小升初数学专项训练：简单规划问题

第8讲简单规划问题

第一关

【知识点】

最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，

努力争取获得在允许范围内的最佳效益.因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，

它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用.作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，

了解一些优化的思想是十分有益的

【例1】制作“新希望杯”水晶奖杯共需A、B、C、D、E五道工序，A工序需要5小时、B工序需要6

小时、C工序需要8小时、D工序需要2小时、E工序需要7小时.有些工序可同时进行，但工序B、

C必须在工序A完成之后才能进行；工序D、E必须在工序B完成之后才能进行.那么生产这种奖杯

最少需（）？

A.17小时B.18小时C.19小时D.20小时

【答案】B

【分析】因为工序B、C必须在工序A完成之后才能进行；工序D、E必须在工序B完成之后才能进

行，所以工序A需要先进行，即5小时，然后B和C同时进行，B需要6小时，B进行6小时后（C

还差8-2小时），这时C、D、E同时进行需要7小时，由此即可求出生产这种奖杯最少需要的时间.

【解答】解：因为工序B、C必须在工序A完成之后才能进行；

工序D、E必须在工序B完成之后才能进行，

所以工序A需要先进行，即5小时，然后B和C同时进行，

B需要6小时，B进行6小时后（C还差8-2小时），

这时C、D、E同时进行需要7小时，

所以生产这种奖杯最少需要的时间是：5+6+7=18（小时），

答：生产这种奖杯最少需要18小时；

故选：B.

【点评】关键是根据题意和生产工序确定生产的顺序，再求出需要的时间.

【例2】一次乐器比赛的规则规定：初赛分四轮依次进行，四轮得分的平均分不低于96分的才能进入

决赛，小光前三轮的得分依次是95、97、94.那么，他要进入决赛，第四轮的得分至少是多少分？

【答案】98

【分析】要想四轮得分的平均分不低于96分，总分应该达到96X4=384分，用这一分数减去小光前

三轮的得分即可解答.

【解答】解：96X4-95-97-94,

=384-95-97-94,

=98（分）；

答：第四轮的得分至少是98分.

【点评】本题主要考查简单规划问题，熟练掌握平均数的定义与求法是解答本题的关键.

【例3】有47名游客要渡河.现在只有一条小船,每次只能载6人（无船工），每渡河一次需要2分钟.那

么，至少要花多少分钟才能渡完？

【答案】38

【分析】先求出每次渡河实际人数是6-1=5人，再除以47,可求出最后一次剩下的人数，474-5=9

（次）-2（人），还剩下2人只需渡河1次.共渡河次数：9X2+1=19（次）；所花时间是：19X2=38

（分钟）.据此解答.

【解答】解：474-（6-1）

=47+5

=9（次）-2（人），

剩下的2人还需渡河一次，共需渡河时间为

（9X2+1）X2

=（18+1）X2

=19x2

=38（分钟）

答：至少要花38分钟.

故答案为：38分钟.

【点评】本题的关键是求出每次实际渡河的人数，及时间渡河的次数，再进行解答.

【例4】学校商店出售每支5角的铅笔，很少有人买，但经过降价，一下子全部库存铅笔都卖光，共卖

得31.93元，问库存多少支这种铅笔，每支降价多少元？

【答案】103:0.19

【分析】根据题意知道，铅笔的支数是整数，所以找3193的约数，即3193=31X103,由此即可得出

31,93是哪两个整数的积.

【解答】解:因为，31.93=0.31X103,

所以，0.5-0.31=0/9（元），

故答案为：103,0.19.

【点评】解答此题的关键是，能够根据题目的特点，即铅笔的支数是整数，这一突破口入手解决，另

外还要注意，要求的是降价的钱数.所以要注意看清题目要求.

【例5】电话费均以整分为单位计时收费（不足1分钟按1分钟计算）.市内电话三分钟内一律收费0.30

元，超过三分钟则为0.30元/分，夜间21：00后对折收费.市外电话计费正好是市内的3倍，夜间21：

00后也对折收费，但超过5分钟，就另加0.10元/分的附加费，超过10分钟，则另加0.20元/分的附

加费，依此类推（附加费不对折）.A市的小东在夜间20点54分时给B市的外婆打了一个电话，外

婆不在，五分钟后小东再次打电话给外婆，直到21点18分8秒才挂了电话，则小东在这天夜里给外

婆打电话应付多少元电话费？

【答案】11.25

【分析】此题应分为三部分：①前3分钟的电话费；②后17分钟的电话费；③附加费.求出这三部

分的电话费，相加即可.

【解答】解：小东打电话的计费时间是从20:59至21:19,

前3分钟的电话费为：

1_2

0.3X3X3+0.3X3X34-2

=0.3+03

=0.6（元）

后17分钟的电话费为：

0.3X3X174-2

=0.9X17+2

=7.65（元）

附加费：

0.10X5+0.20X5+0.30X5

=（0.10+0.20+0.30）X5

=0.60X5

=3（元）

总费用：

0.6+7.65+3=11.25（元）

答：小东在这天夜里给外婆打电话应付11.25元电话费.

故答案为:11.25.

【点评】解答此题，注意理清思路，分类解答.

【例6】有10只箱子，分别装有2、4、6、8、10、11、12、13、14、15斤苹果.甲乙二人轮流将苹果

搬入编号为1〜10的十间屋子，每人每次搬一箱，每间屋子也只能放一箱，他们约定甲将拥有第1、3、

4、6、7、9、10间屋子中的苹果，乙将拥有第1、2、3、7、8、9、10间屋子中的苹果，如果遇到同

一间屋子，两人就平分该屋内苹果.现在让甲先搬，他最多能保证最终比乙多拥有多少斤苹果？

【答案】2

【分析】作出图形，确定甲、乙拥有房间的苹果数，即可得出结论.

【解答】解：如图所示，甲拥有房间4号、6号，让甲先搬15斤苹果，则第二次搬13斤苹果，苹果

有：15+13=28斤；

乙拥有房间2号、8号，乙第一次搬14斤苹果，则第二次搬12斤苹果，苹果有：14+12=26斤，

其余房间二人均分，因此，让甲先搬，他最多能保证最终比乙多拥有28-26=2斤苹果.

甲■俞

【点评】本题考查简单规划问题，考查学生的读图能力，属于中档题.

【例7】某物流公司有甲乙两种型号的托运车，已知甲型车和乙型车的拖运量的比是6：5,拖运的速度

比是3：4.该公司曾用6辆甲型车和8辆乙型车将一批货物运到距离40千米的目的地，8天刚好运

完.根据经验，现在要将同样多的货物运到距离85千米的目的地，要求8.5天运完，该公司已安排了

16辆乙型车，间还要安排多少辆甲型车？

【答案】12

【分析】已知甲型车和乙型车的拖运量的比是6:5,拖运的速度比是3:4,可求出两种车型的工作

效率比为18:20,即9:10.

9

6辆甲型车运8天相当于（6X10）=5.4辆乙型车运八天，如果全改用乙型车运这一批货物运到距离

9

40千米的目的地，8天刚好运完，则需要：（6X10+8）=13.4辆乙型车.

坦义工

现在的运货量是原来的（408.5）=2倍，如果全用乙型车的话，8.5天运完，需要乙型车13.4X

2=26.8辆，该公司已安排了16辆乙型车，剩下10.8辆乙型车转换成甲型车是10.8+=12辆.

【解答】解：甲乙两种车型的工作效率比为（6X3）:（5X4）=9:10

9

若全部使用乙型车，用8天运送货物到距离40千米的目的地，共需要（6X10+8）=13.4辆.

至X上

现在运同样多货物到85千米的目的地，用8.5天，工作"量为之前的（408.5）=2倍，若全部用

乙型车，共需要13.4X2=26.8（辆）.

9

现在已安排16辆乙型车，还需甲型车（26.8-16）4-10=12（辆）.

答：还要安排甲型车12辆.

【点评】解答此题的关键是将甲乙两种车的总工作量用一种车的工作量来表示.

第三关

【知识点】

【例8】有三个没有刻度，容积分别为160升、119升和77升的不均匀的空桶，和无限多的水，要想量

出76升水，至少需要进行多少次操作（接水、互倒、倒水均算一次操作）？

【答案】8

【分析】把大桶装满水倒入119升的桶内，把119升的桶倒掉，再把大桶得水倒入，把77升水.倒入

119升的桶，再次装满倒入，最后77升的桶内剩下的水就是76升.据此解答.

【解答】解：①把160升的空桶接满水.

②把水倒入119升的空桶内，接着把119升水倒掉，把大桶内剩的水再次倒入119升的空桶内.

③把77升的空桶接满水倒入119升的桶内，再把77升的空桶接满水倒入119升的桶内，最后77升

的桶内正好是76升水.

160-119+77+77-119

=354-238

=76（升）

操作次数：

1+3+4=8（次）

答：至少需要进行8次操作.

故答案为：8.

【点评】本题的关键是怎样用三个没有刻度的空桶组合能变成一个剩余76升的水.

【例9】某小学召开春季运动会，六年级1班的老师给体育委员100元钱到超市购买巧克力和矿泉水,

要求全班每人至少1瓶矿泉水，运动员每人至少1块巧克力.如果全班人数是26人，有24人参赛,

巧克力和矿泉水的单价分别是3元和1元，那么体育委员购买巧克力和矿泉水的方法有多少种？

【答案】3

【分析】先满足“每人1瓶矿泉水，运动员每人1块巧克力这个条件，需要花：3X24+1X26=98

（元），那么还剩：100-98=2（元），可供体育委员自由支配，他利用这2元，只能购买：0、1、2

瓶矿泉水，即有3种购买方法；据此解答.

【解答】解：可供体育委员自由支配的钱数是：

100-（3X24+1X26）,

=100-98,

=2（元），

他利用这2元，只能购买：0、1、2瓶矿泉水，即有3种购买方法；

答：体育委员购买巧克力和矿泉水的方法有3种.

故答案为：3.

【点评】本题不要受“至少数”的干扰，要从先满足最低要求去考虑，这样能够缩小讨论的范围，然

后再解答就水到渠成了.

【例10】解放军某连队有120名战士，每天晚上要派3名战士站岗.如果要做一个安排，使得在一段时

间内他们中的任何两个人都恰好在一起站过一次岗，那么这样的安排能实现吗？

【答案】不能

【分析】本题考察规划问题.可以把某一名战士当成研究对象，讨论其他战士是否能安排到恰好都与

这名战士一起站过一次岗.

【解答】解：假设战士A要和每个人都站过岗，每天和他一起站岗的为两个人,

因为120-1=119.,119不是偶数，

所以不可能在一段时间内他们中的任何两个人都恰好在一起站过一次岗，

总会有一个人一起站过两次岗，所以不能实现.

【点评】本题较为麻烦，需要化整为零，利用奇偶性进行判断即可.

【例11】请你设计一下，做桌面，桌腿分别用多少立方米的木料，恰好配套成方桌?

【答案】做桌面用3立方米的木料，做桌腿用2立方米的木料，恰好配套成方桌.

【分析】首先根据1立方米木料可制作桌面50个或制作桌腿300条，可得做一个桌面的木料是做1

条桌腿的木,料的：3004-50=6（倍），所以做桌面的木料和做桌腿的木料的比是6:4=3:2时，恰好配

套成方桌，即做桌面的木料占木料的=;然后根据分数乘法的意义，用家具厂购买的木料的立方数

乘以，求出做桌面用多少立方米的木料；最后用木料的总量减去做桌面的木料，求出做桌腿用多少

立方米的木料即可.

【解答】解：因为做一个桌面的木料是做1条桌腿的木料的：300・50=6（倍），

所以做桌面的木料和做桌腿的木料的比是6:4=3:2时，恰好配套成方桌，

所以做桌面的木料有：

5x

=5x

=3（立方米）

所以做桌腿的木料有：

5-3=2（立方米）

答：做桌面用3立方米的木料，做桌腿用2立方米的木料，恰好配套成方桌.

【点评】此题主要考查了简短的规划问题，以及分数乘法的意义的运用，解答此题的关键是判断出做

桌面的木料和做桌腿的木料的比是多少.

【例12】甲乙丙三种书.甲每本5元，乙每本3元，丙1元3本.现在要买三种书共100本（三种书都

要有），总价恰好为100元.写出所有可能的购书方案（甲书的本数，乙书的本数，丙书的本数）

【答案】第一种：甲4本，乙18本，丙78本；第二种：甲8本，乙11本，丙81本；第三种：甲12

本，乙4本，丙84本。

【分析】根据题意可设要购甲书x本，乙书y本，丙书z本，根据题意可知5x+3y+z=100,x+y+z=100,

据此来解由这两个方程组成的方程组即可.

【解答】解：设要购甲书X本，乙书y本，丙书Z本

，1

5x+3y+—z=100

3

x+y+z=100

(15x+9y+z=300

1x+y+z=100

得

14x+8y+100=300

14x+8y=200

8(x+y)+6x=200

x+y+x=25

.x+y=25

x需是4的倍数，

当x=4时，y=18,z=100-4-18=78

当x=8时，y=ll,z=100-8-11=81

当x=12时，y=4,z=100-12-4=84

当x大于12时，不合题意

所以共有三种购书方案：

第一种：甲4本，乙18本，丙78本

第二种：甲8本，乙11本，丙81本

第三种：甲12本，乙4本，丙84本

故答案为：第一种：甲4本，乙18本，丙78本，第二种：甲8本，乙11本，丙81本，第三种：甲

12本，乙4本，丙84本,.

【点评】本题的重点是根据题意列出方程组，再进行化简，然后进行讨论.

【例13】“帅锅炒饭”店里有一张桌子，10把椅子，如何摆使桌子每一面椅子数均相等?

【答案】

【分析】一张桌子四个面，每面摆2张，共8张，还缺2张，对角摆两张，这样共10张.

【解答】解：根据分析画图如下:

【点评】本题不能用常规解法，要考虑重叠交叉计数的方法，类似于方阵问题.

你能做到么？请画图说明.

【分析】每排4棵，共5排，不重复就应该有20棵，现在只有10棵，说明要重复10棵树.

【解答】解:

【点评】此题中每棵树都算了两遍，正好符合要求.

【例15】熊爸爸带着两个儿子去河对岸爬山，河上只有一只空船，船最多能载重100千克，而熊爸爸正

好重100千克，两个儿子各重50千克.问他们怎样才能全部过河？

【答案】1、让两个儿子一块过去，

2、其中一儿子把船划回来，另一人留在岸边；

3、让爸爸把船渡过去，对岸剩下的那个儿子把船划回来；

4、两个儿子再同时划船到对面，这样三个熊就可以安全渡过小河了.

【分析】所以爸爸只能单独过；50+50=100千克，两个儿子能同乘一条船过河.如果爸爸先过的话，

过去后就没人划回来了，所以应先让两个儿子先过，然后一人划回来，即过河过程为：1、让两个儿

子一块过去，2、其中一儿子把船划回来，另一人留在岸边；3、让爸爸把船渡过去，对岸剩下的那个

儿子把船划回来；4、两个儿子再同时划船到对面，这样三个熊就可以安全渡过小河了.

【解答】解：由于25+25=50（千克），

所以爸爸只能单独过，而两个儿子能同乘一条船过河，由此可按如下方案过河：

1、让两个儿子一块过去，

2、其中一儿子把船划回来，另一人留在岸边；

3、让爸爸把船渡过去，对岸剩下的那个儿子把船划回来；

4、两个儿子再同时划船到对面，这样三个熊就可以安全渡过小河了.

【点评】完成本题要注意当对岸还有人时，过河的人还需要有一个人划回去接对岸的人.

【例16】两个大人和两名儿童一起渡河，渡口只有一条小船，一次只能渡过一个大人或两名儿童，他们

四人都会划船，但都不会游泳.请你帮他们设计一个渡河方案.

【答案】第一步：两个小孩同船渡过河去；

第二步：一个小孩划船回来；

第三步：一个大人独自划船渡过河去；

第四步：对岸的小孩划船回来；

第五步：两个小孩再同船渡过河去；

第六步：一个小孩划船回来；

第七步：余下的一个大人独自划船渡过河去；

第八步：对岸的小孩划船回来；

第九步：两个小孩再同船渡过河去.

【分析】第一次先渡两个小孩子过河，其中一个小孩再渡回来，另一个小孩在对岸上等着，这就可以

渡一个大人过去后，第二个小孩再渡回来，然后两小孩又渡过河去，又由其中的一个渡回来，第二个

大人再过河，另一个小孩又回来，最后两小孩一起过河，就这样四人都过河了.

【解答】解：因为一次只能渡过一个大人，而船还要回来渡其他人，所以只能让两个小孩先过河，渡

河的方法与步骤为：

第一步：两个小孩同船渡过河去；

第二步：一个小孩划船回来；

第三步：一个大人独自划船渡过河去；

第四步：对岸的小孩划船回来；

第五步：两个小孩再同船渡过河去；

第六步：一个小孩划船回来；

第七步：余下的一个大人独自划船渡过河去；

第八步：对岸的小孩划船回来；

第九步：两个小孩再同船渡过河去.

【点评】完成本题要注意(1):当对岸还有人时，过河的人还需要有一个人划回去接对岸的人.

【例17】甲、乙、丙三个旅客要渡过一条河，但河上没有桥，这三人恰好又都不会游泳.这时三人发现

河上有两个小孩划着一条小船，船太小，最多只能载一个旅客，一个旅客和一个小孩同时过河都不

行.请你给三位旅客设计一个过河方案.

【答案】第一步：两个小孩同船渡过河去；

第二步：一个小孩划船回来；

第三步：甲旅客独自划船渡过河去；

第四步：对岸的小孩划船回来；

第五步：两个.小孩再同船渡过河去；

第六步：一个小孩划船回来；

第七步：乙旅客独自划船渡过河去；

第八步：对岸的小孩划船回来；

第九步：两个小孩再同船渡过河去；

第十步：一个小孩划船回来；

第十一步：丙旅客独自划船渡过河去；

第十二步：对岸的小孩划船回来.

【分析】第一次先渡两个小孩子过河，其中一个小孩再渡回来，另一个小孩在对岸上等着，这就可以

渡甲旅客过去后，第二个小孩再渡回来，然后两小孩又渡过河去，又由其中的一个渡回来，乙旅客再

过河，另一个小孩又回来，然后两小孩又渡过河去，又由其中的一个渡回来，丙旅客再过河，由此三

人都过河了.

【解答】解：因为一次只能渡过一个大人，而船还要回来渡其他人，所以只能让两个小孩先过河，渡

河的方法与步骤为：

第一步：两个小孩同船渡过河去；

第二步：一个小孩划船回来；

第三步：甲旅客独自划船渡过河去；

第四步：对岸的小孩划船回来；

第五步：两个小孩再同船渡过河去；

第六步：一个小孩划船回来；

第七步：乙旅客独自划船渡过河去；

第八步：对岸的小孩划船回来；

第九步：两个小孩再同船渡过河去；

第十步：一个小孩划船回来；

第十一步：丙旅客独自划船渡过河去；

第十二步：对岸的小孩划船回来.

【点评】完成本题要注意当对岸还有人时，过河的人还需要有一个人划回去接对岸的人.

【例18】李阿姨准备给儿子存2万元，供他六年后上大学，银行给李阿姨提供了三种类型的理财方式:

普通储蓄存款，教育储蓄存款和购买国债.

①普通储蓄存款利率（2012年7月6日）如下：

整存期年利率％零整存存期年利率％

存三个月2.60%存存本一年2.85%

整六个月2.80%整零取三年2.90%

取一年3.00%取取息五年3.00%

二年3.75%

三年4.25%

五年4.75%活期利率0.35%

②教育储蓄存款的存期分为一年，三年和六年，国债有一年期，三年期和五年期等.请你调查一下教

育储蓄存款和国债的利率，然后帮李阿姨设计一个合理的存款方案，使六年后的受益最大.

【答案】先买五年期国债，再买一年期国债

【分析】通过调查发现：2013年教育储蓄存款利率为：

存款期限年利率%

一年期3.00%;

三年期4.25%;

六年期4.75%;

2014年国债利率

一年期3.33%;

三年期5.00%;

五年期5.41%;

因为国债利率明显高于教育储蓄存款利率和普通储蓄存款利率，所以可以先买五年期国债，再买一年

期国债.

【解答】解：因为调查发现：2013年教育储蓄存款利率表一览

存款期限年利率%

一年期3.00%;

三年期4.25%;

六年期4.75%;

2014年国债利率

一年期3.33%;

三年期5.00%;

五年期5.41%;

所以综合来看，国债利率较高，可以先买五年期国债，再买一年期国债.

【点评】解答此题的关键是掌握关系式“本金X利率X时间”，所以在时间和本金一定时，可以根据利

率确定存款的方法.

【例19】请在5X5的棋盘中放入10个国际象棋中的皇后，使得标有数X的格子恰好受到X枚皇后的

攻击，每个格最多放一枚棋子，标有数的格子不能放棋子，如果有超过一枚皇后从同一方向攻击到某

个格子，只计算最前方的那枚皇后（注：每只皇后可攻击同一行、同一列或同一斜线上的格子）

【分析】

1、首先找出和“1”有关系的皇后位置，横着，竖着，斜着

2、这些位置里只有1个放皇后.

3、这时你会发现“5”有关系的皇后位置只有4个，必须都放皇后，剩余1个放在刚才你找出的一个

位置中；

4、刚好满足4对应的皇后个数.可以把4对应的其他位置全部找出.

5、根据7对应的位置，全部放皇后.

6、“7”周围只有6个，还缺少一个，再结合4,5即可判断出最后一个.

【解答】解：如图：

【例20】请在5X5的棋盘中放入10个国际象棋中的皇后，使得标有数N的格子恰好受到N枚皇后的

攻击，每个格最多一枚棋子，标有数的格子不能放棋子，如果有超过一枚皇后从同一方向攻击到某个

格子，只计算最前方的那枚皇后（注：每只皇后可攻击同一行、同一列或同一斜线上的格子）.

竖线和斜线，在过0的这些直线所在的格子中不能放

后，在过1的直线所在的格子中只能在1的后面放后，据此进行解答.

【解答】解:

【点评】本题主要考查了学生对过直线上的格子中过0的起线上不能放后，过1的格子后面在在一行

的后面放后.

【例2。幸福小区要在四幢楼之间开个小超市，如图，如果你是小区物业管理人员，小超市放在什么位

置最合理.请你画一画，并说明理由.

।।______I______1

ABCD

【答案】只有开在B,C的中点O处时，四个点到超市的距离之和最小

【分析】超市不是要求到A,B,C,D的距离相等，而是A,B,C,D四个点到超市的距离之和为

最小值，由三角形边长关一系容易知道应该建立在A,B,C,D所在的直线上，如果开在A,B之间，

减少了A到超市的距离却增加了B,C,D三■个点到超市的距离，画图容易看出只有建立在B,C的

中点时，四个点到超市的距离之和最小，据此解答即可.

【解答】解：画图如下：

■__■卜・—

ABCD

把超市开在B,C的中点上点。处.

开超市不是要求到A,B,C,D的距离相等，而是A,B,C,D四个点到超市的距离之和为最小值，

由三角形边长关系容易知道应该建立在A,B,C,D所在的直线上，

如果放置在A,B之间，减少了A到超市的距离却增加了B,C,D三个点到超市的距离，

所以只有开在B,C的中点O处时，四个点到超市的距离之和最小.

【点评】解答此题的关键是明白：开的超市不是要求到A,B,C,D的距离相等，而是A,B,C,D

四个点到超市的距离之和为最小值.

【例22】在一条公路上，每隔10千米有一个仓库，共有6个，顺序编号.1号仓库存货30吨，2号仓

库存货40吨，4号仓库存货10吨，5号仓库存货15吨，6号仓库存货50吨，3号仓库为空.要把货

物集中于一个仓库，如每吨货物运输1千米运费为1元，问集中到几号仓库最省运费，运费最少需多

少元？

【答案】集中到4号仓库运费最省，需要花费2850元

【分析】可以把货物分别集中到1到6号仓库，把各种情况的花费情况进行计算比较，得出花费最少

的一种情况即可.

【解答】解：如果选择1号不动，总耗费为：(40义1+10X3+15X4+50X5)X10=3850(元)；

选择2号不动时，总耗费为：(30X1+10X2+15X3+50X4)X10=2950(元)；

选择3号不动时，总耗费为：(30X2+40X1+10X1+15X2+50X3)X10=2900(元)；

选择4号不动时，总耗费为：(30义3+40X2+15X1+50X2)X10=2850(元)；

选择5号不动时，总耗费为：(30X4+40X3+10X1+50X1)X10=3000(元)；

选择6号不动时，总耗费为：(30X5+40X4+10X2+15X1)X10=3450(元)：

答：根据上述计算结果可得，集中到4号仓库运费最省，需要花费2850元.

【点评】本题考查学生在日常生活中，注意运用统筹法解决问题.此题告诉学生掌握了统筹法，对于

进行合理调度，是十分有效的.

【例23】在操场上做游戏，上午8：00从A地出发，匀速地行走，每走5分钟就折转90o.问：

(1)上午9：20能否恰好回到原处？

(2)上午9：10能否恰好回到原处？

如果能，请说明理由，并设计一条路线.如果不能，请说明理由.

【答案】(1)能；(2)不能

【分析】因操场一个封闭的图形，匀速地行走，每走5分钟就折转90°,求出9:20和9:10分到出

发时用的时间，再进行解答.

【解答】解：（1）上午9:（20分）恰好回到原地.我们可以设计如下的路线：我们若没定每走5分

钟都按顺时针方向（或逆时针方向）折转90°,则可知每过20分钟回到原处，而到9:20恰好过了

80分钟，故可知9:20恰好第4次回原处.

（2）上午9:10不能回到原地.因为到上午9:10共走了70分钟，而我们可以验证不管每一步为逆

时针折转90°,还是顺时针折转90°都不能在70分钟内回原地.

【点评】本题的关键是根据操场的形状，和到结束时用的时间进行解答.

【例24】小明想买长为2dm,宽为15cHi的长方形大理石砖和边长为30cm的正方形地砖客厅铺地面.

（1）你把设想画出来；

（2）求需要正方形地砖和长方形大理石砖各多少块？

3m客厅

4m2Qcm

【答案】（1）

3m

4m20cm

（2）

【分析】（1）先把单位统一为厘米，可知客厅的长是420厘米，宽是300厘米，既是长方形大理石砖

的长20厘米、宽15厘米的倍数，也是正方形地豉边长30厘米的倍数，即用这两种地砖正好能密铺

且都是整块，结合客厅和地豉的数据可设计成中间铺一行正方形地豉，其余铺大理石砖，据此画出图

形即可；

（2）分别用客厅的长除以大理石砖、正方形地砖的长求得一行铺几块，即知所用正方形地砖的块数，

再用客厅的宽减去30厘米求得剩下的宽度，除以长方形大理石砖的宽即得铺几行，用一行的块数乘

行数即得所用长方形大理石砖的块数.

【解答】解：（1）由题意及分析可得下图设计：

3m

4m20cm

（2）4米20厘米=420厘米，2分米=20厘米

正方形地砖：4204-30=14（块）

长方形大理石砖：4204-20=21（块）

（300-30）4-15=（块）

21X18=378（块）

答：需要正方形地砖14块，长方形大理石砖378块.

【点评】此题属于开放题，由于客厅的长宽都是两种地砖边长的倍数，所以正方形地豉可以铺多行,

答案不唯一.

【例25】用手洗衣服时要先打好肥皂，揉搓得很充分了，再拧一拧，当然不可能全拧干.假设使劲拧干

后，衣服上留有1千克带污物的水，现在有清水18千克，假设每次用来漂洗的水都用整千克数（假

设每次漂洗结束时，污物都能均匀分布在水中）.问：

（1）如果分成2次漂洗后，污物的残留量至少是漂洗前的几分之几？

1

（2）要使污物的残留量小于漂洗前的砺，至少要漂洗几次？请给出符合条件的一种漂洗方案和理

由.

1

【答案】（1）loo；（2）3

【分析】（1）分成两次清洗，每次用清水9千克.第一系漂洗时，衣服上的1千克污水与9千克清水

均匀混合，拧干衣服后，衣服上还是留有1千克的水，此时衣服上的

11__1_

污物残留为之前的1+9=10.第二次漂洗时，同理，衣服上的污物残留为第一次漂洗后的10.两次

111

--vX---二----

漂洗后，污物的残留量是漂洗前的1010100.

1

涯

（2）假设分成x次漂洗，每次漂洗用清水千克.每次漂洗后，污物的残留量为此次漂洗前的x,

一共洗了X次，所以洗X次后，污物残留为洗之前的

11

(x)X.当x=2时，污物残留为.当x=3时，每次漂洗后污物残留量为x=7；清洗三

次后污物残留量为777343.由此可知，至少

1

要清洗三次，污物的残留量小于漂洗前的300.

【解答】解：(1)每次用清水：18+2=9(千克)，

1二1

第一次漂洗后，污物残留量是漂洗前的1+9-10,

—X1=1

第二次漂洗后，污物残留量是漂洗前的1010100.

1_1

碑不

(2)漂洗三■次时：第一次漂洗后，污物残留量为漂洗前的3,

第二次漂洗后，污物残留量为漂洗前的7749,

1111

—vX-vX—二----

第三次漂洗后，污物残留量为漂洗前的777343；

1

三次漂洗后，污物残留量小于清洗前的300.所以给出的方案为清洗3次.

1

答：如果分成2次漂洗后，污物的.残留量至少是漂洗前的100;要使污物的残留量小于漂洗前的，

至少要漂洗3次.

【点评】解答此题，关键是能理解每次漂洗后污物残留量为前一次的几分之一.

【例26】某班有四位同学参加班长竞选，结果有两人的票数并列第一，但班长只能选一个，该怎么办呢？

经过讨论，形成了三种不同意见：

①两人自己去协商，谁来当班长；

②两人用抽签的方法决定谁当班长；

③全班重新进行一次投票，在他们两人中选1人，得票多者当班长

你认为以上三种方法各有什么优缺点？你更倾向于哪种方法？

【答案】第一种：甲4本，乙18本，丙78本；第二种：甲8本，乙11本，丙81本；第三种：甲12

本，乙4本，丙84本。

【分析】分别得到三种方法各有什么优跳点，再以此为依据作出选择.

【解答】解：方法①优点：节省人力、物力，

缺点：花费时间；

方法②优点：节省人力、物力和时间，

缺点：两人容易闹矛盾；

方法③优点：更加公平，

缺点：花费人力、物力和时间.

我更倾向于方法①.

【点评】最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间的

前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益.因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研

究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用.作为数学爱好者，接触一些简单的实

际问题，了解一些优化的思想是十分有益的.

【例27】某建筑公司有两个工程队，甲队有26人，乙队有14人，现要使甲、乙两队的人数比为3：2.

1.请你先判断下表中给出的几种方案的可行性（可行的画’7”，不可行的画“x”），再算出甲、乙两队

调整的人数.

方案种类判断人数

方案1:乙队人数不变，减少甲队的人数

方案2：乙队人数不变，增加甲队的人数

方案3：甲队人数不变，减少乙队的人数

方案4：甲队人数不变，增加甲队的人数

方案5：将甲队的部分人数调往乙队

方案6：将乙队的部分人数调往甲队

2.请你再设计一种方案，并算出结果

【答案】

方案种类判断人数

方案1：乙队人数不变，减少甲队的人数5人

方案2：乙队人数不变，增加甲队的人数X

方案3：甲队人数不变，减少乙队的人数X

方案4：甲队人数不变，增加甲队的人数X

方案5：将甲队的部分人数调往乙队弋2人

方案6：将乙队的部分人数调往甲队X

【分析】①甲、乙两队的人数比为3:2,乙队人数不变时，21:14=3:2,26-21=6人，甲队可减少

6人；

②由①可知，满足条件时，只能减少甲队的人数，那么增加是错误的；

1

③甲、乙两队的人数比为3:2,甲队人数不.变时，26X2+3=173（人），乙队应该增加人数，但是

数字不是整数，所以不对；

④由③可知一定是增加，所以减少是错误的；

⑤（26+14）4-（3+2）=8人，8X3=24人，8X2=16人，可以把甲队的人数调往乙队2人;

⑥与⑤矛盾，⑤对，那么⑥就错.

【解答】解：①乙队人数不变

14+2X3

=7X3

=21（人）

26-21=5（人）

答：减少甲队的人数5人，对.

②由①知：

乙队人数不变，增加甲队的人数是错误的.

③26X2+3=173（人），

乙队应该增加人数，但是数字不是整数，所以不对；

④由③可知乙队一定是增加人数，所以减少是错误的

⑤（26+14）4-（3+2）

=404-5

=8（人）

8X3=24（人），

8X2=16（人），

26-24=2（人）

答：可以把甲队的人数调往乙队2人；

⑥与⑤矛盾，⑤对，那么⑥就错.

【点评】关键是根据比值的大小比较来判断，明确如何使一个分数变大.

【例28】红星小学一年级新生报名情况表

新安小区2东岭小区，幸福小区/安阳小区。其他。

43人。35人*42人。50人Q40人。

小明：最多可编8个班.

小红：每班人数不得超过35人.

请你设计出合力的编班方案，与同学交流一下，说说你的理由.

【答案】按小明说的最多可编8个班，每班人数为26人左右，每班人数太少，不合适；

按小红说的每班人数不得超过35人，应分成6个班，现在学校实现“小班化”教学.即每班学生人

数在40人左右，人数比较合适.

【分析】先按小明和小红说的计算出每班人数和班数，进行比较说明即可.按小明说的最多可编8个

班，每班人数为

(43+35+42+50+40)4-8;按小红说的每班人数不得超过35人，应分成的班数为：(43+35+42+50+40)

+35,计算出结果，进行说明.

【解答】解：(43+35+42+50+40)4-8

=210+8

=26(人)…2(人)

(43+35+42+50+40)+35

=210+35

=6(个)

按小明说的最多可编8个班，每班人数为26人左右，每班人数太少，不合适；

按小红说的每班人数不得超过35人，应分成6个班，现在学校实现“小班化”教学.即每班学生人

数在40人左右，人数比较合适.

【点评】此题考查了简单规划问题，关键要了解现在的班额应在40人左右.

【例29】由于德清经济发展的需要，武康和新市各有一厂家要引进某种型号的机器设备，现联系到杭州

和湖州各有一厂家同时生产该种型号的机器若干台，杭州可支援德清10台，湖州可支援德清4台，

现在决定将这些机器给武康8