2025威海中考数学试卷及答案

2025威海中考数学试卷及答案

一、单项选择题1.下列实数中，无理数是（）A.0B.-2C.$\sqrt{3}$D.$\frac{22}{7}$答案：C2.一元二次方程$x^{2}-4x+3=0$的根为（）A.$x=1$B.$x=3$C.$x_{1}=1,x_{2}=3$D.$x_{1}=-1,x_{2}=-3$答案：C3.函数$y=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$中，自变量$x$的取值范围是（）A.$x\gt2$B.$x\geq2$C.$x\lt2$D.$x\neq2$答案：A4.若点$A(-2,y_{1})$，$B(1,y_{2})$，$C(2,y_{3})$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\lt0)$的图象上，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系是（）A.$y_{1}\gty_{2}\gty_{3}$B.$y_{2}\gty_{1}\gty_{3}$C.$y_{1}\gty_{3}\gty_{2}$D.$y_{3}\gty_{2}\gty_{1}$答案：C5.一个圆锥的底面半径为$3$，高为$4$，则这个圆锥的侧面积是（）A.$15\pi$B.$12\pi$C.$24\pi$D.$30\pi$答案：A6.用配方法解一元二次方程$x^{2}-6x+4=0$时，配方正确的是（）A.$(x-3)^{2}=13$B.$(x-3)^{2}=5$C.$(x-6)^{2}=13$D.$(x-6)^{2}=5$答案：B7.已知$\odotO$的半径为$5$，圆心$O$到直线$l$的距离为$3$，则直线$l$与$\odotO$的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定答案：A8.化简$\frac{a^{2}}{a-1}-\frac{1}{a-1}$的结果是（）A.$a+1$B.$a-1$C.$a^{2}-1$D.$1$答案：A9.若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}x-a\gt0\\1-x\gtx-1\end{cases}$无解，则$a$的取值范围是（）A.$a\geq1$B.$a\gt1$C.$a\leq-1$D.$a\lt-1$答案：A10.如图，在矩形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，点$P$从点$A$出发，沿$A→B→C$的方向在$AB$和$BC$上运动，运动到点$C$停止，设点$P$运动的路程为$x$，$\triangleADP$的面积为$y$，则$y$与$x$之间的函数图象大致是（）答案：B二、多项选择题1.下列运算正确的是（）A.$a^{2}\cdota^{3}=a^{5}$B.$(a^{2})^{3}=a^{6}$C.$a^{6}\diva^{2}=a^{3}$D.$(ab)^{3}=a^{3}b^{3}$答案：ABD2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰三角形答案：ABC3.数据$2$，$3$，$4$，$4$，$5$，$5$，$5$的众数和中位数分别是（）A.$5$B.$4$C.$4.5$D.$3$答案：AB4.若二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.$a\lt0$B.$b\lt0$C.$c\gt0$D.$b^{2}-4ac\gt0$答案：ACD5.下列命题中，是真命题的有（）A.同位角相等B.三角形的内角和等于$180^{\circ}$C.平行四边形的对边相等D.对角线互相垂直的四边形是菱形答案：BC6.已知点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$在一次函数$y=kx+b(k\neq0)$的图象上，且$x_{1}\ltx_{2}$，$y_{1}\gty_{2}$，则下列结论正确的是（）A.$k\lt0$B.$k\gt0$C.当$x_{1}\ltx_{2}$时，$y$随$x$的增大而增大D.当$x_{1}\ltx_{2}$时，$y$随$x$的增大而减小答案：AD7.一个不透明的袋子中装有$3$个红球和$2$个绿球，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{2}$答案：A8.若分式方程$\frac{x}{x-3}-2=\frac{m}{x-3}$有增根，则$m$的值为（）A.$3$B.$0$C.$-3$D.以上都不对答案：A9.已知正多边形的一个外角为$36^{\circ}$，则该正多边形的边数为（）A.$10$B.$8$C.$6$D.$5$答案：A10.如图，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD=2$，$DB=3$，则下列结论正确的是（）A.$\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$B.$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$C.$\frac{\triangleADE的周长}{\triangleABC的周长}=\frac{2}{5}$D.$\frac{\triangleADE的面积}{\triangleABC的面积}=\frac{4}{25}$答案：CD三、判断题1.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。（√）2.若$a\gtb$，则$ac^{2}\gtbc^{2}$。（×）3.三角形的外角和是$360^{\circ}$。（√）4.对角线相等的四边形是矩形。（×）5.二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$。（√）6.相似三角形的面积比等于相似比。（×）7.一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。（√）8.半径为$R$，圆心角为$n^{\circ}$的扇形面积公式为$S=\frac{n\piR^{2}}{360}$。（√）9.若点$P(x,y)$在第二象限，则$x\lt0$，$y\gt0$。（√）10.方程$x^{2}+x+1=0$有两个不相等的实数根。（×）四、简答题1.计算：$\sqrt{12}-3\tan30^{\circ}+(π-4)^{0}-(\frac{1}{2})^{-1}$答案：先分别计算各项，$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}$，$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$3\tan30^{\circ}=3\times\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，任何非零数的$0$次方都是$1$，则$(π-4)^{0}=1$，一个数的负指数幂等于其正指数幂的倒数，$(\frac{1}{2})^{-1}=2$。原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+1-2=\sqrt{3}-1$。2.解不等式组：$\begin{cases}2x+1\gt-1\\3-x\geq1\end{cases}$答案：解不等式$2x+1\gt-1$，移项得$2x\gt-1-1$，即$2x\gt-2$，两边同时除以$2$，得$x\gt-1$。解不等式$3-x\geq1$，移项得$-x\geq1-3$，即$-x\geq-2$，两边同时除以$-1$，不等号变向，得$x\leq2$。所以不等式组的解集为$-1\ltx\leq2$。3.已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k=0$。（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若$\triangleABC$的两边$AB$，$AC$的长是这个方程的两个实数根，第三边$BC$的长为$5$，当$\triangleABC$是等腰三角形时，求$k$的值。答案：（1）计算判别式$\Delta=[-(2k+1)]^{2}-4(k^{2}+k)=4k^{2}+4k+1-4k^{2}-4k=1\gt0$，所以方程有两个不相等的实数根。（2）解方程得$x_{1}=k$，$x_{2}=k+1$。当$AB=AC$时，$k=k+1$，无解；当$AB=BC=5$时，$k=5$；当$AC=BC=5$时，$k+1=5$，解得$k=4$。所以$k$的值为$4$或$5$。4.如图，在平行四边形$ABCD$中，$E$是$BC$的中点，连接$AE$并延长交$DC$的延长线于点$F$。（1）求证：$AB=CF$；（2）连接$DE$，若$AD=2AB$，求证：$DE\perpAF$。答案：（1）因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB\parallelDF$，则$\angleBAE=\angleCFE$，$\angleABE=\angleFCE$，又因为$E$是$BC$中点，即$BE=CE$，所以$\triangleABE\cong\triangleFCE(AAS)$，所以$AB=CF$。（2）由（1）知$AB=CF$，又因为$AB=CD$，$AD=2AB$，所以$AD=DF$，因为$E$是$AF$中点，根据等腰三角形三线合一，所以$DE\perpAF$。五、讨论题1.在平面直角坐标系中，二次函数$y=x^{2}+bx+c$的图象经过点$A(0,-3)$，$B(1,0)$。（1）求这个二次函数的解析式；（2）在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象，并结合图象讨论当$y\gt0$时，$x$的取值范围。答案：（1）把$A(0,-3)$，$B(1,0)$代入$y=x^{2}+bx+c$，得$\begin{cases}c=-3\\1+b+c=0\end{cases}$，将$c=-3$代入$1+b+c=0$，得$1+b-3=0$，解得$b=2$，所以二次函数解析式为$y=x^{2}+2x-3$。（2）将$y=x^{2}+2x-3$化为顶点式$y=(x+1)^{2}-4$，对称轴为$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$，与$x$轴交点为$B(1,0)$和$(-3,0)$，与$y$轴交点为$A(0,-3)$。画出图象后，可看出当$y\gt0$时，$x\lt-3$或$x\gt1$。2.如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=6$，$BC=8$。点$P$从点$A$出发，沿$AC$边向点$C$以$1$个单位长度/秒的速度匀速运动；同时点$Q$从点$C$出发，沿$CB$边向点$B$以$2$个单位长度/秒的速度匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设运动时间为$t$秒（$0\ltt\leq4$）。（1）当$t$为何值时，$\trianglePCQ$的面积等于$8$？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻$t$，使得$\trianglePCQ$与$\triangleABC$相似？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由。答案：（1）已知$AP=t$，则$PC=6-t$，$CQ=2t$，根据三角形面积公式$S_{\trianglePCQ}=\frac{1}{2}PC\cdotCQ$，即$\frac{1}{2}(6-t)\times2t=8$，化简得$t^{2}-6t+8=0$，分解因式得$(t-2)(t-4)=0$，解得$t=2$或$t=4$。（2）若$\trianglePCQ\sim\triangleABC$，则有$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{BC}$或$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{AC}$。当$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{BC}$时，$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{8}$，解得$t=\frac{12}{7}$；当$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{AC}$时，$\frac{6-t}{8}=\frac{2t}{6}$，解得$t=\frac{18}{11}$。所以