整式（3知识点+11大题型+4大拓展训练+过关测）-2025年新七年级数学提升讲义（浙教版）含答案

专题15整式

（3知识点+11大题型+4大拓展训练+过关测）

骐（内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：11大核心考点精准练+4大拓展训练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：单项式1.单项式的定义：如-2孙^-1,它们都是数与字母的积，像

这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.

（1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算；

（2）分母中含有字母的的式子不是单项式.

2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.

（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；

（2）圆周率兀是常数，单项式中出现兀时，应看作系数；

（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；

（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.

3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1,计算时不能将其遗漏；

（2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0.

【即时训练】

1.下列代数式-中，2尤2人3-5,（x-1-中，单项式有（）

3兀

A.1个B.2个C.3个D.4个

试卷第1页，共18页

2.下列式子：V+2,-+4,即匕，—,-5x,0中，单项式的个数是（）

a7c

A.6B.5C.4D.3

知识点2：多项式

1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；

2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；

（1）多项式的每一项包括它前面的符号；（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如

6/-2x-7是一个三项式.

3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.

（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；

（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出；（3）一个多

项式是几次、有几项就叫几次几项式，如6x2-2x-7是二次三项式.

【即时训练】

3.-卫2的系数是，次数是.

7

4.在代数式2二，2x-3y,-15〃/〃，0,Aa2b2-4ab+b2,x3+2y-x,中，单项式和多

71

项式的个数分别是（）

A.2,5B.3,4C.4,3D.5,2

知识点3:整式

整式：单项式与多项式统称为整式.

单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代

数式，但反过来就不一定成立.

分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式.

【即时训练】

5.在式子工2+2X,-1,a+-,2孙，/>1中，整式有一个.

a

6.已知代数式：①-3,②一5ab>③一--，④—,⑤彳％2-3x+i,⑥-［个，

2x27

⑦瓜.其中：

（1）属于单项式的有二（填序号）

⑵属于多项式的有「（填序号）

⑶属于整式的有一（填序号）

试卷第2页，共18页

【题型1单项式的判断】

7.下列各式不是单项式的是（）

cb1

A.—3B.ciC.—D.—x2y

a2

8.给出下列式子：0,3a,万+3,『，1,3/+1,-兰］，,+九其中单项式的个数

25%

是（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

21214

9.下列代数式-1,——a2，丁＞，3a+b,0,x-万中，单项式的个数有（）

3O

A.3个B.4个C.5个D.6个

10.在①;X,②"-笊，③20%x，④4+8=12,⑤乂三，⑥,中，属于单项式的有.

43。

11.下列代数式：①—彳，②tn,③;，©—,⑤2加+1,⑥*〈了,⑦一——,

22a5x-y

@X2+2X+|,单项式共有个.

【题型2单项式的系数次数】

12.单项式-32/6的次数为（）

A.4B.5C.6D.-3

13.单项式-2/6的系数和次数分别是（)

A.一2和2B.2和2C.一2和3D.2和3

3

14.若单项式中3的系数是加，次数是"，则心+"=

15.写出一个只含有字母。、b,并同时满足以下两个条件的单项式:

①系数是负数；②次数是5.这个单项式可以是：.

16.指出下列各单项式的系数和次数：

（2）-4^y；

⑶2a；

⑷-加.

【题型3写出满足某些特征的单项式】

试卷第3页，共18页

17.已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是（）

A.2x2yB.3x2qC.2xy3D.-2xy2

18.已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是（）

A.2x3yB.2x2yC.3x2D.-2xy2

19.请写出一个只含有x、了两个字母，系数是-2,次数是5的单项式.

20.一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母.写出

一个满足上述条件的单项式：.

21.请写出一个单项式，使它满足系数为负数，次数为4,且含有字母。，b,这个单项式

可以为.

【题型4单项式规律题】

22.观察下列关于x的单项式：x,3/,5?,7/,9/，"J,…，按照上述规律，第

2024个单项式是（）

A.2O24x2024B.4O45x2024C.4O47x4048D.4O47x2024

23.按一定规律排列的单项式：2/,3/,4/,5/,...,第九个单项式是（）

A.na"B.（"+l）a"C.na"+lD.（»+l）a"+1

24.探索规律:观察以下单项式：-4a,10/,-28/,82/…第"个单项式为（用含〃

的式子表示）.

25.观察下面一列式子，按规律在横线上填写适当的式子城,-/了6/5/2,17y2。,…，则第〃

个式子为.

26.观察下列单项式：0,3f,8x3,155,24/…按此规律,则第〃个单项式为__.

【题型5多项式的判断】

27.下列属于多项式的是（）

A.2mB.-6aC.5D.2a+3

28.代数式丁，二;一+6+1,—+——3中，多项式有（）

22xy

A.2个B.3个C.4个D.5个

-115

29.整式—3.5工2，，一］,-r--,—32xy2z,——x2—y,—546—1中，多项式的个数是

（）

试卷第4页，共18页

A.2B.3C.4D.5

30.下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式：-3m%2,x2+y2,土?

33x

0.单项式：；多项式：.

31.对于式子：巴3,j（，3/+5x-2,"c,0,手,加，其中有___个多项式.

22b22x

【题型6多项式的项、项数或次数】

32.多项式2/6-仍-1的次数是（）

A.5B.3C.2D.1

33.下列说法错误的是（）

A.2"?的次数是3B.2是单项式

C.孙+1是二次二项式D.多项式-4/6+3.6-5的常数项为-5

34.多项式4-2/町2的次数是

35.7/+5x2y-6x3是几次几项式.

36.对于多项式万工""一（"2—3）x+左一1.

（1）若此多项式是关于X的三次三项式，求的值;

（2）若此关于无的多项式不含常数项，求发

【题型7多项式系数、指数中字母求值】

37.已知多项式2x阳+（2-后）x-3是关于x的二次三项式，则左的值为（）

A.2B.-2C.±2D.无法确定

38.多项式:―-（加-4）x+7是关于x的四次三项式，则加的值是（）

A.4B.-2C.-4D.4或一4

39.如果化+1）别-5是关于x的一次式，那么后=.

40.关于x、丁的多项式-8—+%-（2心-4b了网+加+3是四次二项式，则加=.

41.已知多项式-25xy"M+3x、_$_/_8是八次四项式，单项式6针/1的次数与这个多项

式的次数相同，求2机+2〃的值.

【题型8将多项式按某个字母升幕（降幕）排列】

42.多项式3刈一/按x的降塞排列的是（）

试卷第5页，共18页

A.-]+3肛22y3一、3B.—-x2y3_+3xy~-1

C.-x3~^x2y3+3xy2-1

D._5工~>3+3>^y2_一1

43.多项式-4j/+3孙3_2/+O是按()

A.%的降幕排列B.'的升幕排列c.y的降幕排列D.了的升哥排列

44.将多项式-9+r+3•2f2y按x的升塞排列的结果为.

71

45.把多项式2x2j?+-xy+9-5/一］按要求重新排列：

（1）把这个多项式按x的降幕重新排列；

（2）把这个多项式按了的升累重新排列.

46.将多项式-4砂4+工8+/一!》2/先按》的降幕排列，再按＞的升塞排列，并指出

它是几次几项式，常数项和最高次项系数各是多少.

【题型9整式的判断】

47.下列各式中：①a+6c；②"；③机%2+以？+9;④S=（a6；⑤-x；⑥』+9.其

一712X

中整式的个数有（）

A.2B.3C.4D.5

48.下列说法中，正确的是（）

4r-3

A.上三是单项式B.多项式2x+4肛-1的常数项是T

C.0不是整式D.单项式］兀的系数是1,次数是2

49.下列各式-led,mi-n2,-b,0.5+a=6中，整式有个.

50.有下列式子：①f②岁；③不④八心⑤一2；⑥九九其中属于

单项式的有—，属于多项式的有一,属于整式的有—.（填序号）

51.在式子Lx+V+1,2022,-a,-3x2y,口中，整式的个数是个.

【题型10数字类规律探索】

52.按一定规律排列的代数式：a+b,a2+2b,a3+3b,a4+4b,……，第”个代数式是

()

A.an+nbB.a〃一i+nb

试卷第6页，共18页

C.an+l+nbD.a"+(«+1)/>

2

53.。是不为2的有理数，我们把—称为。的“哈利数”.例如：3的“哈利数”是

2-a

221

旌｝=-2,-2的“哈利数”是2_(_2)=5,已知%=3，%是q的“哈利数”，名是出的“哈

利数”，应是生的“哈利数”，…，以此类推，则。2024=()

41

A.3B.yC.-D.-2

54.【学习情境・规律探究】把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律推断，从

2024到2026,箭头的方向应该是()

03—47—811

八八八

▼VV

1,25f69—10

A.1一B.TC.T-D.一1

17

55.观察如图所示的数表(横为行，竖为列)，按数表中的规律，若:在第。行，第6歹U,

2026

贝Ia_6的值为.

n

-

n

12

1

-T

2

123

1

---

321

n234

----

4321

U2345

-----

54321

56.下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答.

£

曾酶曾富第

嬲H整膻陶藕

(1)表中第8行的最后一个数是,它是自然数的平方，第8行共有个数,

第〃行共有个数；

(2)用含〃的代数式表示：第〃行第一个数是,最后一个数是.

【题型11图形类规律探索】

57.苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物.如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的

试卷第7页，共18页

结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25

根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（）

A.85B.81C.73D.71

58.如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第1个图案由2个小正方形组成，第2个图

案由4个小正方形组成……依此规律，第25个图案由加个小正方形组成，则加的值为（）

59.数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点,

连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形

内所有区域都变成三角形.如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有

2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）.当五边形内有〃个点时，可分得三角

形的个数为.

60.小明通过画直线分割正方形，在正方形内画1条直线，该直线将正方形分成2个区域

（图①）；在正方形内画2条直线，最少可以分成3个区域（图②），最多可以分成4个区

域且2条直线在正方形内（不含边界）有1个交点（图③）；在正方形内画3条直线，最多

可以分成7个区域且3条直线在正方形内（不含边界）有3个交点（图④）

小明又进行了多次试验，其中1次他在正方形内画。条直线，将正方形分成b个区域且。条

直线在正方形内（不含边界）有c个交点，则a,b,c之间的数量关系为.

试卷第8页，共18页

61.下列各图形中的“.”的个数和“△”的个数是按照一定规律摆放的:

⑴观察图形，填写下表:

第〃个图形12345n

•的个数

369———

△的个数

136———

⑵当"=时，的个数是“•”的个数的2倍

【拓展训练一单项式综合】

62.在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：-x,3/,-5x3.7x3一9》5,

则第〃个单项式是什么？”

⑴首先杨老师给出如下四个引导问题：

①这组单项式中不变的是什么？直接写下

来.

②这组单项式中系数的符号规律是什么？

③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？

④这组单项式的次数规律是什么？

同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究：

⑤猜想出第〃个单项式是；(只用一个含〃的式子表示，〃是正整数)

⑥第2023个单项式是.

(2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移.

按一定规律排列的等式：

第一个等式：32-12=8=8x1,

第二个等式：52-32=16=8x2,

试卷第9页，共18页

第三个等式：7,-52=24=8X3,

第四个等式：92-72=32=8X4,

...,

第〃个等式是：5是正整数）；

（3）请你利用以上结论计算20232-20212的值.

63.观察下列一串单项式的特点：孙，-3x2y,5x3y,-7x4,y,9x5y,...

（1）写出第10个和第2020个单项式.

（2）写出第n个单项式.

64.观察下列单项式：一》，3/,-5/,7x3…，一37x~39/°,…写出第"个单项

式.为解决这个问题，特提供下面的解题思路：通过观察单项式的结构特征，分三步确定:

先确定符号，再确定系数的绝对值，最后确定次数.

（1）这组单项式系数的符号规律是系数的绝对值规律是；

（2）这组单项式的次数的规律是；第六个单项式是；

（3）根据上面的归纳，可以猜想第"个单项式是；

（4）请你根据猜想，写出第2019个单项式.

【拓展训练二多项式综合】

65.已知多项式7xm+kx2_（3n+l）x+5是关于X的三次三项式，并且一次项系数为-7,求

m+n-k的值.

66.当x=l,»=-1时，关于x、y的二次三项式ax"'+（加+1）勿_3值为0,那么当x=

-7,时，式子a"x+2加勿+号■的值为.

67.已知（x+1）2。21=〃0+的/+〃2%2+。3%3+…+4202必2。21,贝1］。2+。4+…+。20/8+。2020=.

【拓展训练三数字类规律探索综合】

68.将连续的正整数排成如图所示的数表.记为数表中第，行第，列位置的数字，如

侬）=4,兔2）=8,。（5,4）=22.若％^=2024,则加=,n=.

试卷第10页，共18页

列

1断

第判

出，

写

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列出1数

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根第11122的不)是，

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排数列4的,1它1

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第11112差数

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按第567132是

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06900【((【

152I26第2第第第第第第7设如若

设。，6,。都是不为0和1的有理数，将一个数组（。,瓦c）中的数分别按照材料中“倒数差”的

定义作变换，第1次变换后得到数组（％0吗），第2次变换后得数组（出4），…，第〃次变换

后得到数组（%,&£,）.

（3）若数组确定为-3）.

①第一次变换后得到的数组为;

②％+4+G+%+/+c2H-------\-a9+bg+cg的值为.（直接写出答案）

【拓展训练四图形类规律探索综合】

71.如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点/、C沿正方形的边开始匀速运动，

甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么他们第一次相遇

在4。边上，请问他们第20024次相遇在哪条边上？（）

CC5

D.

72.“阿凡提巧取七环”的故事是这样的：一个地主非常自负和刻薄，经常出难题借以克扣长

工的工钱.有一回，他用纯银打了个七连环作为工钱，请人做工七天，要求打工者只能断开

其中的一环，干几天就取几个银环，不能多取，也不能少取.很多打工者因为不能完成这个

任务，而没能拿到工钱.聪明的阿凡提先将第三环断开，第一天取走断开的那一环；第二天,

阿凡提还给地主断开的那一环，拿走两连环；第三天，阿凡提再拿走断开的那一环；第四天,

用前三天拿走的三个环去换四连环；第五天再拿走断开的那一环；第六天，还给断开的那一

环，拿走两连环；第七天再取走断开的那一个环，正好是七环.如图所示：

断开前：

123456

断开后：

试卷第12页，共18页

1234567

如果老板有一个23连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两个

环，在23天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第

号和第号环.

Ht~2*2弟-刃''f针~可占

5*———r、,、，、—*—«、——*——.——»■

12345678910II121314151617181920212223

73.综合探究

斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题

描述该数列，即1,1,2,3,5,8,13,21,…，其中从第三个数起，每一个数都等于它

前面两个数的和.这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥,

又与美学和哲学息息相关.

(1)初步探究

斐波那契数列第9和10个数分别为：,.若用耳表示斐波那契数列中的第〃

个数，则%+2=(用4、%+1表示，其中“为正整数).

(2)深入探究

现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、

3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，③，④，

□□

1123

图1

m

①③

图2

(D通过计算相应长方形的面积填写下表

试卷第13页，共18页

面

2615

积

(ii)根据上述表格，发现:

12+12=1x2;

12+12+22=2x3;

12+12+22+32=3x5；

请你写出斐波那契数列前a项平方和的规律，并完成证明.

规律：。:+的2+必+…+%2=（用见、表示,其中"为正整数）

亦―生出U口：口蚯如

74.下列说法正确的是（）

A.-学的系数是一2B./+X-1的系数是1

C.22ab3的次数是6次D.X-5^+7是二次三项式

75.在代数式^-x2-3x>-3x>2/rx2y>—>-6、Q中，单项式的个数是（）

2x

A.2个B.3个C.4个D.5个

76「。”是益智拼图中的一块，以“Q”为基本图形按如图所示的规律拼图案，其中第①个

试卷第14页，共18页

图案中有6个，。”，第②个图案中有9个“㈡”，第③个图案中有12个“Q，，第④个图案

中有15个“Q”，…，按此规律，则第⑧个图案中，Q”的个数是（）

A.27B.30C.33D.36

77.用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个五角星，第②个图案中

有6个五角星，第③个图案中有8个五角星，第④个图案中有10个五角星，…，按此规律

排列下去，则第⑧个图案中的五角星个数为（）

★★

★★★★

★★★★★★

★★★★★★★★

★★★★★★★★

①②③④

A.14B.16C.18D.20

78.按一定规律排列的单项式：3,-5a,9a2,-17/,则第7个单项式是（）

A.—127/B.—129/C.127/D.129a6

79.从1到2023连续自然数的平方和『+22+32+...+20232的个位数是（）

A.0B.3C.4D.9

80.等差数列：2、5、8、11.........其中92是这个数串中的第个数.

81.多项式+3/_2是次项式.

82.生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案,

如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩

形，……则第10个图案需要用矩形的个数为

83.1-9这九个数字的乘方所得的结果，其个位数是有规律的，试求632。25的个位数字

是.

84.如图，将正整数按以下规律排列:

试卷第15页，共18页

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行1451617

第二行23615

第三行98714

第四行10111213

第五行

表中数1在第一行第一列，与有序数对(1J)对应，2在第二行第一列，与有序数对(2,1)对应,

数9与(3,1)对应，数10与(4,1)对应，…，根据这一规律，数399=202」对应的有序数对

为.

85.据《九章算术•方田》记载：“今有叠方累砖，内方一尺，每层外扩，各边广增二尺，砖

皆方正，层间新砖数循律而增.”如图所示，第1层(中心层)为边长1尺的正方形，用砖1

块；第2层为边长3尺的正方形，新增外围砖8块；第3层为边长5尺的正方形，新增外围

砖16块；第4层为边长7尺的正方形，新增外围砖24块；……，依此规律，则第16层新

增外围砖为块.

86.已知2+924,3+[=3r],4+4=4晨《；若10+：=10?x,(0、%均为整数)，则

3Jooij1Jbb

a+b=.

87.有依次排列的3个数：2,9,7,对任意相