一元二次方程的应用十大类型（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2023学年九年级数学上册

20222023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍

专题L2一元二次方程的应用十大类型精讲精练

（知识梳理+典例剖析+变式训练）

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为a,十位数是b,则这个两位数表示为10b+a.

（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是a,每次增长的百分率

为x,则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2,即原数义（1+增长百

分率）2二后来数.

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会

构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.

（5）销售问题:

利润=售价一进价二进价X利润率，总利润=销售量X单件利润

3.列一元二次方程解应用题的“六字诀”

（1）审：理解题意，明确未知量、己知量以及它们之间的数量关系.

（2）设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

（3）列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.

（4）解：准确求出方程的解.

（5）验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.

（6）答：写出答案.

【典例剖析】

【考点1】增长率问题

【例1】（2022.新疆.乌售木齐市第七十四中学九年级期末）为应对新冠疫情，较短时间内要

实现全国医用防护服产量成倍增长，有效保障抗击疫情一线需要，某医用防护服生产企业1

月份生产9万套防护服，该企业不断加大生产力度，3月份生产达到12.96万套防护服.

（1）求该企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率.

（2）若平均增长率保持不变，4月份该企业防护服的产量能否达到16万套？请说明理由.

【答案】⑴该企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率为20%

（2）不能达到，理由见解析

【分析】(I)设企业I月份至3月份防护服产量的月平均增长率为％,根据题意列出关于》的

一元二次方程即可求解；

(2)根据条件算出4月份该企业防护服的产量，即可判断.

(1)

解：设企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率为工,

由题意可得：9(1+刈2=12.96,

解得：占=20%,x?=-2.2(舍去)

答：该企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率为20%；

(2)

解：12.96x(1+20%)=15.552(万套)，

15,552<16,

•••4月份该企业防护服的产量不能达到16万套.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据条件列出一元二次方程是解题的关键.

【变式1.1](2021.云南・富源且第七中学九年级期中)2020年疫情期间，某地教育局出台《中

小学线上教学工作实施方案》，推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播教学.据统计，

第一批次公益课受益的学生为4万人，第三批次公益课受益的学生为4.84万人，每个批次受

益学生人数的平均增长率相同.

⑴求每个批次的平均增长率；

(2)按照这个增长率，预计第四批次公益课受益的学生将达到多少万人？

【答案】(1)10%

(2)5.324万

【分析】(1)设每批次的增长率为“，根据•批次公益课受益的学生为4万人，第三批次公

益课受益的学生为4.84万人，列出方程，解出方程，即可；

(2)根据题(1)求出的增长率，根据484x(1+幻，却可求出第四批的人数.

(1)

解：设每批次的增长率为工

・••第二批次的人数为：4X(1+x)

・••第三批次的人数为：4X(1+%)x(1+%)=4.84

A4x(1+x)2=4.84

解得：%x2=-2.1(舍去)

•"•x=0.1

・••增长率为10%.

(2)

•・•增长率为10%

，第四批的人数：4.84x〔1+10%)=5.324万人

故第四批次公益课受益的学生将达到5.324万人.

【点睛】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意，列出方程，解一元二次

方程.

【变式1.2](2021.甘肃•静宁县阿阳实验学校九年级阶段练习)受益于国家支持新能源汽车

发展和“带一路”发展战略等多重利好因素，某市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据

统计2017年利润为2亿元，2019年利润为3.38亿元.

(I)求该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率；

⑵若2020年保持前两年利润的年平均增长率不变,该企业2020年的利润能否超过4亿元？

【答案】(1)该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率为30%；

⑵该企业2020年的利润能超过4亿元

【分析】(1)设该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率为x,根据“2017年利润为

2亿元，2019年利润为3.38亿元''列方程求解即可；

(2)根据该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率求出该企业2020年的利润即可作

答.

(1)

解：设该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率为X,

根据题意得：2(1+%)2=3.38,

解得：X1=0.3=30%,x2=-2.3(不合题意，舍去)，

答：该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率为30%；

(2)

若2020年保持前两年利润的年平均增长率不变，

那么该企业2020年的利涧为:3.38x(1+30%)=4.394>4,

故该企业2020年的利润能超过4亿元.

【点睛】此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找用等关系列方程是关键，难度不大.

【变式1.3](2022•浙江金华•八年级期末)金华市区某超市以原价为40元/瓶的价格对外销

售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为32.4元/瓶.

(I)求平均每次降价的百分率.

(2)金华市区某学校为确保疫情复学后工作安全、卫生、健康、有序，学校决定购买•批洗

手液(超过200瓶).该超市对购买量大的客户有优惠措施，在32.4元/瓶的基础上推出方案

-：每瓶打九折；；方案二：不超过20()瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折.学校

应该选择哪•种方案更省钱？请说明理由.

【答案】(1)平均每次降价的百分率为10%

⑵当购买洗手液大于200瓶而小于400瓶时，学校选择方案一更省钱；当购买400瓶洗手

出方程求解即可；

(2)根据(1)中的结果进行计算即可.

(1)

解：设平均一个人传染了x个人.

则可列方程：1+x+(1+%)•%=121.

解得与=10,x2=-12[舍去).

答：每轮传染中，平均一个人传染了10个人.

(2)

121x10=1210(名).

答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确地理解题意，找出题目中的等量关

系列虚方程求解是解题的关键.

【变式2.1](2022•云南红河・九年级期末)截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得

到有效控制，但在全球却持续荽延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响.新冠肺炎

具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠

肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？

【答案】每轮传染中平均每个人传染了13个人

【分析】根据题意设每轮传染中平均每个人传染了》个人，根据题意列出一元二次方程，解

方程即可求解.

【详解】根据题意设每轮传染中平均每个人传染了无个人，根据题意可得：

(l+x)z=196,

解得％1=13,x2=-15(舍去),

答：每轮传染中平均每个人传染了13个人.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

【变式2.2](2022•全国•九年级课时练习)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，

经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均

一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共

有多少台？

【答案】每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；经过三轮感染后，被感染的电脑共有

729台

【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染其台电脑，则有l+x+(l+x)x=81,再解方程求

出满足条件的x的值，然后计算81(1+x)即可.

【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，得：

l+x+(1+x)x=81

即(1+x)2=81

解得x/=8,X2=-10(不合题意，舍去)，

所以经过三轮感染后，被感染的电脑共有81+81x8=729台.

答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑.经过三兔感染后，被感染的电脑共有729

台.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是本题的关键.

【变式2.3】.(2022.全国•九年级)2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制,

但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响.新冠肺炎具有人传

人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有64人患新冠肺炎(假

设每轮传染的人数相同).求：

(I)每轮传染中平均每个人传染了几个人？

(2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多

少人患病？

【答案】(1)7人

(2)512人

【分析】(1)设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有

64人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；

(2)根据经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数x(1+7),即可求出结论.

(1)

设每轮传染中平均每个人传染了x个人，

依题息，得：I+x+x(l+x)=64,

解得：x/=7,X2=9(不合题意，舍去).

答：每轮传染中平均每个人传染了7个人.

⑵

64x(1+7)=512(人).

答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有512人患病.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

【考点3】营销问题

【例3】(2022.安徽.合肥市五十中学新校八年级期中)某商场销售一批运动服，平均每天可

售出30套，每套盈利100元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的

降价措施.经调查发现，每套运动服每降价2元，商场平均每天可多售出1套.

(I)当每套运动服降价x元时，商场每天可售出运动服套.(用含x的代数式表示)：

(2)若商场每天要盈利3150元，则每套运动服应降价多少元？

⑶商场每天的盈利能否达到3250元？若能，请求出此时空套运动服应降价多少元？若不能,

请说明埋由.

【答案】⑴(30+5)

(2)每套运动服应降价30元

(3)不能，理由见解析

【分析】(1)根据题意列代数式即可：

(2)设每套运动服应降价x元，由每套运动服每降价2元，商场平均每天可多售出1套，

可知每套运动服每降价I元，商场平均每天可多售出g套，则每套运动服降价x元，商场平

均每天可多售出;套；根据总利润=销售数量x每套的利润，列方程可求得：

(3)设每套运动服应降价x元，根据题意得到方程(100.v)(30+力=3250,整理得：

/40,计500=0,由于△=16902000<0,于是得到商场每天的盈利不能达到3250元.

(1)

解：当每套运动服降价x元时，商场每天可售出运动服(30+”套，

故答案为：(30弓)；

(2)

解：设每套运动服应降价x元，由题意得

(lOOx)(30+1)=3150,

解得：x=10或x=30,

•・•扩大销售，增加盈利，戒少库存，

：.x=30,

答：每套运动服应降价30元；

(3)

解：设每套运动服应降价x元，根据题意得

(100x)(30+j)=3250,

整理得：X240A+500=0,

VA=1600-2000<0,

故方程没有实数根，

工商场每天的盈利不能达到3250元.

【点睛】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，属于销售利润问题，理解题意，明确

总利润=销售数量x每套的利润是解答的关键.

【变式3.1](2022•浙江宁波•八年级期末)位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑

工艺闻名全国，其中大雄宝殿(又称无梁殿)更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，

梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观.据统计，假期笫一天保国寺的游客人数为5000人次,

第三天游客人数达到7200人次.

(1)求游客人数从假期第•天到第三天的平均日增长率；

⑵据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10

元时，平均每天可售出5(X)个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售.市场调查

发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800

元，则售价应降低多少元？

【答案】⑴20%

(2)要使每天销售旅游纪念章获利2800元，售价应降低1.5元

【分析】(1)设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为心根据题意得关于x的

一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可；

(2)设售价应降低〃?元，根据每个的利润乘以销售量，等于2800,列方程并求解，再结合

问题的实际意义作出取舍即可.

(1)

解；设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，

根据题意，得5000(1+x)2=7200,

解得4产。2,«2=2.2(舍去).

答：平均增长率为20%；

(2)

设售价应降低加元，则每天的销量为(500+翳m)个，根据题意得，

100

(10-m-5)(500+--m)=2800,

U,J

解得血1=1.5,m2=1,

为了让游客尽可能得到优惠，则m=1.5.

答：要使每天销售旅游纪念章获利2800元，售价应降低1.5元.

【点睛】本题考查了•元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量

关系，正确列出方程是解题的关键.

【变式3.2](2022.黑龙江哈尔滨.八年级期末)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效

益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，经过市场调研发现，每台售价为45万元

时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量)，(单位：台)和销售单价x(单位：万元)

成一次函数关系y=-10J+b.

(I)求年销售量>'与销售单价x的函数关系式；

(2)已知每台设备成本价为30万元，根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，

如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？

【答案】(l)y=-10u+1000

⑵50万元/台

【分析】（1）把％=45,y=550代入y=-10x+b,即可求解；

（2）根据题意，列出方程，即可求解.

（1）

解：把％=45,丫=550代入、=-10%+8

•••550=-10x45+6

：.b=1000

Ay=-10%+1000

即年销售量y与销售单价X的函数关系式为y=-10x+1000.

（2）

解：根据题意得：（x-30）（-10x+1000）=10000

解得：%】=50,x2=80.

•••此设备的销售单价不得高于70万元，

Ax=5U.

答：该设备的销售单价应是50万元/台.

【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等

量关系是解题的关键.

【变式3.3】.（2022.山东淄博.八年级期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月2（）日

在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩

（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平

均每月生产量增加20%,则该工厂在四月份能生产多少个"冰墩墩''？

⑵已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10

元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件.如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”

应降价多少元？

【答案】（1）720个

⑵4元

【分析】（1）先根据增长率列式求解即可；

（2）设每个应降价x元，则每个盈利（40-幻元，平均每天可售出（20+；x10）个，根据

关系式”每件服装的盈利x（原来的销售量+增加的销售量）=盈利”，列出一元二次方程，求

解并进行判断即可.

(1)

解：500x(1+20%)*12=500x1.44=720(个).

答：该工厂在四月份能生产720个“冰墩墩”；

(2)

解：设每个应降价x元，则每个盈利(40-幻元，平均每天可售出卜0+；x10)个，

依题意，得(40—％)(20+；、10)=1440,

整理，得/一36%+128=0,

解得与=4,X2=32(不符合题意，舍去).

答：每个“冰墩墩”应降价4元.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本

题的关键.

【考点4】面积问题

【例4】(2021・湖北•襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习)如图所示，学校准备在教学

楼后面搭建一简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为18m),另外三

边利用学校现有总长38m的铁栏围成.

is米

I////////////////////////I

⑴若围成的面积为180m2,试求出自行车车棚的长和宽：

(2)为使用方便，决定在车棚左右两侧各开一个宽为Im的小门，此时能围成的车棚的面积能

否为200m2吗？如果能，清你给出设计方案；如果不能，请说明理由.

【答案】(1)自行车车棚的长和宽分别为18m,10m

⑵能围成面积为200m2的自行车车棚，此时长和宽分别为20m,10m

【分析】(1)利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可；

(2)利用长方形的面积列方程，解答即可.

(1)

解；设长方形的宽为xm,则长为(382r)m,

根据题意,得%(38—2x)=180,

解得“1=1°,%2=9

当x=10时，38-2r=18；

当x=9时，38—力:=20>18,不符合题意，舍去.

答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长和宽分别为18m,10m.

(2)

解：能围成面积为200m2的自行车车棚，理由如下：

根据题意，得N38—2x+2）=200,

整理，得/一20%+100=0,

解得：x=10,

738-10-10+2=18,

••・能围成面枳为200m2的自行车车棚.

:.此时长和宽分别为20m,10m.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键.

【变式4.1】（2021•四川•荣县一中九年级阶段练习）今年荣县一中计划扩大校园绿地面积,

现有一块长方形绿地A3CQ,它的短边A3长为6m,若将短边A4增大到与长边A。相等（长

边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形AEF。，则扩大后的绿地面积比原来增加16m2,

求扩大后的正方形绿地边长.

【答案】8m.

【分析】设扩大后的正方形绿地边长为xm,根据“扩大后的绿地面积比原来增加16m”建立

方程，再解方程求解即可.

【详解】解：设扩大后的正方形绿地边长为xm,根据题意得

x（x6）=16,

解得％1=8,x2=—2（舍去）.

答：扩大后的正方形绿地边长为8m.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，利用长方形的面积解决

问题.

【变式4.2】.（2022•浙江杭州•八年级期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其

中一边靠墙（墙足够长，篱笆要全部用完）.

ADEF

BCMN

图1图2

⑴如图I,问力8为多少米时，矩形48CD的面积为200平方米？

（2）如图2,矩形EMNF的面积比（1）中的矩形A8C0面枳减小20平方米，小明认为只要此

时矩形的长MN比图①中矩形的长BC少2米就可以了.请你通过计算，判断小明的想法是否

正确.

【答案】(1)10米

(2)不正确，理由见解析

【分析】(1)设48=%米，则BC=(40-2x)米，根据矩形48。。的面积为200平方米，即

可得出关于％的一元二次方程，解之即可得出结论；

(2)代入x=10可求出BC的长，由MN=BC-2,可求出MN的长，结合篱笆要全部用完，

可求由EM的长，再利用矩形的面积计算公式，即可求出矩形EMNF的面积，将其与(200-

20)比较后即可得出结论.

(1)

解：设48=吐米,则8c=(40-2%)米，

依题意得:x(40—2x)=200,

整理得：x2-20%+100=0,

解得：*1=%2=

答：力8为10米时，矩形HBCD的面积为200平方米.

(2)

由(1)可知：FC=40-2^=40-2x10=20.

vM/V=-2=20-2=18(米)，

••・矩形EMN"的面积=MN・EM=18x11=198(平方米)，200-20=180198,

二小明的想法不正确.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

【变式4.3](2022•浙江绍兴•八年级期末)有一块长28cm，宽12cm的矩形铁皮.

JL

nr

图1图2

(I)如图1,如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为192cl^的

无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长.

(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2

的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部

分恰好能折成一个底面积为130cm2的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长.

【答案】(l)2cm

⑵1cm

【分析】(1)设裁去的正方形边长为9m，然后根据长方形面枳公式列出方程求解即可；

(2)设裁去的左侧正方形的边长为％m，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可.

(1)

解：设裁去的正方形边长为与m，

由题意得：(28-2幻(12-2%)=192,

解得与=2,x2=18(舍去)

答：裁去的正方形边长为2cm.

(2)

解：设裁去的左侧正方形的边长为％m，

由题意得：(12-2a)经押=130,

解得的=1,a2=19(舍去)

答：裁去的左侧正方形的边长为lcm.

【点睛】本题主要考查了一元二次的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键.

【考点5]动态几何问题

【变式5.1](2022•安徽合肥•八年级期末)如图，在RtzMBC中，AB=6cm，BC=8^^点

P从点力出发，沿48边以lm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿8C边以25/$的

速度向点。移动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.问经过几秒

后，P,Q两点的距离是4乃cm?

【答案】|秒或2秒

【分析】设经过(秒后，P,Q两点的距离是4Vzem，利月勾股定理列出方程并解答即可•

【详解】解：设经过t秒后，P,Q两点的距离是4&cm，

根据题意，得(21)2+(6—1)2=(4或产，

整理，得(5t-2)。-2)=0,

解得ti=g,t2=2.

当£=2时，2t=4<8,符合题意，

答：:秒或2秒后，P,Q两点间的距离等于4&cm.

【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，根据路程=速度X时间，表示线段的长度，将

问题转化到三角形中，利用勾股定理或者面枳关系建立等量关系，是解应用题常用的方法.

【变式5.2】.(2022•山东泰安♦八年级期末)如图，在△4BC中，=90°,AB=BC=

Vr111

7cm，点P从点A开始沿边向点8以lcm/s的速度移动，点Q同时从点B开始沿8c边向点C以

2cm/s的速度移动.

(1)几秒后，△户8Q的面积等于4cm2?

(2)几秒后，PQ的长度等于5cm?

◎)△PBQ的面积能否等于8cm2?

【答案】(1)1秒

(2)2秒

⑶不能，理由见解析

【分析】对于(1),先表示出P8,QB,再根据面积公式，解一元二次方程求出解即可;

对于(2),根据(1)。从的长，再根据勾股定理，解一元二次方程求出解；

对于(3),根据(1)PB,的长，结合面积公式，判断方程的根即可得出答案.

(1)

设运动是1秒，可知4「二〃、”?，RQ=2h、m,得〃(5z)rm,根据题意，得

SRPBQ=：XBP・BQ,

即“5-t)x2C=4,

解得U1或片4(不符合题意，舍去).

所以I秒时，△P8Q的面积是4cm2；

(2)

由(1)知BP=(5/)cin,根据勾股定理，得

BQ?+BP2=PQ2,

BP(2t)24-(5-t)2=52,

解得r=0(舍去)或r=2.

所以2秒时。。的长度是5cm；

(3)

由(1)知BP=⑸)cm,根据题意，得

、4PBQ=5xBP,BQ，

即工x2tx(5-£)=8,

则£2-5t+8=0,

•'•b2—4ac=52—4x8=—7<0>

则原方程无解.

所以△PBQ的面积不能等于8"小.

【点睛】这是一道关于动点的综合问题，解答此类问题的常用方法是先表示出相应线段的长,

再结合公式解答.

【变式5.3】.(2021.江苏泰州•九年级期中)如图，在矩形4BCL中，48=6cm,BC=12cm,

点P从点A出发，沿A8边向点8以1cm/秒的速度运动，同时，点Q从点8Hl发沿8c边向点C以

2cm/秒的速度移动.如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：

(I)点P运动开始后第几秒时，的面积等于8cm2；

(2)设点P运动开始后第t秒时，五边形4PQC。的面积为Sen?,写出s与t的函数关系式，并指

出£的取值范围.

【答案】(1)2秒或4秒

(2)S=t2-6t+72(0<t<6)

【分析】(1)根据t秒时，P、。两点的运动路程，分别表示PB、BQ的长度，可得△PBQ的

面积，后令其为8cm2,求出£的值即可;

(2)用S=S矩形A8C0-S"BQ求面积即可.

(I)

解：第t秒钟时，AP=t,BQ=2t,

：.PB=6-t,

:・S“BQ=1(6-t)-2t=-t2+6£,

当AP6Q面积等丁8时，得：一。2+6，=8,

解得：0=2,亡2=4，

工点P运动开始后第2秒或第4秒时，△P8Q的面积等于8cm2.

(2)

•・•在矩形力中，AB=6,BC=12,

，S矩形488=6x12=72,

:・S=S矩形.CD-SgBQ=t2-6t+72(0<t<6).

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，矩形的性质，三角形的面积.解题关键是根据所设

字母，表示相关线段的长度，再计算面积.

【变式5.4】.(2022•浙江湖州•八年级阶段练习)如图,R必ABC中，ZC=90°,BC=gm,

ZABC=30°.点户从点8出发，沿8-ATC以每秒3cm的速度向终点。运动，同时点Q

从点B出发以每秒gem的速度向终点C运动，其中一点到达终点即停止.设点P的运动时

间为t.

(I)当/=2秒时，求的面积；

(2)尸Q能否与△ABC的一条边平行，如果能，求出此时，的值；如不能，说明理由；

(3)A8PQ的面积能否为△ABC面积的三分之一？如果能，请求出的值；如果不能，请说明

理由.

【答案】(l)3V5cm2

(2)不能，理由见解析

(3)能，/=出或丝型

33

【分析】(1)过点。作PEL8C于E,由含30度角的直角三角形的性质可求。石的长，即可

求

(2)分三种情况讨论，由平行线的判定可求解；

(3)分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解.

(1)解：如图，过点〃作尸EJ_8c于E,当f=2秒时，P8=6cm,

BC=2V3cm,•••/48C=30°,PEIBC,PE=^PB=3cm,:・SABPQ=gxBQxPE=

1x273x3=3V3(cm2)；

(2)PQ不与△ABC的一条边平行，理由如下：•・•点Q始终在8c上运动，・・・PQ与8c不

平行，当PQ〃AC时，・・・/PQB=NAC8=90°,VZfi=30°,：,PQ=j/(cm),BQ=

取PQ=亚当(cm),又•・•点。从点B出发以每秒8cm的速度向终点C运动，・..QB=6酷4当

22

(cm),工户。与4c不平夕亍，当PQ〃AB时,则点P在AC上，：NC=90。，BC=4V3cm,

N4BC=30°.・・・AC=4cm,4B=8cm,•••尸。〃/1—・・・NA8C=NPQC=30。，・・・CQ=gPC,

A4V3-V3/=12-3/,Ar=4,当f=4时,8。=⑵即点。与点C重合，工尸。与A8不

平行，综上所述：尸Q不与△ABC的一条边平行；

(3)ZkBPQ的面积能为448。面积的三分之一，理由如下：当点P在AB上时，过点尸作

PE工BC于E,SAPBQ=-XBQXPE=-x-XACXBC,遮/x-/=

2322

；x4x4V3»Ar=—(负值舍去)，当点户在AC上时，・.・S4户8Q=1xBQxPC=xACxBC,

:•近tx(12-3，)=[X4X4V3.,:t>%，仁智，综上所述：当t=竿或智时，△BPQ

的面积为仆A8C面积的三分之一.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了含30。的直角三角形的性质、解一元二次方程、解一

元一次方程，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.

【考点6】图表信息问题

【例6】.(2022•全国•九年级专题练习)某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的

用电量不超过％度，那么这个月这户居民只交10元电费：如果超过％度，这个月除了交10

元电费外，超过部分按每度充元交费.

(I)该厂某户居民1月份用电90度，超过了工度的规定，试写出超过部分应交的电费.(用含

%的代数式表示)

⑵下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的工度是多少.

月份用电量/度交电费总数/元

2月8025

3月451()

【答案】（1忌X（90—x）元

（2）50度

【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90—2度，再由超过部分按每度2

元交电费，即可求解；

（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10

元，可得后45,即可求解.

（1）

解：•・•规定用电x度，

工用电90度超过了规定度数（90—幻度，

.・•超过部分按每度就元交电费，

・••超过部分应交的电费为击x（90-X）元.

（2）

解：2月份用电量超过x度，依题意得

粉（802=25-10.

整理得12—80小+1500=0,

解这个方程得力=30.4=50.

根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，

••・电厂规定的於45,

，为=30不合题意,舍去.

/.x=50.

答：电厂规定的工度为50度.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意,准确得到等量关系是解题的关键.

【变式6.1］（2022•全国•九年级专题练习）某巾为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯

收费，每户居民用水量每月不超过。吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超

过部分每吨按041元缴纳水费.

（1）若。=12,某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？

（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴黄情况：

月份用水量（吨）交水费总金额（元）

41862

52486

根据上表数据，求规定用水量。的值

【答案】（I）91.2；（2）10

【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过。吨，然后根据“用水量每月不超过。

吨时，每吨按0.3〃元缴纳水费；每月超过。吨时，超过部分每吨按0.4〃元缴纳水费”，即可

求解；

（2）若Q>18，可得小=等<182，从而得到18,再由“用水量每月不超过。吨时，

每吨按0.34元缴纳水费；每月超过〃吨时，超过部分每吨按0.4〃元缴纳水费”，列出方程,

即可求解.

【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过。吨，

0.3x122+0.4x12x（22-12）=91.2元；

（2）若Q>18,有

0.3a2=62,解得：a2=^<182,即QV18,不合题意，舍去，

a<18,

根据题意得：0.3。2+o.4a（18-a）=62,

解得：ax=10,a2=62（舍去），

答：规定用水量〃的值为10吨.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键.

【变式6.2］（2021•全国•九年级专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理

问题成为城市的难题.某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排

放，规定：居民用水量每月不超过。吨时，只需交纳10元水费，如果超过。吨，除按10元

收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）.

（1）某市区居民2018年3月份用水最为8吨，超过规定水量，用。的代数式表示该用户应

交水费多少元；

（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；

月份用水量（吨）交水费总金额（元）

4770

5540

根据上表数据，求规定用水量。的值.

【答案】（1）用户应交水费10+40〃・5/元；（2）a的值为3.

【分析】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可;

（2）根据题意分别列出50（7-a）+10=70,5。（5-4）+10=40,取满足两个方程的。的

值即为本题答案.

【详解】解：（1）3月份应交水费10+5〃（8-a）=（10+40a-5a2）元：

（2）由题意得：5a（7-a）+10=70,

解得：a=3或〃=4

5a（5-a）+10=40

解得：。=3或4=2,

综上，规定用水量为3吨.

则规定用水量〃的值为3.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准.

【变式6.3］（2020•内蒙古•二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规

定.某市规定；月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标

准，超标部分每吨还要加收孟元的附加费用.据统计，某户7、8两月的用水审和交费情况

如下表：

月份用水量（吨）交费总数（元）

7140264

895152

（1）求出该市规定标准用水量a的值；

（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月

份用水量为150吨时，应交水费多少元？

【答案】⑴a=l。。；⑵味Fl藐:J瑞’当某月份用水量为150吨时，应交

水费290元.

【分析】（1）由丁七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264,

则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收孟元的附加费用；然后列出关于a

的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可；

（2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=l50

吨代入合适的解析式求解即可.

【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨，

1.6x]40=224<264,

所以需加收：(140-Ja)就XUU=264-224=40(%),

2

upa-140a+4000=0,得ai=100,a2=40,

又8月份用水量为95吨，1.6x95=152,不超标

故答案为a=100；

(2)当OWxROO时，则y=l.6x；

当x>100时，则y=l.6x+(x-100)榄=2.6x-100.

即丫_114(0WxW10°)

1)-

(2.6x-100(x>100)

用水量为150吨时，应交水费：y=2.6xl50—100=290(元).

答：当某月份用水量为1£0吨时，应交水费290元.

【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及

结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键.

【考点7】数字问题

【例7】(2020.山西临汾.模拟预测)在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.

如图是2019年1月份的口历.我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去

掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9x11-3x17=48,13X

15-7x21=48.不难发现，结果都是48.

(1)请证明发现的规律；

(2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435,求出

这5个数的最大数；

(3)小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最人数的积是120.直

接判断他的说法是否正确.(不必叙述理由)

【答案】(1)见解析；(2)29；(3)他的说法不正确

【分析】(1)设中间的数为a,则另外4个数分别为(a-7),(a-l),(a+1),(a+7),利

用(a-1)(a+l)-(a-7)(a+7)=48可证出结论；

(2)设这5个数中最大数为x,则最小数为(x-14),杈据两数之积为435,可得出关于x

的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(3)设这5个数中最大数为y,则最小数为(y-14),杈据两数之积为120,可得出关于y

的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确.

【详解】(1)证明：设中间的数为a,

**•(a-1)(£Z+1)—(Q—7)(Q+7)=a?—1—(a?—49)

=Q2-1-a?+49=48.

(2)解：设这五个数中最大数为X,

由题意,得力(%-14)=435,

解方程，得右=29,x2=-15（不合题意，舍去）.

答：这5个数中最大的数是29.

（3）他的说法不正确.

解：设这5个数中最大数为y,则最小数为（y-14）,

依题意，得：y（y-14）=120,

解得：yl=20,y2=-6（不合题意，舍去）.

•••20在第一列,

・••不符合题意，

，小明的说法不正确.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准

等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

【变式7.1］（2022•全国•九年级课时练习）解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）：

大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三,

个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，

去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄.

【答案】周瑜去世时的年龄为36岁

【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为％,则十位数字为x-3根据题意建立方程10Q-

3）+X=/求出其值即可.

【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为％-3,依题意得：

10（x-3）+x=x2,

解得%=5,x2—6,

当％=5时，25<30,（不合题意，舍去），

当％=6时，36>30（符合题意），

答：周瑜去世时的年龄为36岁.

【点睛】本题是一道数字问题的应用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答

中根据题意设未知数，列出正确的方程是解题的关键.

【变式7.2］（2021•江苏苏州•九年级期中）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第

①个图案中有1个黑色三侑形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色

三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：

（1）第5个图案中黑色三角形的个数有一个.

（2）笫〃个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出〃的值；如果不能，试用

一元二次方程的相关知识说明道理.

【答案】（1）15；（2）不能，理由见详解.

【分析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个；

（2）根据图形的变化规律总结出第〃个图形黑色三角的个数为g71（n+l）,即可求解.

【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15,

故答案是：15；

（2）不能,理由如下:

第n个图案中黑三角的个数为…+3+4+...+〃竹n（九+1）,

根据题意，得］（n+l）=50,

解得：n=*独不是整数，不合题意，

2

所以第〃个图案中黑色三角形的个数不能是50个.

【点睛】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第〃个图形黑色三角

的个数为是:"（n+l）解题的关键.

【变式7.3］（2022•全国•九年级专题练习）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月

日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积

能否为33或65,若能求出最小数：若不能请说明理由.

2021年07月

日—一四五六

建寅1节23

45678910

11121314n17

1819202112223124

25262728293031

【答案】最小的数是5,理由见解析

【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8）,根据最小数与最大数的乘积为65或33,即

可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【详解】解：设最小的数为x,则最大数为。+8）,

由题意得《r+8）=33,

解得力=11,4=3.由表格知不符合实际舍去；

由题意得x（x+8）=65,

解得女尸13（舍去），X2=5,

所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

【考点8】工程问题

【例8】(2022•重庆市第七中学校一模)甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥

梁总长5000米.甲，乙分别从桥梁两端向中间施工.计划每天各施工5米，因地质情况不

同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样.甲每合格完成1米桥梁施工成本为

10万元，乙每合格完成I米桥梁施工成本为12万.

⑴若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的;，求甲最多施工多少米.

(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都

发生变化，甲每合格完成I米隧道施工成本增加“万元时，则每天可多挖;a米.乙在施工

成本不变的情况下，比计划每天少挖米.若最终每天实际总成本在少于150万的情况下

比计划多(7Q—12)万元.求a的值.

【答案】(1)甲最多施工2500米

(2)〃的值为6

【分析】(1)设甲工程队施工x米，则乙工程队施工(5000.r)米，由工程结算时乙总施工

成本不低于甲总施工成本的g，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即

可得出结论；

(2)根据总成本:每米施工成本x每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加

。万元时，则每天可多挖3米.乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖|a米，即可得

出关于。的一元二次方程，解之即可得出结论.

(1)

解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工(5000x)米，

依题意，得：12(5000x)>|xl0x,

解得：烂2500,

答：甲最多施工2500米.

(2)

依题意，得：(10+a)(5++12(5-|a)=12x5+10x54-(7a-12),

整理，得：a2-18a+72=0,

解得：%=12,a2=6,

当的=12时，总成本为：12X5+10x5+7x12-12=182(万元)，

V182>150»

・•・内=12不符合题意舍去；

当的=6时，总成本为：12x5+10x5+7x6-12=140(万元)，

V140<150»

***a2=6符合题意；

答：a的值为6.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：

(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一

元二次方程.

【变式8.1](2022•重庆巴蜀中学二模)为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工

程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程.该工程队计划使用一大一小两种型号设备交

替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米.

(I)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间

多宗当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？

⑵通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程

39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用

时间比原计划增加了小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原

计划每小时下降了加米,使用时间增加了(1