一元二次不等式及其应用（基础+重难点）-2025年高考数学一轮复习（新高考）解析版

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

第05练一元二次不等式及其应用（精练）

明课标要求知练题方向

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.

2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系.

3,掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式.

真题风向标

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）已知集合知={-2,-1,0,1,2},7V={.r|r-x-6>0）,则McN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为％=卜,2-一6训=（-e,-2]33，+e）,而"={-2,-1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故选：C.

方法二：因为M={-2,T0J2},将-2,-1,0,1,2代人不等式/——620,只有-2使不等式成立，所以

McN={_2}.

故选：C.

【A级基础巩固练】

一、单选题

1.(2024•北京朝阳•二模)已知集合4={xeR|fvl0}.B={2,3、4,5"Uj4c8=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】B

【分析】由题意可得A={xeR|-&6vx<Jid},结合交集的定义与运算即可求解.

【详解】由题意知，A={xeR|.r<10}={xeR|-Vi0<x<Vi0),

又3=[2,3,4,5},

所以A13={2,3}.

故选：B

2.(23・24高三下.云南.阶段练习)已知集合4={464国42},B={^-x>0],则()

A.{-2,-1,2}B.{-2,—1,0}

C.{-2,-1}D.[-2,0)Ud,2]

【答案】A

【分析】分别求出集合48,再根据交集的定义求解即可.

【详解】由题意，A={-2T0.L2},A="|xv0或工>1}

所以A八{-2,-1,2}.

故选：A.

3.(2024.山西•二模)已知集合人=仲</<9},8=r；<2'<4»,则()

A.(-3,2)B.(-2,3)C.(-3,-2)u(2,3)D.(-2,7)51,2)

【答案】D

【分析】先求出两个集合，再根据交集的定义即可得解.

【详解】A={x|l<x2<9}={x|-3<x<-lgcl<x<3},

B=^x-<2A<4={x|-2<x<2},

所以A8=(—2,T)D(1,2).

故选：D.

<okB=卜卜V+3x>o},则A=3=()

J3)

A.RB.[-1,3)C.(0,2)D.(-1,2)

【答案】B

【分析】首先解对数不等式求出集合A,再解一元二次不等式求出集合。，最后根据并集的定义计算可得.

【详解】由倍-得04一^W1，解得一1"<2,

由一f+3x>o解得0<x<3,即^={X|-X2+3X>0}={X|0<X<3},

所以A=8=[T,3).

故选：B.

5.(23-24高三下•湖南•阶段练习)已知集合M={XX2-7X+12<0},N={X|KT<4},则A/CN=()

A.(-oo,5)B.[-3,4]C.(6,8)D.(3,4)

【答案】D

【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，再由交集的定义求解.

【详解】不等式V—7尢+12<()解得3Vx<4,

不等式卜-卜4,即Tvx-lv%解得-3vxv5,

可得M=(3,4),N=(-3,5),McN=(3,4),

故选：D.

6.(2024高三下•全国・专题练习)已知集合人={玳X—2)(X—5)K0},^={x||3-2x|<5),则@A)IB=()

A.(-1,2)B.[-L2]C.[-1,2)D.(-1,2]

【答案】C

【分析】计算出集合A、3后，结合交集与补集的定义即可得.

【详解】由(x—2)(x—5)<0,^2<x<5,贝！14={可24>45},贝||14={可不<2或x>5},

由|3-2彳区5,得一lKx<4,贝！|8={x|-14x44},

所以（％A）C8={M_1WXV2}.

故选：C.

7.（23・24高一上•云南昆明•阶段练习）设一元二次不等式渥+法+1>0的解集为J%Tvx〈U，则加的

4

值为（）

A.-12B.-7C.12D.7

【答案】C

【分析】由一元二次不等式解集求参数。力，即可得结果.

【详解】由题设-1，是加+云+1=0的两个根，且〃<0,

4

b3

所以「In八公，故而=12.

—1———18=-3

la4

故选：C

8.（23-24高三上•山东滨州・期末）若不等式/一戊+420对任意x«i,3]恒成立，则实数”的取值范围是（）

13~|

A.[0,4]B.（f,4]C.一如：D.（^0,5]

【答案】B

【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.

【详解】不等式f一公+420对任意工叩,3]恒成立，则Dxe[l,3],：成立，

而力+%2口=4,当且仅当x=T，即x=2时取等号，因此

所以实数〃的取值范围是（e,4].

故选：B

9.（23-24高三上.河北邢台.阶段练习）“不等式加+2心-1<0恒成立”的一个充分不必要条件是（）

A.—1<6/<0B.«<0

C.-1<«<0D.-1<6/<0

【答案】D

【分析】分。=0和两种情况讨论求出。的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】当。=0时，-1<0恒成立，

a<0

当心0时，贝ijL2)八，解得T<"0,

4cr+4。<0

综上所述，不等式+2依-1<0恒成立时，-IvaWO,

所以选项中“不等式av2+2.-1<0恒成立”的一个充分不必要条件是-l<«<0.

故选：D.

10.(2024•重庆•模拟预测)已知集合八={可/一2厂3>0},B={M(A〃)(X+2)<0},若"B=R,则a

的取值范围为()

A.(3,-KO)B.[3,+oo)

C.(-1,3)D.(7\-1)

【答案】A

【分析】根据不等式的解法，求得A={x|x<7或x>3},分类讨论求得集合B,结合AL,8=R,利用集合

的运算，即可求解.

【详解】由不等式丁-21-3>0,解得XV—1或x>3,所以A=1x|x<-1或x〉3},

又由不等式(x-a)(x+2)<0,

当。二-2时，不等式解集为空集，不满足AU3=R,不符合题意，舍去；

当4V-2时，解得"<不<一2,即8={x[a<x<-2},

此时不满足AUA=R，不符合题意，舍去：

当〃>一2时，解得一2<xva,即8={x|-2vxva},

要使得AU8=R,则满足a>3,

综上可得，实数a的取值范围为+8).

故选：A.

二、多选题

11.⑵-24高三上・甘肃•阶段练习)下列不等式的解集为R的是()

A.X2-3X+8>0B.-X2+2X-3<0

C.X2-3X-4>0D.el>0(其中e是自然对数的底数)

【答案】ABD

【分析】利用一元二次不等式的解法判断ABC；利用指数函数的值域判断D.

323

【详解】对于A,f-3x+8=(x-1)2+亍>。恒成立，不等式f-3x+8>0的解集为R,A是；

对于B,-/+2%一3=-(1)2-2<0恒成立，不等式-x2+2x-3<0的解集为R,B是；

对于C,X2-3X-4>0<Z>(X+1)(A-4)>0,则X<-1或X>4,不等式V-3x-4>0的解集不是R,C不是；

对于D,函数ke*的值域为(0,+功，即DxeR,ev>0,D是.

故选：ABD

12.(23-24高二上•黑龙江•期中)关于x的不等式丁-融+3>0对任怠xeK恒成立的允分不必要条件有()

A.0<«<2B.-\<a<3

C.-1<«<4D.-4<a<4

【答案】AB

【分析】先求二次不等式恒成立的充要条件，得解集A,则充分不必要条件是集合A的非空真子集，验证

选项即可.

【详解】当不等式V-ax+3>0对任意xwR恒成立时，

WA=«2-4x3<0>解得-26<”26，记4=卜26,26).

当〃的取值范围是集合A的非空真子集时，即为不等式f-av+3>0对任意XGR恒成立的充分不必要条件,

AB选项中的范围满足题意.

故选：AB

三、填空题

13.(23-24高三下.上海•开学考试)不等式的解集是

x

【答案】{幻4>0或x<—1}

【分析】由已知结合分式不等式的求法即可求解.

【详解】由可得，+1=3>0,

XVX

即取4+1)>0,

解得x>0或XV-1.

故答案为：(工1%>0或x<T}.

14.(23-24高三下•安徽•开学考试)已知集合M=&eN|(x+2Xx-3)<0},N={-2,T,0,l,2},则

McN=.

【答案】{0,1,2}

【分析】列举法表示M,由交集的定义求McN.

【详解】因为M={xwN|(x+2)a_3)<0}={xwN|-2vxv3}={0,1,2},

又N={-2T0J2},所以M「N={(U2}.

故答案为；{0,1,2}

15.(23.24高三上.重庆长寿.期末)关于”的不等式2/+招+/；<()的解集为(1,2),则。+〃=..

【答案】-2

【分析】由题意可得L2为方程2/+如+。=0的根，再由根与系数的关系求解即可.

【详解】由x的不等式2/+公+6<0的解集为(1,2),

可得L2为方程2/+公+。=0的根，

1+2=--

7

所以J,解得：an,

1x2，

2

所以a+〃=-2.

故答案为：-2.

16.(23-24高三下•上海浦东新•阶段练习)若关于x的不等式必2_5X+/〃K0的解集为R,则实数〃，的取值

范围是.

【答案】卜巴-1

【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.

【详解】当机=0时，不等式为-5xK0nxN0,显然不符合题意；

当时，因为关于x的不等式wir5-5x+/〃W0的解集为R>

m<05

所以有A(V、242-)=""一子

△=(-5)-4m<02

所以实数加的取值范围是(一--外，

\一

故答案为：

17.(23-24高三下.北京.开学考试)关于X的不等式d-(a+l)x+av0的解集中至多包含1个整数，写出满

足条件的一个，的取值范围.

【答案】[一1,3]

【分析】把不等式化为讨论和a=l时，求出不等式的解集，即可得出满足

题意”的取值范围.

【详解】关于元的不等式/一（。+1口+。<0可化为“一|）*一。）〈0,

当a>\时，解不等式得\<x<a,

当,3<1时，解不等式得a<x<\,

因为不等式的解集中至多包含1个整数，

所以lva?3或—iKavl,

当〃=1时，不等式的解集为。，也满足题意；

所以。的取值范围是[T，3].

故答案为:[-1，引.

四、解答题

18.（23-24高三上•湖北•阶段练习）已知人=„2一工一1240},5=卜,2一（]+/〃卜+〃?工。}

（1）若〃?=5,求

（2）若xeA是xe8的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

【答案】⑴口,4]

⑵卜3,4]

【分析】（1）根据题意结合一元二次不等式求集合A3,再求ACB；

（2）由题意可知：集合B是集合A的真子集，分切=1、m>1和m<1三种情况，根据包含关系运算求解.

【详解】（1）由题意可得，A={.r|x2-.r-12^0）=[-3,4],

当〃?=5时，8=卜,2-6犬+540}=[1,5],

所以Ac8=[l,4].

（2）由题意可知：集合B是集合A的真子集，

因为不等式/一（1+〃2）工+“40等价于（工一1）（工一机）《。，则有：

当〃?=1时，«={1},满足题意；

当刃>1时,B=[l,m],J8|l</n<4；

当加<1时，B=-3</??<!；

综上所述：实数m的取值范围[-3,4].

19.(2324高一上•重庆•期中〉已知关于*的方程.-分十」。有实根，集合卜卜-6|〈〃小

(1)求”的取值集合人；

(2)若AB=B,求加的取值范围.

【答案】(l)4=(f，0)=H+a>)

(2)m<2

【分析】(1)分。=0,。工0两种情况讨论，结合判别式求解；

(2)若AB=B,则分mKO,〃?>0两种情况讨论，列出不等式求解即可.

【详解】(1)方程欠2一奴+]=()有实根，

若〃=0,该方程无解；

若〃工0,贝!)4=/一44之0,解得。<。或〃之4,

综上，A=(F，0)L44,E>).

(2)若AB=B,则BuA,

当〃K0时，B=W|x-6|<m)=0,符合题意；

当〃?>0时，B={x\\x-6\<ni]={x\6-ni<x<6+m),

**BQA,；•6一〃？24或6+〃？K0,0<ni<2,

综上，m<2.

20.(23-24高一上•山东吉岛•期中)己知〃.。=2.，+瓜+c,不等式/(、)<-12的解集是(2,3).

⑴求/(x)的解析式；

f(x)>0

⑵不等式组:)八的正整数解仅有2个，求实数A取值范围；

f(x+k)<0

【答案】⑴/(x)=2f_i0x

⑵[-3,-2)

【分析】(1)依题意可得2,3是关于x的一元二次方程2/+小+°+12=0的两个实数根，利用韦达定理得

到方程组，解得即可；

.»1+幻<。,分别解出各不等式，再由正整数解的个数确定该正整数解为6、7,

(2)依题意可得

从而得到7<5—女48,解得即可.

【详解】(1)因为/&)=2/+"+/不等式，。)〈-12的解集是(2,3),

所以2,3是关于x的一元二次方程2/+法+c+]2=0的两个实数根,

2+3=--

，，解得，/?=-10,

可得…’所以…

2x3=f

2

2.V2-10A>0

(2)不等式/3+口<0'P

2ix+k)2-\0(x+k)<0,

由2/-104>0,解得X>5或X<0,

由2(x+&)2—l()(x+A)<(),即(x+A-5)(x+A)<0,解得一—k,

因为不等式组的正整数解仅有2个，可得该正整数解为6、7,

所以7<5-心8,解得-3及<-2,则实数&取值范围是[-3,-2)；

【B级能力提升练】

一、单选题

1.(23-24高三下•江西赣州•期中)已知集合4=1£1<卜2<4},B={.rGR||x+l|>l},则Al8=()

A.[0,2)B.(-2,0]C.(0,2]D.[-2,0)

【答案】C

【分析】先求出集合A3,再由交集的定义求解即可.

【详解】因为f44可得-24“42,

由卜+1]>1可得：x+1>1或无+1<-1,解得：x>0或xv-2

因为人={到-2工4工2},8={幻工<-2或不>0},所以AcB=（0,2].

故选：C.

2.（2024•天津河西•一模）"_?"”是“_!_2]，，的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】由Jwx得x（x-l）V。，解得OKxKl,

由\得所以卜（二解得―

xx[x工0

所以<小是成立的必要不充分条件.

X

故选：B

3.（2024.全国•模拟预测）已知集合人=卜|卜—4<1},/3={X*T-2<0},若（\A）18=R,则实数。的

取值范围为（）

A.[-1,0]B.（-1,0）C.（0,1）D.[0,1]

【答案】D

【分析】由不等式的解法和集合的运算，求得«人=3”。+1或xWa-1},结合（QA）8=R,列出不等

式组，即可求解.

【详解】由集合A={x||x-a|<l}={x[a-l<x<a+l},且8={工|一1<x<2},

所以々4={1[4之。+1或％4。一1},

[a-\-1

因为他4儿3=R,可得•“+Y2，解得。少v1，

所以实数。的取值范围为[0』.

故选：D.

4.12024•广东•一模）已知dEcwR且。工0,则“aF+雨+°>0的解集为{不,工1}”是“。+8+。=0”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.

【详解】由题意，二次不等式副、公+c>（）的解集为卜,工1},

a>0

b

贝（J等价于1一丁=1,即。=。、0,人=-2々，即alZ?」c=O,

2a

A=/?2-Aac=0

当。+力+c=0时，不能推出。=c>0,〃=一2。，

所以“加+〃x+c>0的解集为{琲"1卜是"a+"c=O”的充分不必要条件,

故选：A

5.（23-24局三上.内蒙古通辽.阶段练习）己知命题eR,+（tz—l）x0+1<0,若命题〃是假命题，

则。的取值范围为（）

A.I<tz<3B.

C.-\<a<3D.0<a<2

【答案】C

【分析】利用含有一个量词命题的否定转化为不等式f+（。-1卜+1之0对狂什口恒成立，根据判别式可求

得一

【详解】根据题意可知，命题〃的否定为“VrwR,寸+（〃-l）x+lN0”为真命题;

即不等式丁+（。-1）工+整0对心61<恒成立，

所以△=（〃-1）2-440,解得-印43；

可得”的取值范围为-14。工3.

故选：C

6.（2023裔三•全国・专题练习）若关于工的不等式/+皿-4>0在区间［2,4］上有解，则实数机的取值范围

为（）

A.（―3,-KO）B.(0,+ooiC.（』0）D.（一》,-3）

【答案】A

【分析】

利用二次函数的图象及根的分布计算即可.

【详解】易知△=>+16>0恒成立，即V+〃a—4=0有两个不等实数根%,玉,

又百&=-4<0,即二次函数y=f+〃d-4有两个异号零点，

所以要满足不等式W+〃比一4>0在区间[2,4]上有解，

所以只需才+4/〃-4>0,

解得〃A-3,所以实数m的取值范围是(-3,y).

故选A.

7.(2024高三•全国•专题练习)关于*的方程/+(。+2卜+9。=0有两个不相等的实数根4%，且$vl〈勺，

那么。的取值范围是()

??2

A.一一<a<—B.a>—

755

22

C.a<--D.---<a<0

711

【答案】D

【分析】说明a=0时，不合题意，从而将公2+(。+2)4+9。=0化为9+[1+])]+9=0,令

y=/+(i+1)x+9,结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.

【详解】当〃=0时，加+(a+2)x+9a=0即为2x=0,不符合题意；

故"0,加+(a+2)x+9〃=()即为丁+(1+[1+9=0,

令了=炉+(1+2*+9,

由于关于X的方程方2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根片,占，且％<1<9，

贝Uy=or2+(a+2)x+9。与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，

故工=1时，y<0,即1+[+2]X1+9<0,解得2<一"，故-捻<4<0,

ka)a11

故选：D

二、多选题

8.(2024・广东深圳•模拟预测)卜.列说法正确的是()

A.不等式4f-5x+l>。的解集是卜或

B.不等式2f7一6£0的解集是卜x-］或

C.若不等式o?+8仆+21Vo恒成立，则〃的取值范围是0

D.若关于x的不等式2/+*-3<0的解集是e,1）,则〃+9的值为-；

【答案】CD

【分析】

对于AB,直接解一元二次不等式即可判断；对于C,对。分类讨论即可判断；对于D,由一元二次不等式

的解集与一元二次方程的根的关系，先求得PM,然后即可判断.

【详解】对于A,4x2-5x+l>0<=>（x-l）（4x-l）>0<=>x<^^x>l,故A错误；

对于B,2x2-x-6<0<=>（x-2）（2x+3）<0<=>-^<x<2,故B错误；

若不等式ar2+8ar+21<0恒成立，

当。=0时，21<0是不可能成立的，

所以只能而该不等式组无解，综上，故C正确；

A=64<7*-84。<0

对于D,由题意得41是一元二次方程2/+px-3=0的两根，

-3

4x1=—3

从而广2，解得p=l

2+〃-3=02

33

而当〃=1，4=一：时，一元二次不等式2犬+不一3<。。（工一1）（2犬+3）<0。一］<4<1满足题意，

所以〃+4的值为-；，故D正确.

故选：CD.

9.（23-24高一上•陕西西安•期中）已知关于x的不等式依2+法+（.之0的解集为{划％4-3或a4},则以下

选项正确的有（）

A.a>0

B.不等式6+c〉0的解集为{x|xvT2}

C.a+〃+c>0

D.不等式c/一/冰+4<0的解集为或>

43

【答案】ABD

【分析】求得a的取值范围判断选项A；求得不等式乐+c〉0的解集判断选项B；求得a+〃+c的取值范围

判断选项C；求得不等式以2一公+〃<0的解集判断选项D.

【详解】关于％的不等式加+尿+cNO的解集为｛xlx—3或工24｝,

贝IJ公=-3和勺=4是方程aF+〃x+c=O的二根，且〃>0

…b

-3+4=-,卜>（）

则,解之得,

-3cx4“=—cc=-\2a

a

由。>0,可得选项A判断正确；

选项B：不等式乐+c>0可化为s八，

-ar-12a>0

解之得xv-12,则不等式笈+c>0解集为｛xlxv-12｝.判断正确；

选项C：a+b+c=a-a-l加=-12。<0.判断错误；

选项D：不等式cr2-力x+a<0可化为一120¥?+av+a<0,

即12/一1>0,解之得上“<-；或x>；｝.

则不等式-―加+avO的解集为卜1%<-；或%>；｝.判断正确.

故选：ABD

10.（2024高三•全国•专题练习）（多选）下列命题正确的是（）

A.若不等式af+bx+ccO的解集为（x/,⑼，则必有。>0

B.若方程加+云+。=0（"0）没有实数根，则不等式加+b+00的解集为R

C.不等式“+外+4。在R上恒成立的条件是4Vo且/=〃-4*40

D.若二次函数），=aF+云+c的图象开口向下，则不等式奴2+/»+“0的解集一定不是空集

【答案】AD

三、填空题

11.（2024•陕西西安・模拟预测）当1KXK2时，不等式V一如+i5。恒成立，则实数〃的取值范围是.

【答案】曰+8）.

【分析】根据题意分离参数〃，进而构造函数求定区间的最值即可.

【详解】当IW,IW2时，不等式寸-如+1<0恒成立，

）'1I

所以当1KXW2时，4=恒成立，则。之工+一,

XX\）max

令g（x）=x+L则g（x）在［1,2］单调递增,

X

所以g（x）a=g（2）=2+3!所以。吟.

故答案为"|收）.

12.（23-24高三上.上海静安•阶段练习）设集合4={小2-2、-3<0,xwR},8={小|>a,a>0},则A«=R,

则实数。的取值范围为.

【答案】（04）

【分析】由题意可以先将所给集合化简，若满足川则故只需根据包含关系列出不等式组

求出参数范围即可.

【详解】由题意八=卜,2-2工一3<0m£K;={X|T<xv3},4={*H>a,a>0}=卜同。或x{-a,a〉u},

若满足AU8=R,贝3B=A,

又因为《8={x|-a。。},

-1<-a

所以<a<3,解得Ovacl.

a>0

故答案为：（0,1）.

13.（2022高三上•河南•专题练习）已知“小-1|<I,g：/-（a+l）x+aKO,若〃是夕的必要不充分条件，则实

数〃的取值范围是.

【答案】（0,2）

【分析】先对〃求解得〃：（）<x<2,对9化简得/（x7）G-a）W0,再结合〃是夕的必要不充分条件，对“

进行分类讨论，即可求解.

【详解】

由上一1卜1,解得0cx<2,所以〃:0vxv2,

对于-(a+l)x+a<0,BP(x-l)(x-«)<0,

若"1,解得要使〃是9的必要不充分条件，则”2,所以1<〃<2；

若av1,解得要使〃是9的必要不充分条件，则。>0,所以0“<1；

若&=1，则[为{幻％=1},符合题意，所以实数。的取值范围是（0,2）.

故答案为：（0,2）.

14.（23-24高一上.湖北荆州.期末）若命题大£1<,-x2-2/延+2〃?-320为真命题，则〃?的取值范围

为.

【答案】（』一3]31，内）

【分析】利用二次函数性质求解可得.

【详解】由题意，不等式一/一2，心+2〃?一3之0有解，即不等式丁+2"氏一2〃，+3K0有解，

设f（力=12+23-2/〃+3,则函数图象开口向上，

要使不等式有解，则函数，（力图象与x轴有交点，

RljA=4w2-4（-2/n+3）>0,化简得>+2〃L3NO,解得〃区一3或机2/.

故答案为：（t^Td。4*00）

四、解答题

15.（23-24高三上•宁夏银川•阶段练习）^y=mx2+（\-m）x+m-2.

⑴若不等式yN-2对一切实数T恒成立，求实数机的取值范围；

（2）已知〃?<0解关于x的不等式/n?+（1-〃?»+/〃一2V〃L1

【答案】（Dg，+8）

⑵答案见解析

【分析】（1）根据题意，转化为，症+（1-〃?）“+加"对一切实数工恒成立，分，〃=0和"7H0,两种情况讨

论，列出不等式组，即可求解；

（2）根据题意，求得（〃a+1）（/-1）=。的两个根为再=-3,七=1,分类讨论，即可求解.

【详解】（1）解：由尸田2+（1-〃?卜+，〃-22-2对一切实数%恒成立，

即nix2+(1-/〃)x+〃?20对一切实数x恒成立,

当"?=0时，xNO,不满足题意；

m>0I

当时，则满足{//.，/八，解得〃?得,

A=(1-/27)-4m-<03

综上所述，实数机的取值范围为g，y).

(2)解：由不等式+(1—〃7)彳+，〃-2<"7—1,即("ir+l)(x-l)<0,

方程(小+1)"-1)=0的两个根为玉=-工4=1，

m

①当”=-1时，不等式的解集为(e,1)51,”)；

②当机<-1时，不等式的解集为(Y0，-5)D(l，*0)；

③当—1<相<()时，不等式的解集为(-，1){-；,+8.

综上所述，

当"?4-1时，不等式的2+(1-⑼；V+m一2<，〃-1的解集为(1,+8);

、'1、

当-1V/MV0时，解集为(YO，1)，+8,

、/〃/

16.(23-24高一上•辽宁朝阳•期中)已知函数/(x)=f-奴-2^,〃eR.

⑴求不等式〃“<0的解集；

⑵若外“在［T2］上的最小值为0,求〃的值.

【答案】(1)答案见解析

(2)a=0

【分析】(1)由题意可得/(x)=(x-2a)(x+a),分类讨论a的取值范围即可得出对应的解集；

(2)易知/。)对称轴为x=5,根据二次函数的性质，分类讨论，求出当5«-4、-4<^<2,时/(初.

的表达式，列方程，解之即可求解.

【详解】(1)Z(x)=x2-av-2zz2=(x-2zz)(x+«),

当〃=0时，不等式/。)<。的解集为0；

当〃>0时，—a<2a,不等式f(“<0的解集为(-4加):

当〃<0时，S,不等式/(“〈。的解集为(2a,-。).

(2)因为/(力二/-ai-ZAaeR的对称轴为x=£,

当：K-4即。K—8时，在［T2］上单调递增，

此时/(力的=/(^)=16+4。-2/=()，解得，=4或。=一2，

又因为X,所以不存在这样的a；

当即-8WaW4时，/(力在1-4,父上单调递减，在上,21上单调递增，

2L2」L

此时/(工端口=/(与)』—『』。’解得1=0,此时满足—8W〃K4'所以a=0成立;

当;N2即〃之4时，/")在［T,2］上单调递减，

此时〃立而="2)=4-勿-勿』，解得。=1或〃=一2，

又因为。之4,所以不存在这样的a；

综上：f(%)在［T2］上的最小值为。时,〃=0.

17.(23-24高一上•浙江宁波•阶段练习)(1)解关于x不等式加-3工+2>5-孤〃>0)：

(2)若对于-2K〃zK2,不等式蛆2_3_］<_〃?+5恒成立，求x的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；(2)(-1,2)

【分析】(1)分类讨论”的取值情况，结合二次不等式的解法即可得解；

(2)将问题转化为〃口2-1+1)-6<0对于〃?£［-2,2］恒成立，利用主元法即可得解.

【详解】（1）因为axr-3x+2>5-ar»

所以纨2+（。・3）x-3>0,即（av—3）（X+1）>0,

①当4=0时，不等式化为-31-3>0,解得“<一1；

7

②当"0时，方程(at-3)(.r+l)=0的两根分别为玉=(q=-1,

当〃>0时，不等式化为(x-$(.\+l)>0,则其解集为(-8,-1)5』,+8),

当”0时，不等式化为1-3］(门1)<0,

\a/

当-1〈二3<0,即〃<—3时，不等式的解集为(-1二3),

aa

3

当-1=',即。=-3时，不等式的解集为0,

当士3<7,即一3<。<0时，不等式的解集为(3工-1),

aa

综上所述：当。>0时，不等式的解集为(F,-1)=(2,+8)；

a

当4=0时，不等式的解集为(-00,-1)；

当-3<。<0时，不等式的解集为(±-1)；

a

当〃=-3时，不等式的解集为0；

3

当av-3时，不等式的解集为

a

(2)因为对于一2442,力比？一〃认一1<一/〃+5恒成立，

所以m(x2-x+l)-6<0对于mG[-2,2]恒成立，

-2(x2-x+l)-6<0

，解得T<xv2,

2(.r-x+l)-6<0

故i的取值范围为(T，2).

18.(23-24高一上•浙江•期中)己知函数/(x)=(/-2a)Y+(2a-2)x+l.

(1)若对X/xwR,都有/(x)>T成立，求实数。的取值范围；

⑵解关于x的不等式〃x)>0.

【答案】⑴(fl-⑹(1+6甸

⑵答案见解析

【分析】(1)化简不等式根据/一2”的符号进行分类讨论，由此求得〃的取值范围.

(2)化简不等式/(司>0,对。进行分类讨论，由此求得不等式的解集.

【详解】⑴对小eR,都有成立,即(/-加卜2+(2“一2)工+2>0成立，

a2-2a=0

①2a-2=0,无解；

2>0

a2-2«>0

②A=(2a-2f_8『24<0'解得.■或。<1-6

综上，a€(-oo,l-V2)(1+6+8).

(2)/(A)=(«2-x2+(2n-2).r+1>0,即(0¥+1)[(.-2)%+1]>0,

①当4=0时，-2x+l>0,Ax<p

②当4=2时，2x+l>0,Ax>-^；

③当0vav2时，—<0<-----,/.—<x<------；

aa-2aa-2

④当a<0或a>2时,———,Ax<——!—或%>一上.

a-2aa-2a

综上，

当〃=0时，原不等式解集为[8,g);

当4=2时，原不等式解集为XJ],+8]；

I/7

当0<”2时，原不等式解集为，

\aa-2)

当"0或〃>2时，原不等式解集为f-oo,一-1,+oo1

(a-2)IaJ

【C级拓广探索练】

一、单选题

1.（贵州省铜仁市2023-2024学年高一上学期1月期末质量监测数学试题）当1,1）时，不等式

2M2一日一]恒成立，则&的取值范围是（）

8

A.（-3,0）B.[-3,0）C.134d-R

【答案】D

【分析】

对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.

【详解】当时，不等式2履2-米-?<0恒成立，

O

当上=0时，满足不等式恒成立；

当士*0时，令/（力=2履2一履_:，则”X）〈。在（一1,1）上恒成立，

0

函数“X）的图像抛物线对称轴为X=:,

A>0时，在(Tj上单调递减，在G，l)上单调递增,

3

〃-1)=2攵+"90

O

则有解得0<人«：；

O

O

4<0时，在1G)上单调递增,在(;』)上单调递减,

则有/匕卜正一二不<°，解得-3<攵<(),

(r

综上可知，k的取值范围是-3,三,

O

故选：D.

【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方

法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处

理能力和解决能力.

二、多选题

2.(山东省荷泽第一中学南京路校区2023-2024学年高一上学期I月月考数学试题)下列命题正确的是()

A.若关于x的方程/+(/一1卜+。一2=。的一根比1大且另一根比1小，则。的取值范围是-2<〃<1

B.若关于x的不等式V一心+k—l<0在(1,2)上恒成立，则实数人的取值范围是&<3

C.若关于x的不等式火-〃>0的解集是则关于x的不等式生¥>0的解集是｛小>2或x<T｝

x—2

D.若｝+.=1(a>0力>0),则，•+,的最小值为g

【答案】ACD

【分析】对于A,原问题等价于/(1)=1+(/-1)+。-2=/+。-2<0,解一元二次不等式即可验证；对于

B,原问题等价于k>x+l在(1,2)上恒成立，由此即可验证；对于C,首先得〃>0,。=》，然后解分式不等

式即可验证；对于D,首先由基本不等式得二•4!，然后由!+：=2+2丫一2=1一Wni」,即可

ab2a~b~\ab)abab22

验证，注意取等条件是否成立.

【详解】对于A,二次函数/(x)=f+(〃-1卜+〃-2,开口向上,

若关于X的方程/+(/—1卜+。-2=0的一根比1大且另一根比1小,

贝⑴=1+(/-1)+4-2=/+〃-2<0,解得故A正确；

对于B,若关于x的不等式f-心+A-1<0在(1,2)上恒成立，

则只需-1,即火>x+l在(1,2)上恒成立即可，

则实数k的取值范围是々23,故H错误；

对于C,若关于x的不等式”-6>0的解集是(L”)，则。>0,。=〃，

所以关于x的不等式丝g>0o注或x>2,故C正确；4

x-2x-2

对于D,若，+£=1(〃>0力>0),则1+^=1之2,区，解得二Kg,等号成立当且仅当〃=2。=4,

ab7abNabab2

所以工+二二^+^1一&二1__£>|__L=_L,等号成立当日仅当a=2,/?=4,故DTF确.

a2bz{ab)abab22

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：A选项的关键是得/(1)="+"-2<0,B选项的关键是得攵>x+l在(1,2)上恒成立,

C选项的关键是得〃>0,。二》，D选项