1.3.2函数的极值与导数 教学设计-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.3.2函数的极值与导数教学设计-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容湘教版（2019）选择性必修第二册，1.3.2函数的极值与导数。本节课主要内容包括：导数的几何意义，导数与函数极值的关系，利用导数求函数的单调区间和极值。通过实例分析，让学生掌握导数在研究函数性质中的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。核心素养目标培养学生的逻辑推理能力，通过导数的几何意义和函数极值的关系，让学生理解数学概念的本质和内在联系。增强学生的数学抽象能力，通过实例分析，引导学生从具体问题中提炼数学模型。同时，提高学生的数学建模能力，学会运用导数解决实际问题，提升学生的应用意识和创新意识。教学难点与重点1.教学重点

①理解导数的几何意义，即导数表示函数在某点处的切线斜率，以及导数与函数在该点附近的变化趋势的关系。

②掌握利用导数求解函数的极值的方法，包括求导、找驻点、判断极值点的类型（极大值或极小值）。

③能够应用导数判断函数的单调性，即通过导数的正负判断函数在某个区间上是增函数还是减函数。

2.教学难点

①将导数的几何意义与函数的局部性质（如极值、拐点）建立联系，理解导数在几何图形中的应用。

②理解并掌握驻点、导数为零、导数不存在等情况下函数极值的判断，特别是如何处理导数不存在的情况。

③在实际问题中，如何将实际问题转化为数学模型，并利用导数进行优化分析，提高学生的问题解决能力和建模能力。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过讲解导数的定义、几何意义以及与函数极值的关系，帮助学生建立基本概念。

2.讨论法：组织学生围绕导数在实际问题中的应用进行讨论，激发学生的思考。

3.实例分析法：通过具体实例，引导学生分析如何利用导数解决实际问题，提高学生的应用能力。

教学手段：

1.多媒体辅助教学：利用PPT展示函数图像和导数图形，直观展示导数与函数性质的关系。

2.教学软件操作：使用数学软件如Mathematica或Geogebra，让学生动手操作，体验导数的应用。

3.板书与实物教学：结合板书和实物模型，帮助学生理解抽象的数学概念。教学流程1.导入新课

XXX：首先，通过展示一组生活中的函数图像，如物体运动轨迹、温度变化曲线等，引导学生回顾函数的概念及其在现实中的应用。随后，提出问题：“如何判断一个函数在某一点附近的变化趋势？”通过这个问题，自然引入导数的概念，激发学生的学习兴趣。用时5分钟。

2.新课讲授

①导数的定义与几何意义

-详细内容：通过动画演示，展示函数在某一点处的切线斜率如何定义导数，让学生直观理解导数的几何意义。

-举例分析：以函数$f(x)=x^2$为例，展示如何求导数，并解释导数在几何图形中的应用。

-学生活动：让学生尝试计算几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解。

②导数与函数极值的关系

-详细内容：讲解导数与函数极值的关系，说明驻点（导数为零的点）与极值的关系。

-举例分析：以$f(x)=x^3-3x^2+4$为例，求导数并找出驻点，分析驻点的极值类型。

-学生活动：让学生自主完成几个函数的极值求解，巩固导数与极值的关系。

③导数在判断函数单调性中的应用

-详细内容：讲解如何利用导数的正负来判断函数的单调区间。

-举例分析：以$f(x)=\frac{1}{x}$为例，展示如何通过导数的正负变化来判断函数的单调性。

-学生活动：让学生分析几个函数的单调性，并说明判断的依据。

3.实践活动

①利用导数分析实际问题的变化趋势

-详细内容：以物体下落过程中的速度变化为例，让学生通过计算导数来分析速度的变化趋势。

-学生活动：学生分组讨论，计算不同时间点的速度，并绘制速度-时间图像。

②应用导数解决实际问题

-详细内容：给出一个实际问题，如优化生产过程中的材料使用，让学生利用导数寻找最优解。

-学生活动：学生独立完成问题，并展示自己的解题过程。

③利用软件进行导数计算和图形展示

-详细内容：介绍数学软件的使用方法，让学生利用软件进行导数计算和函数图像的展示。

-学生活动：学生分组操作，利用软件完成导数计算和图像绘制。

4.学生小组讨论

举例回答：

XXX：在讨论环节，可以提出以下问题引导学生思考：

①如何判断导数不存在的情况下的极值？

②在实际问题中，如何选择合适的函数模型？

③如何利用导数进行优化分析？

5.总结回顾

XXX：在课程结束时，进行以下总结：

-回顾导数的定义、几何意义及其在函数性质中的应用。

-强调导数在解决实际问题中的重要性，如优化问题、工程问题等。

-鼓励学生在课后继续探究导数的其他应用，如微分方程、曲线的切线问题等。

整个教学流程用时45分钟。学生学习效果1.理解并掌握了导数的概念及其几何意义，能够解释导数在函数性质中的重要性。

-学生能够区分导数与切线斜率的关系，理解导数在描述函数变化趋势中的作用。

-通过实例分析，学生能够识别并计算简单函数的导数，为后续学习打下基础。

2.掌握了利用导数求解函数极值的方法，能够判断函数的极大值和极小值。

-学生能够识别驻点，并判断其是否为极值点，以及极值的类型。

-通过实际问题的解决，学生能够将导数与实际问题相结合，提高解决实际问题的能力。

3.学会了如何利用导数判断函数的单调性，能够分析函数在不同区间上的增减情况。

-学生能够通过导数的正负变化来判断函数的单调区间，理解单调性与导数的关系。

-学生能够分析复杂函数的单调性，提高逻辑推理和数学分析能力。

4.提高了数学抽象能力和数学建模能力，能够将实际问题转化为数学模型。

-学生能够从实际问题中提取数学信息，建立相应的数学模型。

-学生能够利用导数进行优化分析，解决实际问题，提高应用意识和创新意识。

5.增强了逻辑推理能力，能够通过导数分析函数的局部性质。

-学生能够运用逻辑推理，从导数的定义出发，推导出函数的极值和单调性。

-学生能够分析导数的变化趋势，预测函数的行为，提高推理能力。

6.提升了团队合作和沟通能力，通过小组讨论和实践活动，学生能够有效合作。

-学生在小组讨论中，能够积极表达自己的观点，倾听他人的意见。

-学生通过实践活动，学会了如何分工合作，共同解决问题。

7.培养了自主学习能力，学生能够在课后自主探究导数的其他应用。

-学生能够根据课程内容，自主查找相关资料，拓宽知识面。

-学生能够将所学知识应用于新的问题，提高自主学习能力。板书设计①函数的导数

-定义：函数在某点的导数是该点切线的斜率。

-几何意义：导数表示函数在某点附近的变化率。

-计算公式：$f'(x)=\lim_{{h\to0}}\frac{{f(x+h)-f(x)}}{h}$

②导数与函数极值

-驻点：导数为零的点。

-极值点：函数的极大值或极小值点。

-极值判定：一阶导数检验法，通过判断导数在驻点两侧的符号变化来确定极值。

③导数与函数的单调性

-单调增区间：导数大于零的区间。

-单调减区间：导数小于零的区间。

-单调性判断：通过导数的正负来判断函数的单调性。

④导数的应用

-分析函数的变化趋势。

-求解函数的极值。

-判断函数的单调区间。

-解决实际问题，如优化问题、物理问题等。

⑤实例分析

-函数$f(x)=x^2$的导数：$f'(x)=2x$，在$x=0$处导数为零，为极小值点。

-函数$f(x)=\frac{1}{x}$的单调性：导数$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$，在$x>0$和$x<0$时分别单调减。

⑥总结

-导数是研究函数性质的重要工具。

-利用导数可以分析函数的变化趋势，求解极值，判断单调性。

-导数在解决实际问题中具有重要的应用价值。教学反思与改进在这次函数的极值与导数的教学中，我有一些反思和改进的想法。

首先，我发现有些学生在理解导数的几何意义时遇到了困难。他们难以将抽象的数学概念与实际的物理现象或图形变化联系起来。为了解决这个问题，我打算在未来的教学中加入更多的实例分析，比如使用动画或图形工具来展示导数在描述物体运动或曲线变化中的应用。这样可以帮助学生更加直观地理解导数的概念。

其次，我在讲解导数与函数极值的关系时，发现部分学生对驻点的判断和极值点的确认感到困惑。这可能是因为他们对导数变化的趋势理解不够深入。为了改善这一点，我计划在课堂上增加更多的小组讨论活动，让学生通过小组合作来共同探讨和解决这类问题。同时，我还会提供一些典型例题，让学生在实践中逐步掌握这些技巧。

此外，我发现有些学生对于如何利用导数判断函数的单调性不太清楚。在未来的教学中，我会更加注重这方面的教学，通过逐步引导和讲解，帮助学生建立起从导数到单调区间的逻辑链条。例如，我会通过一系列的例子，让学生看到导数的符号变化是如何直接对应到函数的单调性的。

在教学过程中，我也意识到了多媒体教学手段的重要性。我发现使用多媒体工具可以有效地增强课堂的互动性和趣味性，尤其是对于一些难以直观展示的概念。因此，我计划在接下来的教学中，更加充分地利用PPT、动画和数学软件等资源，以帮助学生更好地理解复杂的数学概念。

在实践活动方面，我发现学生在独立解决问题时，有时会缺乏方向和信心。为了提高他们的自信心，我计划在未来的教学中增加一些阶梯式的实践活动，让学生从简单的任务开始，逐步过渡到更复杂的挑战。这样可以帮助他们逐步建立起解决问题的信心。

最后，我会在课后进行一些反思活动，比如让学生填写教学反馈表，了解他们对课程内容的理解和满意度。同时，我也会自己回顾教学视频，分析自己的教学方法和学生的反应，以便找出需要改进的地方。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本练习题中的基础题目，如求下列函数的导数：$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，$g(x)=\frac{1}{x^2}+2$。

2.分析以下函数的极值点：$h(x)=x^4-8x^3+18x^2$，并判断极值的类型（极大值或极小值）。

3.判断以下函数在指定区间内的单调性：$j(x)=x^3-3x^2+4x+2$，区间为$(-\infty,-1)$和$(2,+\infty)$。

4.利用导数解决实际问题：假设一个工厂生产某产品的成本函数为$C(x)=2x^2+10x+20$，其中$x$为产品数量。求生产100个产品时的边际成本。

作业反馈：

1.对于基础题目的作业，我将重点关注学生是否正确理解和应用了导数的定义和计算规则。对于错误，我将指出具体错误点，并提供正确的计算步骤。

2.在分析极值点的作业中，我将检查学生是否能够正确找出驻点，并利用一阶导数检验法来判断极值的类型。对于错误，我会指出可能的原因，如未正确判断导数的符号变化或未正确计算驻点。

3.对于判断单调性的作业，我会检查学生是否能够正确应用导数的正负来判断函数的单调区间。对于错误，我会提供正确的判断依据，并解释为什么某些判断是错误的。

4.在解决实际问题的作业中，我将评估学生是否能够将实际问题转化为数学模型，并利用导数来求解边际成本。对于错误，我会指出问题所在，如未正确建立成本函数或未正确应用导数。

对于作业的反馈，我计划采取以下措施：

-及时批改作业，确保学生能够尽快收到反馈。

-对作业中的错误进行详细批注，帮助学生理解错误的原因。

-对于有代表性的错误，可以在课堂上进行集体讲解，以避免同类错误在其他学生中发生。

-对于表现优异的学生，给予表扬和鼓励，激发他们的学习兴趣。

-对于需要额外帮助的学生，提供个性化的辅导，帮助他们克服学习中的困难。课后作业1.**求导数并分析极值点**

函数$f(x)=x^3-9x^2+27x-1$，求导数并找出极值点，判断每个极值点是极大值还是极小值。

答案：$f'(x)=3x^2-18x+27$，令$f'(x)=0$得$x=3$和$x=3$（重根）。由于$f''(x)=6x-18$，在$x=3$处$f''(3)=0$，因此需要进一步分析导数的符号变化。在$x=3$的左侧，$f'(x)<0$，在右侧$f'(x)>0$，所以$x=3$是极小值点。

2.**判断函数的单调性**

函数$g(x)=-x^3+3x^2-9x+5$，求导数并判断函数在区间$(-\infty,+\infty)$上的单调性。

答案：$g'(x)=-3x^2+6x-9$，令$g'(x)=0$得$x=1$和$x=3$。在$x=1$和$x=3$之间，$g'(x)>0$，在$x<1$和$x>3$时，$g'(x)<0$。因此，函数在区间$(-\infty,1)$和$(3,+\infty)$上单调递减，在区间$(1,3)$上单调递增。

3.**利用导数解决优化问题**

一个长方体的体积为1000立方厘米，要使其表面积最小，长、宽、高各为多少？

答案：设长方体的长、宽、高分别为$x$、$y$、$z$，则体积$V=xyz=1000$。表面积$S=2(xy+xz+yz)$。由体积公式解出$z=\frac{1000}{xy}$，代入表面积公式得$S=2xy+\fra