新高一数学暑假学习提升：因式分解（原卷版）

衔接点03因式分解

学习目标

1、熟练掌握提公因式法和公式法

2、能灵活应用十字相乘法

3、了解分组分解法

知识梳理

一、初中知识再现

1、因式分解定义

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解.

2、提公因式法

（1）如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积

的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如：H+ac=aS+c）

（2）概念内涵：

①因式分解的最后结果应当是“积”；

②公因式可能是单项式，也可能是多项式；

③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即：〃幻+，汕-加。=〃?（。+c）

3、公式法：

3.1公式法一平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的利与这两个数的差的积，即：

a2-b2=（a+b）（a-b）

特别说明：

（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.

（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方,且符号相反.右边是两个数（整式）的和与这两

个数（整式）的差的积.

（3）套用公式时要注意字母。和〃的广泛意义，。、人可以是字母，也可以是单项式或多项式.

3.2公式法——完全平方公式

两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方.

即a2+2ab+b2=（a+b）2,a2-2ab+b2=（a-b）2.

形如"+2ab+b2，cr-lab+b1的式子叫做完全平方式.

特别说明：

（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；

（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是

两数的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.

（4）套用公式时要注意字母。和人的广泛意义，。、人可以是字母，也可以是单项式或多项式.

4、十字相乘法

4.1十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

c[pq=c、

对于二次三项式厂+〃x+c，若存在7，贝+bx+c=（x+〃）（x+q）

p+q=b

特别说明：

（1）在对f+/2.E+C分解因式时，要先从常数项C的正、负入手，若C>0,则，，乡同号（若C<0,则〃，

q异号）,然后依据一次项系数人的正负再确定〃，4的符号

（2）若法+c中的〃，c为整数时，要先将c分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看

这两个整数之和能否等于力，直到凑对为止.

4.2首项系数不为1的十字相乘法

在二次三项式a^+^+c（。工0）中，如果二次项系数。可以分解成两个因数之积，即常数项。可

以分解成两个因数之积，即。=。臼，把4,生,G，G排列如下：

。遇2+42cl

按斜线交叉相乘，再相加，得到+。2。，若它正好等于二次三项式+—+。（。/0）的一次项系数/,,

即4c2+。2。二人，那么二次三项式就可以分解为两个因式qx+q与之积，即

2

ax+bx+c=（qx+c1）（a2x+c2）.

特别说明：

（1）分解思路为“看两端，凑中间”

（2）二次项系数。一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不

要忘记把提出的负号添上.

5、分组分解法

对「一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法遂行因式分解时，可考虑分步处理的方法，

即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解分组分解法.即先对题日

进行分组，然后再分解因式.

6、求根公式法

对于一元二次方程or?+灰+。=0(々工0)，当△=〃一4〃cZ0时，一元二次方程，比2+尿+c=0(aw0)有

两个实数根，记为：,一"宙一4a此时对应的二次三项式办2+法+c(a工0)可分解为:

"2a

1

ax+bx+c=a(x-xi)(x-x2).

二、高中相关知识

1、乘法公式中的立方和、立方差公式：

①(a+b)(a2-ab+b2)=ay+by

②(a-b)(a2+ab+h2)=a3-b3

2、因式分解中的立方和、立方差公式

①/+/?*=(a+b)(a2-ab+b2)

②as-lr=(a-b)(a2+ab+lr)

对点特训

对点特训一：提公因式法因式分解

典型例题

例题1.(23-24八年级下全国•课后作业)将多项式〃)+)，(〃-为提公因式后，另一个因

式为()

A•x2-A+lB•x2+x-^\C.x2-x-\D.x2+x-\

例题2.(23-24七年级下全国•课后作业)若〃-b=3,3a+2b=5,则3a(。一8)+»(。一8)=.

精练

1.(23-24八年级下全国•课后作业)把多项式/(〃-2)+/〃(2-a)分解因式正确的是()

A.-2)("/+〃，B.

C./〃(〃-2)(〃?-1)D.(2-a)(〃P+〃?)

2.(23-24七年级下•湖南怀化期中)分解因式：

⑴。3—6〃+9〃；

精练

1.(23-24八年级下陕西西安.阶段练习)把下列各式因式分解：

⑴-31+6x2y2-3x>,?

(2)2a(a-b)+(b-a)

(3)(U-2Z^)2-4«2

(4)(X2+2A-)2+2(X2+2X)+1

2.(23-24八年级上•山东滨州•期末)通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法,

与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解.下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的

过程.

甲：x2+xy-2x-2y乙：a2-b2+2b-\

=(r+.D，)—(2x+2y)(先分成两组)=/-仅2-3+1)(先分成两组)

=4"十y)一2。十)，)=/一(。7)，

=(x+y)U-2).=(a+b-\')(a-b+l).

两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解.

(1)试用上述方法分解因式：m2+4mn+mh+2nh+4n2-

⑵利用分解因式说明：因式*+6)2-*-3)2能被9整除.

对点特训三：首项系数为“1”的二次三项式因式分解

典型例题

例题1.（2024•江西吉安•一模）因式分解：d-4x-5=

例题2.（23-24七年级上•上海•期末）因式分解：〃一13々+36=

题型归类练

1.（23-24九年级下,上海•阶段练习）分解因式：f+4x+3=.

2.（23-24八年级上重庆璧山期末）因式分解/+〃—6的结果是______________.

对点特训四：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解

典型例题

例题1.（23-24八年级上•山东滨州•期末）若2x-3是多项式2/+皿-12例为系数）的一个因式，则机

的值是（）

A.2B.4C.5D.6

例题2.（2023八年级上全国•专题练习）十字相乘法分解因式：

（l）2x2-3x+l

（2）6X2+5X-6

精练

1.（23-24七年级上,上海,期末）因式分解：2/—6工-8=

2.（23-24八年级上.河南洛阳期中）把下列多项式分解因式：

⑴2/+X-6-

对点特训五：含参数的十字相乘法

典型例题

例题1.（23-24九年级上浙江嘉兴期末）解下列关于x的不等式：

（l）x2-（3tz-I）x+24/2-a<0.

例题2.（23-2/1八年级上湖北黄石•阶段练习）分解因式：

⑴。H-6rfixy+8wy2

题型归类练

1.（23-24八年级上.四川内江棚中）因式分解

（l）x2-2xy-3y2

2.（23-24七年级上上海闵行期中）⑴因式分解：/-5个-24），

对点特训六：十字相乘法的综合应用

典型例题

例题1.(23-24八年级上•云南保山•阶段练习)先阅读下面的内容，再解决问题.

如果一个整式A等于整式“与整式C之积，则称整式8和整式C为整式A的因式.

如：①因为9—f=(3+”(3-冷，所以3+x和3-彳是9—V的因式.

②若x+1是f+or-2的因式，则求常数。的值的过程如下：

解：・・・x+l是V+⑪-2的因式,

二.存在一个整式(》+〃),使得x2+or-2=(x+l)(/nr+/i).

・•・当尸一1时，(x+l)(〃比+〃)=0,此时12+公一2=0.

将.尸一1代入f+or—2=0得，1一。一2=0,解得。二一1.

⑴x+3是.一一51一6的因式吗？(填"是"或"不是”)；

⑵若整式x-2是x2_13x+m的因式，求常数〃，的值.

例题2.(23-24八年级上贵州遵义期末)【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：

1(x+2)(x+3)=x2+5x+6；

②(X-4)(X+1)=/_3X-4；

@(y-5)(y-3)=y2-Sy+\5.

通过以上计算发现，形如(K〃)(x+")的两个多项式相乘，其结果一定为f+(p+<y»+/〃/(pq为整数)

因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形,所以一定有炉+(〃+4)*+〃“=*+〃)(工+4),即可将形如

/+(〃+9)工+仅7的多项式因式分解成(工+〃乂工+4)(〃3为整数).

例如：x2+3x+2=x2+(l+2)x+lx2=(X+1)(A+2).

【初步应用】⑴用上面的方法分解因式：x2+6x+8=；

【类比应用】(2)规律应用：若Y+〃吠+8可用以上方法进行因式分解，则整数，"的所有可能值是_____；

精练

1.（2023八年级上全国•专题练习）阅读下列材料：

材料1.将一个形如f+〃犬+4的二次三项式因式分解时，如果能满足“=〃〃?且〃=m+〃，则可以把

f+px+q因式分解成（X+〃?）（K+〃）.

（1）根据材料1,把储-6.「卜8分解因式.

⑵结合材料1和材料2,完成下面小题：

①分解因式：（x—），）2+4（x—y）+3；

②分解因式：/n（m+2）（m2+2m-2）-3.

2.（23-24八年级上•北京东城期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：

^+b）（cx-^d）=acx2+（ad+bc）.x+bd.我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可

得a1+（加+/纪卜+〃=（如+与©+〃）.通过观察可把402+（44+历）工+加7看作以工为未知数，4、b、C、

d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数知与常数项"分别进行适当的分解来

凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1.这种分解的方法称为

十字相乘法.例如，将二次三项式2/+11X+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2,

贝IJ2/+llx+12=（x+4）（2x+3）.

XX

axd+cxb=bc1x3+2x4=11

图1图2

根据阅读材料解决下列问题:

⑴用十字相乘法分解因式：V+6X-27；

⑵用十字相乘法分解因式：6x2-7.1-3；

⑶结合木题知识，分解因式：20（、+»+7（、+了）_6.

对点特训七：分组分解法(四项式，五项式，六项式等)

典型例题

例题1.(2024七年级下江苏•专题练习)阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因

式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行

分组分解.

例1：“两两分组"：ca+ay+bx+by

解：原式=3+〃)，)+(8+外)

=a(x+y)+b(x+y)

=(i7+Z>)(x+y)

例2：“三一分组”：2xy+f-1+V

解：原式二(f+2xy+)，)-l

=(x+y)2-l

=(x4-y+l)(x+y-l)

归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解.

请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：

(1)分解因式：

①/一町，+4x-4y；

@?-y2+4y-4.

⑵已知ABC的三边b,满足"-女-"+庆=0,试判断4ABe的形状.

例题2.（22-23八年级上四川眉山•阶段练习）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分

解：

甲：x2-.Vy,+4%-4），

=（x2-A3J）+（4x-4y）（分成两组；

=A（x-y）+4（x-j）（直接提公因式）

=（x-j）（x+4）.

乙：a‘-护-d+2/尤

=a2-（b2+c2-2bc）（分成两组）

=/_（〃_"（直接运用公式）

=（a+b-c）（a-b+c）.

请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：

22

⑴因式分解：a+b-l-2ab；

（2）已知a-Z?=2,h-c=-\O,求式子a?—ac-a〃+bc的值；

⑶已知的三边长分别是a瓦c,且满足/+从=2"+2庆-2-试判断58。的形状，并说明理由.

精练

1.（23-24八年级上山东滨州.期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：

甲：x2-xy+4x-4y乙：a2-b2-c2+21jc

=(f-^)+(4x-4y)(分成两组)=a2-(b2+c2-2bc)(分成两组)

=Mx—y）+4（x—），）（直接提公因式）=a2-（b-c）2（直接运用公式）

=(x-y)(x+4),=(a+b-c)(a-b+c)

请在他们的解法启发下解答下面各题：

⑴因式分解：4a2-9+从-4昉；

⑵若。一〃二一5,〃一。=3,求式子〃〃一人c+ac-a?的值.

2.(23-24八年级上陕西商洛期末)阅读材料，拓展知识.

第一步：要把多项式，〃〃+，，?+加计加分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式再把它

的后两项分成一组，提出公因式上从而可得：

am+an+bin+加=卜〃〃+cm)+(加!+而)=〃(/〃+〃)+。(+〃)=(m+〃)(a+〃)，这种方法称为分组法.

第二步：理解知识，尝试填空.

(1)ab-ac+hc-b2=(ab—ac)+^bc-b2^=a(b—c)+b(c-b)=.

第三步：应用知识，解决问题.

(2)因式分解：

①疗+5〃-mn-5m=■

②V—2x+l-)5=.

第四步：提炼思想，拓展应用.

(3)已知三角形的三边长分别是a、b、c,且满足"+2)'十。'=助(a+c),试判断这个三角形的形状，并

说明理由.

对点特训八：因式分解的应用

典型例题

例题1.(23-24七年级下湖南郴州期中)将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一

个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式V+(〃+q)x+/M=(x+p)(x+G.将若干张图

2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式M+Sa/2+A/1分解因式为()

A.(a+b)(2a+b)B.(a+2b)(3a+b)C.(a+b)(a+2b)D.(a+/，)(a+m)

例题2.（23-24七年级下江苏南京期中）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两

种方案：

方案1：第一次提价的百分率为p,第二次提价的百分率为q.

方案2：第一、二次提价的百分率均为誓.

其中P、夕是不相等的正数.设产品的原单价为。元时，上述两种方案使该产品的单价变为：

（1）方案1：；方案2：；

⑵两种方案中哪种提价多？请说明理由.

精练

1.（23-24八年级下安徽宿州期中）父亲今年x岁JL子今年y岁,父亲比儿子大26岁，并且Y-孙=1040,

请你求出父亲和儿子今年各多少岁？

2.（23-24八年级下陕西西安期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化

来解决数学问题的思想.我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法.

⑴探究一：将图I的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多

项式的因式分解

⑵探究二：类似地，我们借助一个棱长为。的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为

的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为.再将图3中的几何体分割成三个长方

体①、②、③，如图4所示，则根据图中的数据，长方体①的体积为必卜一。）.类似地，表示出长方体②

的体积为,长方体③的体积为.当用两种不同的方法表示图3中几何体的体积时，就可以得到

的恒等式（将一个多项式学式分解）为.

⑶问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知。-8=6,，活=2,求的值.

综合演练

一、单选题

1.（2024•河南驻马店•一模）下列等式，成立的是（）

A.（x+y）*12=x2+y2B.（-2〃P丫=一8〃『

C.（4"?+〃）（〃-4/〃）=16帆2_,/D.x2-x-2=（.r-l）（x+2）

2.（22-23八年级下陕西咸阳粉段练习）已知x+y=6,盯=4,则-./）,_盯2的值是（）

A.-24B.24C.-10D.10

3.（23-24八年级上山西吕梁期末）下列因式分解正确的是（）

2222

A.2x+6A3?=x(2+6y)B.xy+6.ry+9/=y(x+6xy+9y)

C.+2x—8=x(x+2)—8D.x2_4)，2=(x+2)，)(x_2y)

4.（23-24八年级上•河南南阳期末）下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（）

A.x2-9=(x+3)(x-3)B.x2+2xy-y2=(x-y)2

C.x2-3x+2=(x+l)(x-3)D.(3/w+l)(w-2)+2(n-2)=(3m+3)(/1—2)

5.（23-24八年级上湖北孝感期末）下列因式分解正确的是（）

A.2abi-4ab=2a(b'-2/?)B.a2-2a-3=a(a-2)-3

C.x2+2xy-4y2=(x-2y)2D.-my2+4iny-4/n=T〃(2-},)2

6.(23-24八年级上•山西吕梁期末)下列多项式分解因式结果不含因式x-1的是()

A.X2-2X+\B.-1+x4

C•ax1-2ax-aD.x(x-2)+(2-,r)

7.(23-24八年级上重庆万州期末)在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的

其他方法进行了探究，如分解因式34-4.设9一31-4=(力4)(1+/)利用多项式相等得“=Y,〃=

故工2—3x—4可分解(工一4)(X+1).此时，我们就说多项式(Y-3x-4)既能被(工一4)整除，也能被(x+1)整除

根据上述操作原理，下列说法正确的个数为()

(1)(V+3X+2)能被(x+1)整除；

(2)若(丁一妹一5)能被(x+a)整除，贝必=1或a=—5；

(3)若(