一元二次方程的概念与解法（6大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）原卷版-2025年新八年级数学暑假提升讲义（沪教版）

一元二次方程的概念与解法

（6大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）

B题型预览

典型例题——元二次方程的定义

典型例题二根据一元二次方程求参数

典型例题三解一元二次方程一一直接开平方法

典型例题四解一元二次方程一一配方法

典型例题五公式法解一元二次方程

典型例题六因式分解法解一元二次方程

典型例题七一元二次方程的新定义计算

典型例题八配方法的应用

展知识梳理

知识点01—元二次方程的概念

只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为a/+，x+c=°（a*0）（a、b、C为常数）的形式，这

样的方程叫做一元二次方程。

注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的

最高次数是2。（三个条件缺一不可）

如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

知识点02一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般式是ax?+云+。=°（4#°）（a、b、c为常数）。

其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

注：①化为一般式时，右边为0;②习惯上将二次项系数a化为正数

知识点03一元二次方程的解法：直接开平方法

直接开平方法解一元二次方程：将方程化成侬+2)2=1)(1320)的形式，则*=—a土VE(b2。).

知识点04一元二次方程的解法：配方法

配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法.

用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(aWO)的一般步骤是：

(1)化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；

(2)移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；

(3)配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；(4)化原方程为(x+m)2=n的形式；

(5)如果n20就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n<0,则原方程无解.

注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对。=±1且6为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用

公式法来更加简单。

知识点05公式法

公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.

—b+y/b2-4ac

Xi2=

一元二次方程的求根公式是：’2a(A=b2—4ac20)

(%+b丫_b?-4ac

推导过程：一元二次方程a/+'x+c=°(a*°),用配方法将其变形为：2a4a2

2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2-4ac

的值；④若b2—4ac20,则代人求根公式，求出xl,x2.若b2—4ac<0,则方程无解.

知识点06因式分解法

将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等

于0,实现降次的方法。

即将一元二次方程化简为(x——%)=0；从而得出：'=』,或x=因式分解法的关键是分解成两个

一次因式相乘的形式。

1、因式分解的主要方法：

①提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。

②乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好

解决。①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；②完全平方公式：a2±2ab+b2=（a+b）2

③十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：

①十字左边上下两数相乘等于二次项；②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于

一次项。例如：用十字相乘法解方程：2x2—x—6=0

*-*-6=0

X2

2x-（-2）+x-3=-x

,3

...方程可分解为：（2x+3）（x—2）=0.,.x1=--,x2=2

2、解一元二次方程的方法选择：

①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。

③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。

注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如2（x+4）2=3（x+4）中，不能随便约去（x+4）。

ffl经典例题

G【典型例题——元二次方程的定义】

【例1】（24-25八年级上•上海闵行•期中）若方程a--x+5=0是关于x的一元二次方程，则。的取值范围

为（）

A.awOB.a>3C.a=0D.a>0

【例2】（24-25八年级上•上海嘉定・期末）关于x的一元二次方程2x2-5x=3的常数项为（）

A.0B.-3C.4D.7

【例3】（24-25八年级上•上海长宁•期末）若关于x的方程（加-2口/-2+》=0是一元二次方程，则相的值

是.

【例4】（24-25八年级上•上海宝山•阶段练习）若关于x的一元二次方程（。-2）尤2-办+/-4=0的一个根

为0,则。的值是

【例5】（24-25八年级上•上海松江•阶段练习）把一元二次方程（2工+3）（2》-3）=•工+1）化为一般形式，并

指出它的二次项系数，一次项系数和常数项.

0变式训练

1.（24-25八年级上•上海虹口•阶段练习）若关于x的方程（加+l）x"*-3x+2=0是一元二次方程，则俄的

值为（）

A.m=-1B.m=lC.m=±1D.无法确定

2.（24-25八年级上•上海嘉定•期中）已知机是一元二次方程x2-3x+2=0的一个根，则代数式

2m2-6m+2022的值______.

3.（24-25八年级上•上海宝山•阶段练习）已知关于x的方程（/-4）/+（〃?+2）X+3〃L1=0.

（1）当相为何值时，该方程是一元二次方程？

（2）当他为何值时，该方程是一元一次方程？

4.（24-25八年级上•上海静安•课后作业）若m是一元二次方程心曰-》-2=0的一个实数根.

（1）求a的值；

（2）不解方程，求代数式标-加）+的值.

以【典型例题二根据一元二次方程求参数】

[例1]（24-25八年级上•上海松江•期中）已知关于x的一元二次方程/+3x+k2-4=0的常数项为0,则k

的值为（）

A.-2B.4C.2或一2D.4或一2

【例2】（24-25八年级上•上海徐汇・期末）将一元二次方程（x+a）2=6,化成尤2-8x-5=0的形式，则。力

的值分别是（）

A.-4,21B.-4,11C.4,21D.-8,69

【例3】（24-25八年级上•上海闵行•期中）若（〃?+l）x'"'+4x+4=0是关于x的一元二次方程，则加的值

是.

【例4】（24-25八年级上•上海奉贤山•阶段练习）方程3/一5x-2=0的二次项系数为3,一次项系数

为.

【例5】（24-25八年级上•上海青浦•开学考试）问题：已知方程/+x-l=O,求一个一元二次方程，使它的

根分别是已知方程根的2倍.

解：设所求方程的根为力贝D=2x,所以x=/,把x='代入已知方程，

得”

化简，得/+2y-4=0,故所求方程为丁+2广4=0.

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.

请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）

（1）已知方程/+3工-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为

（2）已知方程/+3》一1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1,则所求方程为.

（3）已知关于x的一元二次方程X?-加x+〃=0（〃w0）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别

是已知方程根的倒数.

0变式训练

1.（24-25八年级上•上海嘉定•期中）若关于x的一元二次方程。x2+6x+c=0（acN0）有一根为x=2025,则

关于y的一元二次方程CT?+勿+a=0（因N0）必有一根为（

1

A.2025B.-2025D.--------

2025

2.（24-25八年级上•上海虹口•期末）已知下面三个关于1的一元二次方程办2+云+C=0,bx2+cx+a=0,

c/+办+6=0恰好有一个相同的实数根a,贝！Ja+6+c的值为

3.（24-25八年级上•上海闵行•阶段练习）已知一元二次方程/-1）/+7履+左2+3左-4=0有一个根为零，求左

的值.

4.（24-25八年级上•上海松江•期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax?+bx+c=0（a#0）满足6=a+c,

那么我们称这个方程为“有爱方程”.

（1）判断一元二次方程（2x+iy=1是否为“有爱方程”，并说明理由；

（2）若关于x的一元二次方程ax-+bx+c=0（a丰0）为“有爱方程”，证明：x=-l为“有爱方程”的根；

（3）已知3x2-办+6=0是关于x的“有爱方程”，若。是该“有爱方程，，的一个根，求。的值.

国.【典型例题三解一元二次方程一一直接开平方法】

【例1】（24-25八年级上•上海金山•阶段练习）一元二次方程无2=9的解是（）

A.x=+3B.x=3C.x=—3D.x=+9

[例2]（24-25八年级上•上海徐汇•期末）一元二次方程（x+7）2=81可转化为两个一元一次方程，其中一个

是x+7=9,则另一个是（）

A.x-7=-9B.x-7=9C.x+7=9D.x+7=-9

【例3】（2025・上海长宁•模拟预测）对于符号“V”，我们作如下规定：ayb=a2+b2+l,如

4V5=42+52+1=16+25+1=42,若2Vx=10,贝i|x=.

【例4】（24-25八年级上•上海•期中）“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友

方程，这两个公共根叫做好友根.”例如x2-x-2=0和V-2x-3=0就是互为好友方程，好友根为

x=-l.如果/-1=0和办2一x-2=0就是互为好友方程，那么.

【例5】（24-25八年级上•上海静安•期中）解方程：（X-2『=9（X+3）2.

0变式训练

1.（24-25八年级上•上海虹口・期末）若一元二次方程加=6（帅＞0）的两个根是机一1与为-5,则加的值

是（）

A.4B.2C.与a、6有关D.没法确定

2.（24-25八年级上•上海静安•期中）定义：关于x的一元二次方程为X2+[X+G=。的两根之和玉+马与两

根之积石・马分别是另一个一元二次方程出尤2+4工+。2=0的两个根，则一元二次方程/xZ+&X+C?=。称为

一元二次方程为无2+,x+q=。的“再生韦达方程”，一元二次方程4x2+4x+q=。称为“原生方程”.

（1）写出方程/一4=0的“再生韦达方程”.

（2）写出一个一元二次方程，使得它既是“原生方程”又是自己的“再生韦达方程”—.

3.（24-25八年级上•上海•期中）解关于x的方程：7-4=/+69片_1）.

4.（24-25八年级上•上海奉贤・期中）阅读材料：关于x的二次多项式，当xT=0时，该多项式有最值，就

称该多项式关于x=f平衡.例如：由于--2X+3=（X-1）2+2,所以当x-l=0时，多项式x?-2x+3有最

小值2,则称X?-2x+3关于x=1平衡；由于-2苫+3=-卜+1）~+4,所以当苫+1=0时，多项式一2x+3

有最大值4,则称-x?-2x+3关于x=-l平衡.

运用材料中定义解决下列问题：

⑴多项式/+4X+1关于x=平衡；

（2）若关于x的多项式/一2ax+4关于x=5平衡，则。=；

（3）关于x的多项式X2+ax+c关于x=-3平衡，且最小值为6,求方程无?+办+。=7的解.

q【典型例题四解一元二次方程一一配方法】

【例1】（2025・上海宝山•模拟预测）利用“配方法”解方程工2-4工-7=0,配方结果正确的是（）

A.（x-2）2=11B.（x-2）2=3

C.（x-4）2=11D.（x-4）2=3

【例2】（24-25八年级上•上海松江•期中）把方程/_i0x-2025=0配方成=〃的形式，则加、〃的

值分别为（）

A.-5、2050B.5、2050C.5、-2050D.-5、2025

【例3】（24-25八年级上•上海徐汇・期中）配方法解一元二次方程x?-6x=5,应在方程两边同时加上

【例4】（24-25八年级上•上海杨浦•阶段练习）用配方法解方程2-一6x+1=0时，若将方程化为（x+〃

的形式，则〃?〃=_.

[例5]（24-25八年级上•上海普陀•期末）下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax?+6x+c=0（«*0

且/一4因>0）的求根公式的过程.

ax2+bx+c=0(a0)x2+-x=--...........第一

aa

步

............第三步

『耳……）第四步

（1）嘉淇的解法从第步开始出现错误;

事实上，当/_4℃>0时，方程办2+6x+c=0（叱0）的求根公式是：

(2)用配方法解方程：®s-6x+3=0.

0变式训练

1.(24-25八年级上•上海奉贤•期中)公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔・花拉子米在解方程x?+2x=35时采用

的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为(x+l『；一方面，它又等于35+1,据此可得方程

的一个正数解x=5.按照这种构造方法，我们在求方程f+4x=5的一个正数解时，可以构造如下图形

）

=1+C1I

2.i,，5〃+1=1+不（Z7>1,且

〃为正整数).若……S7=a,则。的值为.

3.(24-25八年级上•上海徐汇•阶段练习)解方程：

(l)x2+2x-3=0;

(2)(21)2=2(21)；

⑶X2-4X-2=0（配方法）.

4.(24-25八年级上•上海闵行•阶段练习)阅读与思考：用配方法求二次三项式的最值

我们通常把("±6)2=/±2成+〃称为完全平方公式，由此可知多项式/±2^+62的最小值为o.有些多

项式不是完全平方式，可以通过添加项，用配方法变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的

值不变，这样可以解决一些最值问题.如：求代数式工2-2x-2的最小值.

解：/-2无一2=/-2工+1-3=(无一1)2-3

v(x-l)2>0

.-.(X-1)2-3>-3

x2—2x—2的最小值是-3.

解决问题：

⑴将代数式/+6》-4用配方法可转化为.

(2)已知4x?-12x+3=(2x+〃y+6,贝!|。=,b=.

⑶请求出代数式9/_12x+7的最小值.

【典型例题五公式法解一元二次方程】

【例1】（24-25八年级上•上海宝山•期中）以x='土,二+2°为根的一元二次方程可能是（）

2

A.x2-ZJX+10=0B.x2--10=0C.x2+-5=0D.x2--5=0

【例2】（24-25八年级上•上海虹口•阶段练习）若用公式法解关于x的一元二次方程2—+3%-4=0,其根

为（）

A.「3±次一4x2x（一4）Bx「3士卜4『-4x2x3

2x2X-2x2

C_-3土.2-4x2x（-4）口_-3土次-4x2x（一4）

*“-2^2,“-2

【例3】（24-25八年级上•上海长宁•期中）小明用公式法解方程/-4关-7=0,请帮他填空第一步，解:

a=1,b=—4,c=.

【例4】（24-25八年级上•上海杨浦•期中）科学研究表明，当雕塑的上部与下部的高度比，等于下部与全部

的高度比时，雕塑看起来最美，我们把这个比叫做黄金分割数，如何求黄金分割数.把上面问题一般化，

如图，线段的长为1,线段上的点C满足关系式则线段/c的长度为.（用

含有根号的式子表示）

ACB

【例5】（2025•上海虹口•模拟预测）【观察思考】

O（TO

□□□□□□□□□

笫1个图案第2个图窠第3个图案第4个图窠

【规律发现】

请用含"的式子填空：

（1）第"个图案中，’口”的个数为」

（2）第"个图案中，”的个数可表示为」

【规律应用】

（3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数〃，使得“C”的个数是“口”的个数2倍？若存在,

求出〃的值，若不存在，请说出理由.

⑥变式训练

1.（24-25八年级上•上海闵行•期中）已知关于%的一元二次方程"2_2（"2）x+"4=0（a>0）,设方程的

两个实数根分别为X],无2（其中再>%）,若V是关于。的函数，S.y=xl-ax2,若y>0,贝！J（）

A.0<a<3B.0<tz<5C.a>3D.a>5

2.（2024・上海长宁•模拟预测）观察下列图形规律，当图形中的“O”的个数和“•”个数差为2024时，〃的值

3.（2025・上海崇明•模拟预测）（1）解方程：2彳-5=0

（2）茗茗同学在解关于x的方程G2_6X-15=0时，过程如下：

~：a=a,b=—6,c=—15,

2

第二步：A=（-6）-4xax（-15）=36+60a

第三步：当以0（即a13）时，v=6+V36+60a=6-736+60£；当△<（）时方程无解

512a②2a

你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是.

你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是.

4.（24-25八年级上•上海宝山•期末）解一元二次方程，-2》=3时，两位同学的解法如下:

甲同学：乙同学：

x2-2x=3a=\,b=—2,。=3

x(x-2)=3/-4次=4-12=-8,

x=l或％-2=3b1-4ac<0，

再=1或9=5,此方程无实数根.

（1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果.

甲同学的解法，乙同学的解法.（填“正确”或者“不正确”）

（2）请选择合适的方法解一元二次方程x（x+3）=4.

国【典型例题六因式分解法解一元二次方程】

【例1】（2025•上海静安・模拟预测）关于x的一元二次方程（2尸1）（》+〃7）=0有两个相等的实数根，则加的

值为（）

£

A.2B.IC.-1D.

2

【例2】（2025・上海嘉定•模拟预测）如图，根据小丽与De的See左的对话，Oe=See左在深度思考后，给出的

答案是（）

A.1B.1C.-1D.1或一1

【例3】（24-25八年级上•上海奉贤•期中）写一个解为玉=4,七=5的一元二次方程.（答案不

唯一）

【例4】（24-25八年级上•上海宝山•期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对»进入其中时，会

得到一个新的实数Y+b-l.例如，把(3,-2)放入其中，就会得到3?+(-2)7=6.现将实数对(办-2〃?)放

入其中，得到实数-1，则加的值是.

【例5】(24-25八年级上•上海闵行•期中)解下列方程：

(l)x2-5x=0;

(2)(X-3)2=2X-6.

0变式训练

1.(2025八年级上•上海静安•专题练习)已知方程(x+a)(x+b)=0有V个解，方程(ax+l)(ta+l)=0有N个解,

其中a片6,则()

A.Af=N-1或/=N+1B.Af=N-1或/=N+2

C.河="或屈="+1D.M=N'^M=N-\

2.(2025・上海虹口•模拟预测)定义：若一元二次方程的两个实数根相差1,则称这样的方程为邻根方程.如

方程》2-》=0的两根为玉=0,x2=l,所以》2-》=0是邻根方程.若关于x的方程一一(相+2)x+27〃=0是

邻根方程，则加=.

3.(24-25八年级上•上海普陀•阶段练习)解下列方程

(l)x2=x;

(2)x2+3x-4=0.

4.(24-25八年级上•上海崇明•期中)小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式

x2-2%+3,由于x?-2x+3=(x-iy+2,所以当x-l=0时，多项式/-2x+3有最小值；多项式

—%2—2x+3,由于—x~-2x+3=-(x+1)~+4,所以当x+l=0时，多项式-x,-2x+3有最大值.于是小慧给

出一个定义：关于x的二次多项式，当xT=0时，该多项式有最值，就称该多项式关于x=f对称，例如

/-2x+3关于x=l对称.请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题:

（1）多项式Y+6x+5关于X=对称；

（2）关于x的多项式V+QX+C关于、=—1对称，且最小值为3,求方程/+办+C=7的解.

国，【典型例题七一元二次方程的新定义计算】

【例1】（24-25八年级上•上海嘉定•阶段练习）对于实数人6,定义新运算，规则如下：a\b=b1-ab,则

等式6Ax=7中x的值为（）

A.1或-7B.-1或7C.-1D.-7

【例2】（2024八年级上•上海宝山•专题练习）定义国表示不超过实数x的最大整数，如[L4]=l,

[-1.2]=-2,[-3]=-3,则方程2国==的解为（）

A.0或啦B.0或2C.2或&D.0或下或2

【例3】（2025•上海徐汇•模拟预测）新定义：a®b=a2-b.若（x-l）®3=l,则x的值为.

【例4】（24-25八年级上•上海静安・期末）对于实数°,6定义一种新运算“☆”如下：a^b=ab2-ab,例如

4☆3=4x3?-4x3=24,则关于x的方程=2的根为.

【例5】（24-25八年级上•上海松江•阶段练习）对于实数。、b,新定义一种运算“※”，

a^b=\ab~b^a-b].

[b~-ab{a<b）

例如：•.•4>l,;.4Xl=4xl-12=3.

⑴计算：2※（-1）=；

（2）若挖^2与的值相等，求x的值.

0变式训练

1.（24-25八年级上•上海闵行•阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数。，b,我们规定符号max{a,b}

表示。，人中的较大值，如：max{2,4}=4,max{-2,-4}=-2等等；按照这个规定，若

max{x,-x）=x2-3x-5,贝ijx的值是（）

A.5B.5或

C.一1或1-D.5或1+V^

2.（24-25八年级上•上海虹口•期中）新定义：关于x的一元二次方程4（x-c>+左=0与称

为“同族二次方程”，例如：5（x-6y+7=0与6（x-6y+7=0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方

程（切+2）x?+（〃-4）x+8=0与2（x-Ip+1=0是“同族二次方程”，则代数式加/+HX+2030的最小值是.

3.（24-25八年级上•上海静安•单元测试）定义新运算：对于两个不相等的实数。、b,我们规定符号Max{a/}

表示。、6中的较大值，如：Max{2,4}=4.

⑴填空：Max{-2,-4}=；

⑵按照这个规定，解方程Max{x,r}=厂一'-2.

4.（24-25八年级上•上海金山•期中）定义：两根都为整数的一元二次方程。x2+bx+c=0（aw0）称为“全整

根方程，代数式t的值为该“全整根方程”的“最值码”，用2（。也C）表示，即°（出瓦0）=4*一优,若

4a4a

另一关于X的一元二次方程"+"+-=08工0）也为“全整根方程”，其“最值码”记为当满足

。（d瓦c）-Q（p,q"）=c时，则称一元二次方程苏+6x+c=0（"0）是一元二次方程"+"+「=05•0）的

“全整根伴侣方程”.

（1）“全整根方程-3x+2=0的“最值码”是.

⑵若（1）中的方程是关于x的一元二次方程x2+qx-2=0的“全整根伴侣方程”，求4的值.

（3）若关于x的一元二次方程Y+（1-〃,）x+加_2=0是/+-l）x-〃=0（加,"均为正整数）的“全整根伴侣

方程“，求"一"的值.

q【典型例题八配方法的应用】

【例1】(24-25八年级上•上海松江•期中)若一元二次方程(x+a)2=6(a,b为常数),化成一般形式为

x2-4%+3=0,则a,b的值分别是()

A.-2,1B.2,1C.2,-1D.-2,-1

【例2】(24-25八年级上•上海金山•阶段练习)小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式2--4X+6的

值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值,

小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是()

(1)小聪认为找不到实数x,使2尤2_4》+6得值为0;

(2)小明认为只有当x=l时，2/-4x+6的值为4；

(3)小伶发现2/一4尤+6没有最小值;

(4)小刚发现2x2-4x+6没有最大值.

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(1)(2)(4)D.(2)(3)(4)

【例3】(24-25八年级上•上海徐汇・阶段练习)已知实数加，〃满足则代数式加2+2/+4加的最

小值等于.

【例4】(24-25八年级上•上海闵行•期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其

它重要应用.

例如：求代数式-+4X+5的最小值？解答过程如下：

解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1.

■/(x+2)2>0,

,当x=-2时，(x+2)2的值最小，最小值是0,

.-.(X+2)2+1>1,

，当（x+2）~=0时，（尤+2）~+1的值最小，最小值是1,

.“2+4x+5的最小值为1.

根据上述方法，可求代数式无2一6》+12当》=时有最（填“大”或“小”）值，为.

【例5】（24-25八年级上•上海虹口•期末）定义：如果关于x的一元二次方程办2+/+。=0（mW0）有一个

根是。，那么我们称这个方程为“黄金方程”.

（1）判断一元二次方程/+2x-3=0是否为“黄金方程”，请说明理由；

（2）已知关于x的一元二次方程2无2+bx+c=0（c牛0）是“黄金方程”，求代数式〃-20+1的最小值.

0变式训练

1.（24-25八年级上•上海长宁•期中）如图，一块直径为6的圆形钢板，从中挖去直径分别为。和6的两

个圆，当a+b=8时，剩下的钢板面积的最大值是（）

A.4TIB.8?rC.10兀D.12兀

2.（24-25八年级上•上海崇明•期中）运用配方法求：（二次三项式的最值）.

对于多项式d+4x+5,当》=时，它的最小值为.

对于多项式-2/+4x+5,当》=时，它的最大值为.

3.（24-25八年级上•上海金山•期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式X?-4x+5的最小值时，利用

公式/±2"+62=（°±方）~,对式子作如下变形：x2-4%+5=x2-4%+4+1=（x-2）-+1,H^J（X-2）2>0,

所以（X-2）2+1N1.所以当x=2时，/-4X+5有最小值，最小值为1.通过阅读，解下列问题:

⑴代数式Y+8x+12的最小值为；

(2)求代数式--+2x+9的最大或最小值.

4.(24-25八年级上•上海松江•期中)阅读材料.

把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大(或最小)值问题.例如：

x~+2.x+3=(无2+2x+1)+2=(x+1)-+2.

•••(x+l)2>0,.•.(x+l)2+2Z2,.•.代数式/+2x+3有最小值，最小值是2.

根据以上信息，解决下列问题：

(1)求代数式x?-4x+5的最小值；

(2)若代数式2Y+依+7的最小值为2,求左的值；

(3)图1是一组邻边长分别为7,20+5的长方形，面积为W；图2是边长为。+6的正方形，面积为S2,且

a>0,请比较W与邑的大小，并说明理由.

磐过关检测

1.(2025•上海杨浦•模拟预测)关于一元二次方程X?-4》-4=0的根的情况，下列说法正确的是()

A.只有一个实数根B.没有实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

2.（2025・上海青浦•模拟预测）若关于x的一元二次方程办2+2x-l=0有两个不相等的实数根，则a的值可

以是（）.

A.-2B.-1C.0D.1

3.（2025・上海金山•模拟预测）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完

成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现

的.”则这位同学是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.（24-25八年级上•上海长宁・期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重

要应用.

例：已知x可取任何实数，试求二次三项式N+6x-1最小值.

解：x2+6x-1

=X2+2・3・X+32-32-1

=（x+3）2-10,

•.•无论x取何实数，总有（x+3）2>0,

（x+3）2-10>-10即x2+6x-1的最小值是-10.

即无论x取何实数，x?+6x-1的值总是不小于-10的实数.

问题：已知x可取任何实数，则二次三项式/-4x+5的最值情况是（）

A.有最大值-1B.有最小值-1C.有最大值1D.有最小值1

5.（2024・上海宝山•模拟预测）【问题背景】“整体替换法”是数学里的一种常用计算方法.利用式子的特征

进行整体代换，往往能解决许多看似复杂的问题.

____________1____________

［迁移运用】计算1+2+\一的值

解：设原式=心则可分析得：x—

l+2+x

-3+V13-3-V13

根据上述方程解得:石=,X-.—

22

而原式>0,故：原式=X[=3+Vi'?

12

【联系拓展】2+22+23+24+25+26+.-+22°=

A.221-1B.221-2C.222-1D.222-2

6.（24-25八年级上•上海•期中）一元二次方程2/-3x=3/+7的一次项系数是.

7.（24-25八年级上•上海徐汇・期中）如果。是方程/+工-3=0的一个根，根据下面表格中的取值，可以判

断<a<.

X1.21.31.41.5

+x—3-0.36-0.010.360.75

8.（24-25八年级上•上海普陀•期末）关于x的一元二次方程办2+6x+c