3.1.3整式课件北师大版七年级数学上册

情境引入在前面的学习中，我们接触了很多代数式，比如：10x、a+b、x²+2xy+y²、3m-3n+2mn、1+x+x²+x³

等。这些代数式的构成有什么特点呢？今天我们就来对代数式进行分类研究，学习整式的相关知识。单项式的概念观察下列代数式：10x、25、a、-3ab、(1/2)x²y。它们有什么共同特点？这些代数式都是由数与字母的乘积组成的。像这样，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。注意：单独的一个数或一个字母也是单项式。例如：5、a都是单项式。单项式中不能含有加、减运算，也不能含有除号（数字与数字相除除外）。单项式的系数和次数系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如：10x的系数是10；-3ab的系数是-3；(1/2)x²y的系数是1/2；单独的一个数5的系数是5。注意：系数包括前面的符号。次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如：10x中x的指数是1，所以10x的次数是1；-3ab中a的指数是1，b的指数是1，所以-3ab的次数是1+1=2；(1/2)x²y中x的指数是2，y的指数是1，所以(1/2)x²y的次数是2+1=3。多项式的概念观察下列代数式：a+b、x²+2xy+y²、3m-3n+2mn、1+x+x²+x³。它们有什么共同特点？这些代数式都是由几个单项式相加组成的。像这样，几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。例如：在多项式x²+2xy+y²

中，x²、2xy、y²

是它的项，没有常数项；在多项式3m-3n+2mn+5中，3m、-3n、2mn、5是它的项，其中5是常数项。多项式的次数和项数次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。例如：在多项式x²+2xy+y²

中，各项的次数都是2，所以这个多项式的次数是2；在多项式3m³-3n+2mn中，3m³

的次数是3，-3n的次数是1，2mn的次数是2，次数最高的项是3m³，所以这个多项式的次数是3。项数：多项式中所含单项式的个数叫做多项式的项数。例如：多项式a+b有2项，是二项式；多项式x²+2xy+y²

有3项，是三项式。整式的概念单项式和多项式统称为整式。也就是说，整式包括单项式和多项式。判断一个代数式是否为整式，关键看它是否为单项式或多项式。例如：10x（单项式）、a+b（多项式）都是整式；而1/x、(x+1)/y不是整式，因为它们的分母中含有字母。例题讲解例1：指出下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式。(1)-5(2)a(3)3x+2y(4)x²-2x+1(5)1/x(6)(2a-b)/3解：单项式有(1)(2)；多项式有(3)(4)(6)；整式有(1)(2)(3)(4)(6)。解析：(5)的分母中含有字母，不是整式；(6)可以变形为(2/3)a-(1/3)b，是两个单项式的和，所以是多项式，也是整式。例2：指出下列单项式的系数和次数。(1)-4x²y(2)(3/5)ab³(3)-7解：(1)系数是-4，次数是2+1=3；(2)系数是3/5，次数是1+3=4；(3)系数是-7，次数是0（单独的一个非零数的次数是0）。例3：指出多项式3x³-2x²y+xy²-5y³

的项数、次数以及最高次项的系数。解：这个多项式有4项，分别是3x³、-2x²y、xy²、-5y³；各项的次数依次是3、3、3、3，所以这个多项式的次数是3；最高次项是3x³、-2x²y、xy²、-5y³，它们的系数分别是3、-2、1、-5。课堂练习下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？(1)2πr(2)x+y/3(3)-a²b(4)x²+2x-1(5)1/(x+y)(6)0分别指出下列单项式的系数和次数。(1)5a(2)-3x²y³(3)(1/2)mn(4)-8已知多项式2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被x²+x-2整除，求a、b的值。（提示：先将x²+x-2因式分解，再根据整除的性质求解）一个关于x的二次三项式，二次项系数是1，一次项系数是-2，常数项是3，这个多项式是多少？已知单项式-5x³yⁿ与5xᵐy⁴是同类项（关于同类项的概念将在后续学习），求m+n的值。易错点强调单项式的系数包括前面的符号，不要忽略符号。单独的一个非零数的次数是0，而不是1。多项式的次数是次数最高的项的次数，不是所有项的次数之和。判断一个代数式是否为整式，要看它是否为单项式或多项式，分母中含有字母的代数式不是整式。课堂小结什么是单项式？什么是多项式？什么是整式？由数与字母的积组成的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式。单项式的系数和次数分别指什么？单项式中的数字因数叫做系数；所有字母的指数的和叫做次数。多项式的项数、次数分别指什么？多项式中所含单项式的个数叫做项数；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。拓展思考多项式的次数与单项式的次数在定义上有什么联系和区别？2024北师大版数学七年级上册授课教师：

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3.1.3整式第三章

整式及其加减aiTujmiaNg1.

经历观察、分析、交流，概括出单项式、多项式、整式的概念，发展有条理的思考能力及语言表达能力。2.

通过交流研讨活动，培养学生主动与他人合作的意识。重点：掌握整式及多项式的有关概念。难点：准确判断多项式的次数。一个组合柜如图1所示，内部用隔板纵向分隔成5个独立的小柜子(如图2)，柜门由5个完全相同的长方形组成。(1)若要在5个柜门的周边都贴上装饰条，则所需装饰条的总长度是多少?aaaaab图1图25a+5a+6b(2)若要给柜门外表面喷漆，则需要喷漆的面积是多少(边框缝隙忽略不计)?(3)设柜子的进深为c(如图)，则整个柜子的容积是多少(柜门、隔板及背板的厚度忽略不计)?aaaaab图1图25ab5abc都是数与字母的_________。单项式、多项式与整式的识别1问题1：这些代数式有什么共同点？

5

ab

5

abc=8×ab

乘积

合作探究=5×abc

πr2=π×r2

6

p=6×p

知识要点

单项式由数与字母的乘积组成的代数式叫作单项式。例如：像

-b，a，

等是单项式。注意：像

，

，

等不是单项式。

为什么？单独一个数或一个字母也是单项式。0.8p

mn

a2h

-nv+2.5v

-

2.53x+5y+2zx2+2x+18100t单项式？探究：这些式子可以怎么分类？分别填入下面的框中。合作探究v+2.5v

-2.53x+5y+2zx2+2x+18问题2：这些式子有什么特点？v

2.5v

-2.53x

5y2zx22x

18都可以看作几个单项式的和。v

+(-2.5)总结多项式：几个单项式的

叫作多项式。和

多项式的概念：

单项式多项式整式单项式和多项式统称整式。整式：

定义总结单项式有：

；多项式有：

；整式有：

。典例精讲①②③⑤①②③⑤分析：⑤

，⑥整式的每一项都是数或字母的积，

是除法。例1

填序号：

①3、②

x+y、③

、④

、⑤

、⑥

。等式确定单项式、多项式的系数和次数2

问题3：单项式中的数字和字母各有何意义呢?a26系数次数__15=-ab系数定义：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数；所有字母的指数的和叫作单项式的次数。二次次数

对于单独一个非零的数，规定它的次数为0。做一做填表：单项式-1.5x4x2y3-y5xy2πx2y2πx系数-1.51次数4213-1153π32π1

总结当单项式系数为1或-1时，“1”通常省略不写.常数项1.每个单项式叫作多项式的项。次数：2.不含字母的项叫作常数项。4.次数最高项的次数，叫作这个多项式的次数。一次二项式名称：多项式的相关概念：

项数：12一次项3.每一项次数是几就叫作几次项。(最高次项)定义总结5.多项式没有系数，但它的每一项有系数，系数也包含符号。v

-2.5v

-2.5想一想：你能完成下面的表格吗？

多项式项常数项次数名称2a，

2b无1一次二项式－22二次二项式2a，－12b无1一次二项式无2二次二项式18a2

，4ab

总结一个多项式的最高次项可以不唯一。2a＋2bm2－22a－12b18a2＋4abm2，

－2例2

若多项式

x|a|+1y3

-(a

-1)x+x2

是五次三项式，求

a

的值。典例精讲解：由题意，得|a|+1+3=5，a

-1≠0，解得

a=±1，a≠1，所以

a=-1。分析：项的次数依次为

|a|+1+3，1，2；五次

→|a|+1+3=5；三项

→三项前的系数不为0→a

-1≠0.练一练2.(x+3)

ayb+ab2

-5是关于

a、b

的四次三项式，最高次项的系数为2，则

x=

，y=

。y+1=4x+3=2-131.关于

x、y

的多项式

-3kxy+3y

-8x+1(k

为常数)不含二次项，则

k=

。-3k=00请列出下列问题中的代数式，并指出其中：①哪些是单项式?单项式的系数和次数分别是多少?②哪些是多项式?多项式的次数是多少?尝试·思考(1)如图，一个十字形花坛铺满了草皮，这个花坛草地面积是多少?ab

-4c2多项式，次数是2次。(2)当水结冰时，其体积大约会比原来增加，xm3的水结成冰后体积是多少?(3)如图，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、高分别是a，b，c。这个箱子露在外面的表面积是多少？ab

+

ac

+

bc单项式，系数是

，次数是3次。多项式，次数是2次。(4)某件商品的成本价为a元，按成本价提高15%标价，后又以八折(即按标价的80%)销售，这件商品的售价为多少元？0.8(1+15%)a元多项式，次数是1次。1.用代数式表示：（1）f的11倍再加上2可以表示为_______;（2）一个数a的与这个数的和可以表示为_______；11f+2习题3.1（5）某班共有x个学生，其中女生人数占45%，那么男生人数是

。1.用代数式表示：（3）一个教室有2扇门和4扇窗户，n个这样的教室有_____扇门和_____扇窗户;（4）产量由mkg增长15％后，达到____________kg．4n2n(m+15%m)（1-45%）x

2.人体血液的质量占人体体重的7%~8%。(1)如果某人体重是akg，那么他的血液质量大约在什么范围内?(2)小亮体重是35kg，他的血液质量大约在什么范围内?(3)估计你自己的血液质量。解：(1)这个人的血液质量大约在6%akg到7.5%akg之间.(2)亮亮的血液质量大约在2.1kg到2.625kg之间.(3)略..3.物体由静止自由下落的高度h(单位:m)和下落时间t(单位:s)之间的关系，在地球上大约是h=4.9t2，在月球上大约是h=0.8t。(1)填写下表。019.678.4176.4313.649003.212.828.851.280(2)物体在地球，上下落得较快还是在月球上下落得较快?(3)当h=20m时，比较物体在地球.上和在月球上自由下落所需的时间。(2)地球.(3)当h=20m时，物体在地球上自由下落所需的时间约为2s,物体在月球上自由下落所需的时间约为5s.4.声音在干燥空气中传播的速度随着温度的变化而变化，当温度为

t℃时，声音的传播速度(单位:m/s)大约是331+0.6t，求温度分别为

2℃和

30℃时声音的传播速度。解：当t=29℃时，331+0.6t=331+0.6×2=332.2(m/s).当t=30℃时，331+0.6t=331+30×2=391(m/s).所以温度分别为2C和30C时声音的传播速度分别是332.2m/s,391m/s.5.如右图：（1）标出未注明的边的长度；（2）阴影部分的周长是_________;（3）阴影部分的面积是___________;（4）当x=5.5，y=4时，阴影部分的周长是______,面积是______.解：（1）如图所示.（4x+6y）4677（4xy-0.5xy）6.某物体由静止竖直向上运动，物体的高度h(单位:m)与运动时间t(单位:s)之间的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示，求运动时间分别为10s，15s,20s时该物体的高度。答：运动时间分别为

10s，15s，20s

时该物体的高度分别1010m，1135m，1010m.解：图中运算过程是（x2+y3）÷2.7.下图是一个“数值转换机”的示意图，写出运算过程并填写下表.x－1012y1－0.500.5输出1-0.06252.0625解：单项式：7h，次数为1；多项式：xy³+1，2ab+6，x－by³，次数分别是4，2，4.8.下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式？它们的次数分别是多少？7h，xy3+1，2ab+6，x−by3．解：（1）3项，第一项系数为，次数为1；第二项系数为－1，次数为3；第三项系数为2π，次数为0.（2）3项，第一项系数为1，次数为3；第二项系数为－2，次数为4；第三项系数为3，次数为2.9.下列多项式分别有几项？每项的系数和次数分别是多少？（1）−x−x2y+2π；（2）x3-2x2y2+3y2.10.(1)小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，并写出1+3n的结果，请解释他的想法。解：(1)由图形摆放规律知第1个图形有棋子4枚,即4=1+3,且每增加1个图形,棋子枚数增加3,故第n个图形棋子的枚数为1+3n。(2)与本节“用小棒拼摆正方形”活动中得到的结果相比较，你在(1)中有什么发现?(3)用99枚棋子能恰好摆出符合(1)中规律的图形吗?用100枚呢?(2)提示:可借助字母表示“四点”图形个数与棋子枚数之间的关系。(3)用99枚棋子不能拼摆出符合(1)中规律的图形,100枚可以恰好拼摆出。11.下列代数式可以表示什么？（1）2x（2）

（3）8a3解：(1)1斤梨x元，买2斤梨所花的费用

(2)a，b的和的一半

(3)棱长为a的正方体体积的8倍解：（1）随着n的值逐渐变大，两个代数式的值都逐渐减小.12.填写下表，并观察-8n+5和-n2这两个代数式的值的变化情况。n12345678-8n+5-n²-3-11-19-27-35-43-51-59-1-4-9-16-25-36-49-64（1）随着n值的逐渐变大，-8n+5和-n2这两个代数式的值如何变化？（2）－n²的值先小于－100.12.填写下表，并观察-8n+5和-n2这两个代数式的值的变化情况。n12345678-8n+5-n²-3-11-19-27-35-43-51-59-1-4-9-16-25-36-49-64（2）估计一下，哪个代数式的值先小于－100？13.用火柴棒按下面的方式搭图形：(1)小明用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第n个图形需要多少根小棒?解：第n个图形需要[7+5（n－1）]根，即（5n+2）根火柴棒.(2)小颖给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆,第n个图形所需小棒的根数为

3+2(n-1)。请你画图表示小颖的拼摆方式。（1）（2）(3)请你设计出其他有规律的拼摆方式，根据你的拼摆规律提出问题并加以解决。(3)拼摆方式如图(2)所示。问题：摆放第8个图形需要多少根小棒?解答：8×8+3=67(答案不唯一)。解：（1）设蟋蟀1min叫的次数为x，则温度可以表示为（

）℃;14.在某地，人们发现在一定气温下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系:用蟋蟀1min叫的次数加30，再把结果除以7,就近似地得到该地当时的气温(单位:℃)。（1）用代数式表示当时的温度；（2）当x=80时，温度约为16℃；当x=100时，温度约为19℃;当x为120时，温度约为21℃.14.在某地，人们发现在一定气温下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系:用蟋蟀1min叫的次数加30，再把结果除以7,就近似地得到该地当时的气温(单位:℃)。（2）当蟋蟀1min叫的次数分别是80,100和120时，该地当时的温度是多少？解：（1）小刚成年后的身高=(a+b)÷2×1.08=(1.72+1.65)÷2×1.08≈1.82（m）.（2）把自己父母的身高代入公式，预测自己的身高.15.遗传是影响一个人身高的因素之一.国外有学者总结出用父母身高预测子女身高的经验公式：儿子成年后的身高=×1.08，女儿成年后的身高=，其中a为父亲身高，b为母亲身高，单位：m.（1）七年级男生小刚的爸爸身高为1.72m，妈妈身高为1.65m，根据这个公式预测小刚成年后的身高；（2）根据这个公式，预测一下自己成年后的身高.16.骑山地自行车过程中，如果车