有理数的运算 章节（15知识点回顾+35题型练习）原卷版-2025年新七年级数学暑期预习（人教版）

有理数的运算（15知识点回顾+35题型练习）

题型一有理数加法运算题型十九有理数乘除中的简便运算

题型二有理数加法中的符号问题题型二十有理数四则混合运算

题型三有理数加法在生活中的应用题型二十一有理数四则混合运算的实际应用

题型四有理数加法运算律题型二十二根据点在数轴的位置判断式子的正负

题型五有理数的减法运算题型二十三数轴上的翻折

题型六有理数减法的实际应用题型二十四有理数塞的概念理解

题型七有理数的加减混合运算题型二十五有理数的乘方运算

题型八有理数加减中的简便运算题型二十六有理数乘方逆运算

题型九有理数加减混合运算的应用题型二十七乘方运算的符号规律

题型十省略加法和括号的形式题型二十八乘方的应用

题型十一两个有理数的乘法运算题型二十九程序流程图与有理数计算

题型十二多个有理数的乘法运算题型三十算“24”点

题型十三有理数乘法的实际应用题型三十一含乘方的有理数混合运算

题型十四倒数题型三十二用科学记数法表示绝对值大于1的数

题型十五有理数乘法运算律题型三十三将用科学记数法表示的数变回原数

题型十六有理数的除法运算题型三十四求一个数的近似数

题型十七有理数除法的应用题型三十五近似数推断取值范围

题型十八有理数乘除混合运算

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写知识清单

知识点1.有理数的加法

(1)有理数加法法则：

①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加.

②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相

加得0.

③一个数同0相加，仍得这个数.

(在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0.从而确定用那一条法则.在应用

过程中，要牢记“先符号，后绝对值”.)

(2)相关运算律

交换律：a+b=b+a；结合律(a+6)+c=a+(6+c).

知识点2.有理数的减法

(1)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即：a-b=a+(-6)

(2)方法指引：

①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；

②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号(减号变加号)；二是减数的性质符号(减数变相

反数)；

【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.

减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算.

知识点3.有理数的加减混合运算

(1)有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法.

(2)方法指引:

①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式.

2

②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化.

知识点4.有理数的乘法法则

有理数的乘法

(1)有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

(2)任何数同零相乘，都得0.

知识点5.倒数的概念

(1)倒数：乘积是1的两数互为倒数.

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一般地，=1(aWO),就说a(aNO)的倒数是一.

CLCL

(2)方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”.正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要.倒数是伴

随着除法运算而产生的.

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同.

【规律方法】求相反数、倒数的方法

求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可

求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置

注意：。没有倒数.

知识点6.有理数的乘法运算律

乘法结合律：(aXb)Xc=aX(bXc)；

乘法分配律：(H+B)Xc=aXc+bXc.

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知识点7.多个有理数相乘

多个有理数相乘的法则：

①几个不等于。的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积

为正.

②几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

(4)方法指引：

①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘.

②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单.

知识点8.有理数除法法则

1.有理数除法法则一：除以一个不等于o的数，等于乘这个数的倒数.

用字母表示：a.•三(bW0).

b

2.有理数除法法则二两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0

除以任何一个不等于0的数，都得0.

方法指引：

(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

(2)有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相

除”.如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分.乘除混合运算时一定注意

两个原则：①变除为乘，②从左到右.

知识点9.有理数的乘除混合运算

有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果.

注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算

4

知识点10.有理数的加减乘除混合运算

有理数的加减乘除混合运算顺序

在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的.在同级运算中，要按从左到

右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算.

知识点11.有理数的乘方

(1)有理数乘方的定义：求〃个相同因数积的运算，叫做乘方.

乘方的结果叫做累，在a"中，。叫做底数，〃叫做指数.暧读作。的"次方.(将a"看作是。的"次方的结果时，也

可以读作。的"次累.)

(2)乘方的法则：正数的任何次幕都是正数；负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数；0的任何正整数次暴都是

0.

(3)方法指引：

①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定哥的符号，然后再计算哥的绝对值；

②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减.

知识点12.非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性.

任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.

知识点13.有理数的混合运算

(1)有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括

号，要先做括号内的运算.

(2)进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约

分计算.

2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个

5

数分别结合为一组求解.

3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.

4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.

知识点14.近似数和有效数字

（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是o的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字.

（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示.一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法.

（3）规律方法总结：

“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现

出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些.

知识点15.科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成aX10"的形式，其中。是整数数位只有一位的数，〃是正整数，这种记数

法叫做科学记数法.【科学记数法形式：aX10«,其中lWa<10,〃为正整数.】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中”的要求和10的指数〃的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1;按此规律，先数

一下原数的整数位数，即可求出10的指数

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个

负号.

等题型练习________________________________________________________

题型一有理数加法运算

1.（24-25九年级下•吉林长春•阶段练习）根据有理数加法法则，计算4+（-5）过程正确的是（）

A.+（5+4）B.（4-5）C.（4+5）D.-（5-4）

2.（24-25七年级上•河北沧州•期中）如图，数轴单位长度为1,点/、B、C、。所表示的数字分别为b,c、d.

6

………_I_I_I_I—i-

ABCD

⑴若点8为原点，求a+6+c+d的值是多少？

（2）若/、。表示的数互为相反数，求a+6+c+d的值是多少？

题型二有理数加法中的符号问题

3.（23-24七年级上•新疆伊犁•期中）如果（。+6）的值是负数，则a与6的值（

A.一定都是正数B.一定都是负数

C.一定是一个正数，一个负数D.至少有一个是负数

题型三有理数加法在生活中的应用

4.（24-25七年级上•湖北襄阳•期末）《九章算术》是我国重要的数学典籍，在世界数学史上首次正式引入负数及其加

减法运算法则.魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，

斜放表示负数.如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为（）

C.+3D.+6

题型四有理数加法运算律

7

5.（2024七年级上•全国・专题练习）7+（-3）+（-4）+18+（-11）=（7+18）+［（13）+（-4）+（-11）］是应用了（）

A.加法交换律B.加法结合律

C.加法交换律与加法结合律D.以上说法都不对

题型五有理数的减法运算

6.（24-25七年级上•广西梧州•期中）如图，整数〃?，n,/在数轴上分别对应点N,T,其中T为原点.

MTN

—1--1---1---1---1---，

I-一位长度

（1）填空：分别确定点Af,N所表示的数：切=,"=；

⑵求点M与点N之间的距离.

题型六有理数减法的实际应用

7.（2025・广东汕头•一模）某市2025年1月份连续四天的天气预报信息如图所示，其中日温差最大的一天是（）

1月28日（除夕）1月29日（春节）1月30日（初二）1月31日（初三）

O4y_

0~11℃-2-H℃~6~4℃

阴

多云<J阴

西北风＜4级北风＜4级北风<4级北风＜4级

A.1月28日B.1月29日C.1月30日D.1月31日

题型七有理数的加减混合运算

8

8.(24-25七年级上•新疆和田•阶段练习)计算:

(D(T)+(-9)+(-4)

(2)(-2)+3+(-3)

(3)-4.2+5.7-8.4

4632

题型八有理数加减中的简便运算

9.(2024七年级上•全国・专题练习)用简便方法计算:

(1)(-18.75)+6.254-(-3.25)+18.75；

(2)4.1+g+(-：］+(-10」)+7.

题型九有理数加减混合运算的应用

10.(24-25七年级上•广西桂林•阶段练习)一个病人每天下午需要测量血压，该病人上周日的收缩压为120单位，下

表是该病人这周一到周五与前一天相比较收缩压的变化情况，则本周四的收缩压是单位.

星期—二三四五

增减+20-30-25+15+30

题型十省略加法和括号的形式

11.(22-23七年级上•河北邯郸•期中)把(+7)-(+3)-(-1)+(-2)写成省略括号的和的形式是.

题型十一两个有理数的乘法运算

9

12.（24-25七年级上•福建泉州•期末）计算：-5x

13.（24-25七年级上•北京•期中）计算:

(1)52-30+30+(-20)；

⑵一9x

题型十二多个有理数的乘法运算

14.（24-25七年级上•河南商丘・期中）如果3个有理数的乘积为负数，那么这3个有理数中正数有（）

A.0个或1个B.1个或2个C.0个或2个D.2个或3个

题型十三有理数乘法的实际应用

15.（24-25七年级上•广东佛山•期末）从1层到4层每层参会人数分别为2、1、2、2,每层楼之间爬楼距离相等.如

果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在哪一层？（）

A.1B.2C.3D.4

题型十四倒数

16.（24-25七年级上•陕西渭南•期中）6的倒数是（）

A.-6B.-C.9D.-9

6

题型十五有理数乘法运算律

10

17.（24-25七年级上•河北石家庄•期中）如下是嘉淇对一道题的解题过程:

9—x（-6）

1817

Ji。1}（-6）……第①步

=-60-1……第②步

=-60；...........第③步

下列判断正确的是（）

A.第①步运用了乘法交换律

B.第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误

C.第②步的运算结果正确

D.第③步的结果是本题的正确结果

题型十六有理数的除法运算

18.（24-25七年级上•广西南宁•期中）分数W化简后是（）

题型十七有理数除法的应用

19.（24-25七年级上•贵州贵阳•期末）小明是一名喜欢跳绳的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次跳绳测试一分

钟都要超过180个.以180个为标准，超过的个数记为正，不足的个数记为负，下表是他测试六次的成绩：

第一第二第三第四第五第六

测试次数

次次次次次次

成绩（个）-6-20+4+10+12

（1）在这六次跳绳测试中，小明的最高成绩比最低成绩高多少个?

11

（2）请你帮小明算一算，他这六次跳绳测试的平均成绩是多少个?

题型十八有理数乘除混合运算

20.（24-25七年级上•贵州毕节•期中）计算-9+3xg的结果为（）

A.-9B.9C.1D.-1

21.（24-25・上海•期中）计算：41XL11W-2^

题型十九有理数乘除中的简便运算

22.（24-25七年级上•山西临汾•期中）阅读下列材料，完成后面任务.

12

[2112]

x(-30)=-20+3-5+12=-10

(31065J

故原式=_]

任务:

（1）上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法—是错误的.（填序号）

（2）在正确的解法中，你认为解法」匕较简便.（填序号）

（3）请你进行简便计算:［-打］-尹冷］

题型二十有理数四则混合运算

23.（24-25七年级上•广东佛山•期中）计算：-12。22+/*（一；一.十（一3）2+卜1|.

题型二十一有理数四则混合运算的实际应用

24.（24-25七年级上•云南昆明•阶段练习）某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购讲20箱樱桃若以每箱净重

13

10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为价格称重的记录如下表:

与标准质量的差值（单位：千克）—0.5-0.250+0.25+0.8+0.5

箱数143453

（1）这20箱樱桃相差最大的两箱，质量相差多少千克?

⑵这20箱樱桃的总质量是多少千克?

题型二十二根据点在数轴的位置判断式子的正负

25.（24-25七年级上•陕西渭南•期中）有理数。、6在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（）

ab

A1All,

-I01

A.a+b>0B.Q+1>0C.2a>-bD.a-b<0

题型二十三数轴上的翻折

26.（24-25七年级上•山东济南•阶段练习）将数轴对折，使表示-3与1的两个点重合，若此时表示-5的点与另一个

表示数x的点重合，贝口=.

题型二十四有理数塞的概念理解

27.（22-23七年级上•河北秦皇岛•期末）23表示（）

A.2个3相乘B.3个2相乘C.2个3相加D.3个2相加

题型二十五有理数的乘方运算

14

28.(24-25七年级上•广东湛江•期中)下列各组数中，运算结果相同的是。)

A.23与32B.-下与㈠了

C.一2?与(-2)2

29.(24-25七年级上•吉林长春•期中)概念学习：规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,

如2+2+2,(-3)+(-3)+(-3)+(-3)等，类比有理数的乘方，我们把2-2+2记作,读作“2的3次商”，(-3)+(-3)

+(-3)+(-3)记作(-3)『读作"-3的4次商”.一般地，我们把〃个相除记作见,读作“。的“次商”.

初步探究

(1)直接写出结果：23=；

深入思考

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化

为乘方运算呢？例：24=2+2+2+2=2xW=.

22212)

(2)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方(幕)的形式：

(3)计算：y

题型二十六有理数乘方逆运算

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30.（24-25七年级上•吉林长春•阶段练习）立方等于64的数是.

题型二十七乘方运算的符号规律

31.（24-25七年级上•甘肃白银•期中）观察下列算式：21=2,22=4,23=8,24=162=32,2、=64,27=128,丁=256,…根

据上述算式中的规律，你认为1+2+22+2,+24+2$+…+22叱的末位数字是—.

题型二十八乘方的应用

32.（24-25七年级上•宁夏石嘴山・期末）我们平常用的数都是十进制的，如：3456=3X103+4X102+5X10'+6.表示

十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.电子计算机中用的二进制只有两个数码:

0,1.二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数101=1x22+0x21+1,等于十进制数5；二进制数

10110=1X24+0X23+1X22+1X21+0,等于十进制数22,那么二进制数10101等于十进制数.

题型二十九程序流程图与有理数计算

33.（24-25七年级上•河北石家庄•期中）P,Q,K所表示的运算如下表.若给出一个数，根据P,Q,K的排列顺序

不同，可以得到不同的算式并计算结果.

P-3

Qx(-2)

K+4

（1）所给数字为“-4”时,

①按。-K-P的顺序列式并计算；

②按K-P-。的顺序列式并计算.

（2）若给出某个数，按的顺序运算的结果为14,求符合条件的数.

例如：所给数字为“5"，按尸-Q-K的顺序运算，列得算式：

（5-3）x（-2）+4.

计算：

原式=2*（-2）+4

16

=0.

题型三十算“24”点

34.（24-25七年级上•湖北恩施・期末）有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大

小王，J算11点、0算12点、K算13点、/算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一

个算式，使结果为24.如：两人抽出的点数为2、3、4、5,可以由4?+3+5=24或5?+3-4=24.有一次小