高中全程复习配套课件复合函数的导数数学归纳法的原理及简单应用苏教数学理文档

高中全程复习配套课件复合函数的导数数学归纳法的原理及简单应用苏教数学理…………三年1考高考指数:★★内容要求ABC简单的复合函数的导数√数学归纳法的原理√数学归纳法的简单应用√1.复合函数的导数(1)复合函数的概念对于函数y=f(φ(x)),令u=φ(x)，若y=f(u)是中间变量u的函数,u=φ(x)是自变量x的函数，则函数y=f(φ(x))是自变量x的__________.(2)形如f(ax+b)的复合函数的求导公式一般地，若y=f(u)，u=ax+b,则y′x=___________,即y′x=__________.复合函数y′u·u′xy′u·a【即时应用】(1)y=cos(x+φ)(0<φ<π),则y′=________.(2)y=,则y′=_________.(3)y=则y′=_________.【解析】(1)设u=x+φ,则y′x=y′u·u′x=-sinu·=-sin(x+φ)(2)设u=x2,则y′x=y′u·u′x=(eu)·2x=2x(3)设u=2x-1,则y′x=y′u·u′x=答案：(1)-sin(x+φ)(2)2x(3)2.数学归纳法证明有关自然数命题的流程图验证当n取__________(例如n0=1,2等)时结论正确第一个值n0假设_____________________________，证明当n=k+1时，结论也正确命题对于从n0开始的所有正整数n都成立n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确【即时应用】(1)已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=_______时等式成立.(2)凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和为f(k+1)=f(k)+_______.(3)用数学归纳法证明：

(n∈N*),则从k到k+1时，左边添加的项是_______.【解析】(1)因为假设n=k(k≥2且k为偶数)，故下一个偶数为k+2.(2)从k边形到k+1边形，实际是多了一个三角形，故内角和比k时多π,即f(k+1)=f(k)+π.(3)当n=k+1时，左边=∴左边添加的项是答案：(1)k+2(2)π(3)

复合函数的导数及应用【方法点睛】复合函数求导的步骤求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是对谁求导，其一般步骤是：(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系(简称分解复合关系)；(2)分层求导，弄清每一步中对哪个变量求导数(简称分层求导).即：分解—求导.【例1】(2012·南京模拟)已知函数f(x)=aln(x+1)+x2-ax+1(a＞0)(1)求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数y=f(x)的单调区间和极值.【解题指南】(1)利用导数可求出切线斜率，然后求切线方程.(2)求导数，列表判断单调性及极值.【规范解答】(1)f(0)=1,f′(x)=+x-af′(0)=0，所以函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)函数的定义域为(-1,+∞)，令f′(x)=0,得=0.解得:x=0或x=a-1.当a＞1时,列表:x(-1,0)0(0,a-1)a-1(a-1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大↘极小↗可知f(x)的单调减区间是(0,a-1),增区间是(-1,0)和(a-1,+∞);极大值为f(0)=1，极小值为f(a-1)=当0＜a＜1时,列表:可知f(x)的单调减区间是(a-1,0)，增区间是(-1,a-1)和(0,+∞);极大值为f(a-1)=极小值为f(0)=1;当a=1时,f′(x)≥0可知函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增，无极值.x(-1,a-1)a-1(a-1,0)0(0,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大↘极小↗【反思·感悟】1.导数为零的点未必是极值点,因此求解时务必检验f′(x)=0的零点左右两侧的符号是否相反.2.对于由f′(x)=0求得的根不能比较大小时常采用分类讨论的思想,注意分类标准应统一,且不重不漏.【变式训练】(2011·湖北高考改编)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：其中M0为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137的含量的变化率是-10ln2(太贝克/年)，求M(60)的值.【解析】因为则M′(30）=-10ln2，解得M0=600，所以M(t)=那么=600×=150(太贝克).【变式备选】(2012·武昌模拟)已知函数f(x)=ln(2x)+x2.(1)若函数g(x)=f(x)+ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围.(2)设h(x)=2f(x)-3x2-kx(k∈R),若h(x)存在两个零点m,n且2x0=m+n,证明：函数h(x)在(x0,h(x0))处的切线不可能平行于x轴.【解析】(1)∵g(x)=ln(2x)+x2+ax,g′(x)(x>0).由已知，得g′(x)≥0对一切x∈(0,+∞)恒成立.∴2x++a≥0,即a≥-(2x+)对一切x∈(0,+∞)恒成立.∵-(2x+)≤-2,∴a≥-2.∴a的取值范围为［-2，+∞).(2)h(x)=2［ln(2x)+x2］-3x2-kx=2ln(2x)-x2-kx.由已知得h(m)=2ln(2m)-m2-km=0,h(n)=2ln(2n)-n2-kn=0.∴2ln=(n2+kn)-(m2+km),即2ln=(n+m)(n-m)+k(n-m).假设结论不成立，即h′(x0)=0,则∴k=-2x0.又2x0=m+n,∴2ln=(n+m)(n-m)+(-2x0)(n-m)=(n+m)(n-m)+(-m-n)(n-m)=(n-m).令=t∈(1，+∞)，则有.令∴γ(t)在(1，+∞)上是增函数,∴当t>1时，γ(t)>γ(1)=0,即lnt->0.∴当t>1时，lnt=不可能成立，∴假设不成立.∴h(x)在(x0,h(x0))处的切线不平行于x轴.

用数学归纳法证明等式【方法点睛】用数学归纳法证明等式的规则(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据.(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利用假设，不利用n=k时的假设去证明，就不是数学归纳法.【提醒】用数学归纳法证明等式问题的关键在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.【例2】(2012·烟台模拟)是否存在常数a,b,c，使得等式(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立？若存在，求出a,b,c的值；若不存在，说明理由.【解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存在，利用特值求得a、b、c的值，而后用数学归纳法证明.【规范解答】假设存在a、b、c使得所给等式成立.令n=1,2,3代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=n4-n2对一切正整数n都成立.(1)当n=1时，由以上可知等式成立;(2)假设当n=k时，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)=k4-k2,则当n=k+1时，［(k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+…+k［(k+1)2-k2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］=(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)由(1)(2)知，等式对一切正整数n都成立.【反思·感悟】1.对于开放式的与n有关的等式证明问题，一般是先假设结论成立，利用n的前几个取值求参数，而后用数学归纳法证明.2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，“归纳假设”已经成了已知条件，“n=k+1时结论正确”则是求证的目标，可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.【变式训练】已知n∈N*，证明：【证明】(1)当n=1时，左边=1-=，右边=，等式成立;(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立，即有:那么当n=k+1时，左边=

右边,所以当n=k+1时等式也成立.综合(1)(2)知对一切n∈N*，等式都成立.【变式备选】用数学归纳法证明：对任意的正偶数n，均有【证明】(1)当n=2时，左边==右边.∴等式成立.(2)假设当n=k(k为正偶数)时，等式成立,即当n=k+2时，左边=

右边.∴n=k+2时，等式成立.由(1)(2)知等式对任意正偶数n都成立.

用数学归纳法证明不等式问题【方法点睛】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)对于与正整数n有关的不等式，应用其他办法不容易证时，可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.【例3】由下列不等式：你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.【解题指南】由已知条件不难猜想到一般不等式，关键是证明，证明时由n=k到n=k+1时可采用放缩法.【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：(n∈N*).用数学归纳法证明如下：(1)当n=1时，猜想成立；(2)假设当n=k时，猜想成立，即则当n=k+1时，即当n=k+1时，猜想也正确，所以由(1)(2)可知对任意的n∈N*，不等式都成立.【反思·感悟】(1)本例在由n=k到n=k+1这一步变化中，不等式左边增加了即增加了2k项.(2)当n=k+1时的证明中采用了放缩法，即将已知式子分母变大，从而所得结果变小，顺利地与要证的式子接轨从而得以证明，此种方法是证明不等式的常用方法，应用时要注意是放大还是缩小.【变式训练】设求证：【解题指南】用数学归纳法证明不等式，严格按照“两步一结论”的方法步骤进行推理论证.【证明】(1)当n=1时，有1＜＜2，故不等式成立.(2)假设当n=k时，有成立.则当n=k+1时，所以所以当n=k+1时，原不等式也成立.由(1)(2)可知对n∈N*原不等式都成立.【变式备选】已知数列{xn}满足x1=4,(n∈N*).(1)求证：xn＞3；(2)求证：xn+1＜xn；(3)求数列{xn}的通项公式.【解析】(1)用数学归纳法证明.①当n=1时，x1=4＞3.所以结论成立.②假设n=k(k∈N*)时结论成立，即xk＞3，则所以xk+1＞3.即n=k+1时，结论成立.由①②可知对任意的正整数n，都有xn＞3.所以xn+1＜xn.则数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an=2n-1.由

归纳—猜想—证明类问题【方法点睛】归纳—猜想—证明类问题的解题步骤(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式.(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.【例4】(2012·南京模拟)已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.【解题指南】(1)利用Sn=a1+a2+…+an,且Sn+an=2n+1,代入n=1,2,3得a1,a2,a3，从而猜想an.(2)应用数学归纳法证明时，要利用n=k的假设去推证n=k+1时成立.【规范解答】(1)将n=1,2,3分别代入可得(2)①由(1)得n=1时，命题成立；②假设n=k(k∈N*，且k≥1)时，命题成立，即那么当n=k+1时，a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1