，y有最小值一7,

所以当cosA=-g且B=C时，即A=120。，B=C=30。时，福.正有最小值

故答案为：一3.

【点睛】关键点点睛：本题关键是由积化和差将4cosAsin3sinC变形为

2cosA[cos(B-C)-cos(B+C)],从而得到AB-AC=2cos2A+2cos(B-C)cosA>2cos2A+2cosA,

再结合二次函数的性质求出最小值.

1-5

15.(l)cosa=—或——

36

答案第7页，共13页

⑵奂

81

【分析】（1）禾I用二倍角的余弦公式求出2cos2a+cosc-：=0,求出cose的值；

（2）利用诱导公式得到cose-sina=-],平方后结合二倍角的正弦公式求出答案.

4

【详解】(1)因为尸=2a,cosa+cos/3=--,

4

所以cosa+cos2a=一§,可得cosa+gcos?a-1)9-

即2cos之a+cosi-』=0,解得851=」或一*.

936

TT4

(2)因为尸=a+1,故cosa+cos[a+"I'卜

99

可得cos6r—sincr=—,即(cosa—sincr)2=1,

cos26Z—2sincrcosa+sin2cr=1—sin=—,

81

故sin2o=l-3=生

8181

16.（1）解析见详解

（2）证明见详解

【分析】（1）根据基本事实2可作两个平面的交线.

（2）如图可证。尸/刀与，根据线面平行的判定定理证明.

【详解】（1）平面2PC与平面ABCD相交，

因为DDJ/BP,DD[=2BP,

所以。,民尸，四点共面，且os与〃尸不平行则必相交,

如图，连接。8、2尸并延长交于Q,连接C。，

则平面2PCQ平面ABCD=CQ.

答案第8页，共13页

(2)连接交AC与点。，连接。尸，

在△8瓦。中,点O,P分别是耳的中点，所以OP〃。片,

而OPu平面PAC,。百0平面PAC,

所以。耳〃平面PAC.

17.(1)721；

27

⑵了.

【分析】q)R0为外接圆半径，根据正弦定理即可求解；

(2)根据三角形面积和面积公式可求Afi.AC,再结合余弦定理和AOA8即可求出AC、AB

长度.设。是边BC的中点，连接AD,OD,根据:W•觉=(而+力可・交=而.万不即可求

解.

【详解】(1)在VABC中，|而|为三角形外接圆半径，

则由正弦定理得，2|AOl=———=^—=2四,

IIsin/BACsinl200

解得卜也1.

(2)在VABC中，由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC,

BP63=AB2+AC2+ABAC,①

答案第9页，共13页

由VABC的面积为2叵得，

2

-ABAC-smZBAC=—AB-AC=—,：.ABAC=18,②

242

联立①②及AC>AB,解得AB=3,AC=6.

设。是边BC的中点，连接

。是VABC的外接圆圆心，OD1BC.

AAO.BC=(A5+DO)BC=A5BC=^^.(AC-AB)=|(|AC|2-|AB|2

⑵空

3

7T

【分析】(1)根据三角形内角和求得2=：,代入三角形面积公式求解即可；

(2)先根据正弦定理得sinZgusinAsinC,再化切为弦，结合两角和正弦公式求解即可.

2B=A+C

【详解】(1)由解得8=方,

A+B+C=7i

由。2=〃c及人=2,得。。=4,

J_x4xsin4」x4x也3

所以S.c=-^csinB=

22322

(2)因为由正弦定理可得sin2jB=sinAsinC,

--1-1--1-=1----11----=-s-in-C-c-os-A-+-c-o-sC--si-nA-

所以tanAtanCsinAsinCsinAsinC

cosAcosC

_sin(A+O_sin(兀一R_sinB_sinB_1

sinAsinCsinAsinCsinAsinCsin2BsinB

答案第10页，共13页

11273

一.兀63，

Sin—

32

所以—砧.

tanAtanC3

19.（1）2君；

⑵船BL

【分析】（1）由四点共圆得到ZABC=7T,在AADC,NABC中分别利用余弦定理求出AD,

BC,即可得到。C和A8,再由面积公式求出&MC，S,入火即可;

（2）设NAZM=。，再在△BCD中利用正弦定理得出关于。的方程，再根据三角函数恒等

变换化简求解即可.

2兀

【详解】（1）因为A