浙江省杭州市西湖区杭某中学2024-2025学年高二年级下册期中考数学试题

浙江省杭州市西湖区杭师大附中2024-2025学年高二下学期

期中考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.双曲线工_/=1的渐近线方程为（）

4

Ay=±4x0y=±2x「,1c,1

A.B.C.=±-xD.y=±—x

2.已知函数y=/（x）的图像如图所示，则其导函数y=/，（x）的图像可能是（）

yv0

A.B.5

C4

o.N

3.某学校为高三学生安排语文、数学、外环上物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场

和最后一场，则不同的安排方法有（）种

A.12B.18C.20D.24

4.等比数列卜/“｝的前〃项积为7；=512，则%+%的最小值是（）

试卷第11页，共33页

A.2B-2V2C.4D.472

5.（2+：）（1-X）7的展开式中¥的系数为（）

D

A._7B.7C.77--77

6.已知。为抛物线』=12»上一个动点，。为圆（X—4）2+>A=1上一个动点，则点。到点

。的距离与点0到x轴距离之和的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

若事件互斥,尸©=：,尸（/白尸（,则)

7430=48©=,p®c=()

A.-B.—C,7D.—

510~10

।।1CLbc

8.已知、>e8M=3*b=5；,c=/，则的大小关系是（)

AR

•a<h<c*a<c<b

rD

*b<a<c*c<a<h

二、多选题

9.下列说法中正确的是（）

A.若随机变量X叫叫）则A。*-1）=20

B.若随机变量当〃不变时，。越小，该正态分布对应的正态密度曲线

越矮胖

C.回归分析中，样本决定系数火2越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好

试卷第21页，共33页

D.在独立性检验中，当犬之热仪“为。的临界值）时，推断零假设“°不成立

10.在（2工_，］的展开式中，下列说法正确的是（）

A.常数项是“20B.第四项和第六项的系数相等

C.各项的二项式系数之和为256D.各项的系数之和为256

11.在棱长为2的正方体中力4c。一44为C'。的中点，。是8"的中点，。是侧面

内的一动点（不包含四个顶点），则下列结论正确的是：（）

A.点A到平面'EG的距离为亚B.三棱锥"一4°仔体积是定值，定值为1

3

C.存在点P,使得。平面力用。1D.存在点P,使得O尸1且OP_L8A

三、填空题

12.函数警力的导函数/，（力满足关系式外力=2矿⑴-Inx则/（戈）=

A/?A9

13.某中学举办女子排球赛，高二年级班与班进行比赛，每局比赛班获胜概率为

每场比赛结果相互独立.若比赛采用三局两胜制（先赢两局者获胜），则A班获胜的概率是.

14.已知椭圆C：［+V=1的左、右焦点分别为品巴，直线歹="+1与。交于历，N两点,

设的内切圆圆心为乙，外接圆圆心为4，则的值为一.

试卷第31页，共33页

抽到外地游客的概率为:规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户，否则为一星客

户.请根据已知条件完成下面的列联表，并依据小概率值a=ooi的独立性检验，能否认为

“客户星级”与“游客来源”有关联?

游客来源客户星级合计

三星客户一星客户

当地游客

外地游客100

合计3001000

参考数据；若随机变量4则

尸(〃一b4X4〃+b)a0.6827,P(〃-2b<XW〃+2b)之0.9545,尸(〃一3bWXW〃+3b)=0.9973

参考公式：丫2-Had-bc>其中〃=a+"c+d

(a+/))(e+")(a+<?)(/)+")

a0.100.050.010.001

2.7063.8416.63510.828

Xa

18.已知函数/(x)=(m+l-x)e'-gme，,-2.

(1)当6=2时，求/(X)的单调区间；

(2)若》=()是/a)的极小值点，求实数，〃的取值范围.

19.已知双曲线。：《一(.=1.>01>0)的离心率为°为坐标原点，过0的右焦

试卷第51页，共33页

点的直线/交C的右支于P，。两点，当/1X轴时，已@=2拉・

(1)求C的方程；

(2)过。作直线八、一一|1的垂线，垂足为M

(i)证明：直线QN过定点；

(ii)求△O0N面积的最小值•

试卷第61页，共33页

《浙口二省杭州-节西湖区杭师大取ff中2024-2025学年高二:F学期期中考数学幺试题》参考答案

题号12345678910

答案CAACB0DBACDAC

题号11

答案ACD

1.c

【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程.

【详解】双曲线E_y2=］的渐近线方程为二-丁=0,即产土L,

442

故选：C.

2.A

【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定上确答案.

【详解】由图可知，当x>0时，/（》）单调递减，/（切<0,由此排除BD选项.

当x<0时，从左向右，/（x）是递增、递减、递增，

对应导数的符号为+,_,+，由此排除C选项，

所以A选项正确.

故选：A

3.A

【分析】运用分步乘法原理结合插空法可解.

【详解】先将语文、外语、物理全排，总共A：=6种方法，

再将数学课插到这三门课中间两个空里，有2种插法，故总共有6x2=12种不同的安排方

法.

故选:A.

4.C

【分析】根据等比数列的性质可得%=2,即可根据基本不等式求解.

【详解】由等比数列的性质可知乙=〃巴/="=512,所以％=2，

答案第11页，共22页

所以%+%=会+牝/22as=4,当且仅当如二।时等号成立，

故选：C.

5.B

【分析】先求出(1_力7的展开式通项公式，再结合两个二项式相乘特点求出〃，即可求得

答案.

【详解】("J的展开式通项为心=C；•(-x)r=(fC；・广

故(2+J|(1-X)7的展开式中犬的系数为2X(—1)2C；+(-I)'C=7,

故选：B.

6.D

【解析】根据抛物线的定义得出P4+PQ=/^+PQ-48,当£P,Q三点共线时，

21+。。最小，根据几何关系得出。尸+P。的最小值，即可得出答案•

【详解】由抛物线的方程可知/(0,3)，则准线方程为尸-3

过点P作x轴的垂线，垂足于点A,延长交准线于点8,设圆(1_4)2+/=1的圆心为点。

根据抛物线的定义可得：口;尸夕.力^二尸/丁力吕

PA+PQ=PF+PQ-AB=PF+PQ-3

所以当P/I+P0最小时，则Pb+PQ最小，即点尸,尸,0三点共线时，尸彳+P。最小

22

.-.(PF+P0)min=FC-0C=V3+4-1=4

/.(P/14-Pg)iBfa=(PF4-P0)(ain-3=4-3=1

故选：D

答案第21页，共22页

【点睛】本题主要考查了岫物线的定义的应用以及由抛物线方程求焦点坐标等，属于中档

题.

7.D

【分析】首先根据对立事件得出尸(C)=g,再根据事件4"互斥及条件概率公式即可求解.

【详解】因为P(C)=2,所以P(C)=J,

33

因为事件44互斥，

1

所以P(—8|C)=尸(4|C)+P(8|C)=禁2+P(8|C)=『P(8|C)=2，

7

所以P(0C)=正

故选：D

8.B

【分析】对于久力，伏,扩大适当的倍数变为整数辕的形式比较即可；对于ac，构造函数

比较大小即可

【详解】对于“人同时12次方可得》与53,易知3$<53,所以"人；

答案第31页，共22页

对于氏c，同时4e次方可得5。与e*由题干可知5?。>5§>e&，所以5c>/，即6>c；

对于同时取对数可得蚂与,，/（x）=—,，*）=上1竺=0,解得x=e,

3exx

易得/（刈=陛在（°⑼单调递增，®+8）单调递减，易知蚓〈生」，所以"二

xSee

综上可得…5

故选：B.

9.ACD

【分析】根据二项分布的方差公式，结合方差的性质即可求解A,根据正态分布曲线的性

质即可求解B,根据标的性质即可求解C,根据独立性检验的原理即可求解D.

【详解】对于A,由X-8（10±）可得O（X）=10x；x：=9,方差的运算性质可知

O（3X-l）=9O（X）=20，故A正确;

对于B,由正态密度函数外力=_1_不等可知，当“不变时，。越小，该正态分布对

应的正态密度曲线越瘦高：B错误，

由决定系数和卡方独立性检验的定义和规则易知选项CD正确.

故选：ACD.

10.AC

【分析】根据二项式定理,国」丫的通项公式为如=《2M（一日产，对于J令％=4进

<x）

行判断;对于B,令后=3和A=5计算判断即可;对于0，因为〃=8,所以各项的二项式系数之和

为2'=256可进行判断;对于D,令工=1即可进行判断•

答案第41页，共22页

的通项公式为M=c；2i（_］y1

【详解】根据二项式定理、

对于A,常数项为c；24（_］『=u2（），故A正确;

对于B,第四项的系数为c：28-3（_］）3=_］792,第六项的系数为C；2i（T）s=-448做B错误;

对于C,因为〃=8,所以各项的二项式系数之和为2'=256,故C正确;

对于D,令x=］，各项的系数之和为1,故D错误.

故选:AC.

11.ACD

【分析】以。为原点建立空间直角坐标系，求出平面4月0的法向量结合点到平面距离判

断A,应用等体积结合三棱锥体积公式计算判断B,设点0的坐标，应用线面平行的向量关系

及线线垂直的向量关系分别计算求解判断C,D.

【详解】在楂长为2的正方体488—44GA中，建立如图所示的空间直角坐标系,

力（2,0,0）,E（OJO），G（0,2,2）

Z5=(-2,l,O),£C；=(O,l,2),5^=(O,2,O)，

AEC{n=（x,y,z）ii-AE=-2x+y=0N=2«=(1,2,-1)

设平面的法向量，则'万.鬲=y+2z=0'取'得

答案第51页，共22页

D、AEQ42\[6

所以点到平面的距离为d=—同一=-^=—^―,A选项正确;

1114

%叱=丫…=TX5XDC=-X-X2X2X2=-,B选项错误;

JD4AJJ

设P(〃?,2,〃)，0</n<2,04〃42则而=(%2,〃),4(2,0,0),乌(0,0,2),4(2,2,2)，

则函=(一2,0、2),花二(0,2,2),

AB\D\w=(x,,y,z)乂二T

11n-AD、=-2x}+2Z]=0

设平面的法向量则[不函=2乂+24=0取，得

当而且=小-0+〃='即阳+〃=2时,DP〃平面/BQjC选项正确;

因为。(0,0,2),8(220),0(1,1,1)，

则OP=(///-I,l,o-l)•而=(0,0,2),函=(-2,-2,2)-

则丽•前=1(〃京)=2应西=2-/力—俣(/?-)=所以机=。,〃=1，当尸(0,2,1)时满

足得0Q_1n4且OPJ_Z?4，D选项正确:

故选：ACD.

答案第61页，共22页

12.

2x-Inx

【分析】对函数两边求导，然后赋值x=l，解得/，⑴=］代入即可求解•

【详解】由/(丹=24(I)，，函数两边求导得：/”(力=2/，(1)一，

令x=l，则/”⑴=2/⑴一1，所以八1)=1

代入函数得：f(x)=2x-\nx.

故答案为：2x-Inx

44

13.—/0.352

125

【分析】分情况，运用相互独立事件概率的乘法公式即可解题.

【详解】三局两胜制4班获胜的情况有：“前面两局胜利"和“第三局胜利前面两局中胜

2心232=44

一局”.根据独立事件的概率公式得：p

2555125

故答案为：上44

125

14.巫八丽

66

【分析】根据题意求得的坐标，可得月在直线y=x+l上，由

3HM网。小推得3％9。。，进而求得/式―，再由对称性判断点他相、

答案第71页，共22页

轴上，利用点4到直线皿的距离等于该点到直线叫的距离列方科求出即得

4（。,"），由两点间距离公式即可求得1勾.

4i,o）,/s（i,o）y=xI1x=0

由题意可得，由E+/=i解得，=1和<

2-

y=-

即M(0,l),N(—$—g),易知直线>=X+1经过点,

由必HOF21=1。⑷=1可得//=90°'

故△”蹲的外接圆圆心”为尸井的中点,即‘式卷一》

又~必”的内切圆圆心为《，则由对称性可知，点（在y轴上，不妨设4（0/）,

NF?£x-7>>-I=0

易得直线的方程为即

I+-

3

则点/"0"）到直线、-），+1=0的距离等于该点到直线工-7^-1=0的距离，

即号=嗡"，解得";或'="（不合题意，舍去），故得人（0，§,

答案第81页，共22页

故叩卜•乔哈

故答案为：叵.

6

15.⑴,■,广।5/7

⑵小

3(〃+3)

【分析】(1)设等差数列｛凡｝的公差为d，则"工0,根据题意可得出关于d的方程，求

出d的值，可求得数列｛?｝的通项公式，利用等差数列的求和公式可求得工：

(2)求得b=2(-.....-L利用裂项相消法可求得4.

【详解】(I)解：设等差数列也｝的公差为4,则dwO，

生=。3一"=1°一4'a4=a3+d=\O+d»%=4+4d=10+4d，

由题意可得婚=〃必，即(10+4)2=(10-4)(10+44)，解得d=2'

所以，%=&+(〃-3”=1()+2-3)=2〃+4，

所以，S/(…)=〃(6+2〃+4)=〃2+5〃.

"22

(2)解：〃号二7TI;7r(〃+2：(〃+3)=2扁—+

16.(1)证明见解析

答案第91页，共22页

⑵逅

3

【分析】（1）利用勾股定理和线面垂直的性质可证得C*_LCE，B£工CE，由线面垂直

的判定定理可证得结论；

（2）以人为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.

【详解】（1）.四边形为矩形，CD=；DD『L"为04中点，

.•CE=CE=^/^=W又CC\=2,：.CE+CE2=CC；,；.C’E1CE；

鸟£_L平面CDD£，CEu平面CDD.C,，4如_LCE；

•.♦4qnGE=G，BCCEu平面B£E，；.CE上平面BCE・

（2）以A为坐标原点，而，亚，刀;正方向为x/，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则4(0,0,0)，G。，1，2)，£(0,1,1)>“1,1,0)，

=(1,1,2)»荏=(0,1,1)，CE=(-1,O,1);

设平面AC】E的法向量;;=(》j,z)，

答案第101页，共22页

fAC,-n=x+y+2z=0尸】X=1z=~l.-./；=(1,1,-1)

则孱j+z=。’令‘解得：,,

由（I）知：CE_L平面片CE，二•平面AGE的一个法向量为方=（_],（）]），

二.cos<国计品=扁=当

即平面B&E与平面"GE夹角的余弦值为限.

3

17.（1）79.325万

（2）表格见解析，能认为

【分析】（1）计算出旅游费用支出不低于15（）0元的概率可得答案;

（2）计算出根据小概率值0=0.01的独立性检验课做出判断.

【详解】（1）因为〃=11.8,。=3.2,〃+。=15，

所以旅游费用支出不低于1500元的概率为/+=+G015865,

2

所以500x0.15865=79.325'

估计2023年有79.325万的游客在本市的年旅游费用支配不低于1500元：

（2）假设，°：“客户星级”与“客户来源”独立，没有关联，

游客来源客户星级合计

三星客户一星客户

当地游客200400600

外地游客100300400

合计30()7001000

答案第111页，共22页

1000(200X300-100>：400)2

-«7.937>6.635

z400x600x300x700

根据小概率值a=0.01的独立性检验，”。不成立，

即“客户星级”与“客户来源”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.0L

18.(1)/(2在(_8,o)上单调递增，化(0,+8)上单调递减；

(2)(一8,_1)

【分析】(1)利用导数，再构造函数二次求导，即可判断i次导数的正负，确定原函数的单

调性；

(2)求导数，再分四类进行讨论，即可判断％=0处是否取到极小值点，最终可得参数取值范

围.

【详解】(1)当〃?=2时，函数八幻=(37把'-。2-2,

则/*(x)=(2-x)ex-2e2x=cx(2-x-2ev)»

令〃(x)=2—x—2e，，易知函数/?(x)=2-x—2c,在R上是减函数，月/(0)=。，

所以当x<()时，有〃a)>o,即八%)>0,当x>o时,有即/'(%)<(),

所以/(x)在(_8,o)上单调递增，在(0,+8)上单调递减；

(2)由已知得:f\x)=(m-x)er—me2x=ex(m—x—mex)r且/'9)=0,

令g(x)=m-x-niex，贝"=-1-mex»

当mNO时,g/(x)=-l-wer<0»则g(x)=m-x-"7C、在R上是减函数,又g(0)=()，

所以当x<0时，有g(x)>0,即O>0,当x>0时，有g(x)<0,即八x)<0，

所以/(x)在(_%())上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

答案第121页，共22页

即/(x)在x=0时取到极大值，不符合题意，故舍去加20；

当T<m<°时，则令夕(幻<°得，

故g(x)=加7-屐、在卜孙］口卜))上单调递减,

乂(x(,(1?日以0)=°

乂(-8,n0)=-8,ln(---J»J=L,

所以当x<0时，有g(x)>0,从而/(X)>0,即/(x)在(YO,O)上单调递增，

当0—<皿1)时，有式幻<°,从而八幻<°,即/⑺在上单调i弟减.

即/(X)在》=0时取到极大值，仍不符合题意，故舍去

当时T时,则巾讣0,令"。,解得…，

令g,(x)>0»解得X>0，

所以g(x)在(70,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

即g(x)在x=0时取到极小值，也是最小值，所以g(x)N0，

从而有f(x)>0，所以/(X)在(YO,+8)上单调递增，

乂不符合题意，故舍去m=7：

当”<T时，则疝」］<0,令得，

km)Im)

故g.=〃i—心在上单调递增，

答案第131页，共22页

又(。，同耶匕卜)’且g⑼叫

所以当x>0时，有g(x)>0,从而>0，即/*)在(0,+8)上单调递增，

当历0<%<0时,有g°)<°,从而八幻(°,即/㈤在何」),0)上单调递减,

即/(X)在工=0时取到极小值，符合题意，故机<一1；

综上所述可得实数小的取值范围是{加।m<_1}

19.⑴二上=「

22

(2)(i)证明见解析：(ii)逑.

2

【分析】(I)由离心率及双曲线参数关系求得a=6,。=应”结合已知令尸(、&,&)，代

入双曲线求参数值，即可得方程;

(2)⑴设P(x”必),0(%,%)，