因式分解的意义与提取公式法（2大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）解析版-2025年新七年级数学暑假预习（沪教版）

因式分解的意义与提取公式法

(2大知识点+6大典例+变式训练+过关检测)

B题型预览

典型例题一判断是否是因式分解

典型例题二已知因式分解的结果求参数

典型例题三公因式

典型例题四提公因式法分解因式

典型例题五利用提公因式法化简求值

典型例题六提公因式法的综合应用

府知识梳理

知识点01因式分解的意义

基本概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分

解因式.

注意：

①因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性；

②因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需要因式分解；

③因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个

因式的次数都不高于原来多项式的次数；

【即时训练】

1.(24-25七年级上•上海嘉定•阶段练习)下列各式变形中，是因式分解的是()

A.a2-2ab+b2-1=(a-b)2-1B.2x2+2x=2x2f1+^j

C.(尤+2)(x—2)=尤2—4D.x,-1=(x?+l)(x+l)(x—1)

【答案】D

【分析】本题考查了因式分解的定义.根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答

案.

【详解】解：A、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项不符合题意；

B、等式右边分母含有字母不是因式分解，故本选项不符合题意；

C、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项不符合题意；

D、是因式分解，故本选项符合题意；

故选：D.

【即时训练】

2.(24-25七年级上•上海宝山•期中)关于x的恒等式是x无论取何值等式总成立，它是解决某些问题的一

种方法.若多项式/+办+6可分解为(x+2)(x+6).贝Ua+6的值为.

【答案】8

【分析】本题主要考查了因式分解中十字相乘法.直接利用多项式乘法进而得出6的值，进而得出答案.

【详解】解：,多项式x?+«x+6可分解为(x+2)(x+b),

+办+6=(x+2)(x+b),

.,.x2-^-ax+6=x2+(b+2)x+2b,

贝lJa=b+2,26=6,

解得：b=3,a=5,

故a+b=5+3=8.

故答案为：8.

知识点02提公因式法

基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取

出来，从而达到化简多项式的目的。

例：分解ax+ay+azax+ay+az可以提取公因式aa,得到a(x+y+z)a(x+y+z)。

【即时训练】

1.(24-25七年级上•上海松江•期末)已知a+6=4,ab=3,则/石+仍?的值为()

A.12B.7C.4D.3

【答案】A

【分析】本题考查了提取公因式法分解因式；

对所求式子进行因式分解，然后整体代入计算.

【详解】解："+6=4,ab=3,

：.crb+ab2="（a+6）=3x4=12,

故选：A.

【即时训练】

2.（2025・上海青浦•模拟预测）分解因式：12"c-9a2〃=.

【答案】3a8（4c—3a6）

【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键.首先确定公因式3",

然后提取即可.

【详解】解：12abe-9//=3a6（4c—3a6）,

故答案为：3ab（4c-3ab）.

心经典例题

G【典型例题一判断是否是因式分解】

【例1】（24-25七年级上•上海青浦•期中）下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（）

A.（a+26）（a—2Z?）=a2-4b2

B.a*+2a~+3a=a+2”）+3a

C.x?+5x+4=（x+2）~+x

D.9—=（a+3）（3—a）

【答案】D

【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握理解定义是解题关键.把一个多项式化为几个整式的积的形式,

这种变形叫做把这个多项式因式分解.

根据因式分解的定义逐项判断即可得.

【详解】A、（。+2»（。-29=/一4〃是整式的乘法，此项不符题意；

B、〃+2/+3a=a（a2+2a）+3a没有将一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，此项不符题意;

C、/+5x+4=a+2)2+x没有将一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，此项不符题意；

D、9-a2=(a+3)(3-a),此项符合题意；

故选：D.

【例2】(24-25七年级上•上海普陀•阶段练习)下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是()

A.+8a+16=(a+4)~

B.4a2b2-6ab2+2ab=2ab(2ab—'ib^

C.a~-+c~—d~=(a+Z>)(a—6)+(c+d)(c—d)

D.(fl+4)2=a2+8<7+16

【答案】A

【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式

因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可.

【详解】解：/+84+16=5+4)2符合因式分解的定义，则A符合题意，

4a2b2-Gab1+2ab^2ab{lab-3>b+\),则B不符合题意，

一/=(。+6)(。痣1)+(c+d)(c-d)中等号右边不是积的形式,则C不符合题意，

(a+钎=/+8“+16是乘法运算，则D不符合题意,

故选：A.

【例3】(24-25七年级上•上海•期末)下列各式从左到右是因式分解的是.

(T)(x+3)(x-3)=x?-9；@X2+2X+2=(X+1)-+1；

(3)X2-X-12=(X+3)(X-4)；④f+3砂+2/=(x+2y)(x+y)；

⑤m2+—+2=\m+—\；(6)a3-b3={a-b)[a2+ab+b1^.

mIm)

【答案】③④⑥

【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式

分解，判断求解.

【详解】解：①(x+3)(x-3)=x,-9是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；

②尤?+2x+2=(无+仔+1右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；

③一一%-12=0+3)0-4)是因式分解，故符合题意；

④f+3盯+2/=(x+2y)(x+y)是因式分解，故符合题意；

⑤/+工+2==+’［等号不成立，不是因式分解，故不符合题意；

⑥/-〃=一①(/+历+〃)是因式分解，故符合题意；

故答案为：③④⑥.

【点睛】此题考查了因式分解.解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形

式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.

［例4］(24-25七年级上•上海长宁•课后作业)把一个多项式化为的形式，叫做把这个多项式

因式分解.

【答案】几个整式的积的形式

【分析】根据因式分解的定义直接填空即可.

【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式.

故答案为：几个整式的积的形式.

【点睛】本题主要考查了因式分解定义，注意因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式.

0变式训练

1.(2024七年级上•上海・专题练习)下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？

(1)(%+1)(%—2)=%2—x—2；

(2)X2+2X+3=(X+1)2+2；

⑶3中2-9中+6x=3x3-l)(y-2)；

(4)4x2+12xp+9y2=(2x+3y)2

【答案】(1)不是因式分解

(2)不是因式分解

(3)是因式分解

(4)是因式分解

【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解.

【详解】(1)解：(X+1)(X-2)=X2-X-2,是整式的乘法，不是因式分解;

(2)解：X2+2X+3=(X+1)2+2,最后结果不是几个整式的积，不是因式分解；

(3)解：3xy2-9xy+6x=3x(y-l)(_y-2),是因式分解；

(4)解：4x2+12xy+9j2=(2x+3y)2,是因式分解.

【点睛】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键.

2.(2024七年级上•上海•专题练习)下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由.

(1)a(^a+2b^=a2+lab；

(2)bx—bx2=bx(\—x^•

(3)x?-2x+1=x(x-2)+1；

(4)24/加=23•36c.

【答案】(1)是整式的乘法，不是因式分解

(2)一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分解

(3)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解

(4)等式的左边不是多项式，不是因式分解

【分析】(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解

因式，据此即可作答；

(2)根据因式分解的定义判断即可得答案；

(3)根据因式分解的定义判断即可得答案；

(4)根据因式分解的定义判断即可得答案.

【详解】(1)a(a+26)="+2仍是整式的乘法，故(1)不是因式分解；

(2)bx-bx2=bx[\-x),一个多项式转化成几个整式积的形式，故(2)是因式分解；

(3)X2-2X+1=X(X-2)+1,没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故(3)不是因式分解；

(4)24a2bc=23-a2-3bc,等式的左边不是多项式，故(4)不是因式分解.

【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式.

3.(24-25七年级上•上海长宁•课后作业)下列因式分解是否正确？为什么？

(1)2n2-nm-n=2n(n-m-1)；(2)-ab2+lab-3b=-b(ab-2a-3)；

(3)x(x—y)—y(x_y)=(x—了)？；(4)a—a—2=a(a—1)—2.

【答案】(1)不正确.因为提取的公因式2〃不对；(2)不正确.因为提取公因式-6后，第三项没有变号;

(3)正确.(4)不正确.因为最后结果不是乘积的形式.

【分析】(1)判断多项式的公因式提取是否正确即可判断；

(2)(3)与(1)分析相同；

(4)根据因式分解的定义判断即可.

【详解】(1)多项式的公因式是〃，而不是2%故不正确；

(2)因为提取公因式后，第三项没有变号，故不正确；

(3)x(x-y)-y(x-y')=(x-y)(x-y)=(x-y)2,故正确；

(4)根据因式分解的定义知，最后结果应是乘积的形式，但分解的结果不是乘积的形式，故错误.

【点睛】本题考查了因式分解的定义及提公因式法，掌握因式分解的定义及提公因式是关键.

4.(23-24七年级上•上海长宁•课堂例题)下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？

(1)12x2y=4x-3xy；(2)(x+2)(x—2)=-4；

(3)x2+2x+l=(%+l)2；(4)2X2-3X+1=X(2X-3)+1；

(5)x+4=x|1+—J；(6)—ax+—bx——x(a+bj.

yxy333

【答案】(3)(6)是因式分解，(1)(2)(4)(5)不是因式分解

【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此求解即

可.

【详解】(1)12；6；=4.3孙左边不是多项式，不是因式分解；

(2)(x+2)(x-2)=/-4从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解；

(3)/+2》+1=(》+1)2从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解；

(4)2/-3x+l=x(2x-3)+l从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解；

(5)x+4=x[l+：)从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解；

(6)+=为从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解.

・•.(3)(6)是因式分解，(1)(2)(4)(5)不是因式分解

q【典型例题二已知因式分解的结果求参数】

[例1](2025七年级上•上海长宁•专题练习)若卜-5心-3)是多项式/一8+15因式分解的结果，则P的

值是()

A.2B.-2C.8D.-8

【答案】C

【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的定义，熟练掌握多项式的运算法则是解题的关键.

先计算(x—5)(x—3)=x?—8x+15,由x?—8x+15=无?—px+15得至!j—8=—p即可求得P的值.

【详解】解：•••(X-5)(X-3)=X2-8X+15,

由题意得，Y-8x+15=x?-px+15,

-8=—p,

.1p=8.

故选：C.

【例2】(24-25七年级上•上海松江•期中)已知多项式无2+辰+36能分解为两个整系数一次式的乘积，则人

的值有()个.

A.10B.8C.5D.4

【答案】A

【分析】设尤2+h+36能分解成(x+0(x+4),根据整式的乘法化简，得到。+4=后,网=36,根据P,g为

整数求解即可.

【详解】设/+丘+36=卜+0)卜+4)=—+(p+q)x+pq,

贝1J2+乡=左，2=36

[p=lJ〃=2J夕=3[p=4(p=6[p=—\[p=-2[p=-3JT?=-4f/?=-6

,1q=36[q=[8[q=]2jq=9,[q=6、q=_361q=_18[q=_12jq=_9,[q=_6

.•#=〃+q=37,20,15,13,12,—37,—20,—15,—13,—12,

共10个

故选A

【点睛】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握之间的关系是解题的关键.

【例3】(24-25七年级上•上海松江•阶段练习)若2024期4一20242°22=2025x2023x2024",贝壮二.

【答案】2022

【分析】本题考查因式分解的应用，先提取公因式，再运用平法差公式因式分解即可得到答案.

【详解】解：20242°24_20242°22

=20242022(20242—1)

=2O242022(2024+1)(2024-1)

=2025x2023x2O242022

2O242024-2O242022=2025x2023x2024",

n=2022,

故答案为：2022.

【例4】(24-25七年级上•上海徐汇・期末)将多项式3x2-g+6进行因式分解得到(x-3)(3x-〃)，则〃?+“的

值为.

【答案】13

【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把口-3乂3厂〃)运用多项式乘多项式的法则

展开，再与3x2-mx+6进行比较，即可作答.

【详解】解：依题意，(X-3)(3X-")=3X2-〃X-9X+3〃=3X2-(M+9)X+3〃

因为多项式3工2_g+6进行因式分解得到(x-3"3x-〃)，

所以3x?-妙+6=3》2-(〃+9)x+3”

那么〃+9=加，6=3n,

故〃=2,加=11,

所以徵+〃=11+2=13,

故答案为：13.

⑥变式训练

1.(2024•上海闵行•模拟预测)已知(x+3)(x-2)+x(x—2)可因式分解成(办+6)(2x+c),其中a,b,c均为

整数，求5+6)。的值.

【答案】-1

【分析】本题考查因式分解，将(元+3)(尤-2)+W龙-2)进行因式分解后，求出瓦c的值，代入代数式计算

即可.

【详解】解：••,(x+3)(x-2)+x(x-2)=(x-2)(x+3+x)=(x-2)(2x+3),

又(尤+3)(x-2)+x(尤-2)可因式分解成(办+b)(2x+c),

：.a=l,b=—2,c=3f

.-.(a+b)e=(l-2)3=-l.

2.(23-24七年级上•上海奉贤•单元测试)两位同学将一个二次三项式：q/+bx+c(其中*b＞。为常数，

且。儿/0)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(X-D(X-9),另一位同学因看错了常数项而

分解成2卜-2加-4),请将原多项式分解因式.

【答案】2(x-3)2

【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握运算法则.由于含字母x的二次三项式的一般形式为

办2+6X+C(其中。、6、。均为常数，且。儿/0),所以可设原多项式为"2+bx+c；根据因式分解与整式

的乘法互为逆运算，可将2卜-1加-9)运用多项式的乘法法则展开，进而求出。与c的值；同理将

2口-2加-4)运用多项式的乘法法则展开，还可求出6的值，从而确定原多项式，再将原多项式分解因式

即可.

【详解】解：,办2+6x+c=2(x-l)(x-9)=2x?-20x+18

•**a=2,c=18

ax2+bx+c=2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16

/.b=—12

•••ax2+bx+c=2x2-12x+18

=2(元2-6X+9)

=2(x-3)2.

3.(23-24七年级上•上海崇明•期末)仔细阅读下面例题：

已知二次三项式尤2+5X+,”有一个因式是x+2,求另一个因式以及加的值.

解：设另一个因式为x+〃，得x?+5x+加=(x+2)(x+〃)，贝!]x2+5x+加=x?+("+2)x+2〃，解得：〃=3,

加=6.二另一■个因式为x+3,m=6.

类比上面方法解答：

⑴若二次三项式x2-x-12可分解为(》+3)(x-a),贝/=.

(2)若二次三项式2/一加一6有一个因式是(2x+3),求另一个因式以及b的值.

【答案】(1)4

(2)另一个因式为尤-2,6值为1

【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系：

(1)由题意得，x2-x-12=(x+3)(x-a),据此把等式右边展开即可得到答案；

(2)设另一个因式为(x+〃)，贝口--&-6=(2x+3)(x+〃)，据此仿照题意求解即可.

【详解】(1)解：由题意得，»2-x-12=(x+3)(x-a),

x2—x—12=x2+3x—办—3。=x2+(3-a)x—3。，

3—Q=-1,—3ct=-12,

••・Q=4;

(2)解：设另一个因式为(％+〃),

2*-bx-6=(2x+3)(x+〃)，

2/-bx-6=2%2+(2〃+3)x+3〃,

•••3n=—6,2〃+3=—b,

〃——2,b=1,

二另一个因式为x-2,6值为1.

4.(24-25七年级上•上海嘉定•期中)阅读下列材料，然后解答问题：

问题：因式分解：X3-5f+4

解答;对于任意一元整式/(x),其奇次项系数之和为加，偶次项系数之和为“，若m=〃,则/(-1)=0,

若m=-n,则/⑴=0,在/-5/+4中，因为机=1,«=-5+4=-1,所以把x=l代入整式d-5/+4,

得其值为0,由此确定整式X3-5/+4中有因式(x-1).于是可设Y-5/+4=(》-1乂/+必+力分别求

出P,4值，再代入尤3_5/+4=(尸1乂/+"+力就可以把整式苫3-5x2+4因式分解，这种因式分解的

方法叫做“试根法”.

(1)上述式子中〃=_,4=_;

(2)对于一元整式/+6/+山+6,必定有/(_)=0；

(3)请你用“试根法”分解因式：X3+6X2+11X+6.

【答案】(1)一4,-4

(2)-1

(3)x3+6x2+1lx+6=(x+1)(x+2)(x+3)

【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系：

(1)利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可；

(2)求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可；

(3)根据(2)所求得到(x+1)是多项式％3+6/+1卜+6的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式

分解.

【详解】(1)解：X3-5X2+4

=(1-1)卜2+夕x+q)

=x3+px2+QX-X2-px-q

=13+(夕—l*+(乌一〃卜一1，

p-i=T,q=-4,

p=-4,q=-4,

故答案为：-4,-4；

(2)解：多项式/+6*+1卜+6中，奇次项系数之和为m=l+ll=12,偶次项系数之和为〃=6+6=12.

：.m=n,

••J(T)=0，

故答案为：-1；

(3)解：由(2)可得(x+1)是多项式/+6/+15+6的一个因式，

.•・可设/+6x2+1lx+6=(x+l)(%2+〃x+q),

x3+6x2+1lx+6

=x3+px2+qx+x2-\-px+q

=13+(2+1)12+(”,卜+^,

(p+l=6

+p=U，

r；,

[9=6

.,.x3+6x2+llx+6=(x+l)(x2+5x+6)=(x+l)(x+2)(x+3).

鼠.【典型例题三公因式】

【例1】（24-25七年级上•上海嘉定•阶段练习）多项式4“2/>3一12仍2c的公因式是（）

A.abB.ab1C.4ab2D.12a2b3c

【答案】C

【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案.

此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）

字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的.

【详解】多项式4//）3一12仍2c的公因式是4仍2.

故选：C.

【例2】（23-24七年级上•上海闵行•期末）多项式49/2-8x2/4+12/y2z3的公因式是（）

A.4x3yz2B.-Sx2yz4C.I2x4y2z3D.4x2yz2

【答案】D

【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.根据

公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次塞，然后确定公因式即可.

【详解】解：­,多项式4/田一康田+12xVz3的系数的最大公约数是4,相同字母的最低指数次募是V田，

多项式4尤3产2-8》2期4+12x4y2Z3的公因式是4必投2,

故选：D.

32

1例3米24-25七年级上•上海宝山・期末）命题“多项式8a3/+l2abc的公因式是lab”是（填“真”或"假”）

命题.

【答案】假

【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公

约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的.

直接利用公因式的定义分析得出答案.

【详解】解：多项式8//+12仍3c的公因式是4a〃，原命题是假命题，

故答案为：假.

【例4】（2025七年级上•上海长宁•专题练习）写出公因式：

（1）鸟中分子、分母的公因式是_____;

6孙

（2）中分子、分母的公因式是_____；

X-1

（3）中分子、分母的公因式是_____.

a—b

L12xy/2,yxx—1/—1+xa+b/b+a

【分析】本题主要考查了求公因式，掌握公因式的定义是解答本题的关键.

公因式是指：数字的最大公约数，相同字母的最低次幕组成的式子，据此求解即可.

2xylx

【详解】解：（1）

6xy22xyHy

故答案为：2孙；

(2)二=3,

X—1X—1

故答案为：X-\;

a1+2ab+b2_(a+b)2

a2-b2(Q+6)(Q_6)

故答案为：a+b.

0变式训练

1.（24-25七年级上•上海长宁•课后作业）下列各组中的两个分式是否相等？为什么？

⑴生与智；

V2y

(2)牛与

9Q2b3ab

【答案】（1）相等，见解析；（2）相等，见解析

【分析】(1)先利用分式的基本性质将分式中分子与分母的公因式2y约去即可；

(2)先利用分式的基本性质将分式中分子与分母的公因式3a约去即可.

「丫5、物4xy_2y-2x_2x2x4xy

【详解】解：(1)1­-----------，一=『；

2y2y-yyy2y

(2)6ac3a-2c2c6ac_2c

9a2b3a-3ab3ab'9a2b3ab

【点睛】本题考查分式的约分，通过观察分式的分子与分母，找出它们的公因式是解题关键.

2.(24-25七年级上•上海长宁•课后作业)把下列各式因式分解：

(1)x(a+b)+y(a+b)；(2)3a(x-y)-(x-.y)；(3)6(/?+^)2-12(^+p)；

(4)a(m-2)+b(2-ni)；(5)2(y-x)2+3(x-y)；(6)mn(m-w)-m(n-m)2.

【答案】(1)(a+b)(x+y)-(2)(x-y)(3a-l)；(3)6(p+g)(p+g-2)；(4)(5)

(x—y)(2x-2y+3)；(6)m(m-n)(2n-m).

【分析】前3个小题直接提取公因式即可；

后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式.

【详解】(1)尤("+6)+y(a+b)=(a+b)(尤+y)；

(2)3a(x-y)-(尤-y)=(x-y)(3a-l)；

(3)6(2+q)2-12(q+p)^6(p+q){p+q-2)；

(4)a(m—2)+b(2—ni)=a(m—2)+b[—(m—2)]=(m—2)(a—b)；

(5)2(j-x)2+3(x-y)=2(x-y)2+3(x-y)=(x-y)(2x-2y+3)；

(6)mn(nz-n)-m(n-my=mn(jn-n)-m(m-=m(m-n)(2n-m).

【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式

有公因式.一般常见的两种变形为：b_a=_(a_b)及(b-aHL

3.(24-25七年级上•上海嘉定•期末)已知犬+2尤+1是多项式尤3一/+依+方的一个因式，求a,b的值，并

将该多项式因式分解.

【答案】a=-5,b=-3,(X+1)2(X-3)

【分析】由题意可假设多项式，-工2+办+6=(12+21+1)(工+加)，则将其展开、合并同类项，并与％3_%2+办+6式

子中X的各次项系数对应相等，依次求出加、从4的值，那么另外一个因式即可确定.

[详解]解：设/+QX+6=12+2X+1)(X+m)，

贝！Ix3-x2+ax+b=xi+(m+2)x2+(2m+\)x+m,

所以〃z+2=—1,2m+1=a,m=b,

解得m=—3,a=—5,b=—3.

所以--x?-5x-3=(x?+2x+l)(x-3)=(x+l)~(x-3).

【点睛】本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好.

4.(24-25七年级上•上海虹口•期中)已知：A=3^-12,B=5x2y3-10xy3,C=(x+l)(x-5)+9,问多项式/、

8、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由.

【答案】x-2

【分析】先分别把代数式4B,C分别分解因式，再确定公因式即可.

【详解】解：多项式N、8、C有公因式.

月=3--12=3(--4)=3(x+2)(x-2),

B=5x2y3-10xy3=5xy3(x-2),

C=(%+1)(X-5)+9=X2-4A--5+9=X2-4X+4=(X-2)2.

因此多项式/、B、C的公因式是：x-2

【点睛】本题考查的是公因式的含义，因式分解的方法，掌握“利用提公因式，公式法分解因式”是解本题的

关键.

修【典型例题四提公因式法分解因式】

【例1】(2025七年级上•上海虹口•专题练习)多项式12。/一8/船用提公因式法分解因式时提取的公因式

是()

A.2abB.4abC.4a/D.2abc

【答案】B

【分析】本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是准确找出各项的公因式.根据提公因式法，找出各

项的公因式即可.

【详解1解：12ab2-Sa2bc=4ab(3b-2ac),

应提取的公因式为4尤，

故选：B.

［例2)(24-25七年级上•上海虹口•期中)若多项式(a+Z>-c)(a+c-6)-S-a+c)(6-a-c)=Af(a-Z>+c),

则M是(

A.2(b-c)B.2aC.2bD.2(〃-c)

【答案】C

【分析】提取公因式后剩下的各项的和就是所要求的〃的值.

【详解】解：(a+b-C)(Q+c-b')-(b-a+c)(b-a-c)

二(a+人一C)(Q+c-b)+(b-a+c)(a+c-b)

=(a+c-6)[(a+b-c)+(b-a+c)]

=(a+c—6)[a+b—c+b—a+c]

=(a-6+c)・26

=M(a-b+c),

M=2b,

故选：C.

【点睛】本题考查了提公因式法分解因式的解答过程，要灵活运用符号的变换.

【例3】(2025•上海杨浦•模拟预测)分解因式：2ab-4b=.

【答案】2b(a-2)/2b(-2+a)

【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，掌握提取公因式法是关键.

根据题意提取公因式2b,进行分解即可.

【详解】解：2而-46=26("2),

故答案为：26(。-2).

【例4】(24-25七年级上•上海普陀•期中)如图，长方形的长宽分别为。，b,且a比方大3,面积为10,

则a2b-ab2的值为

【答案】30

【分析】本题考查了因式分解，长方形的面积公式，由题意得a-6=3,ab=10,再将要求的式子变形为

ab(a-b),代入求解即可，掌握提公因式法是解题的关键.

【详解】解：由题意得：a-6=3,ab=10,

Q2b-ab1=ab(a—b)=10x3=30,

故答案为：30.

⑥变式训练

1.(24-25七年级上•上海长宁•期中)分解因式：

(1)8x4y+6尤3。-2X3J

(2)a(x-y)+6(y-x).

【答案】(1)2尤3y(4尤+3y-l)

⑵(x-y)(a-，)

【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键.

(1)利用提公因式法分解因式即可；

(2)利用提公因式法分解因式即可.

【详解】(1)解：82/+6尤3/_2/了

=2x3y(4x+3y-l)；

(2)解：a(x-y)+b(y-x)

=(x-y)(<7-6).

2.(24-25七年级上•上海长宁•阶段练习)把下列各式进行因式分解：

(l)-2x3y2+28x2y-4xy；

(2)x2(x-3)+4(3-x)；

(3)(3X-2)2-(2X+7)2；

(4)a2(a-6)+2ab(b-a)+b2(a-b).

【答案】(1)-2孙(x、-14x+2)

(^)(%-3)(%+2)(x—2)

⑶5(x+l)(x—9)

(4)(a-6)3

【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式，利用完全平方公式和平方差公式分解因式

的方法.

(1)提取公因式即可得；

(2)先提取公因式，再利用平方差公式即可得；

(3)先利用平方差公式，再提取公因式即可得；

(4)先提取公因式，利用完全平方公式即可得.

【详解】(1)解：原式=-2孙(x、-14x+2)；

(2)解：原式=(x-3)(f-4),

=(x-3)(x+2)(x-2)；

(3)解：原式=(3x-2+2x4-7)(3。—2—2x—7),

=(5x+5)(x-9),

=5(x+l)(x-9)；

(4)解：原式=(a—6)(〃—2ab+Z?2),

=(a-b)(a-b)1,

=(a-b)3.

3.(2025•上海静安•模拟预测)(1)计算：2°+'3|-9]

(2)因式分解：(x+3y)2-2(x2-9y2).

小刚的解题过程如下：

(尤+3"-2(/-9必)

=(x+3j)2-2(x+3y)(x-3y).....第一步

=(x+3y)(x+3y-2x-6y)...........第二步

=(x+3>)(—x—3y)...........第三步

①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是(写出用字母Q,b表示的乘法公式);

②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第步出现了错误.

【答案】(1)1;(2)(i)a2-b2=(a+b)(a-b)-②二

【分析】本题考查了整式的因式分解，零指数基和负整数指数幕，解题的关键是掌握相关运算法则.

(1)根据零指数幕、负整数指数塞和绝对值的定义求解即可；

(2)①根据平方差公式的定义即可求解；②第二步出现了错误，根据去括号法则判定即可；根据平方差公

式和提公因式法因式分解即可.

【详解】解：⑴2°+|-3|-II=1+3-3=1

(2)①第一步变形用至IJ的乘法公式是/一〃=(。+6)(。一冲，这里人3九x2-9j2=(x+3y)(x-3y).

②第二步出现了错误，

(jf+3y)2—2(x+3y)(x-3y)=(x+3y)[(x+3y)-2(x-3y)]=(x+3y)(x+3y—2x+6y)=(x+3y)(—x+9y)

4.(24-25七年级上•上海静安•阶段练习)【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是7的整数倍.

方法：三位数嬴割掉末位数字C得两位

举例：对于三位数364,割掉末位数字4

数月，再用力减去C的2倍所得的差为注：

得36,36-4x2=28,因为28是7的整

苏-2c，若瓦-2c是7的整数倍，则诙abc=100。+106+。

数倍，所以364是7的整数倍.

是7的整数倍.

(1)尝试用“割尾法”判断455能否是7的整数倍.

(2)材料中的判断方法是“若瓦-2c是7的整数倍，则嬴是7的整数倍”，请证明这种方法的正确性.

【答案】(1)是，理由见解析

(2)证明见解析

【分析】本题主要考查了列代数式，分解因式及其应用，解题关键是正确理解题意.

(1)按照已知条件的举例和方法进行解答即可；

(2)按照多位数的表示方法表示出嬴:和益—2c，利用7-2c是7的整数倍，设苏-2c=10a+6-2c=7左(左

为正整数)，得10。+6=7左+2c,再整体代入诙=100a+106+c=10(10a+6)+c即可解决.

【详解】(1)解：对于三位数455,割掉末位数字5得45,

45-5x2=35,

因为35是7的整数倍，

所以455是7的整数倍；

(2)解：由题意，得：abc=100a+106+c，ab-2c=10a+b-2c

•••瓦-2c是7的整数倍，

设而-2c=10a+6-2c=7左（左为正整数），

.•.10。+6=7左+2。，

•••abc=100。+106+。

=10（10a+b）+c

=10（7左+2c）+c

=70左+21c

=7（10左+3c）,

・•・嬴是7的整数倍.

G【典型例题五利用提公因式法化简求值】

2

【例1】（24-25七年级上•上海金山•期末）化简二±£的结果是（）

a2-l

,a+\—Q-a—<

A.------B.------C.------D.a+1

a—1a+1a—1

【答案】c

【分析】利用提公因式与平方差公式进行分解因式，再约分化简即可.

2

【详解】解：

CL—1

a（〃+l）

（Q+1）（〃_1）

a

a-1

故选：C.

【点睛】本题考查分式的约分，涉及提公因式、平方差公式进行分解因式等知识，是重要考点，掌握相关

知识是解题关键.

【例2】（24-25七年级上•上海松江•期末）分式二、可化简为（）

x—xy

1111

A.------B.---------C.------D.------

y-xx+yx+yx-y

【答案】A

【分析】将分式分母先因式分解，再约分，即可求解.

【详解】解："士

-X

x（x-y）

1

y-x

故先：A.

【点睛】本题考查了分式的约分，涉及到因式分解，分式的约分，按运算顺序，先因式分解，再约分.

【例3】（24-25七年级上•上海松江•阶段练习）化简：a+l+a（a+l）+fl（（7+l）2+...+a（«+l）2024=.

【答案】（4+1严$

【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用提取公因式法进行化简，本题属于基础题型.

把“+1当作一个整体，提取公因式计算即可求出答案.

【详解】解：原式=（。+1）2+。（。+1）2+…+。（。+1）~"4

=（<7+1）3+...+<7（fl+I）2024

=（«+1）2025.

故答案为：（。+1）2025.

【例4】（2025•上海静安・模拟预测）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一

种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.例如，计

算“当x=5时，多项式3丁-4/-35》+8的值.”按照秦九韶算法，多项式

3--4x2-35x+8=x（3x2—4x-35）+8=x[x（3尤一4）-35]+8,当x=5时，

3X3-4X2-35X+8=X[X（3X-4）-35]+8=108.

参考上述方法，当x=2时，多项式2尤4+4/+》一1的值是.

【答案】49

【分析】本题主要考查代数式求值，先化简再求值；先提取公因式化简，再代入计算即可求出.

【详解】解：当x=2时，

2尤4+4x2+x-l

=+4x+1）-1

=x[x（2x?+4）+1卜1

=X[2X（X2+2）+1]-1

=2x（4x6+l）-l

=49

故答案为：49.

0变式训练

,01

1.(24-25七年级上•上海长宁•期中)先化简再求值：a(a-by-b(b-a),其中a=2,b=-.

【答案】(Q—/Oq1一27

O

【分析】根据提公因式的方法对代数式进行化简，然后代数求解即可.

【详解】解：a(a-b)2-b(b-a)2

=Q(Q_6)2-b^a-b^f

=(a—b)

二(Q-6)3,

将a=2,6代入可得，原式=12—g；=]|]=g.

【点睛】此题考查了因式分解的应用，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握提公因式法进行因式分解.

2.(24-25七年级上•上海闵行•期中)(1)因式分解(2x+y)(2x-3y)-3x(2x+y)；

3

(2)先因式分解再求值4a伍-2)+3a(2-6)9一，其中。=展b=6.

【答案】(1)-(2x+y)(x+3y)；(2)a(2-3b)(2-b)；96.

【分析】本题主要考查了因式分解：

(1)提出公因式2x+y,即可求解；

3

(2)先利用提公因式法解答，再把。==,6=6代入，即可求解.

2

【详解】解：⑴原式=(2x+#(2x-3广3司

=-(2x+M(x+3y)；

(2)原式=[-4Q+3Q(2-6)](2-b)

=(-4(2+6a-3Q»(2-b)

=(2a-3ab^(2-b^

=a(2-3b)(2-6)

当°=展6=6时，原式=/x(2-3x6)x(2-6)=96.

3.(23-24七年级上•上海松江•阶段练习)先分解因式，再求值：

(l)25x(0.4-j)2-10y(y-0.4)2,其中x=0.04,y=2.4；

(2)已知a+6=2,ab=2,求ga'b+a”?的值；

(3)利用简便方法计算：5032+1006x502+5022-10062.

【答案】(1)-92

⑵4

(3)-2011

【分析】(1)先根据提公因式法因式分解，再代入值即可；

(2)先将原式提公因式，转化为完全平方式的形式，代入值即可；

(3)将原式按照平方差公式和完全平方公式进行转化，再计算即可.

【详解】(1)解：25x(0.4-y)2-10v(^-0.4)2

=5(y-0.4)2(5x-2y)

当x=0.04,了=2.4时

原式=5x(24-04)2x(5x0.04-2x2.4)

=5x4x(O.2-4.8)

=20x(-4.6)

=-92；

(2)解：a+b=2,ab=2,

：.-a3b+a2b2+-ab3

22

=—ab+2ab+)

=-x2x22

2

=4；

(3)解：5032+1006x502+5022-10062

=5032+2x503x5022+5022-10062

=(503+502)2-10062

=10052-10062

=(1005-1006)(1005+1006)

=-2011.

【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握公式的形式是解题的

关键.

4.(24-25七年级上•上海虹口・期末)已知x>3,代数式：N=2x?-8,B=3X2-6X,C=X3-4X2+4X.

⑴因式分解8;

(2)在A,B,C中住施可个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.

【答案】(l)3x(x-2)

(2)见解析

【分析】本题主要考查了分解因式，化简分式：

(1)提取公因式3x分解因式即可；

(2)分选择/、B,选择/、C,选择2、C三种情况，把选择的两个式子分别作为分子和分母组成分式，

再化简分式即可.

【详解】(1)解：5=3X2-6X=3X(X-2)；

2X2-82(x+2)(x-2)2x+43x2—6x3x(x-2)3x

(2)解：选择A3,则所得分式为3x或2f-8-2@+2)(无一2厂2x+4：

3x2-6x3x(x—2)

_g322

2(x+2)(x-2)=2x+4x-4x+4x_x(x-2)x2—2x

选择/、c,则所得分式为4/+4x(x-2)2X2-2X^2X2-SX~2(x+2)(x-2)

2x+4

3x2—6x3口(x-2)=3v3-4x2+4x_x(x-2)2_x-2

选择夙C,则所得分式为发_4x匕4x(x-2)2x-293X2-6X-3X(X-2)-^-

吗【典型例题六提公因式法的综合应用】

【例1】(24-25七年级上•上海嘉定•阶段练习)多项式/+6/歹+9刈2与工3了-9中3的公因式是()

A.x(x+3j)2B.x(x+3y)

C.xy(x+3y)D.x(x-3y)

【答案】B

【分析】先把两个多项式进行因式分解，再根据公因式的概念进行判断，即可得出结论.

【详解】解：•・・•？+6》2了+9中2

=x^x2+